Chapter 2 25 Hermite插值 插值方法 Newton与 Lagrange插值的不足: y=f()其 Newton与 Lagrange插值多项式Pn(x)与Nn(x) 满足插值条件:Pn(×)=N(×)=f(×)i=01,2,n Newton与 Lagrange插值多项式与y=f(X)在插值节点上有相同 的函数值—“过点” 但在插值节点上y=f(x)与y=P(x)一般不”相切” f(×)≠Pn(×)光滑性较差 Hermite插值:求与y=f(×)在插值节点X,X1…x上具有相同函数 值及导数值(甚至高阶导数值)的插值多项式 应HUST
2.5 Hermite插值 Newton与Lagrange插值的不足: y=f(x),其Newton与Lagrange插值多项式Pn(x) 与Nn(x) 满足插值条件:Pn(xi)=Nn(xi)=f(xi) i=0,1,2,…n Newton与Lagrange插值多项式与y= f(x)在插值节点上有相同 的函数值----“过点”. 但在插值节点上 y=f(x) 与 y=Pn(x) 一般不 ” 相 切 ” , f’(xi) Pn’(xi).——光滑性较差 Hermite插值:求与y=f(x)在插值节点x0,x1,…,xn上具有相同函数 值及导数值(甚至高阶导数值)的插值多项式
Chapter 2 Hermite插值 插值方法 Problem26:已知函数y=f(×)在插值节点a≤x<x1<<Xn<b上 的函数值f(×)与导数值f(X)i=0,1,2,…n求多项式H(x) 使:H()=f(x),H(X)=f(x)i=0,1,2,n 对于以上问题可用两种方法求H() 方法一:待定系数法 由2n+2个插值条件,可唯一确定一个次数不超过2n+1次的 多项式 (1)H(X)是2n+1次多项式; (2)令H(X)=a+a1X+…+a2n+x2叶+1 (3)由2n+1个插值条件建立关于ao,a1,,a+的线性方程组解 之得H(x) 方法二:基函数法 应HUST
Hermite插值 Problem2.6:已知函数y=f(x)在插值节点a x0<x1<…<xn b上 的函数值f(xi)与导数值f’(xi),i=0,1,2,…n.求多项式H(x) 使 H(xi)=f(xi), H’(xi)=f’(xi) i=0,1,2,…n. 对于以上问题,可用两种方法求H(x). 方法一:待定系数法. 由2n+2个插值条件 可唯一确定一个次数不超过2n+1次的 多项式. 1 H(x)是2n+1次多项式; 2 令H(x)=a0+a1x+…+a2n+1x2n+1; 3 由2n+1个插值条件建立关于a0,a1,Öa2n+1的线性方程组.解 之得H(x). 方法二:基函数法
Chapter 2 Hermite插值 插值方法 Problem:已知f(x),f(X),i=01,…n.求H2n+1(×) H2n+(X)=f(×),H2n+12(X)=f(x),i=01,2…n 基函数法: (1)2n+2个已知量f(x)f(X),i=0,1,2,…n (2)构造2+2个基函数a(x)β(×),i=0,12,n (3)使H2n+1()为2n+2个基函数的线性组合: 2n+1-00(X)()+a (X)f(×1)+…+an(x)f(xn +β0(Xf(x)+B1(×)f(x1)+…+Bn(X)f(x) 如何求这些基函数呢? 应HUST
Hermite插值 Problem: 已知f(xi) f’(xi) i=0,1,…n.求H2n+1(x) H2n+1(xi)=f(xi), H2n+1’(xi)=f’(xi), i=0,1,2,…n. 基函数法 1 2n+2个已知量f(xi), f’(xi) i=0,1,2,…n. 2 构造2n+2个 基函数 i(x), i(x) i=0,1,2,…n. 3 使H2n+1(x)为2n+2个基函数的线性组合 H2n+1= 0(x)f(x0)+ 1(x)f(x1)+…+ n(x)f(xn) + 0(x)f’(x0)+ 1(x)f’(x1)+…+ n(x)f’(xn). 如何求这些基函数呢?
