《高等代数》课程教学资源（讲义）第四章 矩阵

第四章矩阵 §1矩阵概念的一些背景 在线性方程组的讨论中,我们看到,线性方程组的一些重要性质反映在它的 系数矩阵和增广矩阵的性质上,并且解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵 的过程除了线性方程组之外,还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念, 并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究,甚至于有些性质完 全不同的、表面上完全没有联系的问题,归结成矩阵问题以后却是相同的这使 矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念,因而也就使矩阵成为代数特别 是线性代数的一个主要研究对象 1.在解析几何中考虑坐标变换时,如果只考虑坐标系的转轴(反时针方向转 轴),那么平面直角坐标变换的公式为 =x'cos sin 8 y=xsn 8+y'cos8 (1) 其中θ为x轴与x轴的夹角显然新旧坐标之间的关系,完全通过公式中系数所排 成的2×2矩阵 sin 6 cose 表示出来通常,矩阵(2)称为坐标变换(1)的矩阵在空间的情形,保持原点不动的 仿射坐标系的变换有公式 x=aur+a,2y+a132 y=a21x+a2y'+a2-, 同样,矩阵 aa 33 就称为坐标变换(3)的矩阵 2.二次曲线的一般方程为 ax+2bxy+cy+2dx+2ey +f=0 (5)的左端可以简单地用矩阵

第四章 矩 阵 §1 矩阵概念的一些背景 在线性方程组的讨论中，我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的 系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵 的过程.除了线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念， 并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完 全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的.这使 矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念，因而也就使矩阵成为代数特别 是线性代数的一个主要研究对象. 1. 在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标系的转轴(反时针方向转 轴)，那么平面直角坐标变换的公式为    =  +  =  −  sin cos , cos sin ,     y x y x x y (1) 其中  为 x 轴与 x  轴的夹角.显然新旧坐标之间的关系，完全通过公式中系数所排 成的 2  2 矩阵         −     sin cos cos sin (2) 表示出来.通常，矩阵(2)称为坐标变换(1)的矩阵.在空间的情形，保持原点不动的 仿射坐标系的变换有公式      =  +  +  =  +  +  =  +  +  . , , 31 32 33 21 22 23 11 12 13 z a x a y a z y a x a y a z x a x a y a z (3) 同样，矩阵           31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a (4) 就称为坐标变换(3)的矩阵. 2. 二次曲线的一般方程为 2 2 2 0 2 2 ax + bxy + cy + dx + ey + f = . (5) (5)的左端可以简单地用矩阵

d d e f 来表示通常,(6称为二次曲线(5)的矩阵以后我们会看到,这种表示法不只是形 式的 3.在讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵例如,假设在某一地区, 某一种物资,比如说煤,有s个产地A1,A…,A,n个销地B1,B灬,B,那么 一个调动方案就可以用一个矩阵 a22 sl s2 来表示,其中an表示由产地A运到销地B的数量 4!.n维向量也可以看成矩阵的特殊情形.n维行向量就是1×n矩阵,n维列 向量就是n×1矩阵 以后用大写的拉丁字母A,B1…,或者 a)(b,) 来表示矩阵 有时候,为了指明所讨论的矩阵的级数,可以把sxn矩阵写成An,Bm2…, 或者 (注意矩阵符号与行列式的符号的区别) 设=n)n(),如果m=,n=k,且a=b,对1=12,…mj=1.2,“n 都成立,我们就说A=B即只有完全一样的矩阵才叫做相等

          d e f b c e a b d (6) 来表示.通常，(6)称为二次曲线(5)的矩阵.以后我们会看到，这种表示法不只是形 式的. 3. 在讨论国民经济的数学问题中也常常用到矩阵.例如，假设在某一地区， 某一种物资，比如说煤，有 s 个产地 A A As , , , 1 2  ，n 个销地 B B Bn , , , 1 2  ，那么 一个调动方案就可以用一个矩阵               s s sn n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 来表示，其中 ij a 表示由产地 Ai 运到销地 Bj 的数量. 4. n 维向量也可以看成矩阵的特殊情形. n 维行向量就是 1n 矩阵， n 维列 向量就是 n1 矩阵. 以后用大写的拉丁字母 A, B,  ，或者 (aij),(bij),  来表示矩阵. 有时候，为了指明所讨论的矩阵的级数，可以把 sn 矩阵写成 Asn ,Bsn , ， 或者 (aij) sn ,(bij) sn ,  (注意矩阵符号与行列式的符号的区别). 设 ( ) ( ) lk A aij mn bij = , ，如果 m = l, n = k ，且 aij = bij ，对 i = 1,2,  ,m; j = 1,2,  ,n 都成立，我们就说 A = B .即只有完全一样的矩阵才叫做相等

