第十一章多元函数微分学 第三章空间曲线的基本知识 第四节微分学在天体力学中的应用 第十讲微分学在天体力学中的应用 课后作业: 阅读:第三章第四节在天体力学中的应用pp94-96 预习:第四章第一节重积分的概念与性质pp97-101 第二节二重积分的计算pp102--109 3-4微分学在天体力学中的应用 3-4-1 Kepler天体运行定律 在对行星运动进行大量观测的基础上,ohan- Kepler(1571-1630)提 出了太阳系中行星运动的三大定律 太阳系中的行星环绕着太阳作周期运动,且 1.行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 2行星的运行轨道是一个椭圆太阳位于此椭圆的一个焦点上 3行星运行周期的平方正比于行星与太阳之间的平均距高(近日点 距高与远日点距离的平均值 现在我们用微分学重新给出 Kepler三大定律中前两个定律的证明. 将太阳取为坐标原点,将行星看成空间的质点,设t代表时间 坐置函数F(1)=(x()y(1),(1)代表运动质点(行星)于时刻 在空间的位置 质点在时刻的运动速度v()=4r(a) 质点在时刻t的加速度是v()的导数 。d( dv(o) 如果忽略行星之间的相互作用,那么行星就只受到太阳引力F的 作用,则由万有引力定律 kMmF=-mf(r)e 其中,r=回,=是径向单位向量,M是太阳的质量 是行星的质量,k为引力常数.根据 Newton第二定律得 dy drf KMr=-f(r) dt dt m 3-4-1 Kepler天体运行定律的数学证明 第十一章多元函数微分学
第十一章 多元函数微分学 第十一章 多元函数微分学 第三章 空间曲线的基本知识 第四节 微分学在天体力学中的应用 第十讲 微分学在天体力学中的应用 课后作业： 阅读：第三章 第四节 在天体力学中的应用 pp.94---96 预习：第四章 第一节 重积分的概念与性质 pp.97---101 第二节 二重积分的计算 pp.102---109 3-4 微分学在天体力学中的应用 3-4-1 Kepler 天体运行定律 在对行星运动进行大量观测的基础上, ohan-Kepler(1571-1630)提 出了太阳系中行星运动的三大定律: 太阳系中的行星环绕着太阳作周期运动，且 1.行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等. 2.行星的运行轨道是一个椭圆,太阳位于此椭圆的一个焦点上. 3.行星运行周期的平方正比于行星与太阳之间的平均距离(近日点 距离与远日点距离的平均值). 现在我们用微分学重新给出Kepler三大定律中前两个定律的证明. 将太阳取为坐标原点,将行星看成空间的质点，设 t 代表时间。 坐置函数 T r(t) = (x(t), y(t),z(t)) 代表运动质点(行星)于时刻 t 在空间的位置. 质点在时刻 t 的运动速度 ( ) r (t) dt d v t → → = . 质点在时刻 t 的加速度是 → v (t) 的导数: ( ) ( ) ( ) 2 2 : dt d r t dt dv t a t = = 如果忽略行星之间的相互作用，那么行星就只受到太阳引力 F 的 作用，则由万有引力定律： r r mf r e r kMm F ( ) 3 = − = − → 其中， r r = ， r r e r = 是径向单位向量， M 是太阳的质量， m 是行星的质量， k 为引力常数.根据 Newton 第二定律得 r f r e r kM m F dt d r dt d v a r → → → → → → = = = = − = − ( ) 2 3 2 . 3-4-1 Kepler 天体运行定律的数学证明
第十一章多元函数微分学 F=F()是平面曲线: 记p=rX=Fx亦 则得 d drdr =,(×)==,×+P dt dt d山 =-f(r)×er=0 因此P是一个定常向量.且位置向量r()恒与定常向量P正交。 所以F()是平面向量,即行星轨道始终在通过太阳的一个平面上 向径r(1)相等的时间内扫过的面积相等 考虑向径r(1)扫过面积的速度设行星在时刻t和t+M的位置分 别是A=r(1)和B=r(1)+△F,则在1到t+M这段时间内向径r()扫 过的面积近似地等于‖×△r,因此f(1)扫过面积的速度就等于 ∥FxAF\1”d dr. 1 =‖p‖ △t 上面己经指出p是一个定常向量,因此r()扫过面积的速度就是一个常 数,这就是 Kepler第一定律 行星的运行轨道是一个椭圆 因为P=P×是一个定常向量,所以得 d(×p)=dt 注意到r=re,= dt 得y===r+e,所以 dtdt dt dr d e d =r×v=re,X(F 不难验证对于任意向量a,b,C,有 a×(b×c)=(a·c)b-(ab)c 由此可以推出 d kM kM v×D)=—×p= P =-kMe,×(e×=,) d e d e =-kM[(en·,)1-(et)] =kM 第十一章多元函数微分学
