范德蒙行列式 例2行列式 (8) 称为n级的范德蒙( Vandermonde)行列式我们来证明,对任 意的r,第级范德蒙行列式等于a1,a2,…,an这个数的所有可能 的差a4-a(1≤j<m的乘积 我们对v作归纳法 当n=2时 11 a2 结果是对的.设对于n-1级的范德蒙行列式结论成立,现在来 看级的情形 在(8)中,第n行减去第n-1行的a1倍,第n-1行减去第 -2行的a1倍.也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行 的a1倍,有 d=|0a-aa2a-a…a2-a,|= ·78·
范德蒙行列式 1
范德蒙行列式 2 a2-a1a2 a3 a1a3…aa-a1an 02-0102-03-0143 a1a =(2-a)(a-a)…a.-a)a吗"叫 a2-2a32…a 后面这行列式是一个n-1级的范德蒙行列式,根据归纳法假设, 它等于所有可能差a;-a(2≤ji)的乘积;而包含a1的差全 在前面出现了.因之,结论对m级范德蒙行列式也成立,根据数 学归纳法,完成了证明.■ 用连乘号,这个结果可以简写为 lal-l a2 由这个结果立即得出,范德蒙行列式为零的充分必要条件是a1, a2,…,an这个数中至少有两个相等
范德蒙行列式 2
范德蒙行列式
范德蒙行列式 3