第六章不定积分 第六章不定积分 CThe indefinite integration 6-1原函数和不定积分 62不定积分方法 6-2-1变量置换法 6-2-2分部积分法 6-3有理函数的积分 6-3-1最简分式的积分 6-3-2有理函数的积分 6-4其他可积成有限形式的函数类 64-1三角有理式的积分 6-4-2简单根式的积分 643不能积成有限形式的积分 第十五讲积分方法及“可积”函数类 课后作业: 阅读:第六章62:pp214-216;6.3-6.5:pp218-236; 预习: 练习pp.216-217:习题62 习题1(17)-(30)中的单号题 223:习题6.3 习题1;2;3;6;7;9;12;14;15;16;18;20 231:习题6.4 习题1;2;4;5;6;7;9;10;11;12;15;16;17;20 236:习题6.5 习题1;2;4;6;7;9;10;12;13 作业pp.216--217:习题6.2 习题1(17)-(30)中的双号题;2 223:习题6.3 习题4;5;8;10;11;13;17;19;21; p231:习题6.4 习题3;8;13;14;18;19; p.236:习题6.5 习题3;5;8;11;14;15 第六章不定积分
第六章 不定积分 第六章 不定积分 第六章 不定积分 (The indefinite integration ) 6-1 原函数和不定积分 6-2 不定积分方法 6-2-1 变量置换法 6-2-2 分部积分法 6-3 有理函数的积分 6-3-1 最简分式的积分 6-3-2 有理函数的积分 6-4 其他可积成有限形式的函数类 6-4-1 三角有理式的积分 6-4-2 简单根式的积分 6-4-3 不能积成有限形式的积分 第十五讲 积分方法及“可积”函数类 课后作业： 阅读：第六章 6.2: pp214---216; 6.3-6.5: pp218---236; 预习： 练习 pp.216---217: 习题 6.2 习题 1(17)---(30) 中的单号题; p.223: 习题 6.3 习题 1; 2; 3; 6; 7; 9; 12; 14; 15; 16; 18; 20 p.231: 习题 6.4 习题 1; 2; 4; 5; 6; 7; 9; 10; 11; 12; 15; 16; 17; 20 p.236: 习题 6.5 习题 1; 2; 4; 6; 7; 9; 10; 12; 13 作业 pp.216---217: 习题 6.2 习题 1(17)---(30) 中的双号题; 2 p.223: 习题 6.3 习题 4; 5; 8; 10; 11; 13; 17; 19; 21; 22 p.231: 习题 6.4 习题 3; 8; 13; 14; 18; 19; p.236: 习题 6.5 习题 3; 5; 8; 11; 14; 15
第六章不定积分 6-2不定积分方法 6-2-1变量置换法 凑微分法是通过局部的积分,即(x)dx=d(x),将欲求的积分 ∫f(x)dt向己有的积分公式jF((x)(x)=F((x)+c转化 这是实际上是作了一个变量置换:u=u(x),将 f(xax= Flu(x)u(x)dx= F(u)du 如果凑微分目标不明,亦可先用变量置换先化简被积分式子,即引 进新的自变量x=q(1),将积分 f(x)dx= f(()o'(o)dr 如果能够求出函数f(()()的原函数G(t),并且反函数 t=-(x)存在,于是就得到不定积分; f(x)dx=lf((O)(o)dt=G((x)+c 或者即使问题没有马上解决但被积分式比原来的简单,也是进了一步。 定理:若x=()可导,且有反函数t=g-1(x),则有 ∫f(x)d=r(o)o(h 这就是不定积分的变量置换法。要注意的是,最后结果应换回最 原始的自变量。 例1:求 d 解:(1)设变量,换被积分式: 令x=asnt,则 dx=acosidt. va2-x2=acost (2)算积分 dx=a cos tdt (+cos 2t)dt=-(t +sin t cost)+c (3)回代自变量 r/us 得 t= arcsin a =-(rva +a- arcs -)+c 第六章不定积分
