清华大学：《微积分》课程教学资源_第四章 重积分（4.3）三重积分的计算（课后作业）

第四章重积分 第四章重积分 4-3三重积分的计算 4-3-1三重积分在直角坐标系下的计算 4-3-2三重积分在柱坐标系下的计算 4-3-3三重积分在球坐标系下的计算 4-3-4三重积分在一般坐标系下的计算 第十三讲三重积的计算 课后作业: 阅读:第四章第四节三重积分的计算pp114-123 预习: 第五节曲面面积和曲面积分pp.125-134 作业:习题4:pp.124-125:1;2;3;4;6;7;9;1l 微积分(m)第一次(第七周) 机考时间安排 时间 班级 监考负责人 7:40 第一场进场 800-9:00第一场 谭泽光班(182)、 谭泽光及其助教 张友金班(95) 张友金及其助教 9:00第二场进场 10:30 第三场进场 12:00第四场进场 13:30 笫五场进场 15:00第六场进场 16:30 第七场进场 说明: (1)考试时间:本周星期六,早七点四十开始进场,到下午六时结束;连续考七场,每 场约三百人,考试一个小时,换场时间半小时; (2)考试地点:开放实验室 (3)考试内容:多元函数及多元微分学; (4)任课老师负责通知各班学生考试时间,让学生按指定时间进场;,并告之学生进场只许带文具, 不得带书包,草稿纸进场时系里统一发(请各位自己领自己班的草稿纸)。 第三章三重积分的计算

第四章 重积分 第三章 三重积分的计算 第四章 重积分 4-3 三重积分的计算 4-3-1 三重积分在直角坐标系下的计算 4-3-2 三重积分在柱坐标系下的计算 4-3-3 三重积分在球坐标系下的计算 4-3-4 三重积分在一般坐标系下的计算 第十三讲 三重积的计算 课后作业： 阅读：第四章 第四节 三重积分的计算 pp.114---123 预习： 第五节 曲面面积和曲面积分 pp.125---134 作业: 习题 4: pp. 124--125 : 1; 2; 3; 4; 6; 7; 9; 11. 微积分(III)第一次(第七周) 机考时间安排 时 间 班 级 监考负责人 7：40 第一场进场 8:00--9:00 第一场 谭泽光班(182）、 张友金班（95） 谭泽光及其助教 张友金及其助教 9：00 第二场进场 10:30 第三场进场 12:00 第四场进场 13:30 第五场进场 15:00 第六场进场 16:30 第七场进场 说明： (1) 考试时间：本周星期六，早七点四十开始进场，到下午六时结束; 连续考七场，每 场约三百人, 考试一个小时，换场时间半小时； (2) 考试地点：开放实验室； (3) 考试内容：多元函数及多元微分学; (4) 任课老师负责通知各班学生考试时间，让学生按指定时间进场; 并告之学生进场只许带文具， 不得带书包，草稿纸进场时系里统一发（请各位自己领自己班的草稿纸）

第四章重积分 4-3-1三重积分在直角坐标系下 的计算 y (1)直角坐标系下的体积元素 dv=dx dydz 1=⑩0(吃 d (2)不同积分次序的选择下的计算 dv=dxdydz 公式 =』ddj(xy D(x,y) 1= d=[(,,=)drdy D(x,nD 举例: 0.z≥0 例一:计算1=J-h,9=1yx+ys2,x+2ys6 第三章三重积分的计算

第四章 重积分 第三章 三重积分的计算 4-3-1 三重积分在直角坐标系下 的计算 ( )   I = f x, y,z dv (1) 直角坐标系下的体积元素： dv = dx dy dz , ( )   I = f x, y,z dxdydz (2) 不同积分次序的选择下的计算 公式： ⚫ ( ) ( ) ( ) ( )   = z x y D x y z x y I dxdy f x y z dz , , , 2 1 , , ⚫ ( ) ( )   = b a D z I dz f x, y,z dxdy 举例： 例一：计算   I = z dv ,                +  +  +               = , 4, 2, 2 6 0, 0, 2 2 y z x y x y y z z y x d z d x dy d v= d x d y d z z D(z)  y D(x,y) x

