第四章导数的应用 第十讲函数图形及极值问题 阅读:第4章43,pp.96-11 预习:第4章44,pp.113-121 练习ppl-113习题43:1至3;4,(1)(3);5,(1),(2);8,(1),(3) 9,(1);10;13,(1),(3);14,(1);15,(1);16;17;20,(1) 作业pp1-113习题.3:4,(2),(4);5,(1,(2);6;7;8,(2)(4) 9,(2),(3);11;12;;13,(2),(4);14,(2);15,(2),(3);18;20,(2),(4) 机考安排: 1,地点:学校开放实验室,(主楼地下室); 2,时间:第九周星期六下午 3,各班时间安排: 14:00--15:00,13:40入场: 班级:自21-自26共六个班 15:30-16:30,15:10入场 班级:自27,环21-23,建环2,文2,新闻2, 医学2,软件2,及其他同学 4,注意事项 不带书本、纸张入场,场上发草稿纸 考前分发密码 在网站:info. Mathe.edu.cm上按密码进入打开试题 斑级助教姓名 时间 上课地点 自21一自22 自23—自24 星期三(5) 新水300 自25—自26, 自27,医学23 陈明 星期三(6) 四教4102 环23;建环2 张李军 星期四(5) 四教4305 2,新闻2, 4其他班级及重王强 星期四(5) 文科楼206 修同学 43函数的图形与极值 4-3-1用导数分析函数图形:增减、凸凹、渐近趋势 (A)函数单调性研究 定理:设∫(x)在闭区间[a,b]连续在开区间(a,b)可导则 (1)如果g(x)也在[a,b]连续,在(a,b)可导,且∫(x)≡g(x) 则存在常数C,是f(x)≡g(x)+c (2)如果有∫(x)≥0(∫(x)≤0),则∫(x)在[a,b]单调. 第四章导数的应用
第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 第十讲 函数图形及极值问题 阅读： 第 4 章 4.3, pp.96—111, 预习: 第 4 章 4.4, pp.113—121 练习 pp111--113 习题 4.3: 1 至 3; 4, (1),(3); 5, (1),(2); 8, (1),(3); 9, (1); 10; 13, (1), (3); 14, (1); 15, (1); 16; 17; 20, (1). 作业 pp111--113 习题 4.3: 4, (2),(4); 5, (1),(2); 6; 7; 8, (2),(4); 9, (2),(3); 11; 12; ; 13, (2), (4); 14, (2); 15, (2),(3); 18; 20, (2),(4). 机考安排： 1, 地点：学校开放实验室，(主楼地下室); 2, 时间：第九周星期六下午。 3, 各班时间安排： ⚫ 14:00----15:00, 13:40 入场: 班级: 自 21-----自 26 共六个班 ⚫ 15:30----16:30, 15:10 入场: 班级: 自 27, 环 21—23, 建环 2, 文 2, 新闻 2, 医学 2 , 软件 2, 及其他同学 4, 注意事项： ⚫ 不带书本、纸张入场, 场上发草稿纸; ⚫ 考前分发密码， 在网站：info. Emathc. edu. cn 上按密码进入打开试题 班 级 助教姓名 时间 上课地点 1 自 21—自 22 自 23—自 24 张 靖 星期三(5) 新水 300 2 自 25—自 26, 自 27, 医学 23 陈 明 星期三(6) 四教 4102 3 环 21—22; 环 23; 建环 2 张李军 星期四(5) 四教 4305 4 文 2, 新闻 2, 其他班级及重 修同学 王 强 星期四(5) 文科楼 206 4-3 函数的图形与极值 4-3-1 用导数分析函数图形：增减、凸凹、渐近趋势 (A) 函数单调性研究 定理: 设 f (x) 在闭区间 [a, b] 连续,在开区间 (a, b) 可导,则: (1) 如果 g(x) 也在 [a, b] 连续,在 (a, b) 可导,且 f (x) g(x) , 则存在常数 c ,是 f (x) g(x) + c . (2) 如果有 f (x) 0 ( f (x) 0 ),则 f (x) 在 [a, b] 单调
第四章导数的应用 (3)如果有∫(x)>0(f(x)x0时,因为∫(x)单调非减,所以f(x)≥f(xo),因此 f(x)-f(o)>0=f(ro)=lim f(x)-f(x0) 0 例1:设f(x)在(-∞,+∞)有二阶导数并且f"(x)=≡0,求证 f(x)是一次函数 证明:(f(x)’=∫"(x)≡0→存在常数a,使得f(x)=a f"(x)-ax=(f'(x)-a)=0→存在b使得f(x)=ax+b 例2:求证当x>0时恒有x-x20,f”(x) 0时,f(x)>0→f(x)↑ 即,当x>0时,恒有x-x20,都有h(1+-)<~1 x x(x+1) 第四章导数的应用