第六章 不定积分 第六章 不定积分 6-2 不定积分方法 6-2-1 变量置换法 凑微分法是通过局部的积分, 即 u (x)dx = du(x) , 将欲求的积分 f (x)dx 向己有的积分公式 F u x du x = F u x + c ( ( )) ( ) ( ( )) 转化. 这是实际上是作了一个变量置换： u = u(x) , 将 f (x)dx = F(u(x))u (x)dx = F(u)du . 如果凑微分目标不明，亦可先用变量置换先化简被积分式子，即引 进新的自变量 x = (t) ,将积分 f (x)dx = f ((t))(t)dt . 如果能够求出函数 f ((t))(t) 的原函数 G(t) ,并且反函数 ( ) 1 t x − = 存在, 于是就得到不定积分; f (x)dx = f ((t))(t)dt = G x + c − ( ( )) 1 . 或者即使问题没有马上解决但被积分式比原来的简单, 也是进了一步。 定理：若 x = (t) 可导，且有反函数 ( ) 1 t x − = , 则有 f (x)dx = f ((t))(t)dt . 这就是不定积分的变量置换法。要注意的是，最后结果应换回最 原始的自变量。 例 1: 求 a x dx − 2 2 解: (1) 设变量，换被积分式: 令 x = asin t ,则 dx acostdt , a x acost 2 2 = − = , (2)算积分 a − x dx 2 2 = a tdt 2 2 cos = t t t c a t dt a + = + + ( sin cos ) 2 (1 cos 2 ) 2 2 2 (3) 回代自变量 a x sin t = , 得 1 2 2 cos a x a t = − , a x t = arcsin , a x dx − 2 2 c a x = (x a − x + a arcsin ) + 2 1 2 2 2 t a 2 2 a − x x
第六章不定积分 例2:求 解:(1)设变量,换被积分式 令x=a1g,则d=asec2td,Va2+x2= a sec t, (2)算积分 -dx=sect dt d sin t 1 sin t 2t2 +c=hn(sect +igt)+c (3)回代自变量 atgt Va2+rdx=Inkx+Va2+x2+c 6-2-2分部积分法 分部积分法是由函数乘积求导公式导出的求原函数的公式,运用它 可以将一个积分换成另一个积分 假定函数u(x),v(x)可微,则 d(uv)=vdu+ udv 由此得到 udv=d(uv)-vdt 两端积分得到 这就是分部积分公式,它将两个积分∫uh,jvdh互相转化,只要能求出 其中一个,就能求出另一个。在实用中是希望将其中一个较难的积分转 化为另一个较为简单的积分.具体分析一下这两个积分 ldhy-分部积分公式 l d v 什么函数微分后会“简单”些?宜于取作l(x) 幂函数;对数函数:反正弦、反正切函数 第六章不定积分
第六章 不定积分 第六章 不定积分 例 2: 求 dx a x + 2 2 1 解: (1) 设变量，换被积分式: 令 x = atgt ,则 dx asec t dt , a x a sect 2 2 2 = + = , (2)算积分 dx a x + 2 2 1 = = dt t t dt cos 1 sec = − t d t 2 1 sin sin = c ( t tgt) c t t + = + + − + ln sec 1 sin 1 sin ln 2 1 (3) 回代自变量 x = atgt , a x tgt = 1 2 2 sec a x a t = + , a x dx + 2 2 = (x + a + x )+ c 2 2 ln 6-2-2 分部积分法 分部积分法是由函数乘积求导公式导出的求原函数的公式，运用它 可以将一个积分换成另一个积分。 假定函数 u(x), v(x) 可微,则 d(uv) = vdu + udv 由此得到 udv = d(uv) − vdu 两端积分得到 udv = uv − vdu 这就是分部积分公式,它将两个积分 udv, vdu 互相转化,只要能求出 其中一个,就能求出另一个。在实用中是希望将其中一个较难的积分转 化为另一个较为简单的积分.具体分析一下这两个积分: ⎯⎯⎯ ⎯→ udv vdu 分部积分公式 ⎯⎯⎯ ⎯→ v d u d v u u v , 微分； 积分 , 什么函数微分后会“简单”些？ 宜于取作 u(x) 幂函数; 对数函数； 反正弦、反正切函数. 2 2 a + x x t a
第六章不定积分 什么函数积分后会“简单”些?宜于取作v(x) 经积分微分后会“简单”情况不变的函数:可作l(x),亦可为v(x) 正弦、佘弦函数,指数函数 例3:求∫xe2xdr 解:取u=x,dhv=e2x→v=e ∫xe2drx=|adh=n-vd -xe 例4:求∫x2smdx 解mpm 3x cos =+6 xcos=dx 对于∫xcos:d再运用分部积分公式 X cOS d x COS 3xsin -3 sin dx=3xsin+cos=+c 于是∫x2smd=-3x2cos+18xh+54cos+c 由以上两个例子看出,对于形如 ∫x^eax,∫ x sin bxdx,jx" cos bxd 的积分运用分部积分公式时需要取 u=x v=edx. dv= sin bxdx dy= cos bxd 例5求 xIn xdx 解hxd=mxd(x22 第六章不定积分
