清华大学：《微积分》课程教学资源_习题与补充1

习题与补充题 习题 1.证明d(是常向量的充要条件是a()=0。 2.设λ0是常数,a是常向量,证明 (1)(ar(t)=i ddd (2)((t)a)=tao (3)(ao·r(t)=aof(t)(4)(ao×r(t)=ax(t) 3.下列等式成立吗?为什么? (1)r2=|r2 dt dt (3)F dt 设向量函数a(t)满足a·a=0,axa,证明a(t)是常向量。 5.证明r()=(21-1,t2-2,-t2+4t)为共面向量函数。 6.证明:()=a+bn2+,为共面向量函数的充要条件是abd)=0 7.试证明 r1=(,snte)-<t<+∞ 与 r=(q, sin h0, 0). 0<6<+ 是同一条曲线的两种不同的表示式。 8.求曲线r=(e’cost,e'sint,e)在t=0处的切线方程 9.求曲线x2+y2=1,y2+z2=1在任意点处的法平面方程 10.求下列曲线的切线和法平面议程: (1)r(acost, asin, bt), t=0; (2)r=(t,t2,t),t=1; f(x,y,z)=0 (3) g(X,y,Z)=0 11.求下列曲线的副法线和密切平面方程

习题与补充题 习题 1. 证明 a(t)  是常向量的充要条件是 a (t) = 0  。 2. 设0 是常数，a0 是常向量，证明 (1) ( ) d dt  r t  r 0 0 ( ) =  (2) ( ) d dt (t)a  (t)a 0 = 0  (3) ( ) d dt a r t a r t 0 0  ( ) = ( ) (4) ( ) d dt a r t a r t 0  ( ) = 0  ( ) 3. 下列等式成立吗？为什么？ (1) r r 2 2 = ； (2) r dt d dt dr = ； (3) dt d r r dt dr r      = 4. 设向量函数 a(t)满足 a  a  = 0, a  a  ，证明 a(t)是常向量。 5. 证明 ( ) (2 1, t - 2,- t + 4t) 2 2 r t = t − 为共面向量函数。 6. 证明： r t at b t c t     = + + 3 2 ( ) , 为共面向量函数的充要条件是 (a b c ) = 0    。 7. 试证明 r 1 = (t,sint, e), - < t < + 与 r2 = (lnq, sin ln,), 0 < < + 是同一条曲线的两种不同的表示式。 8. 求曲线 r = (e cost,esin t,e) 在 t=0 处的切线方程。 9. 求曲线 x y z 2 2 2 2 + = 1, y + = 1 在任意点处的法平面方程。 10. 求下列曲线的切线和法平面议程： (1) r=(acost, asint, bt), t=0； (2) r=(t, t2 , t3 ), t=1； (3) ( ) f x g x x ( ) ( , , ) , , , , y, z y z y z = =    0 0 0 0 0 11. 求下列曲线的副法线和密切平面方程

(1)r(acost, bint, e,), t=0 (2)r(acost+bsint, asintcost, csin2t), t 12.求曲线r=(,t2,t)在t=1处的主法线和从切平面方程 13.证明球面曲线的法平面通过球心。 14.计算圆锥螺线r=(e'cost,e'sint,e')的弧长公式(从0到t)。 15.求下列平面曲线的弧长公式及弧长。 (1)曲线由直角坐标中显示表示y=f(x,y=ln(1-x2),0≤x≤ (2)曲线由极坐标方程表示p=p(q),对数螺线p=e,0≤q≤o 16.将方程r=acos, aint,bt)(圆柱螺线)化成以弧长为参数的方程。 17.求曲线r=( tsint, tcost,te)在t=0处的弗雷耐标架。 18.在下列曲线的曲率k和挠率τ (1)r(acht, asht, at) (2)r(t-sint, 1-cost, t) (3)r= (tcost, tsint,at)(圆锥曲线) (4)r=(t,t2,t) 19.证明曲线r={t,1+1,1-是平面曲线。 20.证明曲线r(1+3t+2t2,2-2t+5t2,1-t2)是平面曲线 21.证明 (1)T·N"=0;(2)B'·N=0 22.已知曲线r=r(s),证明 (1)r·r"=0; (2)r"m=-k2L+k'N+ktB: (3)r (4)(rr,r",r")=k (5)r"·r"=kk 23.证明 (1)(T,B,B')=τ;(2)(B’,B",B")=τ 24.试证明曲线r=(t1)在一般参数下的弗雷耐公式为 T=kwN,N=kv+vB,B=-vN,其中v=|。 25.已知曲线C:r=s),证明:若曲线C的 (1)所有切线通过定点,则C是直线 (2)所有切线相互平行,则C是直线

