清华大学：《微积分》课程教学资源_第十二章 重积分（课后作业）

第十二章重积分 第十二章重积分 12-1重积分的概念与性质 12-2二重积分的计算 12-3三重积分的计算 12-4对空间曲面积分 12-Exe1习题讨论:重积分的计算 三重积的计算习题讨论 讨论题目 1.计算累次积分 I=dx Sin dy+dx Sindy 2.计算二重积分=-x2-yo 其中D={(x)a()≤1 .求二重积分:=d, 2 其中D={(x 2 4 4.求二重积分: O 其中D={xy)x2+y2≤R2 5.求二重积分: y 第十二章重积分

第十二章 重积分 第十二章 重积分 第十二章 重积分 12-1 重积分的概念与性质 12-2 二重积分的计算 12-3 三重积分的计算 12-4 对空间曲面积分 12-Exe-1 习题讨论: 重积分的计算 三重积的计算习题讨论 讨 论 题 目: 1. 计算累次积分     = + 4 2 2 2 1 2 2 x x x dy y x dy dx Sin y x I dx Sin   2. 计算二重积分  = − − D I x y d 2 2 1 , 其中 D = (x, y) Max( x, y )1. 3. 求二重积分:  = D d x y I  1 , 其中 ( )                       +   +  = 2 4 2 4 , 2 2 2 2 x y y x y x D x y . 4. 求二重积分:            −   + = D d y f x x f y x y I  2 2 1 其中 ( )  2 2 2 D = x, y x + y  R . 5. 求二重积分:  +  − − + = 1 2 2 2 2 2 x y x y d x y I 

第十二章重积分 6.求三重积分:/=(x+y+h 0 9.若x∈[]f(x)>0,单调减,设 x([1是y=f(x)在[上曲边梯形的重心x坐标; x(2,1]是y=f(x)在]上曲边梯形的重心x坐标 证明:x(/≥x(2D 0若x∈[0<m≤f(x)≤M,证明: 1< dxd≤ (M+m) 4Mm 0≤vsI 参考解答 1.计算累次积分 I=dx sit 解:=「d「Sm2 丌 第十二章重积分

第十二章 重积分 第十二章 重积分 6. 求三重积分: I (x y z)dv   = + + 其中 ( )              +   − −  = 2 2 2 2 0 1 , , z x y z y z x y z . 7. 设 f   R → R 3 : ,  () 1 f C , 且 A Max( f (P)) P = , P, grad f  M ,证明： ( ) M R f x y z dv A V I 4 , , 1 =  +   , 其中， V 是域  的体积。 8. 证明； 2 2 4 2 1 1 a a a x a e dx e    − − − −   −  , a  0 . 9. 若 x0,1, f (x)  0, 单调减, 设 x(f ,0,1) 是 y = f (x) 在 0,1 上曲边梯形的重心 x 坐标; ( ,0,1) 2 x f 是 y f (x) 2 = 在 0,1 上曲边梯形的重心 x 坐标; 证明： ( ,0,1) ( ,0,1) 2 x f  x f 10.若 x0,1, 0  m  f (x)  M , 证明： ( ) ( ) ( ) M m M m dxdy f y f x y x 4 1 2 0 1 0 1 +        . 参 考 解 答: 1. 计算累次积分     = + 4 2 2 2 1 2 2 x x x dy y x dy dx Sin y x I dx Sin   解:   = 2 2 2 1 y y dx y x I dy Sin  =        − 2 1 2 2 2 dy y Cos Cos y    = (  )  2 + 4 2 y y=2 y=x y=x1/2 0 1 2 4 x

第十二章重积分 2计算第二重积分1=小-x 其中D={(,y)M(+p)≤1 解: 1=』y-x2-yad ydy d In(1 18 618)3 3.求二重积分:/=1d, 2 eos(/4 x,) 解: :Ⅰ 2|d6 P Cos0 SinB Cose Sin] Cos0 第十二章重积分