第六章 不定积分 第六章 不定积分 什么函数积分后会“简单”些？ 宜于取作 v(x) ?? 经积分微分后会“简单”情况不变的函数: 可作 u(x) , 亦可为 v(x) 正弦、佘弦函数，指数函数 例 3:求 xe dx 2x 解: 取 u x dv e dx 2x = , = x v e 2 2 1 = , xe dx 2x = udv = uv − vdu = xe − e dx 2x 2x 2 1 2 1 xe e c x x = − + 2 2 4 1 2 1 例 4:求 dx x x 3 sin 2 解: dx x x 3 sin 2 = 3 3 sin 3 x d x dx x x x x = − + 3 6 cos 3 3 cos 2 对于 dx x x 3 cos 再运用分部积分公式, dx x x 3 cos = 3 2 cos 2 x d x = − dx x x x 3 3 sin 3 3 sin c x x = x + + 3 9cos 3 3 sin 于是 dx x x 3 sin 2 = c x x x x − x + + + 3 54cos 3 18 sin 3 3 cos 2 由以上两个例子看出,对于形如 x e dx x bxdx x bxdx k a x k k , sin , cos 的积分运用分部积分公式时,需要取 k u = x , dv e dx ax = , dv = sin bxdx, dv = cosbxdx. 例 5:求 x ln xdx 解: xln xdx= ( ) ln 2 2 x d x = dx x x x c x x = x x − = − + 2 2 2 2 4 1 ln 2 1 1 2 ln 2 1
第六章不定积分 例6求 arctan xdx 解:「 arctan xdx= x arctan d x = x arctan x一 例7:求[√x2+a2d 解:√x +a--a x√x2+a + a d x +√2+a2) 类似典型题有: le"sin bxdx=sin xd b costa n bx b e sin x a(asin bx-bcos bx) a+b 例8求n=eos”xdr 解1=∫ cos"xdx= j cos"-l xd(sin x) =sin xcos"-x+(n-1) xcos"-xda 第六章不定积分
第六章 不定积分 第六章 不定积分 例 6: 求 arctan xdx 解: arctan xdx + = − dx x x x x 2 1 arctan = x x − ( + x )+ c 2 ln 1 2 1 arctan 例 7: 求 x + a dx 2 2 解： x + a dx 2 2 = + + − dx x a x x x a 2 2 2 2 2 = + + − + − dx x a x a a x x a 2 2 2 2 2 2 2 = + + − + − dx x a a x x a x a 2 2 2 2 2 2 2 + + = + + dx x a x a dx x x a a 2 2 2 2 2 2 2 1 2 (x x a ) c a x + a dx = x x + a + + + + 2 2 2 2 2 2 2 ln 2 2 1 . 类似典型题有： = a e e bxdx xd ax ax sin sin = − e xdx a b bx a e ax ax sin cos = = ( ) − ax ax xd e a b bx a e sin cos 2 = − − e xdx a b e bx a b bx a e ax ax ax sin cos sin 2 2 2 ; ( ) c a b e a bx b bx e xdx ax ax + + − = 2 2 sin cos sin 例 8: 求 I = xdx n n cos 解: I = xdx n n cos − = cos (sin ) 1 xd x n = − − x x + n − x xdx n 1 2 n 2 sin cos ( 1) sin cos
第六章不定积分 in xcosx+(n-1)"xdx-(n-1) cos"xdx sin xcos"x+(n-I)In-2-(n-l)/ 得到递推公式 n 利用容易求得的 10=「a=x+c,l1=∫ osed=smx+c 就可以利用上面得到的递推公式计算n=[cos”xd 对于分部积分有三种典型类: P(x)是多项式函数;R(x)是有理分式函数 第一种,化简型:如 ∫P(x)e"a;∫Px) sin bxdx; JR(x)In xdx: R(x)arctgrdx 第二种,循环型:如 ∫√x2±a2dk;∫e" r sin bx dx; dx: 第三种,递推型:如 ∫m”xdk;∫(smb)yt;∫ d x 在基本积分表中加上几个公式: d ∫x=cgxc(a≠0 a+x a +c(a≠0); 2a a-x d x arcs -+c(a>0); =Inx+ ±a2+c 第六章不定积分
