《高等代数》课程教学资源（讲义）第七章 线性变换

第七章线性变换 §1线性变换的定义 线性变换的定义 线性空间V到自身的映射称为V的一个变换 定义1线性空间的一个变换星称为线性变换,如果对于V中任意的元 素a,B和数域P中任意数k,都有 A(a+B)=A(a)+(B); 用(ka)=k(a) (1) 般用花体拉丁字母星,s,…表示V的线性变换,A(a减或Aa代表元素a在变 换下的像 定义中等式(1)所表示的性质,有时也说成线性变换保持向量的加法与数量 乘法 例1.平面上的向量构成实数域上的二维线性空间把平面围绕坐标原点按反 时钟方向旋转θ角,就是一个线性变换,用。表示如果平面上一个向量a在直 角坐标系下的坐标是(x,y),那么像9。(a)的坐标,即a旋转θ角之后的坐标 (x',y)是按照公式 0 -sin 6 sin 6 cose 来计算的.同样空间中绕轴的旋转也是一个线性变换 例2设a是几何空间中一固定非零向量,把每个向量ξ变到它在a上的内射 影的变换也是一个线性变换,以∏表示它用公式表示就是 ∏2() (a,5 aa 这里(a,5,(a,a)表示内积

第七章 线性变换 §1 线性变换的定义 一、线性变换的定义 线性空间 V 到自身的映射称为 V 的一个变换. 定义 1 线性空间 V 的一个变换 A 称为线性变换，如果对于 V 中任意的元 素 ,  和数域 P 中任意数 k ，都有 A (  +  )=A (  )+A (  ); A( k )=A k (  ). （1） 一般用花体拉丁字母 A，B，…表示 V 的线性变换，A (  )或 A  代表元素  在变 换 A 下的像. 定义中等式(1)所表示的性质，有时也说成线性变换保持向量的加法与数量 乘法. 例 1.平面上的向量构成实数域上的二维线性空间.把平面围绕坐标原点按反 时钟方向旋转  角，就是一个线性变换，用 ℐ  表示.如果平面上一个向量  在直 角坐标系下的坐标是 (x, y) ，那么像 ℐ  (  )的坐标，即  旋转  角之后的坐标 (x  , y ) 是按照公式                 − =          y x y x     sin cos cos sin . 来计算的.同样空间中绕轴的旋转也是一个线性变换. 例 2 设  是几何空间中一固定非零向量，把每个向量  变到它在  上的内射 影的变换也是一个线性变换，以  表示它.用公式表示就是        ( , ) ( , )  ( ) = . 这里 (, ),(,) 表示内积

例3线性空间V中的恒等变换或称单位变换,即 E(a)=a(a∈) 以及零变换O,即 0(a)=0(a∈) 都是线性变换 例4设V是数域P上的线性空间,k是P中的某个数,定义V的变换如下: a∈p 这是一个线性变换,称为由数k决定的数乘变换,可用K表示显然当k=1时, 便得恒等变换,当k=0时,便得零变换 例5在线性空间Px]或者Px]中,求微商是一个线性变换这个变换通常用 D代表,即 (f(x))=f 例6定义在闭区间[a,b]上的全体连续函数组成实数域上一线性空间,以 C(a,b)代表在这个空间中变换 y(f(x))= f(r)dt 是一线性变换 二、线性变换的简单性质: 1.设星是V的线性变换,则A(0)=0,用(-a)=-星(a). 2.线性变换保持线性组合与线性关系式不变换句话说,如果β是 a1,a2,…;a,的线性组合 B=k,a+k,a 那么经过线性变换履之后,A(B)是A(a1)(ax2)…A(a,)同样的线性组合: A(B)=kA(a1)+k2(a2)+…+k,月(a,)