第十二章 重积分 第十二章 重积分 2. 计算二重积分  = − − D I x y d 2 2 1 , 其中 D = (x, y) Max( x, y )1. 解：  = − − 1 2 2 4 1 D I x y dxdy  = − − 1 2 2 1 1 D I x y dxdy =   − − − 2 1 0 2 2 1 0 1 x dx x y dy = ( ) 6 1 4 1 0  2  − =  x dx ;  = − − 2 2 2 2 1 D I x y dxdy =   − + − 1 1 2 2 1 0 2 1 x dx x y dy = ( ) 18 1 ln 1 2 1 2 1 0 2 =         − − +  x dx x x        = −      = − 3 1 3 2 18 1 6 4   I 3. 求二重积分:  = D d x y I  1 , ( )                       +   +  = 2 4 2 4 , 2 2 2 2 x y y x y x D x y . 解：  = D d x y I  1 = =   4 2 1 2 1 4 1 2 2          arctg Sin Sin Cos Sin d d =  4 2 1 2 ln 1 2       arctg d Cos Sin Cos Sin y 1 D2 D1 0 1 x y =Sin/2 =Sin/4 =Cos/2 0 x =Cos/4

第十二章重积分 2 In(2ige)(ge)=hn 4.求二重积分:I= 其中D={xy)x2+y2≤R2} 解:考虑极坐标系x=pCo J=sIne do=pdpde. D=x,y)x+y'sR2 c-=1 ay pa(x, y)l-x 1(y)1o.c(p)(y=19 pa(x,y)l-x pa(e, 0)a(x,y) Pa6 因为:c(2(y)=(a Cose -p Sine Sin e OCOS I(pCos p Siney y p(- Sin Cos人-x 0 pp af af do D√x-+y f adode Psrp de ∫4∫nd0=-j(r0,)-/(0.9) 第十二章重积分

第十二章 重积分 第十二章 重积分 = ln(2 ) ( ) ln 2 1 2 2 4 2 1 =      arctg tg d tg tg 4. 求二重积分:            −   + = D d y f x x f y x y I  2 2 1 其中 ( )  2 2 2 D = x, y x + y  R . 解：考虑极坐标系    = =     y Sin x Cos , d =  d d . ( )  2 2 2 D = x, y x + y  R ( )          −  =          −   + x y x y f y f x x f y x y , 1 1 2 2  = = ( ) ( ) ( ) ( )          −     =         −  x y x y f x y x y f , , , 1 , 1       =    − 1 f 因为： ( ) ( ) ( ) ( )         −           =         −  − x x y y x y x y 1 , , , ,     = =         −         − − x y Sin Cos Cos Sin 1       =         −         − x y Sin Cos Cos Sin        1 . =         − =        − 1 1 0 0              −   + = D d y f x x f y x y I  2 2 1 =     − R d d f       1 =     −     2 0 0 d f d R = ( ( ) ( ))  − − = R f f d 0 0,  0,  0

第十二章重积分 5.求二重积分 I old 是 解:如图,切点 小园园心O, f(x,y) 1=Is(r, y)do=[ do+[irldo D 2(x, y)do-JI(x, y) do=1-12 1=2(x,y do-2x de 8 16 dede 2 9 1-12 第十二章重积分

第十二章 重积分 第十二章 重积分 5. 求二重积分:  +  − − + = 1 2 2 2 2 2 x y x y d x y I  解：如图，切点         2 2 , 2 2 A , 小园园心         4 2 , 4 2 O1 ; ( ) 2 2 4 2 4 2 4 1 ,         − −         f x y = − x − y ; ( )    = = + 1 2 1 2 , D D D D I f x y d f d f d = ( ) ( )    − 1 1 2 2 , , D D D f x y d f x y d = 1 2 I − I ; ( )  = 1 2 , 1 D I f x y d = =                   + −         − − 1 1 2 2 4 2 4 2 2 2 1 D D d x y d =    +  − + 4 1 2 2 2 2 2 8 u v u v dudv  = 16 2 8 2 1 3       − =   d d ; x y d x y I x y  +        − − + = 1 2 2 2 2 2 2 = (x y )d x y  +  − + 1 2 2 2 2 = = 2 1 3      − = −   d d ;  16 9 I = I 1 − I 2 = y A O1 D1 O x D2

