清华大学：《微积分》课程教学资源_第五章（5.6）场论初步：三场与三度（课后作业）

第五章向量分析 第五章向量分析 5-6-1场论初步:三场与三度 5-6-1三场:无旋场、无源场和调和场 5-6-2三度算子在柱、球坐标系下的表示 第二十一讲三场与三度 课后作业: 课后作业: 阅读:第五章第六节:无源场和保守场pp.182--187 预习:第六章第一节:无源场和保守场pp182--187 作业:习题6:pp187--18:1;2;3,(2);4,(2);8;9 5-6场论初步:三场与三度 56-1三个曲型场 )无旋场、保守场 保守场、积分与路迳无关 假设Ω上的连续向量场 F=x(x,y, a)i+y(x,y, =)j+Z(x,y, =)k 如果对于92中的任意逐段光滑的有向曲线L,积分「Fd只与曲 L的起点终点有关而与曲线L本身无关,则称该向量场是上的 保守场 有势场与势函数 如果存在上的可微函数∫(xy,2)使得F=Vf,则称 F是Ω上的有势场,并称f(x,y,)是向量场F的势函数 此时,f(x,y,=)的全微分等于 df= X(x, y,z)dx+y(x,y, a)dy+Z(x,y, =)dz 因此f(x,y,=)是这个微分形式的原函数 有势的充要条件(一) 设_2是R中的区域 F=X(x,y, s)i+Yx,y, 2)j+Z(x,y, z)k 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 第五章 向量分析 5-6-1 场论初步：三场与三度 5-6-1 三场：无旋场、无源场和调和场 5-6-2 三度算子在柱、球坐标系下的表示 第二十一讲 三场与三度 课后作业： 课后作业： 阅读：第五章 第六节: 无源场和保守场 pp. 182---187 预习：第六章 第一节: 无源场和保守场 pp. 182---187 作业: 习题 6: pp.187---188: 1; 2; 3,(2); 4, (2); 8; 9. 5-6 场论初步：三场与三度 5-6-1 三个曲型场 (一) 无旋场、保守场 ⚫ 保守场、积分与路迳无关 假设  上的连续向量场 F X (x y z)i Y(x y z)j Z(x y z)k     = , , + , , + , , 如果对于  中的任意逐段光滑的有向曲线 L , 积分   L F dl   只与曲 线 L 的起点,终点有关,而与曲线 L 本身无关, 则称该向量场是  上的 保守场. ⚫ 有势场与势函数 如果存在  上的可微函数 f (x, y,z) 使得 F = f  , 则称 F  是  上的有势场,并称 f (x, y,z) 是向量场 F  的势函数. 此时, f (x, y,z) 的全微分等于 df = X (x, y,z)dx + Y(x, y,z)dy + Z(x, y,z)dz 因此 f (x, y,z) 是这个微分形式的原函数. ⚫ 有势的充要条件(一) ： 设  是 3 R 中的区域, F X (x y z)i Y(x y z)j Z(x y z)k     = , , + , , + ,

第五章向量分析 是Ω上的向量场则下列命题互相等价: (1).F是Ω上的保守场 (2)对于Ω内部的任意一条闭曲线L,有∮Fd=0 (3).F是上的有势场 这个定理的证明与平面问题证明类似,故不再重复 无旋场 设Ω是R中的区域, F=X(x,y, =)i+Y(x,y, =)j+Z(x,y, =k 是Ω上的可微向量场,如果在Ω上处处有 rOtF(x,y, 2=0 则称F是上的无旋场 区域Ω是R中的面单连通区域,是指9内的任意一条简单闭曲线 L,都存在Ω内的一个逐片光滑曲面S,使得L= 有势的充要条件(二): 设是R中的面单连通区域 F=X(x,y, s)i+y(x,y, =)j+Z(x,y, z)k 是Ω上的可微向量场.则下列命题互相等价 1).F是Ω上的保守场 (2).F是上的无旋场 (3).F的 Jacobi矩阵 aF a(r, Y, z) 是对称的 ax,y, y 证明:根据头个定理保守场一定是有势场, 不难验证有势场是无旋场 0 反之,假设F是Ω上的无旋场,即处处有rotF(x,y,z)=0 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 是  上的向量场. 则下列命题互相等价: (1). F  是  上的保守场. (2).对于  内部的任意一条闭曲线 L , 有  = 0  L F dl   . (3). F  是  上的有势场. 