例 3 线性空间 V 中的恒等变换或称单位变换 E，即 E () =  ( V ) 以及零变换 ℴ，即 ℴ () = 0 ( V) 都是线性变换. 例 4 设 V 是数域 P 上的线性空间， k 是 P 中的某个数，定义 V 的变换如下：  → k ,  V . 这是一个线性变换，称为由数 k 决定的数乘变换，可用 K 表示.显然当 k =1 时， 便得恒等变换，当 k = 0 时，便得零变换. 例 5 在线性空间 P[x] 或者 n P[x] 中，求微商是一个线性变换.这个变换通常用 D 代表，即 D（ f (x) ）= f (x) . 例 6 定义在闭区间 a,b 上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以 C(a,b) 代表.在这个空间中变换 ℐ（ f (x) ）=  x a f (t)dt 是一线性变换. 二、线性变换的简单性质： 1. 设 A 是 V 的线性变换，则 A (0)=0, A (− )=-A (  ). 2. 线性变 换保持 线性组 合与线 性关系 式不变 .换句话 说，如 果  是   r , , , 1 2  的线性组合： r r  = k11 + k22 ++ k  , 那么经过线性变换 A 之后，A (  )是 A ( 1 ),A (  2 ),…, A (  r )同样的线性组合： A (  )= 1 k A ( 1 )+ 2 k A (  2 )+…+ r k A (  r )

又如果a,a2…a之间有一线性关系式 ka1+k2a2+…+ka1=0 那么它们的像之间也有同样的关系式 k1(a1)+k2A(a2)+…+k,(a,)=0 3.线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组

又如果   r , , , 1 2  之间有一线性关系式 k11 + k22 ++ krr = 0 那么它们的像之间也有同样的关系式 1 k A ( 1 )+ 2 k A (  2 )+…+ r k A (  r )=0. 3. 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组

§2线性变换的运算 、线性变换的乘法 设用,是线性空间V的两个线性变换,定义它们的乘积为 (B(a)=凡,B(a)(a∈V) 则线性变换的乘积也是线性变换 线性变换的乘法适合结合律,即 CAC=A(BC) 但线性变换的乘法不适合交换律例如,在实数域上的线性空间中,线性变换 (f(x))=f(x) 9(f(x)=[f() 的乘积o乎=E,但一般∮D≠E 对于任意线性变换A,都有 =E=月 二、线性变换的加法 设是线性空间V的两个线性变换,定义它们的和A+B为 A+B(a)=A(a)+B(a (a∈V) 则线性变换的和还是线性变换 线性变换的加法适合结合律与交换律,即 +B=B+ 对于加法,零变换O与所有线性变换A的和仍等于A A+O=闭 对于每个线性变换A,可以定义它的负变换(-用): A)(a)=-A(a)(a∈V

§2 线性变换的运算 一、线性变换的乘法 设 A,,B 是线性空间 V 的两个线性变换，定义它们的乘积为. (AB)(  )= A,(B (  )) (  V ). 则线性变换的乘积也是线性变换. 线性变换的乘法适合结合律，即 (AB)C=A(BC). 但线性变换的乘法不适合交换律.例如，在实数域上的线性空间中，线性变换 D（ f (x) ）= f (x) . ℐ（ f (x) ）=  x a f (t)dt 的乘积 D ℐ=ℰ，但一般 ℐD≠ℰ. 对于任意线性变换 A，都有 Aℰ=ℰA = A. 二、线性变换的加法 设 A,B 是线性空间 V 的两个线性变换，定义它们的和 A+B 为 (A+B)(  )= A (  )+B (  ) (  V ). 则线性变换的和还是线性变换. 线性变换的加法适合结合律与交换律，即 A+(B+C)=(A+B)+C. A+B=B+A. 对于加法，零变换 ℴ 与所有线性变换 A 的和仍等于 A： A+ℴ=A. 对于每个线性变换 A，可以定义它的负变换（-A）： (-A)(  )=- A (  ) (  V )

则负变换(-)也是线性变换,且 +(-团)= 线性变换的乘法对加法有左右分配律,即 A(B+C=AB+AC (B+C)A=BA+CA 三、线性变换的数量乘法 数域P中的数与线性变换A的数量乘法定义为 kA=KA k(a)=K((a)=(a), 当然A还是线性变换线性变换的数量乘法适合以下的规律: (kDA=k(1A) (k+D)=k A+lA k(团+B)=kA+kB, 1团=星. 线性空间V上全体线性变换,对于如上定义的加法与数量乘法,也构成数域P上 一个线性空间 的变换称为可逆的,如果有V的变换B存在,使 这时,变换a称为A的逆变换,记为A-1.如果线性变换A是可逆的,那么它的 逆变换A-1也是线性变换 既然线性变换的乘法满足结合律,当若干个线性变换A重复相乘时,其最终 结果是完全确定的,与乘法的结合方法无关因此当n个(n是正整数)线性变换 相乘时,就可以用

