第四节 第二章 隐画数和参数方程求导 相关变化率 隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 A三、相关变化率 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
第四节 一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 隐函数和参数方程求导 相关变化率 第二章
隐函数的导数 若由方程F(x,y)=0可确定y是x的函数,则称此 函数为隐函数 由y=f(x)表示的函数,称为显函数 例如,x-y3-1=0可确定显函数y=31-x y3+2y-x-3x7=0可确定y是x的函数, 但此隐函数不能显化 隐函数求导方法:F(x,y)=0 两边对x求导 d F(x,y)=0(含导数y的方程) dx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 函数为隐函数 . 则称此 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 y 的方程) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例求由方程y5+2y-x-3x7=0确定的隐函数 d y=y(x)在x=0处的导数 dxx=0 解:方程两边对x求导 da (y3+2y-x-3x2)=0 d 得5 +2-1-21x0=0 dx dx dy1+21x6 4 +2 d 因x=0时y=0,故 dxx=02 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导 得 x y y d d 5 4 x y d d + 2 −1 6 − 21x = 0 5 2 1 21 d d 4 6 + + = y x x y 因 x = 0 时 y = 0 , 故 确定的隐函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2求椭圆x 1在点(2,33)处的切线方程 169 解:椭圆方程两边对x求导 y=0 9 y 16y y= 故切线方程为y2 即 √3x+4y-83=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例2. 求椭圆 在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 8 x + y y 9 2 = 0 y 2 3 2 3 = = x y y x 16 9 = − 2 3 2 3 = = x y 4 3 = − 故切线方程为 3 2 3 y − 4 3 = − (x − 2) 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.求y=x5x(x>0)的导数 解:两边取对数,化为隐式 ny=sinx Inx 两边对x求导 y=coS x Inx Sin x y sIn x SInx coSx·nx+ X HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例3. 求 的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式 两边对 x 求导 y y 1 = cos x ln x x sin x + ) sin (cos ln sin x x y x x x x = + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明: 1)对幂指函数y=l可用对数求导法求导 Iny=vInu y'=vInu+v y=u(v'InutD u 注意 u Inu. v+vu 按技指数函数求导公式按幂函数求导公式 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
1) 对幂指函数 v y = u 可用对数求导法求导 : ln y = v lnu y y 1 = v lnu u u v + ( ln ) u u v y u v u v = + y u u v v = ln vu u v + −1 说明: 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 注意: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2)有些显函数用对数求导法求导很方便 例如,y b( C (a>0,b>0,,≠1) b b 两边取对数 Iny=xIn+a[Inb-Inx+b[Inx-Ina b 两边对x求导 b n 6 x bx b n b b HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如, 两边取对数 ln y = 两边对 x 求导 = y y b a ln x a − x b + + b a x ln a[lnb − ln x ]+b[ln x − ln a] 机动 目录 上页 下页 返回 结束
又如,y (x-1)(x-2) V(x-3)x-4 两边取对数 (ln)= In y=o[In x-1+In x-2-In x-3 -In x-41 对x求导 1x-2x-3x-4 (x-1(x-2) 2(x-3x-4)1x-1x-2x-3 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
又如, ( 3)( 4) ( 1)( 2) − − − − = x x x x y u u u (ln ) = 2 1 ln y = 对 x 求导 2 1 = y y 4 1 3 1 2 1 1 1 − − − − − + x − x x x 两边取对数 ln x −1 + ln x − 2 − ln x − 3 − ln x − 4 + −1 1 x 2 1 x − 3 1 − − x 4 1 − − x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、由参数方程确定的函数的导数 若参数方程 9( v() 可确定一个y与x之间的函数 关系(),v()可导,且[()2+v()12≠0,则 q(t)≠0时,有 dydy dt dy 1 yu'(t) dx dt dx dt dx (t' V()≠0时有 d t dx dx dt dx 1 o'(t) (此时看成x是y的函数)v() dy dt dy dt dy 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
二、由参数方程确定的函数的导数 若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数 可导, 且 则 (t) 0 时, 有 = x y d d x t t y d d d d t t x y d d 1 d d = ( ) ( ) t t = (t) 0 时, 有 = y x d d y t t x d d d d t t y x d d 1 d d = ( ) ( ) t t = (此时看成 x 是 y 的函数 ) 关系, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
若上述参数方程中(),()二阶可导且q()≠0, 则由它确定的函数y=f(x)可求二阶导数 利用新的参数方程{dy(o可得 dx ( d-y d d dd ly、/d d x2 dx dx dt dx/ dt y"(t)(t)-v(t)o"(t) q2() V"()(t)-v()"(t)x一x HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动 上页下页返回结味
若上述参数方程中 二阶可导, = 2 2 d d x y ) d d ( d d x y x = ( ) 2 t (t)(t)−(t)(t) (t) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 t t t t t − = 3 x yx xy − = ) d d ( d d x y t = t x d d ( ) ( ) d d t t x y = x =(t) 且 则由它确定的函数 可求二阶导数 . 利用新的参数方程 ,可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束