(1) r=(acost, bsint, e), t=0； (2) r=(acost+bsint, asint+bcost, csin2t), t =  2 12. 求曲线 r=(t, t2 , t3 )在 t=1 处的主法线和从切平面方程。 13. 证明球面曲线的法平面通过球心。 14. 计算圆锥螺线 r = (e cost,esin t,e) 的弧长公式（从 0 到 t）。 15. 求下列平面曲线的弧长公式及弧长。 (1) 曲线由直角坐标中显示表示 y = f(x), y = ln(1- x ), 0  x  1 2 2 ； (2) 曲线由极坐标方程表示＝ ()，对数螺线     = e   a , 0 0 。 16. 将方程 r=(acost, asint, bt)（圆柱螺线）化成以弧长为参数的方程。 17. 求曲线 r=(tsint, tcost, te)在 t=0 处的弗雷耐标架。 18. 在下列曲线的曲率 k 和挠率： (1) r=(acht, asht, at)； (2) r=(t－sint, 1－cost, t)； (3) r=(tcost, tsint, at)（圆锥曲线）； (4) r=(t, t2 , t 3 )。 19. 证明曲线 r = t − t      , 1+ ,  1 t 1 t 是平面曲线。 20. 证明曲线 r=(1+3t+2t2 , 2－2t+5t2 , 1－t 2 )是平面曲线。 21. 证明： (1) T·N＝0； (2) B·N＝0 22. 已知曲线 r = r (s)，证明： (1) r·r＝0； (2) r = −k L + kN + k B 2  ； (3) r  r = −k 2  (4) (rr, r , r) = k 2 ； (5) r  r = kk 23. 证明 (1)（T，B，B）＝； (2) (  ,  ) =        B k B , B   5 (3) (  ,  ) =        T k k T , T 5  24. 试证明曲线 r=r(t)在一般参数下的弗雷耐公式为  , T = kvN   N = -kvT+ vB, B= -vN, 其中 v = r  。 25. 已知曲线 C：r=r(s)，证明：若曲线 C 的 (1) 所有切线通过定点，则 C 是直线； (2) 所有切线相互平行，则 C 是直线；

(3)所有主法线通过定点,则C是圆 (4)所有切线平行于同一平面,则C是平面曲线 26.计算下列颊曲线的曲率k (1)椭圆r( acost, bint),0≤t≤2π (2)抛物线y=x2 (3)星形线 F(acos't, aint) 27.求下列曲线的包络: (1)y=(x-c)2 (2)爷角为a的弹道曲线y=xtga-2 vo cos a x2,其中g是重力加速度,vo为初速 a为参数 28.设半径为r的动圆中心位于椭圆 r(acoso,bsin)上,求动圆的包络。 29.设τ=ck,c为常数,写出此曲线的参数方程。 30.已给r=r(r的单位副法线向量为B=(-simt,cos.1),求它的单位切向量T 和单位主法线向量N。证明曲线是一般螺线,并求它的曲率和挠率的比值。 31.证明曲线r(t)=(3t,3t2,25)是一般螺线 32.证明下列曲线是球面曲线 (1)r(asin t, asintcost, acost ) (2)r=(-cos20,-2cos,sin20) 33.证明:当且仅当球面曲线是圆周时,其曲率不变。 4.试证明:在平面场合,曲线C:r=(x(t),y(t)的渐缩线的参数方程为 35*.在平面场合,求下列曲线的渐缩线: (1)势物线y2=2px:(2)椭圆r= (acost, bint) 补充题 证明:曲线r(x(t),y(t),z(t))为平面曲线的充要条件是(r,r,r)=0 2.设D是半径为r的球面,而C是一条空间曲线,方程为r=r(s)(s为弧长参数), 证明 (1)若曲线的所有的法平面与D相切,则 (2)若曲线的所有密切平面与D相切,则r(s或为平面曲线或满足方程 T+B