这个定理的证明与平面问题证明类似, 故不再重复. ⚫ 无旋场 设  是 3 R 中的区域, F X (x y z)i Y(x y z)j Z(x y z)k     = , , + , , + , , 是  上的可微向量场, 如果在  上处处有 rotF(x, y,z) = 0  , 则称 F  是  上的无旋场. 区域  是 3 R 中的面单连通区域, 是指  内的任意一条简单闭曲线 L, 都存在  内的一个逐片光滑曲面 S , 使得 L = S . ⚫ 有势的充要条件(二) ： 设  是 3 R 中的面单连通区域, F X (x y z)i Y(x y z)j Z(x y z)k     = , , + , , + , , 是  上的可微向量场. 则下列命题互相等价: (1). F  是  上的保守场. (2). F  是  上的无旋场; (3). F  的 Jacobi 矩阵 ( ) ( ) (x y z) X Y Z x y z F , , , , , ,   =    是对称的。 证明: 根据头个定理保守场一定是有势场, 不难验证有势场是无旋场: F = f   ( ) = 0               = z f y f x f x y z i j k f    . 反之, 假设 F  是  上的无旋场, 即处处有 rotF(x, y,z) = 0 

第五章向量分析 对于息内的任意一条简单闭曲线L,由于Ω是R中的面单连 通区域,所以存在Ω内的一个逐片光滑曲面S(S的方向可以根据有 向曲线L的方向,按照有向曲面与其边界方向的关系确定,使得 L=.由 Stokes公式得到 于Fd=』oF:c△=」』o 因此推出F是2上的保守场 无旋与 Jacobi矩阵的对称性的关系更为显然 证毕 例1:验证向量场向量场 F=y(2x+y+=)i+x=(x+2y+2)j+xyx+y+2=)k 为保守场,并且求其势函数 解:向量场F在单连通区域R上可微,并且处处满足 rOtF(x,y, 2)=0 于是F在R上有势函数.令 f(x,y, 3): = y(2x+y+)dx+ax(x+2y+)dy+xyx+y+2=)d 因为积分与路线无关,所以这个积分可以沿任意一条 起点为(0,0,0)终点为(x,y,=)的逐段光滑曲线进行 例如可以先从(0,0,0)沿x轴积分至点(x,0,0),然后从(x,0,0)沿 与y轴平行的直线积分至(x,y,O),最后从(x,y,O)沿与z轴平行的直线 积分至(x,y,2) f(xy)=∫ok+j+∫xn(x+y+2t xyz(x+y+=)+c 这个函数就是F在R上势函数.因为任意两个势函数之间只 差一个常数,所以对于任意常数C, f(x,y,=)+C也是F在R上势函数 我们再提醒大家注意, F=X(x,y,=)i+Yx,y, =)j+Z(x,y, = k 有势函数f(x,y,)等价于微分形式 a=X(x,y, =)ax+r(x,y, =)dy+z(x,y, =)dE 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 对于  内的任意一条简单闭曲线 L , 由于  是 3 R 中的面单连 通区域, 所以存在  内的一个逐片光滑曲面 S ( S 的方向可以根据有 向曲线 L 的方向, 按照有向曲面与其边界方向的关系确定),使得 L = S .由 Stokes 公式得到  =  = 0 = 0    L S S F dl rotF dS dS     . 因此推出 F  是  上的保守场. 无旋与 Jacobi 矩阵的对称性的关系更为显然。 证毕. 例 1: 验证向量场向量场 F yz x y z i x z x y z j x y x y z k     = (2 + + ) + ( + 2 + ) + ( + + 2 ) 为保守场, 并且求其势函数. 解: 向量场 F  在单连通区域 3 R 上可微,并且处处满足 rotF(x, y,z) = 0  , 于是 F  在 3 R 上有势函数. 令  = + + + + + + + + ( , , ) (0,0,0) ( , , ) : (2 ) ( 2 ) ( 2 ) x y z f x y z yz x y z dx zx x y z dy x y x y z dz 因为积分与路线无关, 所以这个积分可以沿任意一条 起点为 (0,0,0) 终点为 (x, y,z) 的逐段光滑曲线进行. 