Chapter 2 Hermite插值基函数 插值方法 如果:0x(x)=J0i≠j β(x,)=0 0i≠j 1(x)=0 B(x)=8 H2n+1(x1)=f(x0)00(x)+…+f(x,)x,(x)+…+f(xn)xn(x) f(x)B6(x)+…+f(x,)B(x)+…+f(xn)B(x H2n+1(x1)=f(x00(x,)+…+f(x,),(x,)+…+f(xn)Cn(x,) f(x)B6(x)+…+f(x)B(x)+…+f(x)Bn(x) x 应HUST
Hermite插值基函数 ≠ β =δ = = 'i j ij i j (x ) i j 01 ≠ α =δ = = i j ij i j (x ) i j 01 21 0 0 ''' 0 0 () () () () () () () () ( ) ( ) ( ) ( ) () () n j j nnj j j nn j j j j j j j H x fx x fx x f x x f x f x x f x f x x α α x β β α β + = +⋅⋅⋅+ ⋅⋅⋅+ + +⋅⋅⋅+ ⋅⋅⋅+ = + + () 0 i j 如果 β x = ' 21 0 0 '' '' 0 0 ' ' ' ' () () () () ( ) ( ) ( () ( ( ) () () () ) ( ) ) j n j j nnj j j j j j j n n j j H x fx x fx x f x f x fx x x xx x f x f α α β β α β + = +⋅⋅⋅+ ⋅⋅⋅+ + +⋅⋅⋅+ ⋅⋅⋅+ = + + ' ' α = ' i j (x ) 0
Chapter 2 Hermite插值基函数 插值方法 0i≠ a(x)=9 1i=( x一x x)=I (X1)=0 (x;-x a,(x)① degree62n+1,②有根 i-1i+1 x且都是2重根 →(x)=(41x+b)(x)因(x)=1(x)=0 「a,x1+b,=1 1 a22(x1)+(a1x1+b1)×2|(X)川(x1)=0 a,X+b,=1 1+2X)=0 1 0(X)=[1-2(X-X1)∑ X k=0X;一X k 应HUST
Hermite插值基函数 i j ij ' i j i j (x ) i j ( ) (x ) ≠ α =δ = = Ι α = 0 1 0 ( ) i α x degree=2n+1, 有根 x 0 , …, xi-1 , xi+1 , …, x n且都是 2重根 1 1 2 () ( ) ( ) i i ⇒ =+ α x x a b l x 因 ' ( ) 1, ( ) 0 i i i i α α x x = = ∏≠ − − = j i i j j i x x x x l x ( ) ( ) ( ) + = ⇒ + +× = i ' i i i i ii i ax b a l (x ) (a x b ) l (x )l (x ) 1 1 2 1 11 1 2 0 + = ⇒ + = i ' i i ax b a l (x ) 1 1 1 1 2 0 = ≠ =− − − α ∑ n i k i k i k i i (x) [ (x x ) ]l (x) 0 x x 1 2 1 2
Chapter 2 Hermite插值基函数 插值方法 B(x)=0 ① degree=2n+1 B(×)=901≠j(m)A(x)②有根x0,…,x,… 且除了x,都是2重根 →B(x)=c(x-x)2(x)因(x)=l→c=1 →B,(x)=(x-x)2(x) 所求的 Hermite插值多项式为 1 H2-1(X)=∑{xX)1-2(×-X)∑ 2(×)+f(x)x-X2(×) 注: Hermite插值多项式是唯一的(证:若Hn+1(x)与G2n+1(x) 都是所求的 Hermite插值多项式,则F(x)=H2n+(x)-Gn+1(x)有 n+1个二重根,x1,…,xn,又deg(F(x)≤2n+1,故F(x)=0.)
