1:若方程y+p(x)y=0的一个特解为y=cos2x则该方程满足初值条件y(0)=2的 特解为() A cos 2x+2 B cos 2x+l C 2 cosx D COS 2X 答案D 解将y=cos2x代入方程求出函数p(x)再求解方程得到正确答案为D.也可以作 如下分析一阶线性齐次方程 y+p(x)y=0任意两个解只差一个常数因子所以A,BC三个选项都不是该方程的解 2微分方程y+2y=1的通解是 A.+c1cos√2x+c,sin√2x B.-+c1e-++c?e C. C1 cOsy2x+c,sin√2x Dce√r ++ce 答案A 解:直接看出y.=是方程的一个特解c1cosv2x+c2sn√2x是相应的齐次方程 的通解,因此应当选A 3:设二阶线性齐次常系数微分方程y”+b+y=0的每一个解y(x)在区间 0<x<+∞有界则实数b的取值范围是 Ab≥0 B.b≤0 C.b≤4 Db≥4 答案A 解:考察任意一个二阶线性齐次常系数微分方程y”+py’+qy=0欲使该方程的每一个 解都有界,充分必要条件是:该方程的特征根 2 的实部小于或者等于零 对于方程y"+b+y=0,特征根为 b±√b 2 当且仅当b≥0时两个特征根12的实部都小于或者等于零于是答案为A
1: 若方程 y + p(x)y = 0 的一个特解为 y = cos2x ,则该方程满足初值条件 y(0) = 2 的 特解为( ) A. cos2x + 2 B. cos2x +1 C. 2cos x D. 2cos2x 答案 D 解: 将 y = cos2x 代入方程求出函数 p(x),再求解方程得到正确答案为 D . 也可以作 如下分析:一阶线性齐次方程 y + p(x)y = 0 任意两个解只差一个常数因子,所以 A, B,C 三个选项都不是该方程的解. 2: 微分方程 2 1 2 2 + y = dx d y 的通解是( ) A c cos 2 x c sin 2 x 2 1 . + 1 + 2 x x B c e c e 2 2 2 1 2 1 . − + + + C. c cos 2 x c sin 2 x 1 + 2 x x D c e c e 2 2 2 1 . − + + 答案 A 解: 直接看出 2 1 y* = 是方程的一个特解. c cos 2 x c sin 2 x 1 + 2 是相应的齐次方程 的通解,因此应当选 A . 3: 设二阶线性 齐次 常系数 微分 方程 y + by + y = 0 的每一 个解 y(x) 在区间 0 x + 有界,则实数 b 的取值范围是( ) A.b 0 B. b 0 C.b 4 D. b 4 答案 A 解: 考察任意一个二阶线性齐次常系数微分方程 y + py + qy = 0 .欲使该方程的每一个 解都有界,充分必要条件是:该方程的特征根 2 4 2 1,2 − p p − q = 的实部小于或者等于零. 对于方程 y + by + y = 0,特征根为 2 4 2 1,2 − − = b b 当且仅当 b 0 时,两个特征根 1,2 的实部都小于或者等于零.于是答案为 A
微分方程y”+2y-3y=ex+x的一个特解是( a ae +bxtc B axe+bx+c C axe+x(bx+c) D ae+x(bx +c) 谷案B 解微分方程y"+2y-3y=e-x+x的特解等于下列两个微分方程 y+2y-3y=e,y"+2y-3y=x 的特解之和 根据有关的原理,非齐次微分方程y”+2y-3y=e具有形如axex的特解;非齐 次微分方程y”+2y-3y=x具有形如bx+c的特解因此非齐次微分方程 y"+2y-3y=e-+x具有形如axe+bx+c的特解于是应当选B 5设y1(x),y2(x)是二阶线性齐次微分方程y”+p(x)y+g(x)y=0的两个特解 问能够由y1(x),y2(x)的线性组合构成该方程的通解的充分必要条件为 A.y1(x)y2(x)-y2(x)y(x)=0B.y1(x)y2(x)-y2(x)y1(x)≠0 C.y1(x)·y2(x)+y2(x).y(x)=0D.y1(x):y2(x)+y2(x)y(x)≠0 谷案B 解题思路考虑y1(x),y2(x)的朗斯基行列式 解法1作为二阶线性齐次微分方程两个解,y1(x),y2(x)的线性组能否构成该方程的 通解,充分必要条件是这两个函数线性无关;另一方面这两个函数线性无关的充分必要条件 是它们的朗斯基行列式 1(x)y2(x yI(x)y2(x) 恒等于零(也等价于朗斯基行列式至少在一点等于零)这就是选项B 解法2如果有的读者不熟悉朗斯基行列式可以按照下述方法直接考察y1(x),y2(x) 是否线性无关,即是否存在常数C,使得 y2(x) C y1(x) 如果y1(x),y2(x)线性相关则存在常数C使得