§2矩阵的运算 现在来定义矩阵的运算,它们可以认为是矩阵之间一些最基本的关系.下面 要定义矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置 为了确定起见,我们取定一个数域,以下所讨论的矩阵全是由数域中的数组 成的 1.加法 定义1设 A 21a22 2n b. b B=(b) b2 i b b2 b, b 是两个sxn矩阵,则矩阵 ,u a,+b C=(=(a,+b, b21 a,+ b 称为A和B的和,记为 C=A+B 矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加当然,相加的矩阵必须要有相同的行 数和列数由于矩阵的加法归结为它们的元素的加法,也就是数的加法,所以不 难验证,它有 结合律:A+(B+C)=(A+B)+C; 交换律:A+B=B+A 元素全为零的矩阵称为零矩阵,记为O,,在不致引起含混的时候,可简单 地记为O.显然,对所有的A A+o=A 矩阵

§2 矩阵的运算 现在来定义矩阵的运算，它们可以认为是矩阵之间一些最基本的关系.下面 要定义矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法以及矩阵的转置. 为了确定起见，我们取定一个数域，以下所讨论的矩阵全是由数域中的数组 成的. 1. 加法 定义 1 设 ( )               = = s s sn n n sn ij a a a a a a a a a A a       1 2 21 22 2 11 12 1 , ( )               = = s s sn n n sn ij b b b b b b b b b B b       1 2 21 22 2 11 12 1 是两个 sn 矩阵，则矩阵 ( ) ( )               + + + + + + + + + = = + = s s s s s n s n n n n n s n i j i j s n i j a b a b a b a b a b a b a b a b a b C c a b       1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 称为 A 和 B 的和，记为 C = A+ B. 矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加.当然，相加的矩阵必须要有相同的行 数和列数.由于矩阵的加法归结为它们的元素的加法，也就是数的加法，所以不 难验证，它有 结合律： A + (B + C) = (A + B) + C ; 交换律： A + B = B + A . 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为 Osn ，在不致引起含混的时候，可简单 地记为 O.显然，对所有的 A ， A+O = A. 矩阵

称为矩阵A的负矩阵,记为-A.显然有 A+(-A)=O 矩阵的减法定义为 A-B=A+(-B) 例如在§1我们看到,某一种物资如果有s个产地,n个销地,那么一个调 动方案就可表示为一个sxn矩阵矩阵中的元素a表示由产地A要运到销地B 的这个物资的数量,比如说吨数如果从这些产地还有另一个物资要运到这些销 地,那么,这种物资的调动方案也可以表示为一个矩阵于是从产地到销地的总 的运输量也可以表示为一个s×n矩阵显然,这个矩阵就等于上面两个矩阵的和 根据矩阵加法的定义应用关于向量组的秩的性质,很容易看出 秩(A+B)≤秩(A)+秩(B) 乘法 在给出乘法定义之前,先看一个引出矩阵问题 设x,x2,x3,x和y,y2,y3是两组变量,它们之间的关系为 x1=a1y1+a12y2+al13y3 x2=a2y1+a2y2+a23y3 x3=a31y1+a2y2+a3y3 x4=a4y1+a42y2+a43y3 又如1=2是第三组变量,它们与y1,y2,y2的关系为 b21=1+b22 y3=b31=1+b2 由(1)与(2)不难看出x2,x2,x2,x4与1=2的关系

