曲线+p2+2=6 在点(2,1,1)处的法平面之单位法矢量是 4 1-2,0} 2.已知一=h-确定函数z=z(x,y),求 az a-z (x+z≠0) ax (x+z) 3.考查∫(x,y)=e(5-2x+y)的局部极值 解J(x,y)=e(10x-4x2+2xy-2)=0 (x=c+2-(x-y-4)=0 ,解得驻点(1,-2) f”=e2-"(20x2-8x3+4x2y-12x+2y+10) ∫=e(-2x+y+3),∫ y A=fx(,-2)=-2c3,B=∫(,-2)=2c3,C=f(1,-2)=-e3 AC-B2=-2e°<0 ∴驻点(,-2)非极值点 5.设g(x)=f(x,x2,x2),其中函数f与0的二阶偏导数连续,d2gS。 dx 解:<8(x=f+/(4+02)2 48(=2[+m+)2=+(+)x +2f(1+2)+4x3f(1+2o2+2)+2x(+g21+f2(m+g2)2x) =f1+4x/(g+g2)+4x3/2(+g2)2+2f(m+g2)+4xf{(a1+2o"2+g2) 在曲线x=1,y=12:=1的所有切线中,与平面x+2y+2=4平行的切线[B (A)只有一条。(B)只有两条。(C只有三条。()不存在。 6.二元函数f(x,y)=x2+ (x,y)≠(0,0) 在点(0,0)处[C] (0,0) (A)连续且偏导数存在。 (B)连续但偏导数不存在。 (C)不连续但偏导数存在。 D)不连续且偏导数不存在
1． 曲线 + − = + + = 4 6 2 2 2 2 2 2 x y z x y z 在点（2，1，1）处的法平面之单位法矢量是__________ {1, 2,0} 5 1 − 2． 已知 y z z x = ln 确定函数 z = z(x, y) ,求 2 2 x z . [解] x z z x z + = , 3 2 2 2 (x z) z x z + − = ( x + z 0 ) 3． 考查 ( , ) (5 2 ) 2 f x y e x y x y = − + − 的局部极值. [解] = − − = = − + − = − − ( , ) (2 4) 0 ( , ) (10 4 2 2) 0 2 2 2 f x y e x y f x y e x x xy x y y x y x ,解得驻点 (1, − 2) (20 8 4 12 2 10) 2 3 2 2 = − + − + + − f e x x x y x y x y x x , ( 2 3) 2 = − + + − f e x y x y yy , (4 2 8 2) 2 2 = − − + − f e x xy x x y xy 3 A f (1, 2) 2e = xx − = − , 3 B f (1, 2) 2e = xy − = , 3 C f (1, 2) e = yy − = − 2 0 2 6 AC − B = − e , 驻点(1, − 2) 非极值点 5．设 ( ) ( , ( , )) 2 2 g x = f x x x ，其中函数 f 与 的二阶偏导数连续，求 2 2 ( ) dx d g x 。 解： f f ( ) x dx dg x 2 ( ) 1 2 1 2 = + + ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ) ( ) ( ) 2 ( 1 2 ) 2 2 ( 1 1 1 2 2 2 )。 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 4 4 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 = + + + + + + + + + + + + + + + + + + = + + = + + f xf x f f x f f x f x f f x f f x f f x dx d dx d g(x) 在曲线 2 3 3 1 x = t, y = t ,z = t 的所有切线中，与平面 x + 2y + z = 4 平行的切线[ B ] (A)只有一条。 (B)只有两条。 (C)只有三条。 (D)不存在。 6．二元函数 = = + 0, ( , ) (0,0) , ( , ) (0,0) ( , ) 2 2 x y x y x y x y f x y 在点 (0,0) 处[ C ] (A) 连续且偏导数存在。 (B)连续但偏导数不存在。 (C) 不连续但偏导数存在。 (D) 不连续且偏导数不存在