4: 微分方程 y y y e x x + − = + − 2 3 的一个特解是( ) A ae bx c x + + − . B axe bx c x + + − . C axe x(bx c) x + + − D. ae x(bx c) x + + 答案 B 解: 微分方程 y y y e x x + − = + − 2 3 的特解等于下列两个微分方程: x y y y e − + 2 − 3 = , y + 2y − 3y = x 的特解之和. 根据有关的原理, 非齐次微分方程 x y y y e − + 2 − 3 = 具有形如 x axe − 的特解; 非齐 次微分方程 y + 2y − 3y = x 具有形如 bx + c 的特解 . 因 此 非 齐 次 微 分 方 程 y y y e x x + − = + − 2 3 具有形如 axe bx c x + + − 的特解.于是应当选 B . 5 设 ( ) , ( ) 1 2 y x y x 是二阶线性齐次微分方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个特解. 问能够由 ( ) , ( ) 1 2 y x y x 的线性组合构成该方程的通解的充分必要条件为: A. y1 (x) y2 (x) − y2 (x) y1 (x) = 0 B. y1 (x) y2 (x) − y2 (x) y1 (x) 0 C. y1 (x) y2 (x) + y2 (x) y1 (x) = 0 D. y1 (x) y2 (x) + y2 (x) y1 (x) 0 答案 B 解题思路: 考虑 ( ) , ( ) 1 2 y x y x 的朗斯基行列式. 解法 1 作为二阶线性齐次微分方程两个解, ( ) , ( ) 1 2 y x y x 的线性组能否构成该方程的 通解,充分必要条件是这两个函数线性无关;另一方面,这两个函数线性无关的充分必要条件 是它们的朗斯基行列式 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 y x y x y x y x 恒等于零(也等价于朗斯基行列式至少在一点等于零).这就是选项 B . 解法 2 如果有的读者不熟悉朗斯基行列式,可以按照下述方法直接考察 ( ) , ( ) 1 2 y x y x 是否线性无关,即是否存在常数 c ,使得 c y x y x ( ) ( ) 1 2 . 如果 ( ) , ( ) 1 2 y x y x 线性相关,则存在常数 c 使得
y2(x) y1(x) (因为是齐次方程所以y和-y1都是方程的解因此如有必要,可以改变y1(x)的符号,使 0)即 In y2(x)=In y,(x)+Inc 两端求导数得到 y2(x)y1(x) 这与B冲突所以条件B能推出y1(x),y2(x)线性无关因而是问题的充分条件 反之若y1(x),12(x)线性无关上2(≠C,即1ny2(x)+mn(x)+nC求导数 y1(x) 得到 y2(x)y1(x) y2(x)y1( 由此立即得到B因此也是y1(x),y2(x)线性无关的必要条件 6验证y1=x与y2=sinx是二阶微分方程(y)2-y”=1的两个解问由 y1(x),y2(x)的线性组合能否构成该方程的通解? 解:不能!虽然两个解y1=x与y2=sinx线性无关但是由于这个方程不是线性方程, 所以y1(x),y2(x)的线性组合不能构成该方程的通解 7:(91209)求微分方程y”+y=x+cosx的通解 解题思路:在用比较系数法求该方程的特解时,注意此方程右端是两个函数x和coSx之 和所以需要分别求出方程y+y=x的特解y1和y"+y=cosx的特解y2.然后得到原 方程的一个特解y=y+y2 首先求出对应的齐次方程的通解y=c1cosx+C2Snx 然后用比较系数法求非齐次方程y”+y=x的特解y1因为0不是特征根所以该方程 具有形如y=Ax+B的特解,将其代入方程求出A=1,B=0,y1=x