第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 (3) 如果有 f (x) 0 ( f (x) 0 ),则 f (x) 在 [a, b] 严格单调. (4) 如果 f (x) 在 [a, b] 单调,则在区间 [a, b] 处处有 f (x) 0 ( f (x) 0 ). 证明: (1) f (x) g(x) ( ( ) ( )) 0 f x − g x f (x) − g(x) 常数, 即存在常数 c ,使 f (x) g(x) + c . (2) f (x) 0 x1 ,x2 [a, b] ,设 1 2 x x , 存在介于 1 2 x 和 x 之间的 ,满足 ( ) ( ) ( )( ) 2 1 2 1 f x − f x = f x − x f (x2 ) − f (x1 ) 0 (3) 假定 f (x) 在区间 [a, b] 单调非减, ( , ) x0 a b , 当 0 x x 时, 因为 f (x) 单调非减, 所以 ( ) ( ) 0 f x f x ,因此 0 ( ) ( ) 0 0 − − x x f x f x 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 − − = → + + x x f x f x f x x x . 例 1: 设 f (x) 在 (−,+) 有二阶导数,并且 f (x) 0 ,求证 f (x) 是一次函数. 证明: ( f (x)) = f (x) 0 存在常数 a ,使得 f (x) = a . ( ) ( ( ) ) 0 f x − ax = f x − a 存在 b 使得 f (x) = ax + b. 例 2: 求证当 x 0 时恒有 ln(1 ) 2 1 2 x − x + x . 证明: 研究函数 2 2 1 f (x) = ln(1+ x) − x + x , 我们有 x x f x − + + = 1 1 1 ( ) , 2 (1 ) 1 ( ) 1 x f x + = − 当 x 0, 2 (1 ) 1 ( ) 1 x f x + = − 0 f (x) 在 [0,+) 单调增. f (x) 及 f (0) = 0 , 当 x 0 时, f (x) 0 f (x) . 即，当 x 0 时, 恒有 ln(1 ) 2 1 2 x − x + x . 例 3 : 求证对于任意 x 0,都有 ( 1) 1 ) 1 ln (1 2 + + x x x
四章导数的应用 证明:设t=-,不等式变成:Vt>0 >h(1+1) (法一)设/1)s、12 1+ hn2(1+1),今要证:Ⅵt>0,f(1)>0. 今要证:Vt>0,f()>0 f(0)=0,f()= 1+t 其中:g( 2hn(1+ g0)=0 g( 2+2t+t22t2 f(0)=0 f(x)=g() f(x)≥0 法二)设f()=1-√1+th(1+1),今要证:Ⅵt>0,f()>0 第四章导数的应用
第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 证明: 设 x t 1 = , 不等式变成： t 0, ln (1 ) 1 2 2 t t t + + (法 一) 设 ln (1 ) 1 ( ) 2 2 t t t f t − + + = , 今要证: t 0, f (t) 0 . 今要证: t 0, f (t) 0 . f (0) = 0, ( ) ( ) g(t) t t t t t t f t + = + + − + + = 1 1 1 2ln 1 1 2 ( ) 2 2 , 其中： ( ) ( t) t t t g t − + + + = 2ln 1 1 2 2 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 2 1 2 2 0 0 2 2 2 2 + = + − + + + = = g t t t t t t t g t g ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 0 0 + = = f x g t t f x f (法二) 设 f (t) = t − 1+ t ln(1+ t) , 今要证: t 0, f (t) 0 . 1 2 3 4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 2 3 4 0.2 0.4 0.6 0.8 1