第六章 不定积分 第六章 不定积分 = + − − − − − x x n xdx n xdx n n n sin cos ( 1) cos ( 1) cos 1 2 n n n sin xcos x (n 1)I (n 1)I 2 1 = + − − − − − 得到递推公式: 2 1 1 sin cos 1 − − − = + n n n I n n x x n I 利用容易求得的 I = dx = x + c 0 , I = xdx = x + c 1 cos sin 就可以利用上面得到的递推公式计算 I = xdx n n cos . ⚫ 对于分部积分有三种典型类： P(x) 是多项式函数； R(x) 是有理分式函数. 第一种，化简型：如 P x e dx ax ( ) ; P(x)sin bx dx ; R(x)ln x dx ; R(x) arctgx dx 第二种，循环型：如 x a dx 2 2 ; e bx dx ax sin ; x dx 3 sec ; xe bx dx ax sin 第三种，递推型：如 x dx n ln ; ( ) bx dx n sin ; ( ) + dx x a n 2 2 1 在基本积分表中加上几个公式： c a x arctg a x a dx = + + 1 2 2 ( a 0 ); c a x x x a x a dx + − + = − ln 2 1 2 2 ( a 0 ); c a x a x dx = + − arcsin 2 2 ( a 0 ); x x a c x a dx = + + 2 2 2 2 ln (x x a ) c a x a dx = x x a + + + 2 2 2 2 2 2 2 ln 2 2 1
第六章不定积分 6-3有理函数的积分 6-3-1最简分式的积分 设P(x),Q(x)为多项式则分式称为有理式任意有理式 O(x) 都都能表示成最简分式和,所谓最简分式是: A (a≠0);(2) (a≠0,n>1) ax b (ax +b) Ax+B (3) (b2-4ac0) lax+bx+ 这些函数的不定积分总有有限形式 例9.:形如/、dx的积分 x+ax+b (1)如果a2>4b,则x2+ax+b有两个相异实根p,q,这时 dx x+ax+b x-p =An x-p+Bn/x-g+c (2)如果a2=4b,则x2+a+b有重根p,这时 dx +c x+ax+b J(x-p)2(x-p (3)如果a2<4b,则x2+ax+b没有实根此时 d(x+p)x x+ax+ b(x+p)2+q2(x+p)2 d(x+p)x-larctan x+p (x+p)+q" q 例10.形如∫4x+的积分(4≠0)首先将积分改写成 x +ax+b 第六章不定积分
第六章 不定积分 第六章 不定积分 6-3 有理函数的积分 6-3-1 最简分式的积分 设 P(x),Q(x) 为多项式,则分式 ( ) ( ) Q x P x 称为有理式. 任意有理式 都都能表示成最简分式和，所谓最简分式是： (1) ( 0) + a ax b A ; (2) ( ) ( 0, 1) + a n ax b A n ; (3) ( 4 0) 2 2 − + + + b ac ax bx c Ax B ; (4) ( ) ( 4 0, 0) 2 2 − + + + b ac n ax bx c Ax B n . 这些函数的不定积分总有有限形式。 例 9. :形如 x + ax + b dx 2 的积分 (1) 如果 a 4b 2 ,则 x + ax + b 2 有两个相异实根 p,q ,这时 x + ax + b dx 2 − + − = dx x q B dx x p A = Aln x − p + Bln x − q + c (2) 如果 a 4b 2 = ,则 x + ax + b 2 有重根 p ,这时 x + ax + b dx 2 − = 2 (x p) dx = ( ) c x p + − −1 (3) 如果 a 4b 2 ,则 x + ax + b 2 没有实根,此时 x + ax + b dx 2 + + + = + + = 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x p q d x p x x p q dx = c q x p x p q q d x p x + + = + + + arctan 1 ( ) ( ) 2 2 例 10: 形如 + + + dx x ax b Ax B 2 的积分( A 0 ),首先将积分改写成