c y x y x ( ) ( ) 1 2 (因为是齐次方程,所以 1 1 y 和− y 都是方程的解.因此如有必要,可以改变 ( ) 1 y x 的符号,使 c 0 )即 ln y (x) ln y (x) ln c 2 = 1 + 两端求导数得到 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 y x y x y x y x = (*) 这与 B 冲突.所以条件 B 能推出 ( ) , ( ) 1 2 y x y x 线性无关,因而是问题的充分条件 反之若 ( ) , ( ) 1 2 y x y x 线性无关,则 c y x y x ( ) ( ) 1 2 ,即 ln y (x) ln y (x) lnc 2 1 + 求导数 得到 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 y x y x y x y x 由此立即得到 B .因此也是 ( ) , ( ) 1 2 y x y x 线性无关的必要条件. 6: 验 证 y = x 1 与 y sin x 2 = 是 二阶微分方程 ( ) 1 2 y − yy = 的两个解 . 问 由 ( ) , ( ) 1 2 y x y x 的线性组合能否构成该方程的通解? 解: 不能!虽然两个解 y = x 1 与 y sin x 2 = 线性无关,但是由于这个方程不是线性方程, 所以 ( ) , ( ) 1 2 y x y x 的线性组合不能构成该方程的通解. 7 : (91209) 求微分方程 y + y = x + cos x 的通解. 解题思路: 在用比较系数法求该方程的特解时,注意此方程右端是两个函数 x 和 cos x 之 和,所以需要分别求出方程 y + y = x 的特解 1 y 和 y + y = cos x 的特解 2 y . 然后得到原 方程的一个特解 * 1 2 y = y + y . 解: 首先求出对应的齐次方程的通解: y c cos x c sin x = 1 + 2 . 然后用比较系数法求非齐次方程 y + y = x 的特解 1 y . 因为 0 不是特征根,所以该方程 具有形如 y1 = Ax + B 的特解,将其代入方程求出 A = B = y = x 1 1, 0,
再用比较系数法求非齐次方程y”+y=c0sx的特解y2由于纯虚数i是特征根所以该 方程具有形如y2= Ax cos x+ Bx sin x的特解将其代入方程求出A=0,B=,所以 V2=siNx 因此原方程的一个特解为y,=H=y2=x+2xsx,原方程的通解是 V=C coSx+C, sinxtxt sIn x 8:(97205)设y1=xex+e2x,y2=xex+e-x,y3=xe2+e2x+e-x是某个二阶 线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程 解题思路:设所求方程为y”+py+qy=∫(x).先求p,q,即确定齐次微分方程 y"+py+qy=0.由题目所给的非齐次微分方程的三个解可以求出齐次微分方程 y"+py3+qy=0的两个解进而确定P,q.然后求f(x) 解:题目所给的非齐次微分方程的三个解求出齐次方程的两个解 y3-y1=e,y3-y2=e 于是特征方程2+p+q=0两个根为A1=-1,l2=2,由此确定p=-1,q=-2.于 是所求方程为y-y-2y=f(x)将非齐次微分方程的解y1=xe+e代入方程(用 y2,y3代入亦可得f(x)=ex-2xe 9:已知二阶线性非齐次微分方程y"+p(x)y+q(x)y=f(x)的三个特解为 y1=x,y2=ex,y3=e2x,试求方程满足初值条件y(0)=1,y()=3的特解 解题思路:根据线性微分方程解的理论,非齐次微分方程 y"+p(x)y+q(x)y=f(x)的通解可以表示为 非齐次方程通解齐次方程通解+非齐次方程特解 题目已经给出非齐次方程的特解,剩下的问题是求出齐次微分方程 y"+p(x)y+q(x)y=0的两个线性无关解以构成齐次方程的通解
再用比较系数法求非齐次方程 y + y = cos x 的特解 2 y .由于纯虚数 i 是特征根,所以该 方程具有形如 y Ax cos x Bx sin x 2 = + 的特解,将其代入方程求出 2 1 A = 0, B = ,所以 y x sin x 2 1 2 = . 因此原方程的一个特解为 y y y x x sin x 2 1 * = 1 = 2 = + ,原方程的通解是 y c cos x c sin x = 1 + 2 x x sin x 2 1 + + 8: (97205) 设 x x x x x x x y xe e y xe e y xe e e − − = + = + = + + 2 2 3 2 1 , , 是某个二阶 线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程. 解题思路: 设所求方程为 y + py + qy = f (x) .先求 p, q ,即确定齐次微分方程 y + py + qy = 0 ..由题目所给的非齐次微分方程的三个解可以求出齐次微分方程 y + py + qy = 0 的两个解,进而确定 p, q . 然后求 f (x). 