《高等代数》课程教学资源（讲义）第六章 线性空间

第六章线性空间 s1集合·映射 、集合 集合是数学中最基本的概念之一,所谓集合就是指作为整体看的一堆东西 组成集合的东西称为这个集合的元素用 ∈M 表示a是集合M的元素,读为:a属于M用 aEM 表示a不是集合M的元素,读为:a不属于M 所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的因此给出一个集 合的方式不外两种,一种是列举法:列举出它全部的元素,一种是描述法:给出 这个集合的元素所具有的特征性质 设M是具有某些性质的全部元素所成的集合,就可写成 M={|a具有的性质} 不包含任何元素的集合称为空集,记作p 如果两个集合M与N含有完全相同的元素,即a∈M当且仅当a∈N,那么 它们就称为相等,记为M=N 如果集合M的元素全是集合N的元素,即由a∈M可以推出a∈N,那么M 就称为N的子集合,记为McN或N→M 两个集合M和N如果同时满足McN和NcM,则M和N相等 设M和N是两个集合,既属于M又属于N的全体元素所成的集合称为M 与N的交,记为M∩N 属于集合M或者属于集合N的全体元素所成的集合称为M与N的并,记为 MUN 、映射 设M和M是两个集合,所谓集合M到集合M的一个映射就是指一个法 则,它使M中每一个元素a都有M中一个确定的元素a'与之对应如果映射σ使 元素a'∈M与元素a∈M对应,那么就记为

第六章 线性空间 §1 集合·映射 一、集合 集合是数学中最基本的概念之一，所谓集合就是指作为整体看的一堆东西. 组成集合的东西称为这个集合的元素.用 aM 表示 a 是集合 M 的元素，读为： a 属于 M .用 aM 表示 a 不是集合 M 的元素，读为： a 不属于 M . 所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的.因此给出一个集 合的方式不外两种，一种是列举法：列举出它全部的元素，一种是描述法：给出 这个集合的元素所具有的特征性质. 设 M 是具有某些性质的全部元素所成的集合，就可写成 M = a | a具有的性质. 不包含任何元素的集合称为空集，记作  . 如果两个集合 M 与 N 含有完全相同的元素，即 aM 当且仅当 a N ，那么 它们就称为相等，记为 M = N . 如果集合 M 的元素全是集合 N 的元素，即由 aM 可以推出 a N ，那么 M 就称为 N 的子集合，记为 M  N 或 N  M . 两个集合 M 和 N 如果同时满足 M  N 和 N  M .，则 M 和 N 相等. 设 M 和 N 是两个集合，既属于 M 又属于 N 的全体元素所成的集合称为 M 与 N 的交，记为 M  N . 属于集合 M 或者属于集合 N 的全体元素所成的集合称为 M 与 N 的并，记为 M  N . 二、映射 设 M 和 M  是两个集合，所谓集合 M 到集合 M  的一个映射就是指一个法 则，它使 M 中每一个元素 a 都有 M  中一个确定的元素 a  与之对应.如果映射  使 元素 a M 与元素 aM 对应，那么就记为

(a)=a', d'就为a在映射σ下的像,而a称为a'在映射σ下的一个原像 M到M自身的映射,有时也称为M到自身的变换 关于M到M的映射σ应注意: 1)M与M'可以相同,也可以不同 2)对于M中每个元素a,需要有M中一个唯一确定的元素a'与它对应 3)一般,M中元素不一定都是M中元素的像 4)M中不相同元素的像可能相同 5)两个集合之间可以建立多个映射 集合M到集合M的两个映射σ及x,若对M的每个元素a都有a(a)=r(a 则称它们相等,记作σ=r 例1M是全体整数的集合,M是全体偶数的集合,定义 (n)=2n,n∈M 这是M到M的一个映射 例2M是数域P上全体n级矩阵的集合,定义 1(A)=A|,A∈M 这是M到P的一个映射 例3M是数域P上全体n级矩阵的集合,定义 2(a)=aE,a∈P E是n级单位矩阵,这是P到M的一个映射 例4对于f(x)∈P[x],定义 ((x))=f(x) 这是P[x到自身的一个映射 例5设M,M是两个非空的集合,a0是M中一个固定的元素,定义 (a)=ao,a∈M 这是M到M的一个映射