例如,可以先从 (0,0,0) 沿 x 轴积分至点 (x,0,0),然后从 (x,0,0) 沿 与 y 轴平行的直线积分至 (x, y,0) ;最后从 (x, y,0) 沿与 z 轴平行的直线 积分至 (x, y,z). xyz x y z c f x y z dx dy x y x y z dz x x y z x y x y x = + + + = + + + +    ( ) ( , , ) : 0 0 ( 2 ) ( ,0,0) (0,0,0) ( , , ) ( , ,0) ( , ,0) ( ,0,0) 这个函数就是 F  在 3 R 上势函数. 因为任意两个势函数之间只 差一个常数, 所以对于任意常数 c, f (x, y,z) +c 也是 F  在 3 R 上势函数. 我们再提醒大家注意, F X (x y z)i Y(x y z)j Z(x y z)k     = , , + , , + , , 有势函数 f (x, y,z) 等价于微分形式 := X(x, y,z)dx +Y(x, y,z)dy + Z(x, y,z)dz

第五章向量分析 有原函数f(x,y,) 因此求向量场F的势函数与求微分形式O的原函数这两个问题 是等价的 (二),无源场,管形场 无源场 若向量场F在区域Ω上处处有 diF(x,y,=)=0, 则称向量场F在区域上为无源场 如果向量场F在区域Ω上为无源场,则对于内的任意一个 逐片光滑的闭曲面S(外侧为正),恒有 F:d=∫.F=0 其中D是闭曲面S所包围的区域 无源场与旋度场的关系: 因为V(xF)=0,所以,任意向量场的旋度场都是无源场 (假定向量场有足够的可微性) 反之,一个无源向量场必是另外一个向量场的旋度场.即 定理:设是R中的一个凸区域 F=X(x,y, s)i+y(x,y, =)j+Z(x,y, =kk 是上的可微向量场 如果V·F≡0,则存在向量场 U=L(,y,a)i+M(x,y,=)j+N(x, y, z)k 使得F(x,y,z)=rotU(x,y,z) 称U(x,y,=)为F(x,y,=)的向量势 F(x,y,)的向量势之间可差一个梯度场 可见,无旋必有数量势;无源必有向量势。 例2:设在R中的点M(x,y,)(i=1,…,k)放有质量m的质点 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 有原函数 f (x, y,z). 因此求向量场 F  的势函数与求微分形式  的原函数这两个问题 是等价的. (二), 无源场, 管形场 ⚫ 无源场 若向量场 F  在区域  上处处有 divF(x, y,z) = 0  , 则称向量场 F  在区域  上为无源场. ,如果 向量场 F  在区域  上为无源场, 则对于  内的任意一个 逐片光滑的闭曲面 S (外侧为正),恒有  = (  ) = 0   F dS F dV S D    其中 D 是闭曲面 S 所包围的区域. ⚫ 无源场与旋度场的关系： 因为  (  F) = 0  , 所以，任意向量场的旋度场都是无源场. (假定向量场有足够的可微性). 反之, 一个无源向量场必是另外一个 向量场的 旋度场. 即 定理: 设  是 3 R 中的一个凸区域 F X (x y z)i Y(x y z)j Z(x y z)k     = , , + , , + , , 是  上的可微向量场. 如果   F  0,  则存在向量场 U L x y z i M x y z j N x y z k     = ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) , 使得 F(x, y,z) rotU(x, y,z)   = . 称 U(x, y,z)  为 F(x, y,z)  的向量势 . ⚫ F(x, y,z)  的向量势之间可差一个梯度场 可见, 无旋必有数量势；无源 必有向量势。 例 2: 设在 3 R 中的点 i i i M (x , y ,zi)(i =1,...,k) 放有质量 mi 的质点

