§37稳定性问题 在研究许多实际问题时,人们最为关心的也许并非系统与 时间有关的变化状态,而是系统最终的发展趋势。例如,在研 究某频危种群时,虽然我们也想了解它当前或今后的数量,但 我们更为关心的却是它最终是否会绝灭,用什么办法可以拯救 这一种群,使之免于绝种等等问题。要解决这类问题,需要用 到微分方程或微分方程组的稳定性理论。在下两节,我们将研 究几个与稳定性有关的问题
§3.7 稳定性问题 在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并非系统与 时间有关的变化状态，而是系统最终的发展趋势。例如，在研 究某频危种群时，虽然我们也想了解它当前或今后的数量，但 我们更为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么办法可以拯救 这一种群，使之免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用 到微分方程或微分方程组的稳定性理论。在下两节，我们将研 究几个与稳定性有关的问题
一般的微分方程或微分方程组可以写成: f(t, x) 定义称微分方程或微分方程组 dx f(x) (3.28) 为自治系统或动力系统。 若方程或方程组八刈)=0有解和,X=显然满足(328)。称 点和为微分方程或微分方程组(328)的平衡点或奇点
一般的微分方程或微分方程组可以写成： ( , ) dx f t x dt = 定义 称微分方程或微分方程组 为自治系统或动力系统。 ( ) dx f x dt = （3.28） 若方程或方程组f(x)=0有解Xo ，X=Xo显然满足（3.28）。称 点Xo为微分方程或微分方程组（3.28)的平衡点或奇点
例7本章第2节中的 Logistic模型 dnk(K-N)N 共有两个平衡点:N=0和N=K,分别对应微分方程的两 两个特殊解。前者为N=0时的解而后者为N=K时的解。 当NK时,则 位于N=K的上方。从图3-17中不难看出,若N>0,积分曲线在N 轴上的投影曲线(称为轨线)将趋于K。这说明,平衡点N0和 N=K有着极大的区别。 dx 定义1自治系统=f(x)的相空间是指以(x,…xn)为坐标 的空间R"。 NO>K 特别,当m=2时,称相空间为相平面。k NO<K 空间R的点集(x1…x=x()满足(3.28),云 n}称 为系统的轨线,所有轨线在相空间的分布图称为相图 图3-17
例7 本章第2节中的Logistic模型 ( ) dN k K N N dt = − 共有两个平衡点：N=0和N=K，分别对应微分方程的两 两个特殊解。前者为No=0时的解而后者为No =K时的解。 当No K时，则 位于N=K的上方。从图3-17中不难看出，若No>0，积分曲线在N 轴上的投影曲线（称为轨线）将趋于K。这说明，平衡点N=0和 N=K有着极大的区别。 图3-17 定义1 自治系统 的相空间是指以（x1 ,…,xn）为坐标 的空间Rn 。 ( ) dx f x dt = 特别，当n=2时，称相空间为相平面。 空间Rn的点集{(x1 ,…,xn )}|xi =xi (t)满足(3.28)，i=1,…,n}称 为系统的轨线，所有轨线在相空间的分布图称为相图
定义2设是(328)的平衡点,称: (1)y盈宁 Q,存在一个6>0 只要根据这一定义, Logistic方 的都成立。 程的平衡点N=K是稳定的 且为渐近稳定的,而平衡点 imx()-副=0 t→)00 N=0则是不稳定的。 r成立 微分方程平衡点的稳定性除了几何方法,还可以通过解 析方法来讨论,所用工具为以下一些定理
定义2 设x0是（3.28）的平衡点，称： （1）x0是稳定的，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0， 只要|x(0)- x0 |<δ，就有|x(t)- x0 |<ε对所有的t都成立。 （2）x0是渐近稳定的，如果它是稳定的且 。 0 lim ( ) 0 t x t x → − = 微分方程平衡点的稳定性除了几何方法，还可以通过解 析方法来讨论，所用工具为以下一些定理。 （3）x0是不稳定的，如果（1）不成立。 根据这一定义，Logistic方 程的平衡点N=K是稳定的 且为渐近稳定的，而平衡点 N=0则是不稳定的
解析方法 定理1设和是微分方程=的平衡点 若/(x°)则°是渐近稳定的 若∫(x°)则是渐近不稳定的 证由泰勒公式 高阶微分方程与高阶微分方程组 平衡点的稳定性讨论较为复杂 大家有兴趣可参阅微分方程定性 b理论为了下两节的需要,我们 简单介绍一下两阶微分方程组平 衡点的稳定性判别方法