因 '() 1 i i β x = i j ' i j ij (x ) ij ( ) (x ) i j β = ≠ ΙΙ β =δ = = 0 01 ( ) i β x degree=2n+1, 有根 x0 , …, xi , …, xn 且除了xi 都是2重根 2 ( ) ( ) ( ) i i i ⇒ =− β x xx c l x ⇒ c=1 Hermite插值基函数 2 () ( ) ( ) i i i ⇒ =− β x xx l x 所求的Hermite插值多项式为 n n n i i i i ii i k i k k i H (x) {f(x )[ (x x ) ]l (x) f '(x )(x x )l (x)} x x 2 2 2 1 0 0 1 + 1 2 = = ≠ = −− + − − ∑ ∑ 注 Hermite插值多项式是唯一的 证 若H2n+1(x)与 G2n+1 (x) 都是所求的Hermite插值多项式 则F(x)= H2n+1(x)- G2n+1 (x)有 n+1个二重根x0 , x1 , …, xn 又deg(F(x)) 2n+1, 故F(x)= 0.)
Chapter 2 Hermite插值余项R2n+1(×)=f(x)+H2+(x)=? 插值方法 回顾: lagrange插值余项Rn(xX)=fx)P(x) f() (n+1 其中W(x)=(XX)(X×1).、xXxn XrX1r…yX为Rn(x)的根,Rn(×)有n+1阶零点.显然, 它们是 Hermite插值余项Rn+1(x)的二重根,即Rn+1(×)有2n+2 阶零点 定理2类a的合有题(果)戏不中间1内存 在直到2n+2阶导数则满足插值条件: 42n+4(X)=f(x),H2n+1(×)=f(x),i=01,…n 的 Hermite插值多项式Hn+1(x)的余项 R2+(X)=f(×)-H2n+1(×)= finS) WX 2n+2 其中,5∈[a,b]且与x的位置有关,W(×)=(X×)(X×1).xX) 应HUST
回顾:lagrange插值余项 n w x (n+1) n n f () R (x)=f(x)-P (x)= ( +1)! ( ) ξ 其中W(x)=(x-x0) (x-x1)..(x-xn) x0 , x1 , …, xn为Rn(x)的根, Rn(x)有n+1阶零点.显然, 它们是Hermite插值余项R2n+1(x)的二重根,即R2n+1(x)有2n+2 阶零点. 类似得 n R x n n w wx f K x x ( 2 + 2 2 + 1 2 2)( = ) = () (2 +2)! ( ) () () ξ Hermite插值余项R2n+1(x)=f(x)-H2n+1(x)=? 定理2.5 设区间[a,b]含有互异节点x0, x1, ...xn,而f(x)在[a,b]内存 在直到2n+2阶导数,则满足插值条件 H2n+1(xi)=f(xi), Hí2n+1(xi)=fí(xi) i=0,1,Ön 的Hermite插值多项式H2n+1(x)的余项 w x n (2n+2) 2 2n+1 2n+1 f () R (x)=f(x)-H (x)= ( ) (2 + 2)! ξ 其中, [a,b]且与x的位置有关, W(x)=(x-x0) (x-x1)..(x-xn)
Chapter 2 定理2.5的证明 插值方法 由插值条件:H2n+1(x)=f(x),H2n+1(x)=f(x),=01…n,则 R2n+1(×)=H2n+1(×)-f(×)=0;R2n+(X)=H2n+1(×)-f(x)=0, 令Rn*(x)=K(×)Ⅷ(x),构造辅助函数并应用Ro‖le定理来证明。 (1)在插值节点X~X1处R2n+1()=0余项公式显然成立 (2)对于[a,b]中异于插值节点XXn的x考虑辅助函数 F()=f()-H2n1(t)-K(x)n2(t)=R2n1(t)-K(x)2() F(×)=F(x1)=F(X2)=…=F(x)=F(x)=0 由Ro1l定理,存在0∈(xoX1),使F(20)=0 类似,共有n+1个互异点50,51,…,使F(t)=0 dw(t =2w()w'()∴F(x0)=F(x1)=F(×2)=…=F(X)=0 F()有2n+2个互异根50,51…5n,x,X1,…,Xn,由Role定理, 则存在ξ∈(ab)使F(5)=八m()-K(x)(2n+2)!=0 所HUsT