第五章向量分析 这些质点在R产生了一个引力场 在每个点M(x,y,=)(M≠M,=1,…,k)单位质量的质点受力 等于(忽略一个常数因子) F(x,y,=) 其中 F=MM=(x-xi+g-y)j+-=)k =√x-x)+(-y)+(-=)2,(=1,,k) 不难验证,除了M(x,y,)(i=1,…,k)之外,处处有 V·F=0 因此,如果S是一个逐片光滑的闭曲面,且所包围的区域内部 不包含任意的M(x,y,)(=1,,k),则有 手F=∫/y·F 其中是S所包围的区域 如果S是一个只包围一个M的半径充分小的球面,外侧为正, 则简单计算得到 于F·d△=4zm 事实江,假如S内部包围点M(x,y,z)(=1,…,k) 以M1为中心,以充分小的正数为半径作球面S 并且用Ω于表示之内,各小球面之外的区域 应用 Gauss公式,得到 签街△m=0 F·=∑仔F·d6=-4x∑m 由以上讨论可知,在引力场的某个区域中如果没有质量 则处处有V·F=0.因此,引力场中的源来自质量 例2:设在R中的点 (x,y,=)(i=1,…,k)P(x,y,=)j=1,…,m) 分别放有正电荷q12,q和负电荷q1,…,qn 用E(x,y,)表示由这些电荷产生的电场(忽略一个常数因子,则 E(x,y,二) q 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 这些质点在 3 R 产生了一个引力场. 在每个点 M(x, y,z)(M  Mi ,i =1,...,k) 单位质量的质点受力 等于(忽略一个常数因子) F x y z m r r i i i i k ( , , ) | | = − . = 3 1 其中 r M M (x x )i (y y )j (z z )k i i i i i     = = − + − + − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 i i i i r = x − x + y − y + z − z  , (i = 1,..., k) .不难验证, 除了 i i i M (x , y ,zi)(i =1,...,k) 之外, 处处有  F = 0  因此, 如果 S 是一个逐片光滑的闭曲面, 且所包围的区域内部 不包含任意的 i i i M (x , y ,zi)(i =1,...,k), 则有 ( ) 0.    F  dS =   F dV = S    其中  是 S 所包围的区域. 如果 Si 是一个只包围一个 Mi 的半径充分小的球面, 外侧为正, 则简单计算得到 4 . i S  F  dS =  m   事实江，假如 Si 内部包围点 i i i M (x , y ,zi)(i =1,...,k). 以 M i 为中心, 以充分小的正数为半径作球面 Si . 并且用 '  于表示  之内, 各小球面之外的区域. 应用 Gauss 公式, 得到 ( ) 0. 1 1 =   −  =      = F dV S F dS F dS S k i i         = =  =  = − k i i S k i S F dS F dS m i 1 1 4     由以上讨论可知,在引力场的某个区域中如果没有质量, 则处处有  F = 0  .因此, 引力场中的'源'来自质量. 例 2: 设在 3 R 中的点 i i i i j j j M (x , y ,z)(i = 1,..., k),P (x , y ,zj)( j = 1,...,m) 分别放有正电荷 q1 qk ,..., 和负电荷 1 − − q qm ,..., 用 E(x, y,z) 表示由这些电荷产生的电场(忽略一个常数因子),则 E x y z q r r q r r i i i i k j j j j m ( , , ) | | | | ' ' =  −  = − = 3 1 3 1

第五章向量分析 其中 r=M,M,r=p M( k,j=1,,m),M=(x,y,=) 与上例同样的分析可以得到这样的结果 对于任意一个其上不含电荷的逐片光滑的闭曲面S,都有 E 其中Q为S内部的电荷的代数和 由此看出,电场的源来自电荷正电荷为正源,负电荷为负源 可以直接验证 这种场有所谓“流管”,其断面上通量为常量,因而有管形场之 (三),调和场 如果向量场 F=X(x,y, s)i+y(x,y, s)j+Z(x,y, =)k 既是有势场,又是无源场,则称ν是调和场 因为F是有势场所以存在势函数f(x,y,),即 了f 又因为F是无源场,所以 V·F(x,y,二)=0即v·(Vf)=0 也就是说,调和场的势函数f(x,y,)满足 Laplace(拉普拉斯)方程 of afaf 这是一个非常重要的偏微分方程.