第十二章重积分 6.求三重积分 =J/gy+,其中 0≤2 x,) z≤√x2 解:由函数与域的对称性; ∫(xy+h==b 球坐标系:1=订2h=1mpb=; 柱坐标系:1=Jd0jp∫z=; 8 直角坐标系:=∫∫d Ed=t 先对xy积分 1=h=x=在+=如 .设∫:gcR3→R,f∈C"(g), 是半径为R,球心在原点的球面S所围成之域, 且A=Mar((P)P∈s,vP∈|gud川≤M, 证明:=顶/(xy知≤4+4M, 其中,;V是域Ω的体积,VP∈s,彐P∈S。 证:f(x,y,=)=f(P)+ o/(P) ∂(x,y f(x,y, =)dv=II(Po 2) +igra 第十二章重积分

第十二章 重积分 第十二章 重积分 6. 求三重积分: I (x y z)dv   = + + , 其中 ( )              +   − −  = 2 2 2 2 0 1 , , z x y z y z x y z . 解：由函数与域的对称性； I (x y z)dv   = + + = z dv   球坐标系:     = = =  1 0 2 2 0 4 0 8        I z dv d d rCos r Sin dr ; 柱坐标系:    − = = 2 2 2 1 0 2 0 8     I d  d zdz ; 直角坐标系:    − − + − − − − = = 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 8 x y x y x x I dx dy zdz  先对 xy 积分: ( ) ( ) 8 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 0  = =  +  − =     D z I dz dxdy z z dz z z dz 7. 设   R → R+ f 3 : ,  () 1 f C ,  是半径为 R ，球心在原点的球面 S 所围成之域， 且 A = Max(f (P)PS), P, grad f  M , 证明： ( ) M R f x y z dv A V I 4 , , 1 =  +   , 其中，； V 是域  的体积， P , P0  S 。 证： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , , , , 0 PP r x y z f P f x y z f P    = +  ; ( ) ( ) ( ) ( )               = + r dv x y z f P f x y z dv f P PP0 , , , , 0   ( )    A+ grad f r dv PP0 

第十二章重积分 A·V+M r-r x2+y2+2≤R2 ≤AD⊥MR兀 14+MR 即:=(xy R zh≤A+M 8.证明;a>0 Vi-asfe'drs= 证明: 2-3do≤ eydo≤ e-y do 由xr2=(2a)2,得r= 由此得 fe-y s etr do s』ed r(-e-asfe-i-r'do srl-e=) 即:√z√1-a2≤ dx≤√rV1 9.若x∈[]f(x)>0,单调减,设 x([1是y=f(x)在[上曲边梯形的重心x坐标; x(2D]是y=f(x)在]上曲边梯形的重心x坐标 证明:x(/p1≥x(2p 第十二章重积分

第十二章 重积分 第十二章 重积分 ( )  + +    + −  2 2 2 2 x y z R A V M R r dv        + = + 3 4 4 M R V A MR AV  ; 即: ( ) M R f x y z dv A V I 4 , , 1 =  +   8. 证明； a  0 2 2 4 2 1 1 a a a x a e dx e    − − − −   −  , 证明： ( )                = Max x y a y x D : ,       +          = 2 2 2 : x y a y x Da       +          = 2 2 2 : x y r y x Dr     − − − − − − − − =           a Dr x y D x y a a x D x y e d e e d e d 2 2 2 2 2 2 2 2 由 ( ) 2 2  r = 2a ,得  a r 2 = 由此得    − − − − − −   a Dr x y D x y D x y e d e d e d 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 r D a x y e e d e − − − − −   −     ; 即： 2 2 4 2 1 1 a a a x a e dx e    − − − −   −  9. 若 x0,1, f (x)  0, 单调减, 设 x(f ,0,1) 是 y = f (x) 在 0,1 上曲边梯形的重心 x 坐标; ( ,0,1) 2 x f 是 y f (x) 2 = 在 0,1 上曲边梯形的重心 x 坐标; 证明： ( ,0,1) ( ,0,1) 2 x f  x f y a r