              − − − − − − − − − s s sn n n a a a a a a a a a       1 2 21 22 2 11 12 1 称为矩阵 A 的负矩阵，记为− A .显然有 A + (−A) = O 矩阵的减法定义为 A − B = A + (−B) 例如 在§1 我们看到，某一种物资如果有 s 个产地， n 个销地，那么一个调 动方案就可表示为一个 sn 矩阵.矩阵中的元素 ij a 表示由产地 Ai 要运到销地 Bj 的这个物资的数量，比如说吨数.如果从这些产地还有另一个物资要运到这些销 地，那么，这种物资的调动方案也可以表示为一个矩阵.于是从产地到销地的总 的运输量也可以表示为一个 sn 矩阵.显然，这个矩阵就等于上面两个矩阵的和. 根据矩阵加法的定义应用关于向量组的秩的性质，很容易看出： 秩（ A + B ）≤ 秩（ A ）+秩（ B ） 2. 乘法 在给出乘法定义之前，先看一个引出矩阵问题. 设 1 2 3 4 x , x , x , x 和 1 2 3 y , y , y 是两组变量，它们之间的关系为        = + + = + + = + + = + + . , , , 4 41 1 42 2 43 3 3 31 1 32 2 33 3 2 21 1 22 2 23 3 1 11 1 12 2 13 3 x a y a y a y x a y a y a y x a y a y a y x a y a y a y (1) 又如 1 2 z ,z 是第三组变量，它们与 1 2 3 y , y , y 的关系为      = + = + = + . , , 3 31 1 32 2 2 21 1 22 2 1 11 1 12 2 y b z b z y b z b z y b z b z (2) 由(1)与(2)不难看出 1 2 3 4 x , x , x , x 与 1 2 z ,z 的关系：

x=∑ay=∑aC∑b=)=∑∑ab k=l j ∑∑叫b:=∑∑bE (=1,2,3,4) 如果我们用 ∑cn,(i=1,2,3,4) 来表示x1,x2x3,x4与x1,2的关系,比较(3)(4),就有 cn=∑ab(i=1,2,3,4;j=1,2) 用矩阵的表示法,我们可以说,如果矩阵 A=(a)3,B=)2 分别表示变量x1,x2,x2x4与y,y2,y3以及y,y2,y3与2,=2之间的关系,那么表示 x1,x2,x3,x4与=1=2之间的关系的矩阵 就由公式(5)决定矩阵C称为矩阵A与B的乘积,记为 般地,我们有: 定义2设 B 那么矩阵 C=(e), 其中 abui+a2b, 称为矩阵A与B的乘积,记为 C=AB 由矩阵乘法的定义可以看出,矩阵A与B的乘积C的第i行第j列的元素等 于第一个矩阵A的第i行与第二个矩阵B的第j列的对应元素的乘积的和当然, 在乘积的定义中,我们要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等

( ) ( 1,2,3,4) ( ) 2 1 3 1 2 1 3 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 = = = = = =        = = = = = = = = = a b z a b z i x a y a b z a b z j j k j k i k kj j i k kj k j i k kj j k j i k kj j k i i k k . (3) 如果我们用 ( 1,2,3,4) 2 1 =  = = x c z i j i ij j (4) 来表示 1 2 3 4 x , x , x , x 与 1 2 z ,z 的关系，比较(3),(4)，就有 ( 1,2,3,4; 1, 2) 3 1 =  = = = c a b i j k ij ik kj . (5) 用矩阵的表示法，我们可以说，如果矩阵 ( ) ( ) 43 32 , A = aik B = bkj 分别表示变量 1 2 3 4 x , x , x , x 与 1 2 3 y , y , y 以及 1 2 3 y , y , y 与 1 2 z ,z 之间的关系，那么表示 1 2 3 4 x , x , x , x 与 1 2 z ,z 之间的关系的矩阵 ( ) 42 ij C = c 就由公式(5)决定.矩阵 C 称为矩阵 A 与 B 的乘积，记为 C = AB 一般地，我们有： 定义 2 设 ( ) ( ) ik sn kj nm A = a , B = b , 那么矩阵 ( ) ij sm C = c , 其中 = = + + + = n k ij ai b j ai b j ai nbnj ai kbkj c 1 1 1 2 2  , (6) 称为矩阵 A 与 B 的乘积，记为 C = AB. 由矩阵乘法的定义可以看出，矩阵 A 与 B 的乘积 C 的第 i 行第 j 列的元素等 于第一个矩阵 A 的第 i 行与第二个矩阵 B 的第 j 列的对应元素的乘积的和.当然， 在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等