第四章重积分 A(x43,x=2-y (xB那z),xB=6-2y AB=x8-x1=4-y,y=√4 1=[J=d= drdy f=de 4j4-y)=3j-y24-y=20 D+lABl d =sdzlldxd CD=4AB|=4-y=4-√4 D(=) D()d= cde 第三章三重积分的计算

第四章 重积分 第三章 三重积分的计算 ⚫   I = z dv= ( )   − 2 4 , 0 y D x y dxdy zdz = ( )  +  +  − 2 2 6 2 4 2 1 x y x y y dxdy = ( ) ( )( ) 3 26 4 4 2 1 4 2 1 2 0 2 6 2 2 2 2 0 − = − − =    − − dy y dx y y dy y y ; ⚫   I = z dv ( ) y CD AB D z 2 + = = ( )   D z z dz dxdy 2 0 , 2 CD = 4, AB = 4 − y = 4 − 4 − z = z D(z)dz  2 0 =  − − − 2 0 2 2 4 2 8 4 z zdz z = ( )   − − − 2 0 2 0 2 2 4 2 1 4 4 z zdz z zdz = 3 26 2 3 32 − = D z A D(z) B C A ( xA ,y, z), xA=2-y B ( xB ,y, z), x B =6-2y AB x x y = B − A = 4 − , 2 y = 4 − z

第四章重积分 4-3-2三重积分在柱坐标系下的 计算 (1)柱坐标系下的体积元素 x= pCos y=pSin0 dv=pdpa dz 1=l/(, y,=)drdyd= JIs(oCos8, pSin0, =)added= 2(p,0,-) (2)不同积分次序的选择下的计算公式 2(o) 1=odpde j /(acos, ASin,=)ds p,) 1=d=f(acos, pSin@, -pdpde (3)举例: 例二,I=「h, (p,6,z) 其中Ω由曲面 半球面 柱面:x2+y2=4x 及平面z=0 所围成 解: pdpde dz de pv16-pdA -j(sm0-140=(3x-4) 第三章三重积分的计算

第四章 重积分 第三章 三重积分的计算 4-3-2 三重积分在柱坐标系下的 计算 (1) 柱坐标系下的体积元素：      = = = z z y Sin x Cos     dv =  d d dz , ( )   I = f x, y,z dxdydz = ( ) ( )   z f Cos Sin z d d dz , , , ,          (2) 不同积分次序的选择下的计算公式： ⚫ ( ) ( ) ( ) ( )   =              , , , 2 1 , , z D z I d d f Cos Sin z dz ⚫ ( ) ( )   = D z b a I dz f Cos, Sin,z  d d . (3) 举例： 例二，   I = dv , 其中  由曲面: 半球面: 2 2 z = 16 − x − y , 柱面: x y 4x 2 2 + = 及平面 z = 0, 所围成. 解：   I = dv =    −       Cos d d dz 4 16 0 2 =   −       Cos d d 4 0 2 0 16 = ( )  − −    0 3 1 3 64 Sin d = (3 4) 9 64  − z y x z (,, z) y (,) x

第四章重积分 4-3-3三重积分在球坐标系下的计算 (1)球坐标系下的体积元素: x= r Sin Cos0 y=r Sing Sine 二= rOSA 0≤q≤丌 0≤6≤2 dv=r Sing dr do de s中△ I=llf(x,y, =)xdyd= Is(Sino Cose, r Sing Sin e, cOso )y2drdode r,p,) (2)举例: 例三,g是上半空间中 球面:x2+y2+x2= 与锥面x2+y=3 所围的区域。 则:I=「dhv= =「 Tr2drdpdo 4 de sindo /rat Mr,=[3=dv=4 de sin dof(Cos O)dr =T 重心z坐标:2 第三章三重积分的计算

第四章 重积分 第三章 三重积分的计算 4-3-3 三重积分在球坐标系下的计算 (1) 球坐标系下的体积元素：      = = =      z rCos y r Sin Sin x r Sin Cos               0 2 0 r 0 dv r Sin dr d d 2 = , ( )   I = f x, y,z dxdydz = ( ) ( )            , , 2 , , r f r Sin Cos r Sin Sin rCos r drd d (2) 举例： 例三， 是上半空间中 球面: 4 2 2 2 x + y + z = 与锥面 2 2 2 3 1 x + y = z 所围的区域。 则：   I = dv = = ( )       , , 2 r r drd d =    2 0 2 6 0 2 0 4 d Sin d r dr      = (2 3) 3 8 −    M = z dv xy = ( )    2 0 2 6 0 2 0 4 d Sind rCos r dr   = , 重心 z 坐标: (2 3) 8 3 = = + V M z xy