第六章不定积分 2B x+ax +b x+ax+b 其中第一个积分为 2x+adx=In(x+ax+b) x2+ax+b 第二个积分 2B x+ax+b Ax+ B 例12:形如「 dx的积分,首先将积分改写成 +ax+b x+Ax+B x+ax+b(a-a)x+(B-b) x+ax+b x+ax+b x+ax+b (A-a)x+(B x+ax+b 其中第二个积分可以用可以按照前例说明的方法求解 例13求∫ d 5+4x+X dx=[ 5+4x+x 5+4x+x25+4 d(5+4x+x2) d(x+2) 25+4x+x l+(x+2) In(x+4x+5)-2arctan(x+2)+c 例14:求∫ dx x dx x(x+ 10x0(x10+1)2 10(x(x0+1)(x0+1)2 7(rio) (2)=(h 第六章不定积分
第六章 不定积分 第六章 不定积分 + + − + + + + dx x ax b a A B x ax b A x a ] 2 2 [ 2 2 2 其中第一个积分为 ln( ) 2 2 2 dx x ax b x ax b x a = + + + + + 第二个积分 + + − x ax b dx a A B 2 ) 2 ( 例 12: 形如 + + + + dx x ax b x Ax B 2 2 的积分,首先将积分改写成 + + + + dx x ax b x Ax B 2 2 = + + − + − + + + + + dx x ax b A a x B b x ax b x ax b ] ( ) ( ) [ 2 2 2 + + − + − = + dx x ax b A a x B b ] ( ) ( ) [1 2 其中第二个积分可以用可以按照前例说明的方法求解. 例 13:求 + + dx x x x 2 5 4 解: + + dx x x x 2 5 4 dx x x x x x + + − + + + = ] 5 4 2 5 4 2 [ 2 2 + + + − + + + + = 2 2 2 1 ( 2) ( 2) 2 5 4 (5 4 ) 2 1 x d x x x d x x = ln( x + 4x + 5) − 2arctan( x + 2) + c 2 1 2 例 14: 求 + 10 2 x(x 1) dx 解: + 10 2 x(x 1) dx = ( ) + = + 10 10 2 10 10 10 2 9 10 ( 1) 1 ( 1) x x d x x x x dx = ( ) ( ) + − + = + + − 10 10 10 10 2 10 10 10 2 10 10 ( 1) 1 ( 1) 1 10 1 ( 1) ( 1) 10 1 d x x x x d x x x x x = ( ) + − + + − 10 10 10 10 2 10 10 ( 1) 1 ( 1) 1 10 1 d x x x x x x = ( ) + − + − 10 10 10 10 2 ( 1) 1 1 1 1 10 1 d x x x x = c x x x x + + + + ) 1 1 (ln 10 1 10 10 10 10
第六章不定积分 6-3-2有理函数的积分 般有理分式() 的积分做法是:先用代数方法将(x)化成最 O(x) 简分式之和,再运用己有公式求之。从这里可知 有理分式函数总有有限形式的原函数,而且其原函数只可能包括以下 类函数:有理分式函数,对数函数,反正切函数。 例14:求 解 x2+1kx2+x3+12-x√3+ Bx +C Dx+e +1 +x√3+1 √3 通分后比较分子,得恒等式 x2-x3+) +(Dx+E 比较的同等幂系数,得五个关于系数的线性方程,解之而得: 3+6 x2+1x2+x√3+1x2-x3 2 1/2 0x-+x x2+x√3+1 6 x√3+162 x-x√3+1 =rarig x+-arctg In +C: x°+12 √3 dx 1 解2: 2Jx6+1 x6+1 第六章不定积分