7.已知x=cosv,y=usnv,z=l,试求a 8.设函数z=f(x,y)是由方程xz+√x2+y2+z2=√2确定的,则函数 二=f(x,y)在点(,0,-1)的微分d 9.设∫(x,y)=(x+y)(x,y),其中(x,y)在点(0,0)处连续,证明∫(x,y)在(0,0) 点处可微,并写出全微分d(x,y)。 +Ax=1 10.设x=p(,4)是微分方程定解问题{dt 的解,A∈R为参数 0 (1)写出解φ(t,4)的表达式 (2)证明(t,4)在t-λ全平面连续且可微。(7分) [解]≠0时:x=p(,4)=(c-e-),由d(0,)=0,c=1 λ=0时:x=p(,)=t,因此得到 p(,)={元 (1-e-)≠0 只需讨论关于λ的连续性与可微性。 m1(1-e)=t=0(0),因此o(t,4)连续。 A→0 λ≠0时,,=-(1-e)+ 2=0时0(0=m<(1-e-)-1 1 (1-e-) ao(t A→002A→0A 偏导数连续,所以可微。 11.设空间一光滑曲面S的方程为F(x,y,-)=0,B(x0,y,0)为曲面S外的一点证明 若S上的点Q使得线段PQ是P与S上任意一点连线的最短线段,则向量PQ必与曲面S 在该点的切平面垂直 [证]考虑极小化问题 Mmr(x,y,)=√(x-x0)2+(y-y0)2+(=-=0)2 X 方法-:由 grad I=元· grad F得
7. 已知 x = u cosv, y = usin v,z = uv ，试求 y z x z , . 8. 设函数 z = f (x, y) 是由方程 2 2 2 2 xyz + x + y + z = 确定的,则函数 z = f (x, y) 在点 (1,0,−1) 的微分 dz = ( ) 9. 设 f (x, y) = (x + y)(x, y) ，其中 (x, y) 在点（0,0）处连续，证明 f ( x, y) 在（0,0） 点处可微，并写出全微分 df ( x, y) 。 10.设 x = (t, ) 是微分方程定解问题 = + = = 0 1 t 0 x x dt dx 的解， R 为参数。 （1）写出解 (t, ) 的表达式; （2）证明 (t, ) 在 t − 全平面连续且可微。（7 分） [解] 0 时: ( ), 1 ( , ) t x t c e − = = − 由 (0, ) = 0 , c =1 = 0 时: x = (t, ) = t , 因此得到 = − = − 0 (1 ) 0 1 ( , ) t e t t ， 只需讨论关于 的连续性与可微性。 (1 ) ( , 0) 1 lim 0 e t t t − = = − → , 因此 (t , ) 连续。 0 时, t t te e − − = − − + (1 ) 1 2 = 0 时, 2 (1 ) 1 lim ( , 0) 2 0 t e t t t = − − − = − → = − = = − − + − − → → ( , 0) 2 (1 ) 1 lim lim 2 2 0 0 t e t t e t t 偏导数连续，所以可微。 11. 设空间一光滑曲面 S 的方程为 F(x, y,z) = 0 , ( , , ) 0 0 0 0 P x y z 为曲面 S 外的一点.证明： 若 S 上的点 Q 使得线段 P0Q 是 P0 与 S 上任意一点连线的最短线段，则向量 P0Q 必与曲面 S 在该点的切平面垂直。 [证] 考虑极小化问题 = = − + − + − . . ( , , ) 0 ( , , ) ( ) ( ) ( ) 2 0 2 0 2 0 s t F x y z Min r x y z x x y y z z 方法一：由 grad r = grad F 得
y-y0o2-20 4图等 F→ 所以与S正交。(8分 方法二 OF x-x ax ax ax =0(1) aL=-2F=y-y0--=0(2),左边三式相加,得-=0, ay koLa,aF_2-0-2x=0(3) 即=A 12设D=(x,y)∈R|≤a≤ba>0b>0,f(x,y在D上连续在D内可微 且满足方程y+y=kf(x,y)(常数k≠0),若在D的边界上∫(x,y)=0,试证 f(x,y)在D上恒为零。 [证]设∫(x,y)在D上不恒为零。因为函数∫(x,y)在有界闭域D上连续,所以 f(x,y)在上存在最大值M和最小值m,且最大值M和最小值m不能同时为零。 