 (a) = a  , a  就为 a 在映射  下的像，而 a 称为 a  在映射  下的一个原像. M 到 M 自身的映射，有时也称为 M 到自身的变换. 关于 M 到 M  的映射  应注意： 1） M 与 M  可以相同，也可以不同； 2）对于 M 中每个元素 a ，需要有 M  中一个唯一确定的元素 a  与它对应； 3）一般， M  中元素不一定都是 M 中元素的像； 4） M 中不相同元素的像可能相同； 5）两个集合之间可以建立多个映射. 集合 M 到集合 M  的两个映射  及  ，若对 M 的每个元素 a 都有  (a) =  (a) 则称它们相等，记作  = .. 例 1 M 是全体整数的集合， M  是全体偶数的集合，定义  (n) = 2n, n  M , 这是 M 到 M  的一个映射. 例 2 M 是数域 P 上全体 n 级矩阵的集合，定义 1 (A) =| A|, AM . 这是 M 到 P 的一个映射. 例 3 M 是数域 P 上全体 n 级矩阵的集合，定义  2 (a) = aE ,aP. E 是 n 级单位矩阵，这是 P 到 M 的一个映射. 例 4 对于 f (x)  P[x],定义  ( f (x)) = f (x) 这是 P[x] 到自身的一个映射. 例 5 设 M ， M  是两个非空的集合， 0 a 是 M  中一个固定的元素，定义  (a) = a0 ,a  M . 这是 M 到 M  的一个映射

例6设M是一个集合,定义 a(a)=a,a∈M 即σ把M的每个元素都映到它自身,称为集合M的恒等映射或单位映射,记为 例7任意一个定义在全体实数上的函数 f(r) 都是实数集合到自身的映射,因此函数可以认为是映射的一个特殊情形 对于映射可以定义乘法,设O及分别是集合M到M',M'到M"的映射, 乘积v定义为 (o)(a)=t(G(a) M 即相继施行σ和τ的结果,ro是M到M"的一个映射 对于集合集合M到M的任何一个映射σ显然都有 Lg=gl=g 映射的乘法适合结合律设a,x,分别是集合M到M',M到M",M"到 Mm的映射,映射乘法的结合律就是 (r)o=y(to 设a是集合M到M的一个映射,用 代表M在映射σ下像的全体,称为M在映射σ下的像集合显然 O(MCM 如果a(M)=M,映射σ称为映上的或满射 如果在映射σ下,M中不同元素的像也一定不同,即由a1≠a2一定有 σ(a1)≠G(a2),那么映射a就称为1-1的或单射 一个映射如果既是单射又是满射就称1-1对应或双射 对于M到M的双射a可以自然地定义它的逆映射,记为σ-1因为σ为满

例 6 设 M 是一个集合，定义  (a) = a ,a  M . 即  把 M 的每个元素都映到它自身，称为集合 M 的恒等映射或单位映射，记为 M1 . 例 7 任意一个定义在全体实数上的函数 y = f (x) 都是实数集合到自身的映射，因此函数可以认为是映射的一个特殊情形. 对于映射可以定义乘法,设  及  分别是集合 M 到 M  ，M  到 M  的映射， 乘积  定义为 ( )(a) =  ( (a)) ,a  M , 即相继施行  和  的结果，  是 M 到 M  的一个映射. 对于集合集合 M 到 M  的任何一个映射  显然都有 1M =1M = . 映射的乘法适合结合律.设  , , 分别是集合 M 到 M  ，M  到 M ，M  到 M  的映射，映射乘法的结合律就是 () = ( ). 设  是集合 M 到 M  的一个映射，用  (M ) 代表 M 在映射  下像的全体，称为 M 在映射  下的像集合.显然  (M )  M  . 如果  (M ) = M  ，映射  称为映上的或满射. 如果在映射  下， M 中不同元素的像也一定不同，即由 a1  a2 一定有 ( ) ( )  a1  a2 ,那么映射  就称为 1−1 的或单射. 一个映射如果既是单射又是满射就称 1−1 对应或双射. 对于 M 到 M  的双射  可以自然地定义它的逆映射，记为 −1  .因为  为满

射,所以M中每个元素都有原像,又因为σ是单射,所以每个元素只有一个原 像,定义 a)=a,当a(a)=a 显然,a是M到M的一个双射,并且 不难证明,如果σ,r分别是M到M′,M'到M”的双射,那么乘积ro就是M 到M”的一个双射

射，所以 M  中每个元素都有原像，又因为  是单射，所以每个元素只有一个原 像，定义 a  = a a = a  − ( ) , ( ) 1  当 . 显然， −1  是 M  到 M 的一个双射，并且 M M − − =1 , =1 1 1    . 不难证明，如果  , 分别是 M 到 M ，M  到 M  的双射，那么乘积  就是 M 到 M  的一个双射