第十一章 多元函数微分学 第十一章 多元函数微分学 ⚫ r r (t) = 是平面曲线： 记 dt dr p r v r = = ，则得 ( ) ( ) 0 2 2 = = + = − f r r er = dt d r r dt dr dt dr dt dr r dt d dt dp 因此 → p 是一个定常向量. 且位置向量 → r(t) 恒与定常向量 → p 正交。 所以 r(t) 是平面向量,即行星轨道始终在通过太阳的一个平面上. ⚫ 向径 → r(t) 相等的时间内扫过的面积相等 考虑向径 r(t) 扫过面积的速度.设行星在时刻 t 和 t +t 的位置分 别是 A = → r(t) 和 B = → r(t) + → r ，则在 t 到 t +t 这段时间内向径 → r(t) 扫 过的面积近似地等于 1 2 || || → → r r ，因此 r(t) 扫过面积的速度就等于 || || 2 1 || || 2 1 || | 2 1 lim 0 p dt dr r t r r t = = → 上面已经指出 p 是一个定常向量，因此 r(t) 扫过面积的速度就是一个常 数，这就是 Kepler 第一定律. ⚫ 行星的运行轨道是一个椭圆 因为 → → → p = r d r dt 是一个定常向量，所以得 p dt dv v p dt d ( ) = ) 注意到 → → r = r er , → → v = d r dt ， 得 r r e dt dr dt de r dt dr v = = + ，所以 dt de e r e dt dr dt de r v r e r dt dr p r r r r r r = = = + = 2 ( ) 不难验证对于任意向量 → → → a ,b,c, 有 a b c a c b a b c → → → → → → → → → ( ) = ( ) − ( ) . 由此可以推出 dt d e k M dt de e e e dt de k M e dt de k M e e e p r k M r p r k M p dt dv v p dt d r r r r r r r r r r r = = − − = − = = − = [( ) ( ) ] ( ) ( ) 3 2
第十一章多元函数微分学 在以上推导中,由于e,为定长向量,有 de 对于前式两端关于t积分得 v×P=kMe+c 这里c是某个定常向量.由此进一步得到 F(v×p)=kMr+r·c =kMr+re-c =kMr+ r ccos日 其中c=闻,θ是与之间的夹角,又注意到 r(vxp)=(rxv).p=p p=p 所以p2=kM+ rc cose,就知道行星的运动轨道满足 P/kM kM+ccos0 1+(c/kM) 8 这是一条圆锥曲线,由于行星运动轨道是封闭的,所以一定是椭圆.这 就是 Kepler第二定律 第十一章多元函数微分学
第十一章 多元函数微分学 第十一章 多元函数微分学 在以上推导中,由于 → er 为定长向量,有 = 0 → → dt d e e r r . 对于前式两端关于 t 积分得 → → → → v p = kM er + c 这里 → c 是某个定常向量.由此进一步得到 cos ( ) kM r r c kMr re c r v p kM r r c r = + = + = + 其中 c c = ， 是 r e 与 c 之间的夹角，又注意到 r v p r v p p p p 2 ( ) = ( ) = = → → → → → → → → 所以 cos 2 p = kMr + rc ，就知道行星的运动轨道满足 1 ( / )cos / cos 2 2 c kM p kM kM c p r + = + = 这是一条圆锥曲线，由于行星运动轨道是封闭的，所以一定是椭圆.这 就是 Kepler 第二定律