则负变换（-A）也是线性变换，且 A+（-A）=ℴ. 线性变换的乘法对加法有左右分配律，即 A(B+C)=AB+AC， (B+C)A=BA+CA. 三、线性变换的数量乘法 数域 P 中的数与线性变换 A 的数量乘法定义为 k A =KA 即 k A(  )=K(A (  ))=KA (  ), 当然 A 还是线性变换.线性变换的数量乘法适合以下的规律： (kl) A= k ( l A), (k + l) A= k A+ l A, k (A+B)= k A+ k B, 1A=A. 线性空间 V 上全体线性变换，对于如上定义的加法与数量乘法，也构成数域 P 上 一个线性空间. V 的变换 A 称为可逆的，如果有 V 的变换 B 存在，使 AB=BA=E. 这时，变换 B 称为 A 的逆变换，记为 A −1 .如果线性变换 A 是可逆的，那么它的 逆变换 A −1 也是线性变换. 既然线性变换的乘法满足结合律，当若干个线性变换 A 重复相乘时，其最终 结果是完全确定的，与乘法的结合方法无关.因此当 n 个（ n 是正整数）线性变换 A 相乘时，就可以用

来表示,称为用的n次幂,简记为”.作为定义,令 A°=E 根据线性变换幂的定义,可以推出指数法则 m+n=理m理”,(m)”=用m"(m,n≥0) 当线性变换可逆时,定义A的负整数幂为 ”=(q-)"(n是正整数) 值得注意的是,线性变换乘积的指数法则不成立,即一般说来 设 f(x)=amx"+am1x+…+a 是P[x]中一多项式,是V的一个线性变换,定义 f()= +aE 显然∫(是一线性变换,它称为线性变换理的多项式 不难验证,如果在Px]中 h(x)=f(x)+g(x),(x)=f(x)g(x) 那么 h()=∫(用)+g(用,p()=f()g(用) 特别地 f()g(a)=g(用)f( 即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的 例1在三维几何空间中,对于某一向量a的内射影∏是一个线性变换 ∏l可以用下面的公式来表示:

  n个 AA A 来表示，称为 A 的 n 次幂，简记为 A n .作为定义，令 A 0= E. 根据线性变换幂的定义，可以推出指数法则： A m+n =A m A n ,(A m ) n =A m n (m, n  0) 当线性变换 A 可逆时，定义 A 的负整数幂为 A −n =(A −1 ) n ( n 是正整数). 值得注意的是，线性变换乘积的指数法则不成立，即一般说来 (AB) n  A n B n . 设 0 1 1 f (x) a x a x a m m m = m + + + − −  是 P[x] 中一多项式，A 是 V 的一个线性变换，定义 f (A)= m a A m + am−1 A m−1 +…+ 0 a E 显然 f (A)是一线性变换，它称为线性变换 A 的多项式. 不难验证，如果在 P[x] 中 h(x) = f (x) + g(x) , p(x) = f (x)g(x), 那么 h (A)= f ( A)+ g ( A), p (A)= f ( A) g ( A). 特别地， f (A) g ( A)= g ( A) f ( A). 即同一个线性变换的多项式的乘法是可交换的. 例 1 在三维几何空间中，对于某一向量  的内射影  是一个线性变换.  可以用下面的公式来表示：

∏l(5) (a, a 其中(a,5,(a,a)表示向量的内积 从图2不难看出,z在以a为法向量的平面x上的内射影∏1(5)可以用公式 ∏1()=5-∏2() 表示.因此 ∏1=E-∏ 这里￡是恒等变换 z对于平面x的反射巩,也是一个线性变换,它的像由公式 巩,(2)=2-2∏。() 给出.因此 巩,=-2∏l 设a,B是空间的两个向量显然,a与B互相垂直的充要条件为 ∏a∏ 例2在线性空间Pn中,求微商是一个线性变换,用D表示.显然有 其次,变换的平移 ∫(4)→f(2+a)a∈P 也是一个线性变换,用y。表示,根据泰勒展开式 f(4+a)=f(4)+f(4)+f"(A)+…+,fm-)() 因之9。实质上是的多项式 9。=E+ao+o2+…+