(3) 所有主法线通过定点，则 C 是圆； (4) 所有切线平行于同一平面，则 C 是平面曲线。 26. 计算下列颊曲线的曲率 k: (1) 椭圆 r=(acost, bsint), 0  t  2 ； (2) 抛物线 y=x2； (3) 星形线 r=(acos3 t, asin3 t) 27. 求下列曲线的包络： (1) y=(x－c)2 (2) 爷角为 a 的弹道曲线 y xtga g v x a = − 2 0 2 2 2 cos ，其中 g 是重力加速度，v0 为初速， a 为参数。 28. 设半径为 r 的动圆中心位于椭圆 r(acos, bsin)上，求动圆的包络。 29. 设=ck, c 为常数，写出此曲线的参数方程。 30. 已给 r=r(r)的单位副法线向量为 B = (− t ) 1 2 sin , cost, 1 ，求它的单位切向量 T 和单位主法线向量 N。证明曲线是一般螺线，并求它的曲率和挠率的比值。 31. 证明曲线 r(t)=(3t, 3t2 , 2t3 )是一般螺线。 32. 证明下列曲线是球面曲线。 (1) r=(asin2 t, asintcost, acost)； (2) r=(－cos2, －2cos, sin2) 33. 证明：当且仅当球面曲线是圆周时，其曲率不变。 34. 试证明：在平面场合，曲线 C：r = ( x ( t ) , y ( t ) )的渐缩线的参数方程为 C x x y x y xy xy y y x x y xy xy  = − + − = + + −        :           2 2 2 2 35*. 在平面场合，求下列曲线的渐缩线： （1）势物线 y 2=2px；（2）椭圆 r=(acost, bsint) 补充题 1. 证明：曲线 r (x (t) , y (t), z (t) )为平面曲线的充要条件是 ( r,  r  ,  r ) = 0。 2. 设 D 是半径为 r 的球面，而 C 是一条空间曲线，方程为 r = r (s)（s 为弧长参数）， 证明： (1) 若曲线的所有的法平面与 D 相切，则 r as r 2 2 = + (0) (2) 若曲线的所有密切平面与 D 相切，则 r(s)或为平面曲线或满足方程 r a k = T + B       

∫F(x,y,z)=0a(FFF =2,求C的切线与法平面 p(x,y,z)=0 4.已知曲线r=(s)的曲率k和挠率τ,试寻求向量函数Ω2(s,使下式成立 =9 N′=g×N B′=×B 5.证明曲线: 6 在t=0处的曲率和挠率分别为ko和τo,而且T0),N(0),B(O)分别重合于x,y,z轴。 6.证明曲线 r=( a sin a(t)dt, a cosa(t)dt, bt))是一般螺线 7.风曲线:r=(at,bt2,t)是一般螺线,求出a,b之间的关系,并求出对应的固 定向量u 8.证明下列条件之一是曲线r=rs)为一般螺线的充要条件 (1)(N,N,N")=0 (2)(N",N",r)=0 9.已知曲线C:r=( acos ot, asin ot,bot),设点P∈C,沿P的主法线N的方向取 单位长的点Q,求Q点形成的曲线的方程 部分习题和补充题答案 习题: 3.(1)(3)成立:(2)不成立。 8.x-l=y-z-1 9. yx-xy+yz=xy 「x=a 10.(1) ay+bz=0; az+ by =0 (2) x+2y+3z=6; X-X(8) y-yo z-zo B C 其中A= B= g:: g: A(x-xol+ B(y-yoH-+C(z-z0F-0 b v-a 11.(1) a

3. C F x x : ( ) ( ) , , y, z , y, z = =    0  0 秩             = Fx Fy Fz x y z 2 ，求 C 的切线与法平面。 4. 已知曲线 r=r(s)的曲率 k 和挠率，试寻求向量函数(s)，使下式成立：  =   =   =       T T N N B B    , , 5. 证明曲线： r = t t t      , ,  k 2 k 6 0 0 2  0 3 在 t=0 处的曲率和挠率分别为 k0 和0，而且 T(0), N(0), B(0)分别重合于 x, y, z 轴。 6. 证明曲线： r a a t dt a t dt t t =         sin ( ) , a cos ( ) , bt 0 0 是一般螺线。 7. 凤曲线： r = (at, bt , t ) 2 3 是一般螺线，求出 a, b 之间的关系，并求出对应的固 定向量 u。 8. 证明下列条件之一是曲线 r＝r(s)为一般螺线的充要条件： (1) (N, N , N) = 0 (2) (N , N , r ) = (4) 0 9. 已知曲线 C： r = (acos t, asin t, b t)，设点 PC，沿 P 的主法线 N 的方向取 单位长的点 Q，求 Q 点形成的曲线的方程。 部分习题和补充题答案 习题： 3. (1) (3)成立；(2)不成立。 5. (r,  r,  r ) = 0 8. x-1=y-z-1 9. yx-xy+yz=xy 10. (1) x a az by = + =    0, ay+bz=0； (2) x − y z = − = 1 − 1 1 2 1 3 , x + 2y + 3z = 6 ； (3) x x A y y B z z C − = − = 0 0 − 0 ， 其中 A f f g g f f g g f f g g y z y z z x z x x y x y =     =     =     , B , C , A(x-x0)+ B(y-y0)+ C(z-z0)=0 11. (1) ; az - by = a 1 0 2 a z ab x b y a − = − = −

