§36矩病的 糖尿病模型假设 陈 代谢紊根据生物、医学等原理,作如下假设: (GTT(葡萄糖是所有细胞和组织的能量来源,在新陈代谢困 难的 中起着十分重要的作用。每个人都有自己最适当的 在 于医生血糖浓度,当体内的血糖浓度过渡偏离这一浓度 目罗 得岛的血糖浓度是处于一个自我调节系统之中的,它受到 患 有糖尿生理激素和其他代谢物的影响和控制,这些代谢物 为 进一步包括胰岛素、高血糖素肾上腺素、糖皮质激素、7报 告后则生长激素甲状腺素等,统称为内分泌激素 十世(内分泌激素中对血糖起主要影响向的是胰岛素,葡萄 ar Moln 生化反应,降低血糖浓度。此外,高血糖素能将体 和博轻 d 士研究内过量的糖转化为糖元储存于肝脏中,从而降低血 微糖尿糖的浓度
§3.6 糖尿病的诊断 糖尿病是一种新陈代谢疾病，它是由胰岛素缺乏引起的新陈 代谢紊乱造成的。糖尿病的诊断是通过葡萄糖容量测试 （GTT）来检查的，较严重的糖尿病医生不难发现，较为困 难的是轻微糖尿病的诊断。轻微糖尿病诊断时的主要困难在 于医生们对葡萄糖容许剂量的标准看法不一。例如，美国罗 得岛的一位内科医生看了一份GTT测试的报告后认为病人患 有糖尿病，而另一位医生则认为此人测试结果应属正常。为 进一步诊断，这份检测报告被送到波士顿，当地专家看了报 告后则认为此人患有垂体肿瘤。 二十世纪60年代中期，北爱尔兰马由医院的医生Rosevear和 Molnar以及美国明尼苏达大学的Ackeman和Gatewood博 士研究了血糖循环系统，建立了一个简单的数学模型，为轻 微糖尿病的诊断提供了较为可靠的依据。 模型假设 根据生物、医学等原理，作如下假设： (1)葡萄糖是所有细胞和组织的能量来源，在新陈代谢 中起着十分重要的作用。每个人都有自己最适当的 血糖浓度，当体内的血糖浓度过渡偏离这一浓度 时，将导致疾病甚至死亡。 (2)血糖浓度是处于一个自我调节系统之中的，它受到 生理激素和其他代谢物的影响和控制，这些代谢物 包括胰岛素、高血糖素、肾上腺素、糖皮质激素、 生长激素、甲状腺素等，统称为内分泌激素。 (3)内分泌激素中对血糖起主要影响的是胰岛素，葡萄 糖只有在胰岛素的作用下才能在细胞内进行大量的 生化反应，降低血糖浓度。此外，高血糖素能将体 内过量的糖转化为糖元储存于肝脏中，从而降低血 糖的浓度
模型用一、两个参数来区分正常人与轻微病人(测量若干 次),根据上述假设,建模时将研究对象集中于两个浓度: 葡萄糖浓度和激素浓度。 以G表示血糖浓度,以H表示内分泌激素的浓度。根据上述假 设血糖浓度的变化规律依赖于体内现有的血糖浓度及内分泌 激素的浓度,记这一依赖关系为函数F(G,H)。而内分泌激 素浓度的变化规律同样依赖于体内现有的血糖浓度以及内分 泌激素的浓度记其依赖关系为函数F(G,H),故有 =F2(G,H)+J(0 dH dt =F,(G, H (3.19) 其中J()为被检测者在开始检测后服下的一定数量的葡萄糖。 病人在检测前必须禁食,故可设检测前病人血糖浓度及内分 泌激素的浓度均已处于平衡状态
模型用一、两个参数来区分正常人与轻微病人（测量若干 次），根据上述假设，建模时将研究对象集中于两个浓度： 葡萄糖浓度和激素浓度。 以G表示血糖浓度，以 H表示内分泌激素的浓度。根据上述假 设血糖浓度的变化规律依赖于体内现有的血糖浓度及内分泌 激素的浓度，记这一依赖关系为函 数F (G , H)。而内分泌激 素浓度的变化规律同样依赖于体内现有的血糖 浓度以及内分 泌激素的浓度，记其依赖关系为函 数F ( G , H )，故有： = ( G , H ) + J (t) = ( G , H ) （ 3.19 ） 其中J (t) 为被检测者在开始检测后服下的一定数量的葡萄糖。 病人在检测前必须禁食，故可设检测前病人血糖浓度及内分 泌激素的浓度均已处于平衡状态 dt dG dt dH F1 F 2
即可令t=0时G=G0,H=H且 F1(Go,H0)=0 F2(Go,H0)=0 从而有 G(0)=0 H(0)=0 在测试过程中G,H均为变量,而我们关心的却只是它们的改 变量,故令g=G-G,h=H-H 在(319)中将展开,得到 dg=OF (Go H g+0F ( Go Ho)n+e, +J(ty dt aG aH dh aF2(Go, Ho) aF,(Go,Ho)h+e2 8t dt G aH 其中e1、e是g和h的高阶无穷小量