解析方法 定理1 设x o是微分方程 的平衡点： f (x) dt dx = '( ) 0 o 若 f x ,则x o是渐近稳定的 '( ) 0 o 若 f x , 则x o是渐近不稳定的 证 由泰勒公式，当x与x o充分接近时，有： ( ) ( ) '( )( ) ( ) o o o o f x f x f x x x o x x = + − + − 由于x o是平衡点，故f(x o)=0。若 ，则当 x0，从而x单增；当x>x o时，又有 f(x)<0，从而x单减。无论在哪种情况下都有x→x o ，故x o是渐进稳定的。 '( ) 0 o f x f x'( ) 0 o 的情况可类似加以讨论。 高阶微分方程与高阶微分方程组 平衡点的稳定性讨论较为复杂， 大家有兴趣可参阅微分方程定性 理论。为了下两节的需要，我们 简单介绍一下两阶微分方程组平 衡点的稳定性判别方法
考察两阶微分方程组: f(x12x2) (3.29) g(x 令x=x作坐标平移,不妨仍用记x,则平衡 点x的稳定性讨论转化为原点的稳定性讨论了。将 f(x1X2)、9(X1,k2)在原点展开,(329)又可写成 =f(0,0)x+f(0,0)x2+0(x2+x2 d=8(0,0)x+8,(0,0+0x+x2) 考察(329)的线性近似方程组: h叫x+br (3.30) =cx, +dx 其中: a=f(0,0)b=f00)c=gx(0.0)d=g21(0.0)
考察两阶微分方程组： 1 1 2 2 1 2 ( , ) ( , ) dx f x x dt dx g x x dt = = （3.29） 令 ，作一坐标平移，不妨仍用x记x’，则平衡 点x o的稳定性讨论转化为原点的稳定性讨论了。将 f(x1 ,x2 )、g(x1 ,x2 )在原点展开，（3.29）又可写成: o x' = x − x 1 2 1 2 1 ' ' 2 2 1 2 1 2 2 ' ' 2 2 1 2 1 2 (0,0) (0,0) ( ) (0,0) (0,0) ( ) x x x x dx f x f x o x x dt dx g x g x o x x dt = + + + = + + + 考察（3.29）的线性近似方程组: 1 1 2 2 1 2 dx ax bx dt dx cx dx dt = + = + （3.30） 其中： 1 ' (0,0) x a f = 2 ' (0,0) x b f = 1 ' (0,0) x c g = 2 ' (0,0) x d g =
讨论特征值与零点稳定的关系 (1)若4>0,可能出现以下情形: ①若q>0,21A2>0。 当p>0时,零点不稳定 当P0时,零点不稳定 当p<0时,零点稳定
记 a b A c d = λ1、λ2为A的特征值则λ1、λ2是方程： det（A-λI）=λ2 - (a+b) λ+ (ad – bc )=0的根 令p=a+d, q=ad-bc=|A|，则 ，记 。 2 1,2 1 ( 4 ) 2 = − p p q 2 = − p q4 讨论特征值与零点稳定的关系 （1）若△>0，可能出现以下情形： ① 若q>0，λ1 λ2>0。 当p>0时，零点不稳定； 当p0时，零点不 稳定 当p<0时，零点稳定
②如果λ只有一个特征向量 当p≥0时,零点不稳定 当p>0时,零点稳定 (2)△0,零点稳定 若a=0,有零点为中心的周期解 综上所述:仅当0时,(330)零点才是渐近稳定 的;当=0且q0时(330)有周期解,零点是稳定的中心(非渐 近稳定);在其他情况下,零点均为不稳定的。 非线性方程组(329)平衡点稳定性讨论可以证明有下面 定理成立: 定理2若(330)的零点是渐近稳定的,则(329)的平衡点 也是渐近稳定的;若(330)的零点是不稳定的,则(3.29) 的平衡点也是不稳定的
② 如果λ只有一个特征向量 当p≥0时，零点不 稳定 当p>0时，零点稳定 （2） △0，零点稳定 若a=0，有零点为中心的周期解 综上所述：仅当p0时， （3.30）零点才是渐近稳定 的；当p=0且q>0时（3.30）有周期解，零点是稳定的中心（非渐 近稳定）；在其他情况下，零点均为不稳定的。 非线性方程组（3.29）平衡点稳定性讨论可以证明有下面 定理成立: 定理2 若（3.30）的零点是渐近稳定的，则（3.29）的平衡点 也是渐近稳定的；若（3.30）的零点是不稳定的，则（3.29） 的平衡点也是不稳定的