§2线性空间的定义与简单性质 线性空间的定义 例1在解析几何里,讨论过三维空间中的向量向量的基本属性是可以按 平行四边形规律相加,也可以与实数作数量算法.不少几何和力学对象的性质是 可以通过向量的这两种运算来描述的 1°按平行四边形法则所定义的向量的加法是V3的一个运算 2解析几何中规定的实数与向量的乘法是RXV3到V的一个运算. 3°由知道,空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律 例2.数域P上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满 足上述规律 定义1令V是一个非空集合,P是一个数域在集合的元素之间定义了一 种代数运算,叫做加法;这就是说给出了一个法则,,对于V中任意两个向量a与 B,在V中都有唯一的一个元素y与它们对应,称为a与B的和,记为y=a+B 在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法;这就是说,对 于数域P中任一个数k与V中任一个元素a,在V中都有唯一的一个元素δ与它 们对应,称为k与α的数量乘积,记为δ=ka.如果加法与数量乘法满足下述规 则,那么V称为数域P上的线性空间 加法满足下面四条规则 1)a+b=B + 2)(a+B)+y=a+(B+y); 3)在V中有一个元素0,Va∈V,都有a+0=a(具有这个性质的元素0 称为V的零元素); 4)Va∈,3B∈Vsa+B=0(B称为a的负元素) 数量乘法满足下面两条规则 6)k(la)=(kD)a 数量乘法与加法满足下面两条规则

§2 线性空间的定义与简单性质 一、线性空间的定义. 例 1 在解析几何里,讨论过三维空间中的向量.向量的基本属性是可以按 平行四边形规律相加，也可以与实数作数量算法.不少几何和力学对象的性质是 可以通过向量的这两种运算来描述的. 1 0 按平行四边形法则所定义的向量的加法是 V3的一个运算; 2 0 解析几何中规定的实数与向量的乘法是 R×V3到 V3的一个运算. 3 0 由知道, 空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律. 例 2. 数域 P 上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满 足上述规律. 定义 1 令 V 是一个非空集合， P 是一个数域.在集合 V 的元素之间定义了一 种代数运算，叫做加法；这就是说给出了一个法则，.对于 V 中任意两个向量  与  ,在 V 中都有唯一的一个元素  与它们对应,称为  与  的和,记为  =  +  . 在数域 P 与集合 V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对 于数域 P 中任一个数 k 与 V 中任一个元素  ,在 V 中都有唯一的一个元素  与它 们对应,称为 k 与  的数量乘积,记为  = k .如果加法与数量乘法满足下述规 则，那么 V 称为数域 P 上的线性空间. 加法满足下面四条规则：: 1)  +  =  + ； 2) ( +  ) +  =  + ( +  ) ； 3) 在 V 中有一个元素 0, V ,都有  + 0 = （具有这个性质的元素 0 称为 V 的零元素）； 4)  V, V,st  +  = 0 (  称为  的负元素). 数量乘法满足下面两条规则： 5) 1 = ; 6) k(l) = (kl) ; 数量乘法与加法满足下面两条规则：

+na=ka+la 8)k(a+B)=ka+kB 在以上规则中,k,l等表示数域P中任意数;a,B,y等表示集合中任意元素 例3数域P上一元多项式环P[x],按通常的多项式加法和数与多项式的乘 法,构成一个数域P上的线性空间如果只考虑其中次数小于n的多项式,再添 上零多项式也构成数域P上的一个线性空间,用Px]n表示 例4元素属于数域P的m×n矩阵,按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法, 构成数域P上的一个线性空间,用Pmm表示 例5全体实函数,按函数加法和数与函数的数量乘法,构成一个实数域上 的线性空间 例6数域P按照本身的加法与乘法,即构成一个自身上的线性空间 例7以下集合对于所指定的运算是否作成实数域R上的线性空间 1)平面上全体向量所作成的集合V,对于通常向量的加法和如下定义的纯 量乘法 ∈R,a∈p 2)R上n次多项式的全体所作成的集合W对于多项式的加法和数与多项式 的乘法 例8设V是正实数集,R为实数域.规定 a⊕B=aB(即a与B的积), (即a的a次幂), 其中a,B∈V,a∈R.则V对于加法⊕和数乘⊙作成R上的线性空间 二线性空间的简单性质 线性空间的元素也称为向量.当然这里的向量比几何中所谓向量的涵义要广 泛得多.线性空间有时也称为向量空间.以下用黑体的小写希腊字母a,B,y,…代 表线性空间V中的元素,用小写拉丁字母a,b,c,…代表数域P中的数