不妨设最小值m≠0,因为在D的边界上∫(x,y)=0,于是必有D内的点(x0,y0)使得 f(x0y)=m≠0,由f(x,y)在D内可微,点(x0,y)必为极值点(驻点) 所以9(xy)=m,y)=0,这与(x,)+(xm,y) (x0,y)≠0 矛盾!因此f(x,y)在D上恒为零。 13.求函数f(x,y,x)=hx+hy+3hz在球面x2+y2+z2=5r2(x>0,y>0 z>0)上的最大值,并证明对任何正数a,b,c成立不等式abc3≤21f 14.设=l(x,y,z)在单连域g∈R内可微,且满足grd≠0,试证明=u(x,y,z) 在g内无封闭等值面。 15.假设某企业在两个互相分割的市场上出售同一种产品,两个市场的需求函数分别是 P=18-2Q1,B2=12-g2,其中B和P2分别表示该产品在两个市场的销售(即需求量, 单位:吨),并且该企业生产这种产品的总成本函数是C=2Q+5,其中Q=Q+Q2 (1)如果该企业实行价格差别策略,试确定两个市场上 该产品的销售量和价格,使该企业获最大利润; (2)如果该企业实行价格无差别策略,试确定两个市场
= − − − T r z z r y y r x x0 0 0 P0 T z F y F x F 0 0 0 p p r n = ， 所以 0 r 与 S 正交。（8 分） 方法二： 0 (3) 0 (2) 0 ( 1) 0 0 0 = − − = − = = − − = − = = − − = − = z F r z z z F z r z L k y F r y y y F y r y L j x F r x x x F x r x L i ，左边三式相加，得 − n = 0 r r ， 即 r n 0 = . 12．设 {( , ) , , 0, 0} 2 D = x y R x a y b a b , f (x, y) 在 D 上连续，在 D 内可微， 且满足方程 = ( , ),( 0) + kf x y k y f x f 常数 ，若在 D 的边界上 f (x, y) = 0 ，试证 f (x, y) 在 D 上恒为零。 [证] 设 f (x, y) 在 D 上不恒为零。因为函数 f (x, y) 在有界闭域 D 上连续，所以 f (x, y) 在上存在最大值 M 和最小值 m ，且最大值 M 和最小值 m 不能同时为零。 不妨设最小值 m 0 ，因为在 D 的边界上 f (x, y) = 0 ，于是必有 D 内的点 ( , ) 0 0 x y 使得 f (x0 y0 ) = m 0 ，由 f (x, y) 在 D 内可微，点 ( , ) 0 0 x y 必为极值点（驻点）。 所以 0 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 = = y f x y x f x y ，这与 0 0 0 0 0 0 0 = + ( , ) ( , ) ( , ) kf x y y f x y x f x y ， 矛盾！因此 f (x, y) 在 D 上恒为零。 13. 求函数 f (x, y,z) = ln x + ln y + 3ln z 在球面 2 2 2 2 x + y + z = 5r （ x 0， y 0 ， z 0 ）上的最大值，并证明对任何正数 a ，b ，c 成立不等式 3 5 ) 5 27( a b c abc + + . 14. 设 u = u( x, y,z ) 在单连域 3 R 内可微，且满足 gradu 0 ，试证明 u = u( x, y,z ) 在 内无封闭等值面。 15.假设某企业在两个互相分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是 P1 =18− 2Q1，P2 =12 −Q2 ，其中 P1 和 P2 分别表示该产品在两个市场的销售（即需求量， 单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是 C = 2Q + 5 ，其中 Q = Q1 +Q2 。 (1) 如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上 该产品的销售量和价格，使该企业获最大利润； (2) 如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场