第四章重积分 4-3-4三重积分在一般坐标系下的计算 (1)一般曲线坐标系下的体积元素 x=xiu. 1. w =l(x,y,=) y=yxn),或者{={xy) v dvala(x, y, dud dw, a(x, y, a)=ou, v, m) (,y,) d(u,v,w)a(x,y, = f(u,v,w)yu,v,w)=(u, v, w)ox, adu dv dw 2(a,,) (u, v, w) 柱坐标系 x=pCos sIng Sin e (p.a,=) 0 d a(x,y,=dpded==pdpded= a(p,O,-) 1=l/(r,3,=kdrdyds =J r(pCos, p Sine, sodded= 2(,B,) ●球坐标系 x= r Sin Cose y=rSing Sine 二=rCO in Cos0 -r Sinp Sing rCos Cose a(r,y Sing Sing r Sing Cose rCos SinB 0,q) r Sing a(,0,g) de do= r Sing drde do =川f(x,y,z)d 第三章三重积分的计算

第四章 重积分 第三章 三重积分的计算 4-3-4 三重积分在一般坐标系下的计算 (1) 一般曲线坐标系下的体积元素： ( ) ( ) ( )      = = = z z u v w y y u v w x x u v w , , , , , , , 或者 ( ) ( ) ( )      = = = w w x y z v v x y z u u x y z , , , , , , ( ) ( ) du dv dw u v w x y z dv , , , ,   = , ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , , , , , , , , −           =   x y z u v w u v w x y z ( )   I = f x, y,z dxdydz = ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( )     u v w du dv dw u v w x y z f x u v w y u v w z u v w , , , , , , , , , , , , , , . ⚫ 柱坐标系：      = = = z z y Sin x Cos     ; ( ) ( )          = − =   0 0 1 0 0 , , , , Sin Cos Cos Sin z x y z ; ( ) ( ) d d dz d d dz z x y z dv        =   = , , , , ( )   I = f x, y,z dxdydz = ( ) ( )   z f Cos Sin z d d dz , , , ,          . ⚫ 球坐标系：      = = =      z rCos y r Sin Sin x r Sin Cos ; ( ) ( )                 Cos r Sin Sin Sin r Sin Cos rCos Sin Sin Cos r Sin Sin rCos Cos r x y z − − =   0 , , , , = r Sin 2 ( ) ( )        dr d d r Sin dr d d r x y z dv 2 , , , , =   = ( )   I = f x, y,z dxdydz

第四章重积分 fr( Sing Cose, r Sing Sine, /Cosp)-"Sing dr do (2)举例 例六,=xddt,其中:g2:x2y2,≤1 x=ar Sing Cose 解:设:{y= br Sin Sine C aSino Cose -ar Sing Sin 0 ar Cosp Cos0 a(x,y b(,,g) =sIno Sine br Sin Coso br Coso Sine =abcr Sin g dv= abcr Sin g drdode =「x2td= (ar Sinp Cos0rabcSino dr de do rdr Cos200d Sin'p dg 4丌2·24 a'bc 例七,=(x+P2+Px)在,其中 内≤a1x+a2x2+a13x≤b+日1 g2:1b2≤a21x1+a2x2+a23x3≤e2+e2, b≤a31x+a2x2+a3x≤c+e3, au a12 a A=a21 a23|,x=|x2,b=b2 a31 a32 a3 P1 P=P2.这样 e P3 Q:b≤Ax≤c=b+e 第三章三重积分的计算