例1设 034 204 05-1 l21 那么 AB= 204 10 3 05-1 121 例2如果 A=(au) 是一线性方程组的系数矩阵,而 b2 b 分别是未知量和常数项所成的n×1和s×1矩阵,那么线性方程组就可以写成矩阵 的等式 A X= B 例3在空间中作一坐标系的转轴设由坐标系(x1y1,=1)到(x2,y2=2)的坐标 变换的矩阵为 a 22a23 a aaa a. 如果令 y 那么坐标变换的公式可以写成 如果再作一次坐标系的转轴,设由第二个坐标系(x2,y2,z2)到第三个坐标系

例 1 设               − − =           − − − = 1 2 1 3 1 1 1 2 1 0 3 4 , 0 5 1 4 1 1 3 0 1 0 1 2 A B , 那么           − − − =               − −           − − − = 2 17 10 10 2 6 5 6 7 1 2 1 3 1 1 1 2 1 0 3 4 0 5 1 4 1 1 3 0 1 0 1 2 AB 例 2 如果 ( ) sn A = aij 是一线性方程组的系数矩阵，而               =               = n bs b b B x x x X   2 1 2 1 , 分别是未知量和常数项所成的 n1 和 s 1 矩阵，那么线性方程组就可以写成矩阵 的等式 AX = B . 例 3 在空间中作一坐标系的转轴.设由坐标系 ( , , ) 1 1 1 x y z 到 ( , , ) 2 2 2 x y z 的坐标 变换的矩阵为           = 31 32 33 21 22 23 11 12 13 a a a a a a a a a A 如果令           =           = 2 2 2 2 1 1 1 1 , z y x X z y x X , 那么坐标变换的公式可以写成 X1 = AX2 . 如果再作一次坐标系的转轴，设由第二个坐标系 ( , , ) 2 2 2 x y z 到第三个坐标系

(x3,y3z3)的坐标变换公式为 X=BX 3 其中 bu bu2 bus B=b21b2b23,X3 b3 b32 b33 那么不难看出,由第一个坐标系到第三个坐标系的坐标变换的矩阵即为 C=AB 矩阵的乘法适合结合律设 A=(an),B=(b),C=()m 则 (ABC=A(BC) 但是矩阵的乘法不适合交换律,即一般说来 AB≠BA 例如,设 A B AB 00 BA 由这个例子我们还可看出,两个不为零的矩阵的乘积可以是零,这是矩阵乘 法的一个特点.由此还可得出矩阵消去律不成立即当AB=AC时,不一定有 定义3主对角线上的元素全是1,其余元素全是0的nxn矩阵 0

( , , ) 3 3 3 x y z 的坐标变换公式为 X2 = BX3 , 其中           =           = 3 3 3 3 31 32 33 21 22 23 11 12 13 , z y x X b b b b b b b b b B . 那么不难看出，由第一个坐标系到第三个坐标系的坐标变换的矩阵即为 C = AB. 矩阵的乘法适合结合律.设 ( ) ( ) ( ) jk nm kl mr sn ij A = a , B = b , C = c 则 (AB)C = A(BC). 但是矩阵的乘法不适合交换律，即一般说来 AB  BA. 例如，设         − − =         − − = 1 1 1 1 , 1 1 1 1 A B         =        − −         − − = 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 AB , 而         − − =        − −         − − = 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 BA . 由这个例子我们还可看出，两个不为零的矩阵的乘积可以是零，这是矩阵乘 法的一个特点.由此还可得出矩阵消去律不成立.即当 AB = AC 时,不一定有 B = C. 定义 3 主对角线上的元素全是 1，其余元素全是 0 的 nn 矩阵               0 0 1 0 1 0 1 0 0      

称为n级单位矩阵,记为En,或者在不致引起含混的时候简单写为E显然有 EA =A 矩阵的乘法和加法还适合分配律,即 A(B+C)=AB+AC, (B+C)A= BA+ BC 应该指出,由于矩阵的适合交换律,所以(9)与(10)是两条不同的规律 我们还可以定义矩阵的方幂设A是一n×n矩阵,定义 A A 换句话说,A就是k个A连乘当然只能对行数与列数相等的矩阵来定义由乘法 的结合律,不难证明 AA=A (4) 这里k,是任意正整数因为矩阵乘法不适合交换律,所以(AB)与AB一般不相 等 3.数量乘法 定义4矩阵 k ka 2…ka2n k 称为矩阵A=(a)与数k的数量乘积,记为k换句话说,用数k乘矩阵就是把 矩阵的每个元素都乘上k 数量乘积适合以下的规律: (k+1)A=kA=lA k(A+B)=kA+kB

