第九节 第一章 连续画数的运算与 初等菡数的连续性 、连续函数的运算法则 初等函数的连续性 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
一、连续函数的运算法则 第九节 二、初等函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续函数的运算与 初等函数的连续性 第一章
连续函数的运算法则 定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积 商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数 (利用极限的四则运算法则证明) 例如,sinx,cosx连续 tanx,cotx在其定义域内连续 定理2.连续单调递增(递减)函数的反函数也连续单调 递增(递减).(证明略) 例如,y=sinx在[-2,2]上连续单调递增 其反函数y= arcsinx在[-1,1上也连续单调递增 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理2. 连续单调递增 函数的反函数 在其定义域内连续 一、连续函数的运算法则 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , ( 利用极限的四则运算法则证明) 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 例如, y = sin x 在 上连续单调递增， 其反函数 y = arcsin x (递减). (证明略) 在 [－1 , 1] 上也连续单调递增. 递增 (递减) 也连续单调 机动 目录 上页 下页 返回 结束
又如,ν=e在(-∞,十∞)上连续单调递增, 其反函数y=hx在(0,+∞)上也连续单调递增 定理3.连续函数的复合函数是连续的 证:设函数=(x)在点x0连续,且0(xo)=4 函数y=f(x)在点0连续,即limf(u)=f(o) l→)l 于是 lim f[(x)]=lim f(u)=f(uo)=fLP(ro) 11>l0 故复合函数[(x)在点x0连续 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理3. 连续函数的复合函数是连续的. 在 上连续 单调 递增, 其反函数 在 上也连续单调递增. 证: 设函数 ( ) . 0 u0 x = 于是 lim ( ) 0 f u u→u [ ( )] 0 = f x 故复合函数 又如, 且 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如,y=sin-是由连续函数链 y=sinu,l∈(-∞,+∞) x∈R 复合而成,因此y=sin在x∈R上连续 y 少=Sn HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例如, 是由连续函数链 * xR 因此 在 * 复合而成 xR 上连续 . , x y o x y 1 = sin 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.设f(x)与g(x)均在[a,b上连续,证明函数 P(x)=maxif(x),g(x)) V(x)=minf(x),g(x)) 也在[a,b上连续 证:∵四(x)=∫(x)-g(x)+f(x)+g(x)] v(x)=[f(x)+g(x)-f(x)-8(x)] 根据连续函数运算法则,可知9(x),v(x)也在[a,b]上 连续 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例1 . 设 均在 上连续, 证明函数 也在 上连续. 证: f (x) − g(x) − f (x) − g(x) 根据连续函数运算法则 , 可知 也在 上 连续 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续 切初等函数 连续函数经四则运算仍连续 在定义区间内 连续 连续函数的复合函数连续 例如, y=√1-x2的连续区间为[-1,11(端点为单侧连续) y= In sinx的连续区间为(2n丌,(2n+1)x),n∈Z 而y=√cosx-1的定义域为x=2nr,n∈Z 因此它无连续点 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
二、初等函数的连续性 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数 在定义区间内 连续 例如, 2 y = 1− x 的连续区间为 (端点为单侧连续) y = lnsin x 的连续区间为 y = cos x −1 的定义域为 因此它无连续点 而 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.求lim log,(1+x 0 解:原式= lim log(1+x)x= logue x->0 na 例3.求lim2 x->0x 解:令t=ax-1,则x=log(1+t) 原式=lim =In a .o log (+t) 说明:当a=e,x→>0时,有 XX HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例2. 求 解: 原式 例3. 求 解: 令 = −1, x t a 则 x log (1 t), = a + 原式 log (1 ) lim 0 t t a t + = → 说明: 当 时, 有 ln(1+ x) ~ −1 ~ x x e x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.求lm(1+2x)mx x->0 解:原式=lime物mh(1+2x) x->0 lime+·2x x->0 说明:若liml(x)=0,limv(x)=∞,则有 >x0 x->x0 lim v(x)In[1+u(r)I lim[1+u(x)](2)=e x-)r x->x0 lim v(x)u(x) x→) e HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例4. 求 解: 原式 ln(1 2 ) sin 3 x x + x 3 说明: 若 lim ( ) 0, 0 = → u x x x 则有 + = → ( ) lim 1 ( ) 0 v x x x u x lim ( ) , 0 = → v x x x e = e lim ( ) ( ) 0 v x u x x→x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2x
例5.设f(x)= 2 x>1(x)=x x1 讨论复合函数q(x)的连续性 解 02(x),(x)≤1 x x≠1时∫((x)]为初等函数,故此时连续,而 lim flo(x)= lim x=l lim flo(x=lim(2-x)=-3 1 故∫(x)在点x=1不连续,x=1为第一类间断点 学 HIGH EDUCATION PRESS o。8 机动目录上页下页返回结
+ = 4, 1 , 1 ( ) x x x x 例5. 设 x 解: 讨论复合函数 的连续性 . = , 1 2 x x − 2 − x , x 1 故此时连续; 而 lim [ ( )] 1 f x x → − 2 1 lim x x→ − = =1 lim [ ( )] 1 f x x → + lim ( 2 ) 1 x x = − − → + = −3 故 x = 1为第一类间断点 . ( ), ( ) 1 2 x x 2 −(x), (x) 1 x 1时 f [(x)]为初等函数, 在点 x = 1 不连续 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 初等函数在 定义区间内 连续函数的反函数连续 连续 连续函数的复合函数连续 说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
内容小结 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续 初等函数在 定义区间内 连续 说明: 分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性. 机动 目录 上页 下页 返回 结束