第十二章重积分 xfx 证明:x(/≥x(2D]e →∫x(x/(x2x(x(xk oxf(x)/2(kody()f(dxdy e∫jy(()-y2()/()≥20 00 -ef(x)/20)-y'ov)/(x)xdy 20 ∫(y(x)()-yf(o)/(x)d ∫()f()-xf(x)() x(D≥x(2)e ((x)f2(y)-yf()/(x)+y(y)f()-xf2(x)()ay 因:x(x)2()-yf2(v)(x)=f(x)/(v)x/(v)-yf(x) 则,x/(x)f(y)-y2()/(x)+y/()/2(x)-xf2(x)/() =/(x)()(x-yf(x)-f(v)≥0 10.若Wx∈[0<m≤f(x)≤M,证明: M+m dxdy≤ 0≤ysl 第十二章重积分

第十二章 重积分 第十二章 重积分 证明: ( ,0,1) ( ,0,1) 2 x f  x f  ( ) ( ) ( ) ( )      1 0 2 1 0 2 1 0 1 0 f x dx xf x dx f x dx xf x dx  ( ) ( ) ( ) ( )      1 0 1 0 2 1 0 2 1 0 xf x dx f x dx xf x dx f x dx  xf(x)f (y)dxdy yf (y)f (x)dxdy    1 0 1 0 2 1 0 1 0 2  ( ( ) ( ) ( ) ( )) 0 1 0 1 0 2 2 −   xf x f y yf y f x dxdy  ( ( ) ( ) ( ) ( )) 0 1 0 1 0 2 2 −   xf x f y yf y f x dxdy ( ( ) ( )− ( ) ( )) =  xf x f y yf y f x dxdy 1 0 1 0 2 2 (yf (y)f (x) xf (x)f (y))dxdy  − 1 0 1 0 2 2 ( ,0,1) ( ,0,1) 2 x f  x f  ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 0 1 0 1 0 2 2 2 2 − + −   x f x f y yf y f x yf y f x x f x f y dxdy 因： x f(x)f (y)− yf (y)f (x) = f (x)f (y)(x f(y)− yf (x)) 2 2 则， x f(x)f (y) yf (y)f (x) yf (y)f (x) x f (x)f (y) 2 2 2 2 − + − = f (x)f (y)(x − y)(f (x)− f (y))  0 10.若 x0,1, 0  m  f (x)  M , 证明： ( ) ( ) ( ) M m M m dxdy f y f x y x 4 1 2 0 1 0 1 +       

第十二章重积分 证明:∫ dadu f( ar/(kdr 首先有:[(f(x)tdy= (’b Vl)Vs( +2c2‖2dtd=1 再者:有:(M-f(x) f(x) M+m)2(m+f() f(x) (M+m)≥Mm+/(xkt fl) 令u=(x),r dy fe Mm w< n2+Mmy2(M+m)2-2√ 2Mmun≤ (M+m) (M+m) 即 f(x),(M+m) 4Mm 4Mm Syst 综合在一起有:1sff(Mbs(M+m) 4Mm 另外,该问题后一部可利用以下结果:两正数之和小于 正数A,则乘积的最大值为 (xy) 2 ls.tx+y≤Ax,y≥0 →当 时,xy取最大值,即 A 第十二章重积分

第十二章 重积分 第十二章 重积分 证明： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     = =         1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 dx f x dx f x dxdy f x f y dxdy f y f x y x y x 首先有： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )                   = + 0 1 0 1 0 1 0 1 2 y x y x dxdy f x f y f y f x dxdy f y f x = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2  =         +         −           y x y x dxdy dxdy f x f y f y f x ; 再者：有： ( ( )) ( )           − 1− 0 f x m M f x ( ) ( ) f (x) f x M m M + m  +  ( ) ( ) ( )   +  + 1 0 1 0 f x dx f y dy M m Mm 令   = = 1 0 1 0 ( ) 1 ( ) , dy f y u f x dx v , ( ) 2 2 2 2 2 2 u Mmv M m mM uv Mm uv + −  +   ( ) 2 2 2 M m Mm uv +   ( ) Mm M m uv 4 2 +  . 即 ( ) ( ) ( ) M m M m dxdy f y f x y x 4 2 0 1 0 1 +       综合在一起有： ( ) ( ) ( ) M m M m dxdy f y f x y x 4 1 2 0 1 0 1 +        另外，该问题后一部可利用以下结果：两正数之和小于 正数 A , 则乘积的最大值为 2 2       A , 即 ( )    s. t. x + y  A; x, y  0 Max x y  当 2 A x = y = 时, xy 取最大值，即 2 2        A xy