(2)x-b y-a 2acx+ 2bcy +(a-b)z=0 14.√3(e2-1) 15(1)√1+y2dxhm3-1/2 16. F(acosos, asinos, bs), o=1/va2+b2 17.T=一(0,1,1),B=÷(1,1,-1),N=一(2,-1,1) 18.(1)k=r=1/sach2t (2)√1+(cost-1)2/(3-2cost032;-1/1+(cost-1)2 231 (4)29+92+1/(9+412;3/(9++92+1) 19.r//r 20.r=0 26(1)ab/(a2sin2t+b2cos2t)32(2)2/(1+4x2)2 (3)1/asintcost (4)a/(a2+s3) (1)y=0,y (2)x=0,4gvby=2v2-2g2x 28. x=(acos+ br cos(p)/a, y=(sinop arsin)/a 其中a=√a2sin2p+b2cos2q 29.(x- a coop)2+(y- bsin ( p)2=r2(28,29答案一样) 30(1)k=τ=l/√ 27p (2)(ax)2/3+(by)2/3=(a2-b2)23

(2) x b ac y a ac z a b − − = − = 2 2 − 2 2 ; - 2acx + 2bcy + (a - b )z = 0 2 2 12. x − y z = − = − − 1 11 1 8 1 9 ; 11x + 8y - 9z = 10 14. 3(e 1) t − 15. (1) 1 2 0 +  yx dx x ; ln3-1/ 2 (2)     2  1 2 0 2 0 0 + 1+ −1  d a e a a ; ( ) / 16. r=(acoss, asins, bs),  = 1 + 2 2 / a b 17. T = 1 2 0 1 3 1 6 ( , 1, 1), B = (1, 1, -1), N = (2, -1, 1) 18. (1) k =  = 1/sach2 t (2) 1 1 3 2 2 3 2 + (cos − ) / ( − cos ) ; − / t t -1/ 1+ (cost 1) 2 (3) 2 1 1 1 2 2 + a + a ; 3 2 (4) 2 9 9 1 9 4 1 ( 9 1) 4 2 4 2 3 2 2 t + t + / ( t + t + ) + t + / ; 3 / 9t 4 19.  r / / r  20.  r  = 0 26. (1) ab / (a sin t b cos t) 2 2 2 2 3/2 + (2) 2 1 4 2 3 2 / ( ) / + x (3)1/3asintcost； (4)a/(a2+s2 ) 27. (1)y=0， y = x 4 27 2 ; (2) x = 0 y = 2 − 2g x 2 2 , 4gv0 v 2 0 2 28. x = (a cos + br cos) / a, y = (bsin + arsin) / a ， 其中 a = a 2 sin cos 2 2 2  + b  29. (x − a cos) + (y − bsin) = r 2 2 2 (28, 29 答案一样) 30. (1) k =  = 1/ 2 35. (1) y p = x − p 8 27 3 ( ) (2) ( ) ( ) ( ) / / / ax by a b 2 3 2 3 2 2 2 3 + = −

补充题 Ⅹ-xY Z Z-Z D(F,O) D(F,P) D(, P) FX Fy F:=0 D(, z) D(x, z) D(x, y) qx9y甲 6.b=0;a任意 9. rQ=((a-1)cost,(a-1 )snot, bot 习题11.4 求下列曲线在指定点的切线与法平面 (1){y=1-cost,在t=处, x= (2){y=1+1,在t=1处 (3) ∫x2+y2+=2=6 ,在点(,,2) 2=x+y 2.求下列曲面在指定点的法线与切平面 (1)x2+y2+z2=14,在点(1,2,3), 在点(2,-11) (3)(2a2-2)x2-a2y2=0,在点(a,a,a), 1,在点 b x=U coSy (5)1y=lsin",在(u,v)=(un,V0)处 3.按要求求下列曲面的切平面 (1)曲面x2+2y2+3z2=21的与平面x+4y+6z=0平行的切 平面