定理2.5的证明 由插值条件: H2n+1(xi)=f(xi), Hí2n+1(xi)=fí(xi) i=0,1,Ön 则 R2n+1(xi)= H2n+1(xi) -f(xi)=0 Rí2n+1(xi)= Hí2n+1(xi) -fí(xi)=0 令R2n+1(x)=K(x)W2(x),构造辅助函数并应用Rolle定理来证明 1 在插值节点x0~xn处,R2n+1(xi)=0,余项公式显然成立. 2 对于[a,b]中异于插值节点x0~xn的x,考虑辅助函数 Ft ft H t w t R t w t n n Kx Kx 2 2 2 +1 2 +1 ()= ()- ()- ()= ( ( ) ) - ( ) ( ) F(x0)= F(x1)= F(x2)=Ö= F(xn)= F(x)=0 由Rolle定理,存在 0 (x0, x1),使F’( 0)=0 类似,共有n+1个互异点 0 , 1,…, n使Fí(t)=0 2 ( ) = 2 ( ) '( ) dw t wtw t dt Fí(x0)= Fí(x1)= Fí(x2)=Ö= Fí(xn) =0 Fí(t)有2n+2个互异根 0 , 1, …, n x0 , x1 , Ö,xn 由Rolle定理, 则存在 (a,b).使 n n Ff n K x (2 +2) (2 +2) ( )= ( )- (2 + 0. ξ ξ ( ) 2)!=
Chapter 2 插值方法 :当n=1时,满足插值条件 H3(×)=f(X),H3(x)=f(×),i=0,1 的插值公式: a()=(1+20)),a(x)=1+2x)(), x X-X 风(x)=(x-x))2 β(x)=(x-x) x0-x1 11-x0 H3(x)=f()a(x)+f(x)01(x)+f(x)6(x)+f(x)(x) R(x)=f(x)=H3(x) (ξ) 4! (x-x)(x-x)2x<5<x 应HUST
注:当n=1时 满足插值条件 H3(xi)=f(xi) Hí3(xi)=fí(xi) i=0,1 的插值公式: x x x x x xx xx 0 1 2 0 10 01 - - ( ) =(1+2 )( ) , - - α x x x x x xx xx 1 0 2 1 01 10 - - ( ) =(1+2 )( ) , - - α x x x xx x x 1 2 0 0 0 1 - ( ) =( - )( ) , - β x x x xx x x 0 2 1 1 1 0 - ( ) =( - )( ) , - β H x fx x fx x f x x f x x 3 00 11 0 0 11 ( ) = ( ) ( )+ ( ) ( )+ '( ) ( )+ '( ) ( ). αα β β f R x f x Hx xx xx x x (4) 2 2 3 3 0 10 1 ( ) ( )= ( )= ( )= ( - ) ( - ). < < . 4!ξ ξ
Chapter 2 插值方法 例题25依据下列数据表构造插值多项式 X YY 解 003 H3(x)=00(x)+101(x)+3B(x)+96(x) X x (1+2)( -)2+3(x-0)()2+9(x-1)( 0-10-1 0-1 2 2x3+3x2+3x(x2-2x+1)+9x2(x-1) 10x3-12x2+3x (E R3(x) x x 4! 0<5<1 and depending on x 应HUST
例题2.5 依据下列数据表构造插值多项式 1 1 9 3 Y’ 0 0 X Y 解: Hx x x x x iii 3 0 1 01 ( )=0 ( )+1 ( )+3 ( )+9 ( ) α α ββ xx x x x x 2 22 -1 -0 -1 -1 = (1+ 2 )( ) + 3( - 0)( ) + 9( -1)( ) 0-1 0-1 0-1 0-1 x x xx x x x 32 2 2 = -2 + 3 + 3 ( - 2 +1) + 9 ( -1) x xx 3 2 = 10 -12 + 3 f Rx x x , (4) 2 2 3 ( ) ( ) = ( - 0) ( -1) 4!ξ 0< <1 . ξ and depending on x