四章导数的应用 f(1)=1- 1+t2√1+t n.(2+-2-h(+)=,g(0, 其中,g()=2√+t-2-h(+1) 因g(0)=0.,g(x) >0→g()>0 (方法三)把不等式变成:t>0, √+1~如(1+1) 设f(1) l(1+1),今要证:Vt>0,f(t)>0 f()=1+/2 1+t|>0 因为: √1+t|-0=1+ 2 2 +F0 (B)函数的凸性 在研究函数∫(x)图形时,仅仅知道其增减性是不够的,还有一个曲 线的凸凹问题 定义设∫:[a→R,如果x1,x2∈[a,b,不等式 f(1x1+A2x2)≤A1f(x1)+2f(x2) 对任意两个满足A1+A2=1,的非负实数A1和A2成立.则称\在区间 [a,b]是下凸或称为凸的,其几何意义是,曲线任何两点间的弦都在相 应曲线之上 如果f(1x1+2x2)≥A1f(x1)+2f(x2) 则称飞在区间[a,b]上凸的,或称为凹的 凸函数有如下重要性质: (1)1在区间[a,b]是下凸的,则Vx1,x2,…,xn∈[a,b],以及满足 第四章导数的应用
第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 ( t) t t f t + + − + = − ln 1 2 1 1 1 1 ( ) 1 , ( ( )) ( ) 2 1 1 2 1 2 ln 1 2 1 1 g t t t t t + + − − + = + = , 其中， g(t) = 2 1+ t − 2 − ln(1+ t), 因 0 1 1 1 1 (0) 0, ( ) + − + = = t t g g x g(t) 0 . (方法三) 把不等式变成： t 0, ln(1 ) 1 t t t + + . 设 ln(1 ) 1 ( ) t t t f t − + + = , 今要证: t 0, f (t) 0 . ( ) ( ) + − + + = + − + + = t t t t t t f t 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 ( ) 3 3 >0 因为： 0 2 1 1 2 1 1 2 1 0 1 2 1 + = − − = + − + + − + = t t t t t t (B) 函数的凸性 在研究函数 f (x) 图形时，仅仅知道其增减性是不够的, 还有一个曲 线的凸凹问题. 定义 设 f :[a,b] → R ,如果 , [ , ] x1 x2 a b , 不等式 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 f x + x f x + f x 对任意两个满足 1 + 2 =1, 的非负实数 1 和 2 成立. 则称 f 在区间 [a, b] 是下凸或称为凸的; 其几何意义是，曲线任何两点间的弦都在相 应曲线之上。 如果 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 f x + x f x + f x 则称 f 在区间 [a, b] 上凸的, 或称为凹的. 凸函数有如下重要性质： (1) f 在区间 [a, b] 是下凸的, 则 n x , x , ,x 1 2 [a,b],以及满足
第四章导数的应用 +入2+…+n=1的n个非负数A1,2,…n(称为凸组合) 总有凸组合的函数值不大于函数值的凸组合,即 λ1f(x,) 证明:利用数学归纳法。 (2)(用一阶导数判定函数的凸性) 设函数∫在区间[a,b]连续在(a,b)可导则1在区间[a,b]下凸 的充分必要条件是f(x)在区间[a,b]单调增加 证:Vx1∈[a,b],i=1,2,3 且x1x3和x2→x1,得 第四章导数的应用
第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 1 + 2 ++ n =1 的 n 个非负数 n , , , 1 2 (称为凸组合), 总有凸组合的函数值不大于函数值的凸组合，即 = = n i i i n i i i f x f x 1 1 ( ) . 证明：利用数学归纳法。 (2) (用一阶导数判定函数的凸性) 设函数 f 在区间 [a, b] 连续,在 (a, b) 可导,则 f 在区间 [a, b] 下凸 的充分必要条件是 f (x) 在区间 [a, b] 单调增加. 证： x [a,b] i , i = 1,2,3 , 且 1 2 3 x x x . 令 3 1 3 2 x x x x − − = , = − − − = 1 3 1 2 1 x x x x . 则 2 1 3 x = x + x . 