解: 题目所给的非齐次微分方程的三个解求出齐次方程的两个解: x x y y e y y e 2 3 1 3 2 − = , − = − 于是特征方程 0 2 + p + q = 两个根为 1 = −1, 2 = 2 ,由此确定 p = −1, q = −2 .于 是所求方程为 y − y − 2y = f (x).将非齐次微分方程的解 x x y xe e 2 1 = + 代入方程(用 2 3 y , y 代入亦可)得 x f (x) = e x − 2xe . 9: 已知二阶线性非齐次微分方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的三个特解为 x x y x y e y e 2 1 2 3 = , = , = ,试求方程满足初值条件 y(0) =1, y (0) = 3 的特解. 解题思路 : 根据线性微分方程解的理论 , 非 齐 次 微 分 方 程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的通解可以表示为 非齐次方程通解=齐次方程通解+非齐次方程特解 题 目 已 经 给 出 非 齐 次 方 程 的 特 解 , 剩 下 的 问 题 是 求 出 齐 次 微 分 方 程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个线性无关解,以构成齐次方程的通解
解根据线性微分方程解的理论,非齐次微分方程y"+p(x)y+q(x)y=f(x)的任 意两个解之差是齐次微分方程y”+p(x)y+q(x)y=0的解因此立即得到齐次微分方程 的两个解:e-x,已X-x,可以验证这两个解线性无关解,于是齐次微分方程的通解是 非齐次微分方程的通解是 y=x+c1(e2-x)+c2(e-x) 利用初值条件y(0)=1,y(0)=3可以求出C1=-1,c2=2.于是所求特解为 yo 2 10(94109)设全微分方程[x(x+y)-f(x)ydx+[x2y+f(x)kh=0,其中 f(x)有二阶连续导数且f(O)=0,f(0)=1.求f(x)以及全微分方程的通解 解题思路:这是一到综合题,其中涉及到全微分和二阶线性常系数方程如果 aP a0 P(x,y)dx+Q(x,y)dhy是某个二元函数l(x,y)的全微分,那么必有 由这个条 ax 件可以推出f(x)满足的微分方程然后利用题目给出的初值条件求解微分方程得到f(x) M: P(x, y)=xy(x+y)-f(x)y, @(x,y)=x y+f(x) aP 由于P(x,y)dx+Q(x,y)a是某个二元函数l(x,y)的全微分,所以 即有 c[xy(x+y)-f(x)y]=2[x2y+f'(x)] 由此f(x)满足的微分方程 f"(x)+f(x)=x2 齐次方程f∫"(x)+f(x)=0的通解为y=c1COSx+c2sinx又用比较系数法求的非齐次 方程的一个特解y0=x2-2因此方程∫(x)+f(x)=x2的通解是 y=cIcosx+C2 Sinx+x-2 利用题目给出的初值条件f(0)=0,f(0)=1可以得到C1=2,C2=1于是
解: 根据线性微分方程解的理论, 非齐次微分方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的任 意两个解之差是齐次微分方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解.因此立即得到齐次微分方程 的两个解: e x e x x x − − 2 , ,可以验证这两个解线性无关解,于是齐次微分方程的通解是 ( ) ( ) 2 1 2 y c e x c e x x x = − + − 非齐次微分方程的通解是 ( ) ( ) 2 1 2 y x c e x c e x x x = + − + − 利用初值条件 y(0) =1, y (0) = 3 可以求出 c1 = −1, c2 = 2 .于是所求特解为 x x y = e − e 2 0 2 10: (94109) 设 全 微 分 方程 [xy(x y) f (x)y]dx [x y f (x)]dy 2 + − + + = 0 , 其 中 f (x) 有二阶连续导数且 f (0) = 0, f (0) =1.求 f (x) 以及全微分方程的通解. 解题 思路 : 这是一到 综合 题, 其中 涉及 到全 微分 和二阶 线性 常系 数方 程. 如果 P(x, y)dx + Q(x, y)dy 是某个二元函数 u(x, y) 的全微分,那么必有 x Q y P = .由这个条 件可以推出 f (x) 满足的微分方程,然后利用题目给出的初值条件求解微分方程,得到 f (x) . 