如果记 f=V·(Vf)=△∫ △f 2f+3°2 8p=V唑 为 算子 则 Laplace方程又可以表示为 Vf=0 =0 满足上述方程的函数称为调和函数调和( harmonic)” 上述例1和例2中的引力场和电场都是调和场 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 其中 ri = Mi M,rj = Pi M(i = ,...,k; j = ,...,m); M = (x, y,z). ' 1 1 与上例同样的分析可以得到这样的结果: 对于任意一个其上不含电荷的逐片光滑的闭曲面 S ,都有 E dS Q S  = 4    其中 Q 为 S 内部的电荷的代数和. 由此看出,电场的'源'来自电荷.正电荷为正'源',负电荷为负'源'. 可以直接验证, ⚫ 这种场有所谓“流管”，其断面上通量为常量，因而有管形场之 称。 (三), 调和场 如果向量场 F X (x y z)i Y(x y z)j Z(x y z)k     = , , + , , + , , 既是有势场,又是无源场,则称 v 是调和场. 因为 F  是有势场,所以存在势函数 f (x, y,z),即 F = f  . 又因为 F  是无源场, 所以   F(x, y,z) = 0  .即  (f ) = 0 . 也就是说, 调和场的势函数 f (x, y,z) 满足 Laplace (拉普拉斯)方程: 2 2 2 2 2 2 0       f x f y f z + + = 这是一个非常重要的偏微分方程. 如果记  f = (f ) =  f 2 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) x z f x y f x x f f x y z f        +  +  =  +  +   = . 称  = + + 2 2 2 2 2 2      x y  z 为 Laplace 算子. 则 Laplace 方程又可以表示为 2  f = 0 或者 f = 0. 满足上述方程的函数称为调和函数."调和(harmonic)" 上述例 1 和例 2 中的引力场和电场都是调和场

第五章向量分析 由此可以推出调和函数的下述重要性质 函数内部值由边界值确定 定理:设f(x,y=)在有界单连通区域ΩcR调和,在区2上可微 如果在a上∫=0,则在9内∫=0 由定理64又容易得到以下推论: 推论设函数∫,g有界单连通区域Ω三R调和,在2上可微如 果在2上f(x,y,)=g(x,y=),则在内有f(x,y,=)≡g(x,y,=) 5-6-2梯度旋度和散度算子在柱球坐标系下的表示 我们曾经提到过,向量场的梯度,散度和旋度是向量场本身所固 有的量,与具体的坐标系的选取无关 但是,它们在不同的坐标系中,它们有不同的形式前面已经给出 了它们在直角坐标下的形式,以下研究这三个量在柱坐标以及球坐标 下的形式 (1).梯度算子 在柱坐标系中通过任意一个O轴以外的点M(F,O,=)都有三个坐 标曲面r=a,b=c2与z=c它们分别是以Oz轴为中心的圆柱面,以 O轴为边界的半平面以及与xOy平面平行的平面这三个坐标曲面相 交成三条坐标曲线(图61)在任意一点M(r,O,=),三条坐标曲线的正 向(即r,,-增加的方向)单位切向量ee,e两两正交,并且组成右手系 梯度算子V在柱坐标系中表示形式为 V a rae 即对于任意函数f(r,,=),有 V 可。+1可。分 er 在球坐标系中通过任意一个O轴以外的点M(,的都有三个坐 标曲面P=c,=c2与b=c这三个坐标曲面相交成三条坐标曲线(图 62)在任意一点M(P,,=),三条坐标曲线的正向即P96增加的方向) 单位切向量en,ene两两正交,并且组成右手系梯度算子Ⅴ在球坐标系 中表示形式为 12o 即对于任意函数f((,6),有 do pao psin 00 (2).散度算子 散度算子V·在柱坐标系中表示形式为 F=12(1)+1+2N 其中向量场为F=I(r,,=)en+M(,O,=)ea+N(r,6,=)e 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 由此可以推出调和函数的下述重要性质: ⚫ 函数内部值由边界值确定 定理: 设 f (x, y,z) 在有界单连通区域   3 R 调和,在  上可微, 如果在  上 f = 0,则在  内 f  0. 由定理 6.4 又容易得到以下推论: 推论: 设函数 f , g 有界单连通区域   3 R 调和, 在  上可微,如 果在  上 f (x, y,z) = g(x, y,z),则在  内有 f (x, y,z)  g(x, y,z). 