即可令 t = 0时 G = G0 , H = H0且 F1 ( G0 ,H0 ) = 0 F2 ( G0 ,H0 ) = 0 从而有 在测试过程中 G , H 均为变量，而我们关心的却只是它们的改 变量，故令g = G – G0 , h = H – H0 , 在（ 3.19 ）中将 展开，得到 0 0 0 0 = = H ( ) G ( ) ' ' h e J(t ) H F (G ,H ) g G F (G ,H ) dt dg 1 1 0 0 1 0 0 + + + = 2 2 0 0 2 0 0 h e H F (G ,H ) g G F (G ,H ) dt dh + + = 其中 e1 、 e2 是g 和h 的高阶无穷小量
方程组(3.20)是一个非线性方程组,较难求解。当 er、e2很小时(即检测者至多为轻微病人时),为求解方 便,我们考察不包含它们的近似方程组 d g aF, (Go, Ho) aF, (Go, Ho) 8t h+J(t) aG OH dh_8F2 (Go, H0)g+dF2 Go, HoI aG aH 首先,我们来确定右端各项的符号。从图中可看出,当 ()=0时若g>0且h=0,则此人血糖浓度高于正常值, 内分泌激素将促使组织吸收葡萄糖,并将其存储进肝 脏,此时有“8 0,从而应有:OFG,Hn)<0 aG
很小时（即检测者至多为轻微病人时），为求解方 便，我们考察不包含它们的近似方程组 方程组（ 3.20 ）是一个非线性方程组，较难求解。当 1 e 、 2 e h J(t ) H F (G ,H ) g G F (G ,H ) dt dg 1 0 0 1 0 0 + + = h H F (G ,H ) g G F (G ,H ) dt dh 2 0 0 2 0 0 + = 首先，我们来确定右端各项的符号。从图 中可看出，当 J(t)=0 时,若g ＞ 0 且 h = 0，则此人血糖浓度高于正常值， 内分泌激素将促使组织吸收葡萄糖，并将其存储进肝 脏，此时有 ﹤ 0，从而应有： < 0 dt dg G F (G ,H ) 1 0 0
其激素浓度将增加以抑制血糖浓度的增高,因而又有: OF(G. H >0 aG 反之,当J()=0而g=O且h>0时,此人激素浓度高于正常 值,血糖浓度及激素浓度均将减少,从而必有 aF,(Go,Ho) 0 aH aF,(Go,Ho) 0 aH 将方程组(320)改写成2=-m:g-m1h+J(t) 13g dt 其中m1,m2,m3,m4均为正常数
其激素浓度将增加以抑制血糖浓度的增高，因而又有：: G F (G ,H ) 2 0 0 ＞ 0 反之，当J(t)=0而g=0且h＞0 时，此人激素浓度高于正常 值，血糖浓度及激素浓度均将减少，从而必有 0 H F (G ,H ) 0 H F (G ,H ) 2 0 0 1 0 0 将方程组（ 3.20 ）改写成 m g m h J(t ) dt dg = − 1 − 2 + m g m h dt dh = 3 − 4 其中 m1 ,m2 ,m3 ,m4 均为正常数
(321)是关于g、h的一阶常系数微分方程组,因激素浓 度不易测得,对前式再次求导化为: g =-1 m,m38+m,m,h+ dt 由于m2h dm,8+ 故 d g m2m2+m4( d g m,8+5)+ dt 或 g +(m1+m/的 +(m2m2+m,m4)g=m,J+ dt d(3.22) 令a=(m1+m4) m,m,+1123,S(t)=mJ(t)+ 则(3,22)可简写成 d t 2 +2a8+g=S(t)(3.23) 其中a=m+m,),0=mm+mm,5)=m,)+m
（ 3.21 ）是关于 g、h的一阶常系数微分方程组，因激素浓 度不易测得，对前式再次求导化为： dt dJ m m g m m h dt dg m dt d g 2 1 2 3 2 4 2 = − − + + 由于 m g J dt dg m2 h = − − 1 + 故 dt dJ m g J ) dt dg m m g m ( dt dg m dt d g 2 1 2 3 4 1 2 = − − + − − + + 或 dt dJ ( m m m m )g m J dt dg ( m m ) dt d g 2 1 4 2 3 1 4 4 2 + + + + = + ( 3.22 ) ( m m ) 2 1 = 1 + 4 , 1 4 2 3 2 , 0 = m m + m m dt dJ S( t ) m J( t ) 令 = 4 + 则( 3.22 )可简写成 g S(t ) dt dg 2 dt d g 2 2 0 2 + + = ( 3.23 ) 其中 ( m m ) 2 1 = 1 + 4 , 1 4 2 3 2 0 = m m + m m , dt dJ S( t ) m J( t ) = 4 +