解: ( , ) ( ) ( ) , ( , ) ( ) 2 P x y = xy x + y − f x y Q x y = x y + f x . 由于 P(x, y)dx + Q(x, y)dy 是某个二元函数 u(x, y) 的全微分,所以 x Q y P = ,即有 [ ( ) ( ) ] [ ( )] 2 x y f x x xy x y f x y y + + − = 由此 f (x) 满足的微分方程: 2 f (x) + f (x) = x 齐次方程 f (x) + f (x) = 0 的通解为 y c cos x c sin x = 1 + 2 .又用比较系数法求的非齐次 方程的一个特解 2 2 y0 = x − .因此方程 2 f (x) + f (x) = x 的通解是 y c cos x c sin x = 1 + 2 2 2 + x − 利用题目给出的初值条件 f (0) = 0, f (0) =1 可以得到 c1 = 2 , c2 =1.于是
2 1l.设f(x)有二阶连续导数并满足方程f(x)=0f(1-1)d+1求f(x) 解题思路:这是一个关于未知函数f(x)的积分方程方程两端分别求导数就得到关于未 知函数f(x)的微分方程 解:方程两端求导得到 f'(x)=f(1-x) (1) 再求导数得到 f"(x)=-f'(1-x) 由(1)式推出 f'(1-x)=f(1-(1-x)]=f(x) 代入(2)式得到 f"(x)=-f(x) 显然f(0)=1.又在(1)式中令x=0,得到∫(O)=f(1),于是原积分方程化为二阶微分方程 的初值问题 f"(x)+f(x)=0 1f(o)=1f(o)=f() (3) 方程通解为 f(x)=Ci coSx +C2 x (4) 由f(0)=1可以得到c1=1 两端求导得到 f(x)=-sin x+c2 cosx 再由∫(0)=f(1)可以得到 1-sn1 于是∫(x)=cosx+ Sin x
f = 2cos x + sin x 2 2 + x − 11. 设 f (x) 有二阶连续导数,并满足方程 ( ) (1 ) 1 0 = − + x f x f t dt ,求 f (x) . 解题思路: 这是一个关于未知函数 f (x) 的积分方程,方程两端分别求导数,就得到关于未 知函数 f (x) 的微分方程. 解: 方程两端求导得到 f (x) = f (1− x) (1) 再求导数得到 f (x) = − f (1− x) (2) 由(1)式推出 f (1− x) = f ([1− (1− x)] = f (x) 代入(2)式得到 f (x) = − f (x) 显然 f (0) =1.又在(1)式中令 x = 0,得到 f (0) = f (1) ,于是原积分方程化为二阶微分方程 的初值问题: = = + = (0) 1, (0) (1) ( ) ( ) 0 f f f f x f x (3) 方程通解为 f (x) c cos x c sin x = 1 + 2 (4) 由 f (0) =1 可以得到 c1 =1. 两端求导得到 f (x) sin x c cos x = − + 2 (5) 再由 f (0) = f (1) 可以得到 1 sin 1 cos1 2 − c = 于是 f x x sin x 1 sin 1 cos1 ( ) cos − = +
12:设f(x)=xsnx-(x-D)f()d,其中f(x)连续,求f(x) 解对∫(x)=xsnx-56(x-1)/f(1)两边求导,得 f(x)=xcos x+sin x-lof(t)dt 两端再求导得到 f(x)=xsin x+ 2 cos x-f(x),Ep 齐次方程∫"(x)+f(x)=0的通解是C1cosx+C2snx 非齐次方程 f∫"(x)+∫(x)=-xsnx+2cosx 的特解应具有形式 y*(x)=x(Ax+ B)cos x+x(Cx+ D)sin x 用待定系数法求出4..C,D得出其特解为)*=4xC0x4xmx 所以方程的通解为 y=f(x)=-xcos x+xsn x+C1 cosx+ C2 sin x 由f(x)的表达式直接看出f(0)=0,又有f(x)的表达式(*)看出f(0)=0.代入初值条 件得到C1=C2=0,于是()=2x2c0sx+3xsmx 注释:上述例11和例12类型的问题属于常见题型,这类问题的基本方法是通过微分将积 分方程化为微分方程然后求解微分方程得到未知函数但是有一点需要提醒读者注意,为了 获得未知函数的表达式,求解微分方程需要初值条件一般来说初值条件不需要另外附加而 是通过积分方程本身获取 13.(89103)设线性无关的函数y,y2,y3都是微分方程y”-p(x)y+q(x)y=f(x)的 解则此微分方程的通解为y=( )(C1,C2为任意常数) V1 +C2 v2 + y B. C,vi+c c1y1+c2y2-(1-c1-c2)y c1y1+c2y2+(1-c1-c2)y3 14.(95203)微分方程y”+y=-2x的通解为() A y=C, coSx +C2 sin x-2x B y=CI cosx +C2 sin x+ 2x
