多项式的性质
多项式的性质 1
多项式的性质 利用带余除法,我们得到下面常用的定理 定還7(余数定理)用一次多项式x-a去除多项式f(x),所 得的余式是一个常数,这个常数等于函数值f(a) 证明用x-a去除f(x),设商为q(x),余式为一常数c 于是 ∫(x)=(x-a)q(x)+c 以a代x得 (a)=c■ 如果f(x)在x=a时函数值∫(a)=0,那么a就称为∫(a)的 个根或零点, 由余数定理我们得到根与一次因式的关系 推论a是f(x)的根的充分必要条件是(x-a)f(x).目 由这个关系,我们可以定义重根的概念.a称为f(x)的k重 根,如果(x-a)是f(x)的k重因式,当k=1时,a称为单根;当 k>1时,a称为重根 定理8P[可]中次多项式(n≥0)在数域P中的根不可能 多于n个,重根按重数计算 证明对零次多项式定理显然成立 设f(a)是一个次数>0的多项式.把f(x)分解成不可约多项 式的乘积.由上面的推论与根的重数的定义,显然f(x)在数域P 中根的个数等于分解式中一次因式的个数,这个数目当然不超过 在上面我们看到,每个多项式函数都可以由一个多项式来定 义.不同的多项式会不会定义出相同的函数呢?这就是问,是否 可能有 f(x)≠g(x)
多项式的性质 2
多项式的性质 而对于P中所有的数a都有 f(a)=g(a)? 由定理8不难对这个问题给出一个否定的回答 定理9如果多项式f(a),g(x)的次数都不超过t,而它们 对n+1个不同的数ap,a2,…,an+1有相同的值,即f(a,)=g(a 2=1,2,…,n+1,那么f(x)=g(ax) 证明由定理的条件,有 f(a;)-g(a)=0,=1,2,…,%+1 这就是说,多项式f(a)-g(x)有t+1个不同的根.如果f(a) g(a)≠0,那么它就是一个次数不超过v的多项式,由定理8,它 不可能有+1个根.因此,f(x)=g(x). 因为数域P中有无穷多个数,所以定理9说明了,不同的多项 式定义的函数也不相同.如果两个多项式定义相同的函数,就称 为恒等,上面的结论表明,多项式的恒等与多项式相等实际上是一 致的.换句话说,数域上的多项式既可以作为形式表达式来处理 也可以作为函数来处理,但是应该指出,考虑到今后的应用与推 广,多项式看成形式表达式要方便些
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