补充题 3. X x D F Y y D F Z z D F − = − = − ( , ) ( , ) ( , ) D(y, z) D(x, z) D(x, y)    X x Y y Z z Fx Fy Fz x y z − − −       =    0 6. b=0；a 任意。 9. rQ=((a-1)cost，(a-1)sint, bt 习题 11.4 1．求下列曲线在指定点的切线与法平面 （1）        = = − = − 2 4sin 1 cos sin t z y t x t t ，在 2  t = 处， （2）        = + = + = 2 1 1 z t t t y t t x ，在 t =1 处， （3）    = + + + = 2 2 2 2 2 6 z x y x y z ，在点 (1,1,2). 2．求下列曲面在指定点的法线与切平面 （1） 14 2 2 2 x + y + z = ，在点 (1,2,3) ， （2） 2 2 2 1 z = x − y ，在点 (2,−1,1)， （3） (2 ) 0 2 2 2 2 2 a − z x − a y = ，在点 (a,a,a) ， （4） 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x ，在点 ) 3 , 3 , 3 ( a b c ， （5）      = = = z av y u v x u v sin cos ，在 ( , ) ( , ) 0 0 u v = u v 处. 3．按要求求下列曲面的切平面 （1）曲面 2 3 21 2 2 2 x + y + z = 的与平面 x + 4y + 6z = 0 平行的切 平面

(2)曲面二=x2+y2的与直线 x 垂直的切平面 J少+2 (3)双曲抛物面产=(+v,u-v,)在u=1,v=-1时的切平面 4.已知函数F可微,若T为曲面S:F(x,y,)=0在点M0(x2y=0) 处的切平面,l为T上任意一条过M。的直线,求证在S上存在一条 曲线,该曲线在M。处的切线恰好为 5.证明二次曲面ax2+by2+c2=1在点M0(x0,y20)处的切平面方 程为 axx+ byy+ceo==l 6.求证曲面√x+yy+√2=√a(a>0)在任意点处的切平面在各 坐标轴上的截距之和为a 7.设函数∫可微,试证曲面z=yf(x)的所有切平面相交于一个公共 8.已知函数∫可微,证明曲面x-,y==0上任意一点处的切 -C二-C 平面通过一定点,并求出此点的位置 9.设曲面S和S2的方程分别为F(x,y,2)=0.F2(x,y,2)=0,其中 F和F是可微函数,试证S与S垂直的充分必要条件是对交线上 的任一点(x,y,=),均有 aFaFaFaFaFaF ax ax ayay az az 10设向量值函数f()满足Fr=0,Pxr=0,试证F(t)是常向量 11明曲线产(t)=(2-1,12-2,4-12)在R3中的一张平面上,并求 曲线()所在的平面方程

（2）曲面 2 2 z = x + y 的与直线    + = + = 2 2 2 1 y z x z 垂直的切平面， （3）双曲抛物面 r = (u + v,u − v,uv)  在 u = 1,v = −1 时的切平面. 4．已知函数 F 可微，若 T 为曲面 S : F(x, y,z) = 0 在点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 处的切平面， l 为 T 上任意一条过 M 0 的直线，求证在 S 上存在一条 曲线，该曲线在 M 0 处的切线恰好为 l . 5．证明二次曲面 1 2 2 2 ax + by + cz = 在点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 处的切平面方 程为 1 0 0 0 ax x + by y + cz z = 6．求证曲面 x + y + z = a (a  0) 在任意点处的切平面在各 坐标轴上的截距之和为 a . 7．设函数 f 可微，试证曲面 ( ) y x z = yf 的所有切平面相交于一个公共 点. 8．已知函数 f 可微，证明曲面 ,  = 0      − − − − z c y b z c x a f 上任意一点处的切 平面通过一定点，并求出此点的位置. 9．设曲面 1 S 和 2 S 的方程分别为 ( , , ) 0, ( , , ) 0 1 2 F x y z = F x y z = ，其中 1 F 和 2 F 是可微函数，试证 1 S 与 2 S 垂直的充分必要条件是对交线上 的任一点 (x, y,z) ，均有 0 1 2 1 2 1 2 =     +     +     z F z F y F y F x F x F 10.设向量值函数 r(t)  满足 r r  = 0, r r  = 0     ，试证 r(t)  是常向量. 11.证明曲线 ( ) (2 , 2,4 ) 2 2 r t = −t t − t −t  在 3 R 中的一张平面上，并求 曲线 r(t)  所在的平面方程