12: 设 = − − x f x x x x t f t dt 0 ( ) sin ( ) ( ) ，其中 f (x) 连续，求 f (x) 解 对 = − − x f x x x x t f t dt 0 ( ) sin ( ) ( ) 两边求导，得 = + − x f x x x x f t dt 0 ( ) cos sin ( ) (*) 两端再求导得到 f (x) = −xsin x + 2cos x − f (x),即 f (x) + f (x) = −x sin x + 2 cos x 齐次方程 f (x) + f (x) = 0 的通解是 C cos x C sin x 1 + 2 非齐次方程 f (x) + f (x) = −x sin x + 2 cos x 的特解应具有形式 y *(x) = x(Ax + B) cos x + x(Cx + D)sin x 用待定系数法求出 A, B,C, D 得出其特解为 y x x x sin x 4 3 cos 4 1 * 2 = + 所以方程的通解为 y f x x x x sin x C cos x C sin x 4 3 cos 4 1 ( ) 1 2 2 = = + + + 由 f (x) 的表达式直接看出 f (0) = 0 ,又有 f (x) 的表达式(*)看出 f (0) = 0 .代入初值条 件得到 C1 = C2 = 0,于是 f x x x x sin x 4 3 cos 4 1 ( ) 2 = + . 注释: 上述例 11 和例 12 类型的问题属于常见题型,这类问题的基本方法是通过微分将积 分方程化为微分方程,然后求解微分方程得到未知函数.但是有一点需要提醒读者注意,为了 获得未知函数的表达式,求解微分方程需要初值条件.一般来说,初值条件不需要另外附加,而 是通过积分方程本身获取. 13. (89103) 设线性无关的函数 1 2 3 y , y , y 都是微分方程 y − p(x)y + q(x)y = f (x) 的 解.则此微分方程的通解为 y = ( )( 1 2 c , c 为任意常数) 1 1 2 2 3 A. c y + c y + y 1 1 2 2 1 2 3 B. c y + c y − ( c + c )y 1 1 2 2 1 2 3 C. c y + c y − (1− c − c )y 1 1 2 2 1 2 3 D. c y + c y + (1− c − c )y 14 . (95203) 微分方程 y + y = −2x 的通解为( ) A. y c cos x c sin x 2x = 1 + 2 − B. y c cos x c sin x 2x = 1 + 2 +
Cy=ce+c2e -2x Cy=ce+c2e+2x 15.(87108)求微分方程y"+6y”+(9+a)y=1的通解(a>0) 解:相应的齐次方程的特征方程是 +6x2+(9+a2)2=0 三个特征根是 A12=-3±ai,n3=0 于是齐次方程的通解为 y=e(C, cos ax+c? sin ax)+C3 因为原方程右端函数为f(x)=ex,0是单重特征根所以设原方程有特解 y*=A 将这个解代入原方程得到 A 于是原方程的通解为 +e(c coax +co sin ax)+c 9+a
C y c e c e x x x . = 1 + 2 − 2 − C y c e c e x x x . = 1 + 2 + 2 − 15 . (87108) 求微分方程 6 (9 ) 1 2 y + y + + a y = 的通解( a 0). 解： 相应的齐次方程的特征方程是 6 (9 ) 0 3 2 2 + + + a = 三个特征根是 1,2 = −3 ai , 3 = 0 于是齐次方程的通解为 1 2 3 3 y e (c cosax c sin ax) c x = + + − 因为原方程右端函数为 x f x e 0 ( ) = , 0 是单重特征根,所以设原方程有特解 y = Ax * 将这个解代入原方程得到 2 9 1 a A + = 于是原方程的通解为 + + = 2 9 a x y 1 2 3 3 e (c cosax c sin ax) c x + + −