5-6-2 梯度,旋度和散度算子在柱球坐标系下的表示 我们曾经提到过, 向量场的梯度, 散度和旋度是向量场本身所固 有的量, 与具体的坐标系的选取无关. 但是，它们在不同的坐标系中, 它们有不同的形式. 前面已经给出 了它们在直角坐标下的形式, 以下研究这三个量在柱坐标以及球坐标 下的形式. (1). 梯度算子 在柱坐标系中,通过任意一个 oz 轴以外的点 M(r,,z) 都有三个坐 标曲面: r = c1 , = c2 与 z = c3 .它们分别是以 oz 轴为中心的圆柱面,以 oz 轴为边界的半平面以及与 xoy 平面平行的平面.这三个坐标曲面相 交成三条坐标曲线(图 6.1).在任意一点 M(r,,z),三条坐标曲线的正 向(即 r,,z 增加的方向)单位切向量 er ,e ,ez 两两正交,并且组成右手系. 梯度算子  在柱坐标系中表示形式为  = + +        r e r e z r ez 1 即对于任意函数 f (r,,z),有 f = + + f r e r f e f z r ez        1 . 在球坐标系中,通过任意一个 oz 轴以外的点 M(,,) 都有三个坐 标曲面  = c1 , = c2 与  = c3 .这三个坐标曲面相交成三条坐标曲线(图 6.2).在任意一点 M(r,,z),三条坐标曲线的正向(即 ,, 增加的方向) 单位切向量 e ,e ,e 两两正交,并且组成右手系.梯度算子  在球坐标系 中表示形式为  = + +          e e e 1 1 sin . 即对于任意函数 f (,,),有 f = + + f e f e f e             1 1 sin . (2). 散度算子 散度算子  在柱坐标系中表示形式为 . 1 ( ) 1 z M N r r rL r F        = + +  其中向量场为 er e ez F L(r,,z) M(r,,z) N(r,,z)  = + + 

第五章向量分析 散度算子V·在球坐标系中表示形式为 Vovslap 2) amin 1 a psin p psn p dB 其中向量场为v=L(ben+Mbe+N(9的en (3)旋度算子 旋度算子V×在柱坐标系中表示形式为 V×F 1 av aM (mM/) 其中向量场为F=L(,O,=)en+M(,6,=)e+N(,6,=)e 旋度算子V×在球坐标系中表示形式为 V F I a(Nsin aM l1Ia-apWle+lra(pm)-dlle e sin plop L pM psin N 其中向量场为 F=L(P,,0e+M(p,,de+N(p,,oee (4). Laplace算子 Laplace算子在柱坐标系中表示形式为 Laplace算子在球坐标系中表示形式为 p2)+-2(sim )+1/1 ap sin d8 第五章向量分析

第五章 向量分析 第五章 向量分析 散度算子  • 在球坐标系中表示形式为 • v = + + 1 L 1 M 1 N 2 2              ( ) sin ( sin ) sin . 其中向量场为 v = L(,,)e + M(,,)e + N(,,)e. (3). 旋度算子 旋度算子  在柱坐标系中表示形式为 [ ( ) ] . 1 ] [ ] 1 [ er e ez L rM r r r N z L z N M r F               = − + − + −  其中向量场为 er e ez F L(r,,z) M(r,,z) N(r,,z)  = + +  旋度算子  在球坐标系中表示形式为 ] . ( ) [ 1 ] ( ) sin 1 [ 1 ] ( sin ) [ sin 1 e e e L N M L N M F                        + − + −  = −  = 1 2                  sin sin sin . e e e L M N 其中向量场为 F L( , , )e M( , , )e N( , , )e .    =    +    +     (4). Laplace 算子 Laplace 算子在柱坐标系中表示形式为 . 1 ( ) 1 2 2 2 2 2 zz f f r r f r r r f f         +   =   = + Laplace 算子在球坐标系中表示形式为 f f f f = + + 1 1 1 2 2 2 2 2                [ ( ) sin (sin ) sin ]