第四章 重积分 第三章 三重积分的计算 = ( ) ( )             , , 2 , , r f r Sin Cos r Sin Sin rCos r Sin dr d d . (2) 举例： 例六，   I = x dxdydz 2 , 其中： : 1 2 2 2 2 2 2  + +  c z b y a x 解：设：      = = =      z crCos y br Sin Sin x a r Sin Cos ; ( ) ( )                 cCos cr Sin bSin Sin br Sin Cos brCos Sin aSin Cos ar Sin Sin arCos Cos r x y z − − =   0 , , , , = abc r Sin 2 ; dv abc r Sin drd d 2 =   I = x dxdydz 2 = = ( ) ( )          , , 2 2 r ar Sin Cos r abcSin dr d d =    1 0 0 3 2 0 3 4 2   a bc r dr Cos  d Sin  d = a bc a bc 3 3 15 4 3 2 2 4 4 5 1 =     例七， ( )   = 1 1 + 2 2 + 3 3 dx1dx2dx3 I p x p x p x , 其中：       + +  +  + +  +  + +  +  , , , : 3 31 1 32 2 33 3 3 3 2 21 1 22 2 23 3 2 2 1 11 1 12 2 13 3 1 1 b a x a x a x c e b a x a x a x c e b a x a x a x b e           = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a A ,           = 3 2 1 x x x x ,           = 3 2 1 b b b b ,           = 3 2 1 e e e e ,           = 3 2 1 p p p p . 这样，  : b  Ax  c = b + e ;

第四章重积分 V,=a1r +a12x2 t a13x3 解:设:{y2 t a2x2 t a23.. y3=a31x1+al2x2+a23x3 y (V12y2,y2) 1a12a1 a(xi,x2, x3 a(r,r2 (1,y2,y d(v y,y dy,dy dy, =iAr lay dy dys (x,x2,x3) =++x)在=(x)d在 y),令pF= dd的 () J(%y+%+)4d (a)可d小+y)的 )d小:d +4d∫d∫4yd 第三章三重积分的计算

第四章 重积分 第三章 三重积分的计算 解：设:      = + + = + + = + + 3 31 1 32 2 33 3 2 21 1 22 2 23 3 1 11 1 12 2 13 3 y a x a x a x y a x a x a x y a x a x a x ; 或， y = Ax ; ( ) ( ) y x y y y x x x   =   1 2 3 1 2 3 , , , , = ( ) ( ) 1 1 2 3 1 2 3 , , , , −           x x x y y y = 1 1 31 32 33 21 22 23 11 12 13 − − =           A a a a a a a a a a ; ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , , , dy dy dy y y y x x x dv   = = ( ) ( ) 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 , , , , dy dy dy A dy dy dy x x x y y y − − =           ( )   = 1 1 + 2 2 + 3 3 dx1dx2dx3 I p x p x p x = ( )   dx1dx2dx3 p x T = ( ) ( )   − − y T p A y A dy dy dy  1 2 3 1 1 , 令 T T p A = q −1 = ( ) ( )   − y T q y A dy dy dy  1 2 3 1 = ( ) ( )   − + + y q y q y q y A dy dy dy  1 2 3 1 1 1 2 2 3 3 = ( ) ( )   − y q y A dy dy dy  1 2 3 1 1 1 + ( ) ( )   − y q y A dy dy dy  1 2 3 1 2 2 + ( ) ( )   − y q y A dy dy dy  1 2 3 1 3 3 =    − 3 3 2 2 1 1 1 1 1 2 3 1 c b c b c b A q y dy dy dy +    − 3 3 2 2 1 1 1 2 2 2 3 1 c b c b c b A dy q y dy dy +    − 3 3 2 2 1 1 1 2 3 3 3 1 c b c b c b A dy dy q y dy

第四章重积分 JA(G-b, Xc2-b2Nc-b,) (q(1+bh)+q(2+b2)+q3(c3+b) bc,-b,c,-bs ((c+b),(因p3=q) ee 2e3 Sgn(A)eze p()(b+c) 第三章三重积分的计算

第四章 重积分 第三章 三重积分的计算 = ( )( )( ) ( ( ) ( ) ( )) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 2 2 3 3 1 2 q c b q c b q c b A c b c b c b + + + + + − − − − = ( )( )( ) (q (c b)) A c b c b c b T + − − − − 2 1 1 2 2 3 3 1 , (因 T T p A = q −1 ) = A (p A )(b c) e e e T + − −1 1 1 2 3 2 = (b c) A A A p e e e T +        −  * 1 1 2 3 2 = Sgn( A) p (A ) (b c) A e e e T T + * 2 1 2 3 2