证必要性： f 是凸的 ( ) ( ) ( ) 2 1 3 f x f x + f x ( ) ( ) ( ( ) ( )) 2 1 3 1 f x − f x f x − f x , ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 3 1 2 1 2 1 x x f x f x x x f x f x − − − − f 是凸的 ( ) ( ) ( ) 2 1 3 f x f x + f x ( ) ( ) ( ( ) ( )) 3 2 3 1 f x − f x f x − f x , ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 3 1 3 2 3 2 x x f x f x x x f x f x − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2 x x f x f x x x f x f x x x f x f x − − − − − − , 分别让 2 3 x → x 和 2 1 x → x , 得: y y=f(x) f(x1) f(x3) f(x2) a x1 x2 x3 b x
第四章导数的应用 f(x)≥ (x)x≥f(x) 可见导凸函数的导函数是增加的。 证充分性:f(x)↑→利用有限增量公式, 3523>51 f(x3)-f(x2) =/(5,)≥r()=x →f(x)-f(2)≥3((x)-f(x)=2(x)-/(x) x2-x1 f(x2)≤4f(x)+f(x3) (3)(用二阶导数判定函数的凸性) 设函数∫在区间[a,b]有二阶导数,则1在区间[a,b]下凸的充分 必要条件是在区间[ab恒有f"(x)≥0 证明:利用(2)是显然的。 (4)(用切线位置判定函数的凸性) 设函数∫在区间{a,b连续在(a,b)可导则1在区间[a,b]下凸 的充分必要条件是xo∈[a,b] f(x)≥f(x0)+f(x0)(x-x0),Wx∈[a,b]成立 其几何意义是,曲线上任何点处的曲线的切线都在曲线之下 证明:证必要性:∫是凸的→Vx0,x1,x∈[a,b],x0x0 f(x)-f(x0) f(x),即 f(x)≥f(x)+f(x)x-x0) 证充分性:x0∈[a,b f(x)≥f(x)+f(x0)(x-x),Wx∈{ab成立 x1x2,x3∈[a,b],x1<x2<x3,及原A,4的定义 第四章导数的应用
第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 1 3 1 3 f x x x f x f x f x − − , 可见导凸函数的导函数是增加的。 证充分性： f (x) 利用有限增量公式， 23 12 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 23 12 3 2 3 2 x x f x f x f f x x f x f x − − = = − − ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) 2 1 2 1 2 1 3 2 3 2 f x f x f x f x x x x x f x f x − = − − − − ( ) ( ) ( ) 2 1 3 f x f x + f x (3) (用二阶导数判定函数的凸性) 设函数 f 在区间 [a, b] 有二阶导数,则 f 在区间 [a, b] 下凸的充分 必要条件是在区间 [a, b] 恒有 f (x) 0 . 证明：利用(2)是显然的。 (4) (用切线位置判定函数的凸性) 设函数 f 在区间 [a, b] 连续,在 (a, b) 可导,则 f 在区间 [a, b] 下凸 的充分必要条件是 [ , ] x0 a b , ( ) 0 0 0 f (x) f (x ) + f (x ) x − x , x[a, b] 成立. 其几何意义是，曲线上任何点处的曲线的切线都在曲线之下。 证明: 证必要性： f 是凸的 , , [ , ] x0 x1 x a b , x x x 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 0 0 x x f x f x x x f x f x − − − − , 让 1 0 x → x ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f x x x f x f x − − , 即 ( ) 0 0 0 f (x) f (x ) + f (x ) x − x 证充分性： [ , ] x0 a b , ( ) 0 0 0 f (x) f (x ) + f (x ) x − x , x[a, b] 成立 , , [ , ] x1 x2 x3 a b , 1 2 3 x x x , 及原 , 的定义:
第四章导数的应用 f(x)2f(x,)+f'(x2(x-x) f(x3)≥f(x2)+f(x2)(x3-x2) →Af(x)+uf(x3)≥4((x2)+f(x2)(x1-x12)+ +u0((x2)+f(x2)(x1-x1)=f(x2) 定义:如果曲线y=f(x)上一点在x0点的两侧有相反的凸性,则称 x0为曲线y=f(x)的一个拐点 定理(拐点的必要条件)设函数f(x)有二阶导数,如果x0点是曲线 y=f(x)的一个拐点,则必有f"(xo)=0 (C)曲线的曲率: 曲率是曲线弯曲程度的衡量。设曲 线为y=f(x),设曲线 在P点切线与x轴夹角是9, +9 在Q点切线与x轴夹角是9A9 则曲线在P点处弯曲程度可用从P点 到Q点单位弧长上切线的转角来度量 即 xx+△r p=mn△9d9 如果这个极限存在,则称之为曲线在P点的曲率 若函数y=f(x)二阶可导,则曲率很容易计算 因为9=arcg()→d9= d=√t)+(d)=1+(y)d 从而得到曲率公式:≈9 (+() 曲率的倒数称为曲率半径:r=1 容易验证,园x2+y2=r2的曲率半径就是园的半径 事实上,2x+2y=0=y=-1=y=-y2 第四章导数的应用
第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 ( ) 1 2 2 1 2 f (x ) f (x ) + f (x ) x − x , ( ) 3 2 2 3 2 f (x ) f (x ) + f (x ) x − x ; f (x1 ) + f (x3 ) (f (x2 ) + f (x2 )(x1 − x2 ))+ ( ( )) 2 2 1 2 + f (x ) + f (x ) x − x = ( ) 2 f x . 定义: 如果曲线 y = f (x) 上一点,在 0 x 点的两侧有相反的凸性, 则称 0 x 为曲线 y = f (x) 的一个拐点. 定理(拐点的必要条件): 设函数 f (x) 有二阶导数, 如果 0 x 点是曲线 y = f (x) 的一个拐点, 则必有 f (x0 ) = 0. (C) 曲线的曲率: 曲率是曲线弯曲程度的衡量。设曲 线为 y = f (x) , 设曲线 在 P 点切线与 x 轴夹角是 ; 在 Q 点切线与 x 轴夹角是+ . 则曲线在 P 点处弯曲程度可用从 P 点 到 Q 点单位弧长上切线的转角来度量， 即 ds d x s = = →0 lim , 如果这个极限存在，则称之为曲线在 P 点的曲率。 若函数 y = f (x) 二阶可导，则曲率很容易计算： 因为 = arctg(y ) ( ) dx y y d 2 1+ = ; ds (dx) (dy) (y ) dx 2 2 2 = + = 1+ ; 从而得到曲率公式： = ( ( ) ) 2 3 2 1 y y ds d + = . 曲率的倒数称为曲率半径： r =1 . 容易验证，园 2 2 2 x + y = r 的曲率半径就是园的半径： 事实上， 2x + 2yy = 0 y x y = − 2 y y xy y − = − ， y y=f(x) Q + s y P dy x x x+x x
第四章导数的应用 (D)函数曲线的渐近线 设函数∫在区间(a,b)可导 (1)垂宜渐近线:若f(x))+∞或-∞; (2)非垂直渐近线 f(x)当x→+∞有非垂直渐近线 e 3k, b: lim((x)-kx-b)=0 f(r) k-0|=0→imn f(r)=k 定理;f:[a,+∞),曲线y=f(x)有渐近线y=kx+b的充要条 件是:mf(x) =k,且im(f(x)-kx)=b 若函数y=f(x)在[a,+∞)可导且lmnf(x)=k,则 lim ( r lim/(x)=k 注意:光有lmf(x)=k则不一定有渐近线。 例1:考察函数f(x)=xhx (1)定义域:x>0 (2)增减区间 求驻点:f(x)=1+hx=0,一个驻点x0=e 在区间(0.,e-)上,f(x)0,f个 xo=e-1,f(x0)=0,极小点 (3)凸凹区间:f"(x)=1x>0,凸函数 (4)因m(x=mmx=+0,无渐近线。 例2考察函数∫(x)= 第四章导数的应用
第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 ( ) 3 2 2 2 2 3 2 1 1 1 + + = − + = y x y y x y y y = x + y = r 2 2 . (D) 函数曲线的渐近线: 设函数 f 在区间 (a, b) 可导。 (1) 垂直渐近线：若 ⎯⎯⎯→+ − → + f (x) x a 或 ; (2) 非垂直渐近线: f (x),当 x → + 有非垂直渐近线 k,b : lim ( ( ) − − ) = 0 →+ f x k x b x 0 ( ) lim = − − →+ x b k x f x x x k x f x x = →+ ( ) lim 定理： f :[a,+), 曲线 y = f (x) 有渐近线 y = kx + b 的充要条 件是： k x f x x = →+ ( ) lim , 且 ( f x k x) b x − = →+ lim ( ) . 若函数 y = f (x) 在 [a,+) 可导且 f x k x = →+ lim ( ) ,则 f (x) k x f x x x = = →+ →+ lim ( ) lim . 