       ( , ) ( , )  ( ) = . 其中 (, ),(,) 表示向量的内积. 从图 2 不难看出，  在以  为法向量的平面 x 上的内射影 ( ) x 可以用公式 ( )  ( ) x = −  表示.因此 x = ℰ- . 这里 ℰ 是恒等变换.  对于平面 x 的反射 ℛ x 也是一个线性变换，它的像由公式 ℛ ( )  2 ( ) x = −  给出.因此 ℛ x =ℰ-2  . 设 ,  是空间的两个向量.显然，  与  互相垂直的充要条件为   = ℴ 例 2 在线性空间 P n [] 中，求微商是一个线性变换，用 D 表示.显然有 D = n ℴ. 其次，变换的平移 f () → f ( + a) a  P 也是一个线性变换，用 ℐ a 表示.根据泰勒展开式 ( ) ( 1)! ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( 1) 2 1      − − − + = +  +  + + n n f n a f a f a f af  , 因之 ℐ a 实质上是℄的多项式： ℐ a =ℰ+ a D+ 2! 2 a D 2 +…+ ( 1)! 1 − − n a n D n−1

§3线性变换和矩阵 、线性变换关于基的矩阵 设是数域P上n维线性空间E1E2…,EnV的一组基,现在建立线性变换与 矩阵关系 空间V中任意一个向量5可以被基E1E2,…En线性表出,即有关系式 5=xE1+x2E2+…+xnEn (1) 其中系数是唯一确定的,它们就是ξ在这组基下的坐标,由于线性变换保持线性 关系不变,因而在的像A与基的像A51,1E2,…,用En之间也必然有相同的关 系 用5=(x1E1+x2E2+…+xnEn) =x1联(E)+x2联(E2)+…+xn(En) 上式表明,如果知道了基E,E2…,En的像,那么线性空间中任意一个向量 的像也就知道了,或者说 1.设E1,E2,…,En是线性空间V的一组基,如果线性变换A与君在这组基上 的作用相同,即 E1=BE1,i=1,2,…,n, 那么A=9. 结论1的意义就是,一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面 指出,基向量的像却完全可以是任意的,也就是 2.设E1,2…,En是线性空间V的一组基,对于任意一组向量a1,a2…an 定有一个线性变换A使 A8=a =1,2,…,n 定理1设s1,E2…,En是线性空间V的一组基,a1,a2,…,an是V中任意n个 向量存在唯一的线性变换A使

§3 线性变换和矩阵 一、线性变换关于基的矩阵 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间. n  , , , 1 2  V 的一组基，现在建立线性变换与 矩阵关系. 空间 V 中任意一个向量  可以被基 n  , , , 1 2  线性表出，即有关系式 n n  = x  + x  ++ x  1 1 2 2 (1) 其中系数是唯一确定的，它们就是  在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性 关系不变，因而在  的像 A  与基的像 A 1  ,A 2  ,…，A n  之间也必然有相同的关 系： A  =A（ n n x  + x  ++ x  1 1 2 2 ） = 1 x A( 1  )+ 2 x A( 2  )+…+ n x A ( n  ) (2) 上式表明，如果知道了基 n  , , , 1 2  的像，那么线性空间中任意一个向量  的像也就知道了，或者说 1. 设 n  , , , 1 2  是线性空间 V 的一组基，如果线性变换 Å 与 ℬ 在这组基上 的作用相同，即 A i  =B i  ， i = 1, 2 ,  ,n , 那么 A= B. 结论 1 的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面 指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是 2. 设 n  , , , 1 2  是线性空间 V 的一组基，对于任意一组向量    n , , , 1 2  一 定有一个线性变换 Å 使 A i  = i i = 1, 2 ,  ,n . 定理 1 设 n  , , , 1 2  是线性空间 V 的一组基，    n , , , 1 2  是 V 中任意 n 个 向量.存在唯一的线性变换 Å 使