7) (k + l) = k + l ; 8) k( + ）= k + k; 在以上规则中， k,l 等表示数域 P 中任意数； ,  , 等表示集合 V 中任意元素. 例 3 数域 P 上一元多项式环 P[x] ,按通常的多项式加法和数与多项式的乘 法，构成一个数域 P 上的线性空间.如果只考虑其中次数小于 n 的多项式，再添 上零多项式也构成数域 P 上的一个线性空间，用 n P[x] 表示. 例 4 元素属于数域 P 的 mn 矩阵，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法， 构成数域 P 上的一个线性空间，用 m n P  表示. 例 5 全体实函数，按函数加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上 的线性空间. 例 6 数域 P 按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间. 例 7 以下集合对于所指定的运算是否作成实数域 R 上的线性空间: 1) 平面上全体向量所作成的集合 V ,对于通常向量的加法和如下定义的纯 量乘法: a = 0,a  R, V . 2) R 上 n 次多项式的全体所作成的集合 W 对于多项式的加法和数与多项式 的乘法. 例 8 设 V 是正实数集, R 为实数域.规定    =  (即  与  的积), a ⊙  = a  (即  的 a 次幂), 其中 ,  V,a  R .则 V 对于加法⊕和数乘⊙作成 R 上的线性空间. 二 线性空间的简单性质 线性空间的元素也称为向量.当然这里的向量比几何中所谓向量的涵义要广 泛得多.线性空间有时也称为向量空间.以下用黑体的小写希腊字母 ,  , ,  代 表线性空间 V 中的元素，用小写拉丁字母 a,b, c,  代表数域 P 中的数

1.零元素是唯一的. 2.负元素是唯一的 3.0a=0,k0=0,(-1)a=-a. 4.如果ka=0,那么k=0或者a=0

1.零元素是唯一的. 2.负元素是唯一的. 3. 0 = 0;k0 = 0;(−1) = −. 4.如果 k = 0 ,那么 k = 0 或者  = 0

§3维数·基与坐标 、向量的线性相关与线性无关 定义2设V是数域P上的一个线性空间,a1,a2…a,(r≥1是V一组向 量,k1,k2,…k是数域P中的数,那么向量 a=ka1+k2a2+…+k,a 称为向量组a1,a2,…a的一个线性组合,有时也说向量a可以用向量组 a,a2…,a,线性表出 定义3设 21,C2,…,Or B1,B2…B, 是V中两个向量组,如果(1)中每个向量都可以用向量组(2)线性表出,那么 称向量(1)可以用向量组(2)线性表出.如果(1)与(2)可以互相线性表出, 那么向量组(1)与(2)称为等价的. 定义4线性空间V中向量ax1,a2…a(r≥1)称为线性相关,如果在数域P 中有r个不全为零的数k,k2,…k,使 k1a1+k2a2+…+k,an=0 如果向量a1,a2…a,不线性相关,就称为线性无关.换句话说,向量组 a2,a2…a称为线性无关,如果等式(3)只有在k1=k2=…k=0时才成立 几个常用的结论 1.单个向量a线性相关的充要条件是a=0.两个以上的向量a1,a2…an 线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合. 2.如果向量组a1,a2…,a线性无关,而且可以被B13B2…B,线性表出, 那么r≤s 由此推出,两个等价的线性无关的向量组,必含有相同个数的向量

§3 维数·基与坐标 一、向量的线性相关与线性无关 定义 2 设 V 是数域 P 上的一个线性空间，    r ,. , , 1 2  (r  1) 是 V 一组向 量, r k ,k , ,k 1 2  是数域 P 中的数，那么向量 r r  = k11 + k2 .2 ++ k  称为向量组    r ,. , , 1 2  的一个线性组合，有时也说向量  可以用向量组    r ,. , , 1 2  线性表出. 定义 3 设    r ,. , , 1 2  ; (1)    s , , . 1 2  (2) 是 V 中两个向量组，如果（1）中每个向量都可以用向量组（2）线性表出，那么 称向量（1）可以用向量组（2）线性表出.如果（1）与（2）可以互相线性表出， 那么向量组（1）与（2）称为等价的. 定义 4 线性空间 V 中向量    r ,. , , 1 2  (r  1) 称为线性相关，如果在数域 P 中有 r 个不全为零的数 r k ,k , ,k 1 2  ，使 k11 + k2 .2 ++ krr = 0 . (3) 如果向量    r ,. , , 1 2  不线性相 关，就称 为线 性 无关. 换句话说，向量组    r ,. , , 1 2  称为线性无关，如果等式（3）只有在 k1 = k2 =kr = 0 时才成立. 几个常用的结论： 1. 单个向量  线性相关的充要条件是  = 0 .两个以上的向量    r ,. , , 1 2  线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合. 2. 如果向量组    r ,. , , 1 2  线性无关，而且可以被    s , , . 1 2  线性表出， 那么 r  s . 由此推出，两个等价的线性无关的向量组，必含有相同个数的向量