注意: 光有 f x k x = →+ lim ( ) 则不一定有渐近线。 例 1 :考察函数 f (x) = x ln x . (1) 定义域: x 0. (2) 增减区间： 求驻点: f (x) = 1+ ln x = 0 , 一个驻点 1 0 − x = e ; 在区间 (0, ) −1 e 上， f (x) 0, f ; 在区间 ( , ) 1 + − e 上， f (x) 0, f ; , ( 0 ) 0 1 0 = = − x e f x , 极小点。 (3) 凸凹区间： f (x) =1 x 0, 凸函数 (4) 因 = = + →+ →+ x x f x x x lim ln ( ) lim , 无渐近线。 例 2 考察函数 1 ( ) 3 − = x x f x
四章导数的应用 (1)定义域:(-∞,0)∪(1,+∞) ()增减区间求驻点:f(x)=(x-3(-少0 个驻点 在(-∞,0)上,f"(x)0.f个,x2=3,极小点。 (3)凸凹区间:f)=3x y(x-) 在定义域上∫"(x)>0,凸函数 (4)渐近线 非垂直渐近线:x→+∞ k= lim f(r) x→+ x→+Vx-1 b=lim ((x)-x)=lim lim x(1 =lmx1++0()-1/1 渐近线:y=x+ ●非垂直渐近线:x→-00 f(x)x i--0x 1-x Vx-l blim((x)+x)=lim //r3 第四章导数的应用
第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 (1) 定义域: (−,0) (1,+ ) . (2) 增减区间：求驻点: ( ) 0 1 ) 2 3 ( ) ( 3 = − = − x x f x x , 二个驻点: 2 3 x1 = , x2 = 0 ; 在 (−, 0) 上， f (x) 0, f ; 在 ) 2 3 (1, 上， f (x) 0, f ; 在 , ) 2 3 ( + 上， f (x) 0, f ; 2 3 x1 = , 极小点。 (3)凸凹区间： ( ) 3 4 1 3 ( ) − = y x x f x , 在定义域上 f (x) 0 , 凸函数 (4)渐近线: ⚫ 非垂直渐近线: x → + k = 1 1 lim ( ) lim = − = →+ →+ x x x f x x x , b= ( ) − − − = →+ →+ x x x f x x x x 1 lim ( ) lim 3 = = − − − →+ ) 1 1 lim (1 2 1 x x x = 2 1 ) 1 1 ( 2 1 lim 1 = + + − →+ x o x x x , 渐近线: 2 1 y = x + 。 ⚫ 非垂直渐近线: x →− k = 1 1 lim ( ) lim = − − = →− →− x x x x x f x x x , b= ( ) + − + = →− →− x x x f x x x x 1 lim ( ) lim 3 =
四章导数的应用 im(1-) im-x1++o(-)-1 渐近线:y=-x-。 垂直渐近线:因lm x→Vx-1 则x=1是垂直渐近线 4-3-2一元函数的极值问题 (A)函数极值的必要条件: ∫在点x0处可导,且是极值点,则必是其驻点 (B)函数极值的充分条件 对于存在导数的函数来说驻点是极值的必要条件 定理(极值的第一充分条件)假设函∫(x)数在x0的某个邻域中存在 一阶导数∫(x),并且在点x0两侧f(x)有相反的符号,则x0是f(x) 的极值点更具体地说有以下结论 (1)如果在(a,x0)内有∫(x)≤0;在(x0,b)内有f(x)≥0, 则f(x)在x0取极小值 第四章导数的应用
第四章 导数的应用 第四章 导数的应用 − − − →− ) 1 1 lim (1 2 1 x x x = 2 1 ) 1 1 ( 2 1 lim 1 = − − + + − →− x o x x x , 渐近线: 2 1 y = −x − 。 ⚫ 垂直渐近线: 因 = + − → + 1 lim 3 1 x x x , 则 x =1 是垂直渐近线. 4-3-2 一元函数的极值问题 (A) 函数极值的必要条件: f 在点 0 x 处可导，且是极值点, 则必是其驻点。 (B) 函数极值的充分条件 对于存在导数的函数来说,驻点是极值的必要条件. 定理:(极值的第一充分条件) 假设函 f (x) 数在 0 x 的某个邻域中存在 一阶导数 f (x), 并且在点 0 x 两侧 f (x) 有相反的符号,则 0 x 是 f (x) 的极值点.更具体地说,有以下结论: (1) 如果在 ( , ) 0 a x 内有 f (x) 0 ; 在 ( , ) x0 b 内有 f (x) 0 , 则 f (x) 在 0 x 取极小值; -10 -5 5 10 2 4 6 8 10