E 定义2设61,E2,…,En是数域P上n维线性空间V的一组基,是V中的一个 线性变换基向量的像可以被基线性表出 A8=a121+a282+.+a,E A82=01221+a22E2+.+an2E E+a2n&2 用矩阵表示就是 用( ,En)=(联(E1),A(E2),…,(En)) (E1,E2,…En)A 其中 矩阵A称为线性变换A在基E1E2…En下的矩阵 例1设E1E2…En是n(n>m)维线性空间V的子空间W的一组基,把它 扩充为V的一组基E1,E2,…,En指定线性变换A如下 ∫As=6,l=1,2,…m 4s;=0,1=m+1,…n 如此确定的线性变换A称为子空间W的一个投影.不难证明 星=用 投影A在基1:52…,En下的矩阵是

A i  = i i = 1, 2 ,  ,n . 定义 2 设 n  , , , 1 2  是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一组基，A 是 V 中的一个 线性变换.基向量的像可以被基线性表出：        = + + + = + + + = + + + . , , 1 1 2 2 2 12 1 22 2 2 1 11 1 21 2 1 n n n nn n n n n n A a a a A a a a A a a a                 用矩阵表示就是 A（ n  , , , 1 2  ）=（A( 1  )，AÅ( 2  )，…， A( n  )） = ( 1 , 2 ,  , n )A (5) 其中               = n n nn n n a a a a a a a a a A     1 2 21 22 2 11 12 1 矩阵 A 称为线性变换 A 在基 n  , , , 1 2  下的矩阵. 例 1 设 m  , , , 1 2  是 n (n  m) 维线性空间 V 的子空间 W 的一组基，把它 扩充为 V 的一组基 n  , , , 1 2  .指定线性变换 A 如下    = = + = = 0 , 1, , . , 1 ,2 , , , A i m n A i m i i i      如此确定的线性变换 A 称为子空间 W 的一个投影.不难证明 A 2 =A 投影 A 在基 n  , , , 1 2  下的矩阵是

0 这样,在取定一组基之后,就建立了由数域P上的n维线性空间V的线性变换到 数域P上的n×n矩阵的一个映射前面结论1说明这个映射是单射,结论2说明 这个映射是满射换句话说,在这二者之间建立了一个双射这个对应的重要性表 现在它保持运算,即有 定理2设s1,E2…,E是数域P上n维线性空间V的一组基,在这组基下,每 个线性变换按公式(5)对应一个n×n矩阵,这个对应具有以下性质: 1)线性变换的和对应于矩阵的和 2)线性变换的乘积对应于矩阵的乘积; 3)线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积; 4)可逆的线性变换与可逆矩阵对应,且逆变换对应于逆矩阵. 定理2说明数域P上n维线性空间的全体线性变换组成的集合L()对于 线性变换的加法与数量乘法构成P上一个线性空间,与数域P上n级方阵构成的 线性空间Pm同构 定理3设线性变换A在基E1E2,…,En下的矩阵是A,向量在基E,2…,En 下的坐标是(x1x2…xn),则A在基61:E2…,En下的坐标(1,y2,…yn)可以按 公式 计算. 、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系

                      0 0 1 1 1   这样，在取定一组基之后，就建立了由数域 P 上的 n 维线性空间 V 的线性变换到 数域 P 上的 nn 矩阵的一个映射.前面结论 1 说明这个映射是单射，结论 2 说明 这个映射是满射.换句话说，在这二者之间建立了一个双射.这个对应的重要性表 现在它保持运算，即有 定理 2 设 n  , , , 1 2  是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一组基，在这组基下，每 个线性变换按公式（5）对应一个 nn 矩阵，这个对应具有以下性质： 1）线性变换的和对应于矩阵的和； 2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； 3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； 4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵. 定理 2 说明数域 P 上 n 维线性空间 V 的全体线性变换组成的集合 L(V) 对于 线性变换的加法与数量乘法构成 P 上一个线性空间，与数域 P 上 n 级方阵构成的 线性空间 n n P  同构. 定理 3 设线性变换 A 在基 n  , , , 1 2  下的矩阵是 A ，向量  在基 n  , , , 1 2  下的坐标是 ( , , , ) 1 2 n x x  x ,则 A  在基 n  , , , 1 2  下的坐标 ( , , , ) 1 2 n y y  y 可以按 公式               =               n n x x x A y y y   2 1 2 1 计算. 二、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系