3.如果向量组a,a2…,a线性无关,但a1,a2,…,a,B线性相关,那么B 可以由被a1,a2…,a,线性表出,而且表示法是唯一的 在一个线性空间中究竟最多能有几个线性无关的向量,显然是线性空间的 个重要属性 定义5如果在线性空间V中有n个线性无关的向量,但是没有更多数目的线性无 关的向量,那么V就称为n维的:如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量, 那么V就称为无限维的 定义6在n维线性空间V中,n个线性无关的向量E12E2,…,En称为V的一组 基.设a是V中任一向量,于是E1,E2…En,a线性相关,因此a可以被基 E1,E1,…,En线性表出: a=a11+a2E2+……+anE 其中系数a1,a2…an是被向量α和基s1,E2…,En唯一确定的,这组数就称为a在 基E1,E2…,En下的坐标,记为(a1a2…an) 由以上定义看来,在给出空间V的一组基之前,必须先确定V的维数 定理1如果在线性空间V中有n个线性无关的向量a1a2…an,且V中任 向量都可以用它们线性表出,那么V是n维的,而a1,a2…an就是V的一组 基 例1在线性空间Pxn中, Lx 是n个线性无关的向量,而且每一个次数小于n的数域P上的多项式都可以被它 们线性表出,所以Px]n是n维的,而1,x,x2,…,x2就是它的一组基 例2在n维的空间P中,显然

3. 如果向量组    r ,. , , 1 2  线性无关，但 1 ,.2 ,  , r , 线性相关，那么  可以由被    r ,. , , 1 2  线性表出，而且表示法是唯一的. 在一个线性空间中究竟最多能有几个线性无关的向量，显然是线性空间的一 个重要属性. 定义 5 如果在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无 关的向量，那么 V 就称为 n 维的；如果在 V 中可以找到任意多个线性无关的向量， 那么 V 就称为无限维的. 定义 6 在 n 维线性空间 V 中， n 个线性无关的向量 n  , , , 1 2  称为 V 的一组 基.设  是 V 中任一向量，于是  1 , 2 ,  , n , 线性相关，因此  可以被基 n  , , , 1 2  线性表出： a a an n  =  +  ++  1 1 2 2 . 其中系数 a a an , , , 1 2  是被向量  和基 n  , , , 1 2  唯一确定的，这组数就称为  在 基 n  , , , 1 2  下的坐标，记为 ( , , , ) a1 a2  an . 由以上定义看来，在给出空间 V 的一组基之前，必须先确定 V 的维数. 定理 1 如果在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量    n ,. , , 1 2  ，且 V 中任 一向量都可以用它们线性表出，那么 V 是 n 维的，而    n ,. , , 1 2  就是 V 的一组 基. 例 1 在线性空间 n P[x] 中， 2 1 1, , , , n− x x  x 是 n 个线性无关的向量，而且每一个次数小于 n 的数域 P 上的多项式都可以被它 们线性表出，所以 n P[x] 是 n 维的，而 2 1 1, , , , n− x x  x 就是它的一组基. 例 2 在 n 维的空间 n P 中，显然

E1=(1,0,…,0) E2=(0,…0) En=(0,0,…,1) 是一组基对于每一个向量a=(a1a2…,an)都有 a=a1E1+a2E2+……+anEn 所以(a12a2…,an)就是向量a在这组基下的坐标 例3如果把复数域K看作是自身上的线性空间,那么它是一维的,数1就 是一组作是实数域上的线性空间,那么就是二维的,数1与i就是一组基这个例 子告诉我们,维数是和所考虑的数域有关的

       = = = (0,0, ,1) (0,1, ,0), (1,0, ,0), 2 1     n    是一组基.对于每一个向量 ( , , , )  = a1 a2  an ,都有 a a an n  =  +  ++  1 1 2 2 . 所以 ( , , , ) a1 a2  an 就是向量  在这组基下的坐标. 例 3 如果把复数域 K 看作是自身上的线性空间，那么它是一维的，数 1 就 是一组作是实数域上的线性空间，那么就是二维的，数 1 与 i 就是一组基.这个例 子告诉我们，维数是和所考虑的数域有关的