第六章 不定积分 第六章 不定积分 6-3-2 有理函数的积分 一般有理分式 ( ) ( ) Q x P x 的积分做法是：先用代数方法将 ( ) ( ) Q x P x 化成最 简分式之和，再运用己有公式求之。从这里可知： 有理分式函数总有有限形式的原函数，而且其原函数只可能包括以下 三类函数：有理分式函数，对数函数，反正切函数。 例 14: 求 +1 6 x dx 解 1: ( 1)( 3 1)( 3 1) 1 1 1 6 2 2 2 + + + − + = x + x x x x x = = 1 3 1 3 1 2 2 2 − + + + + + + + + x x Dx E x x Bx C x A . 通分后比较分子，得恒等式： 1 ( − +1)+ ( + )( +1)( − 3 +1)+ 4 2 2 2 A x x Bx C x x x ( )( 1)( 3 1) 2 2 + Dx + E x + x + x + ; 比较的同等幂系数，得五个关于系数的线性方程，解之而得： 6 3 , 3 1 A = C = E = B = −D = ; 3 1 3 1 6 3 3 1 3 1 6 3 1 3 1 1 1 6 2 2 2 − + − + + + + + + + = + x x x x x x x x . ( ) 3 1 2 3 1 2 2 3 6 1 3 1 3 2 6 1 2 2 + + + + = + + + x x x x x x ; ( ) ( ) 3 1 2 3 1 2 2 3 6 1 3 1 3 2 6 1 2 2 − + − − − = − + − − x x x x x x ; +1 6 x dx = ( ) c x x x x arctg x arctg x + − + + + + + 3 1 3 1 ln 4 3 1 6 1 2 1 2 2 3 ; 解 2: +1 6 x dx = ( ) + − − + + = + + − − dx x x dx x x dx x x x 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 6 4 6 4 6 4 4 = ( ) ( )( ) + + − − + + − + dx x x x dx x x x x 1 1 1 2 1 1 1 2 1 6 2 2 6 2 4 2
第六章不定积分 lk arcig x+arct(x2)+ x2+x√3+1 4√3 √3 其中: x √3+ √3 +c x+x-+√3 √3 解3: arctan +(2-1+1(2+( -mg+(- =-arctgx +-arctg In √3 √3+1 其中 6-4其他可积成有限形式的函数类 6-4-1三角有理式的积分 由snx和cosx经有限次四则运算得到的函数,记作 r(sin x, cosx)称为三角有理式,三角有理函数的积分 R(sn x, cos x )dx 第六章不定积分
第六章 不定积分 第六章 不定积分 = ( ) − + − − + + + 1 1 2 1 1 1 4 2 2 6 2 2 x x x dx x dx x x dx = = ( ) c x x x x arctg x arctg x + − + + + + + 3 1 3 1 ln 4 3 1 6 1 2 1 2 2 3 . 其中： ( ) ( ) ( ) ( ) + − + = − + − = − + − − − − − 1 3 1 1 1 2 1 1 2 2 2 4 2 2 x x d x x x x x dx x x x dx = c x x x x + + + + − − − 3 3 ln 2 3 1 1 1 = c x x x x + + + − + 3 1 3 1 ln 2 3 1 2 2 解 3: ( ) 1 2 3 1 1 3 1 1 1 4 2 2 6 2 − + − − + = + x x x x x +1 6 x dx = ( ) − + − − + 1 2 3 1 3 1 1 4 2 2 2 x x x dx x dx = = ( ) ( ) ( ) ( ) − + + − − + − + + + − − dx x x x x dx x x x x arctgx 1 1 1 3 1 1 1 1 6 1 3 1 4 2 2 2 4 2 2 2 = ( ) ( ) − + − − − + + + 1 1 2 1 1 1 6 1 3 1 4 2 2 4 2 2 x x x dx x x x dx arctgx = c x x x x x x arctgx arctg + − + + + + − + 3 1 3 1 ln 4 3 1 1 6 1 3 1 2 2 2 其中： ( ) ( ) ( ) ( ) − + − = − + + = − + + − − − − 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 4 2 2 x x d x x x x x dx x x x dx = arc tg(x − x )+ c −1 = c x x arc tg + −1 2 6-4 其他可积成有限形式的函数类 6-4-1 三角有理式的积分 由 sin x 和cos x 经有限次四则运算得到的函数, 记作 R(sin x, cos x) 称为三角有理式, 三角有理函数的积分 R(sin x, cos x)dx