设在t=0时患者开始被测试,他需在很短时间内喝下一定数量 的外加葡萄糖水,如忽略这一小段时间,此后方程可写成 +2a+g (3.24) dt (注:要考虑这一小段时间的影响可利用 Dirac的6函数) (324)式具有正系数,且当t趋于无穷时g趋于0,(体内的葡萄 糖浓度将逐渐趋于平衡值),不难证明G将趋于Gn g()的解有三种形式,取决于a2-2的符号 (1)当a2-ab<0时可得g(t)= Ae cosy(at-6) 其中m2=0b-a2,所以G(t)=G+ de cos(t-6)(3.25) (325)式中含有5个参数,即G、A、α、a和5,用下述方法 可以确定它们的值。在外加葡萄糖水喝入前患者血糖浓度应为 (裣查前患者是禁食的),可先作一次测试将其测得
设在t = 0 时患者开始被测试，他需在很短时间内喝下一定数量 的外加葡萄糖水，如忽略这一小段时间，此后方程可写成 g 0 dt dg 2 dt d g 2 2 0 2 + + = ( 3.24 ) （注：要考虑这一小段时间的影响可利 用Dirac的δ函数） ( 3.24 )式具有正系数，且 当t趋于无穷时g趋于0，（体内的葡萄 糖浓度将逐渐趋于平衡值），不难证 明G将趋于 G0 g（t）的解有三种形式，取决于 2 o 2 − 的符号。 2 0 2 − ＜ 0时可得 g(t ) Ae cos( t ) t = − − (1)当 其中 = 2 2 2 0 − ，所以 G(t ) G Ae cos( t ) t 0 = + − − (3.25) ( 3.25 )式中含有5个参数，即 、A 、α 、 和δ，用下述方法 可以确定它们的值。在外加葡萄糖水喝入前患者血糖浓度应为 （检查前患者是禁食的） ,可先作一次测试将其测得。 G0 0 G0
进而,取t=t1(i=1、2、3、4)各测一次,将测得的值代入 325),得到一个方程组,由此可解得相应的参数值。一般 为了使测得的结果更准确,可略多测几次,如测5-6次,再根 据最小平方误差来求参数,即求解 解 由于内分泌激素浓度不易测量,在上面的建模过程中 对各种不同激素未加以一一区别,即对其采用了集中 当/参数法。这样做虽大大简化了模型,但也在一定程度 实上影响了模型的应用效果。临床应用时发现,在患者 任饮下葡萄糖水大约35小时后,测得的数据有一定的 的 偏差,其原因可能是内分泌激素的作用造成的,因而,O 要得到更精确的结果,当然要考虑到内分泌激素浓度 尿的变化,建立更精确的模型。罗德岛医院已找到种 别测量内分泌浓度的方法,相信在此基础上一定可以设 根计出诊断轻微糖尿病的更好方法 临床应用显示,在T<4(小时)时一般表示为正常情况, 当T明显大于4小时时一般表示此人的确患有轻微的糖尿病
进而，取 t = ( i = 1、2、3、4)各测一次，将测得的值代入 （ 3.25 ），得到一个方程组，由此可解得相应的参数值。一般， 为了使测得的结果更准确，可略多测几次，如 测5-6次，再根 据最小平方误差来求参数，即求解 i t min − + − − 2 i t i 0 { G [G A cos( t )]} i 解出所需的参数 当 ≥ 0时可类似加以讨论。 实际计算时不难发现，G的微小误差会引 起α的很大偏差，故 任一包含α的诊断标准都将是不可靠的。同时也可发 现G对 并不十分敏感（计算结果与实际值相差较小），故可用 的测试结果作为GTT检测值来判断此人是否真的患有轻微的糖 尿病。为了判断上的方便，一般利用所谓自然周 期T作为判 别标准 2 0 2 − 0 0 0 2 T = 根据人们的生活习惯，两餐之间的间隔时间大体 为4小时。 临床应用显示， 在T ＜ 4（ 小时 ）时一般表示为正常情况， 当T 明显大于4小时时一般表示此人的确患有轻微的糖尿病。 由于内分泌激素浓度不易测量，在上面的建模过程中 对各种不同激素未加以一一区别，即对其采用了集中 参数法。这样做虽大大简化了模型，但也在一定程度 上影响了模型的应用效果。临床应用时发现，在患者 饮下葡萄糖水大 约3-5小时后，测得的数据有一定的 偏差，其原因可能是内分泌激素的作用造成的，因而， 要得到更精确的结果，当然要考虑到内分泌激素浓度 的变化，建立更精确的模型。罗德岛医院已找到一种 测量内分泌浓度的方法，相信在此基础上一定可以设 计出诊断轻微糖尿病的更好方法