称为 n 级单位矩阵，记为 En ，或者在不致引起含混的时候简单写为 E .显然有 AsnEn = Asn , Es Asn = Asn . 矩阵的乘法和加法还适合分配律，即 A(B + C) = AB + AC , (9) (B + C)A = BA + BC . (10) 应该指出，由于矩阵的适合交换律，所以(9)与(10)是两条不同的规律. 我们还可以定义矩阵的方幂.设 A 是一 nn 矩阵，定义     = = + . , 1 1 A A A A A k k 换句话说， k A 就是 k 个 A 连乘.当然只能对行数与列数相等的矩阵来定义.由乘法 的结合律，不难证明 k l k l A A A + = , k l kl (A ) = A . 这里 k,l 是任意正整数.因为矩阵乘法不适合交换律，所以 k (AB) 与 k k A B 一般不相 等. 3. 数量乘法 . 定义 4 矩阵               s s sn n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka       1 2 21 22 2 11 12 1 称为矩阵 ( ) sn A = aij 与数 k 的数量乘积，记为 kA.换句话说，用数 k 乘矩阵就是把 矩阵的每个元素都乘上 k . 数量乘积适合以下的规律： (k + l)A = kA = lA , (11) k(A + B) = kA+ kB , (12)

k(LA)=(kl)A, (13) lA=A (14) k(AB)=(kA)B= A(kB) 矩阵 0 k 00 通常称为数量矩阵作为(15)的特殊情形,如果A是一n×n矩阵,那么有 kA=(kE)A=A(kE) 这个式子说明,数量矩阵与所有的n×n矩阵作乘法是可交换的可以证明:如果 一个n级矩阵与所有n级矩阵作乘法是可交换的,那么这个矩阵一定是数量矩阵 再有 kE+lE =(k+DE (kEE)=(kDE 这就是说,数量矩阵的加法与乘法完全归结为数的加法与乘法. 4.转置 把一矩阵A的行列互换,所得到的矩阵称为A的转置,记为A可确切地定 义如下 定义5设 A 所谓的转置就是指矩阵 12a 显然,s×n矩阵的转置是n×s矩阵. 矩阵的转置适合以下的规律:

k(lA) = (kl)A , (13) 1A = A , (14) k(AB) = (kA)B = A(kB) . (15) 矩阵               = k k k kE       0 0 0 0 0 0 通常称为数量矩阵.作为(15)的特殊情形，如果 A 是一 nn 矩阵，那么有 kA = (kE)A = A(kE). 这个式子说明，数量矩阵与所有的 nn 矩阵作乘法是可交换的.可以证明：如果 一个 n 级矩阵与所有 n 级矩阵作乘法是可交换的，那么这个矩阵一定是数量矩阵. 再有 kE + lE = (k + l)E , (kE)(lE) = (kl)E , 这就是说，数量矩阵的加法与乘法完全归结为数的加法与乘法. 4. 转置 把一矩阵 A 的行列互换，所得到的矩阵称为 A 的转置，记为 A .可确切地定 义如下： 定义 5 设               = s s sn n n a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1 ， 所谓的转置就是指矩阵                = n n sn s s a a a a a a a a a A       1 2 12 22 2 11 21 1 . 显然， sn 矩阵的转置是 ns 矩阵. 矩阵的转置适合以下的规律：

(A)’=A (16) (A+B)=A+B (AB)'=BA', (kA=kA (19) (16)表示两次转置就还原,这是显然的 例4设 ),B=113 42 求(AB),B'A

(A) = A , (16) (A + B) = A + B , (17) (AB) = BA , (18) (kA) = kA . (19) (16)表示两次转置就还原，这是显然的. 例 4 设 ( )           − = − = 4 2 1 1 1 3 2 1 0 A 1 1 2 , B 求 (AB) , BA