上该产品的销售量及其统一的价格,使企业总利润最大化,并比较两种策略下的总利润大小。 (1)本题实际背景有最大值52万元 (2)最大利润Lmax=49万元结论:差别定价优于统一定价 16.设R>0,则二重积分I= da等于[B] 1+x (A)4 do。(B)2 1+xy (C)4 do。D)0 1+x 17.把下列各题中的积分化为极坐标形式的二次积分 ()2yf(x,y)h(2)0f(2)+d厘-f(2)h 8设D=x,)|x+s1].则积分(+)d () 19=。(xy)+4。(xy)在极坐标系下的累次积分为 20.变换积分次序 ()1=4(xyMb 解:求曲线y=x2与直线x=1及直线x=1与直线y=-x的交点坐标 y 由 由 x=1 x= 因此,1=d,(xy+小后/(xy (2)I=nods f(, y )dy +dff(x,y)dy 解:求曲线y=x2与直线x=1及直线x=1与直线y=2-x的交点坐标, 由 x=1 因此,=d[产f(x,y)h
上该产品的销售量及其统一的价格，使企业总利润最大化，并比较两种策略下的总利润大小。 (1) 本题实际背景有最大值 52 万元. (2)最大利润 Lmax = 49 万元.结论：差别定价优于统一定价. 16．设 R 0 ，则二重积分 + + + = 2 2 2 2 2 1 x y R x y d xy e I 等于[ B ] （A） + + + 0 0 2 2 2 2 2 1 4 x y x y R x y d xy e , 。 （B） + + + 0 2 2 2 2 2 1 2 x x y R x y d xy e 。 （C） + + + 0 0 2 2 2 2 2 1 4 x y x y R x y d xy e , 。（D）0. 17. 把下列各题中的积分化为极坐标形式的二次积分： (1) − 2 2 0 2 0 ( , ) R Ry y dy f x y dx (2) + Rx R R dy x y dx f 0 1 0 2 ( ) + − + 2 2 2 0 1 ( ) R R x R R dy x y dx f 18. 设 D = (x, y) x + y 1 ，则积分 ( + ) = D x y d _______________. 3 2 19. − = + 2 2 2 2 0 3 0 0 x R R x I dx f x y dy dx f x y dy R R ( , ) ( , ) 在 极 坐 标 系 下 的 累 次 积 分 为 ________________ 20. 变换积分次序 （1） − = 2 ( , ) 1 0 x x I dx f x y dy 解：求曲线 2 y = x 与直线 x =1 及直线 x =1 与直线 y = −x 的交点坐标， 由 = = 1 2 x y x 得 = = 1 1 y x ；由 = = − x 1 y x 得 = − = 1 1 y x 因此， − − = + 1 1 1 0 0 1 ( , ) ( , ) y y I dy f x y dx dy f x y dx 。 （2） − = + x x I dx f x y dy dx f x y dy 2 0 0 2 1 1 0 ( , ) ( , ) 2 解：求曲线 2 y = x 与直线 x =1 及直线 x =1 与直线 y = 2 − x 的交点坐标， 由 = = 1 2 x y x 得 = = 1 1 y x ；由 = = − 1 2 x y x 得 = = 1 1 y x ， 因此， − = y x I dy f x y dx 1 2 0 ( , )
(3)=4"(xy)b+∫f(x,yy 解:改变积分次序得I=d ∫(x,y)dh 21.求由曲面二=1-x2+y2,二=x,x=0所围成的体积 解:V=「(1-√x2+y2-x)dy depose[-r(1+cose)]rdr 设1>0,则1()=p-o+y】h是的 阶无穷小量, <t2 dxdy=rdrd8=-zd-dB
（3） − − = + x x x I dx f x y dy dx f x y dy 2 0 2 0 2 1 1 0 ( , ) ( , ) 2 解：改变积分次序得 − − − = y y I dy f x y dx 2 1 1 1 0 2 ( , ) . 21. 求由曲面 2 2 z =1− x + y ， z = x, x = 0 所围成的体积。 解： V x y x dxdy D (1 ) 2 2 = − + − + − = − + = 1 cos 1 0 2 2 9 2 d [1 r(1 cos )]rdr 22．设 t 0 ，则 ( ) ( ) + = − + 2 2 2 2 2 1 x y t f t cos x y d 是 t 的________阶无穷小量， dxdy = rdrd = −zdzd
