数值积分和数值微分
数值积分和数值微分
Chapter 3 Numerical Integreation and Differentiation I=f(x)dx a 由微积分学基本定理当f(x)在[ab]上连续时存在原函数F(x) 由 Newton - Leibnitz公式=『x=)= 有时用上面的方法计算定积分有困难 1.不易求f(×)的原函数F(x) eg sInX1 e x nx 2x的原函数表达式很复杂(计算量大)e9J1+ dx 3f(x)用列表给出(观测所得数据表) 所以讨论数值积分即用数值方法计算定积分的近似值 HUST
b a I f(x)dx = ∫ 由微积分学基本定理,当f(x)在[a,b]上连续时,存在原函数F(x) 由Newton-Leibnits公式 b a I f(x)dx F(b) F(a) = =− ∫ 有时,用上面的方法计算定积分有困难. 1.不易求f(x)的原函数F(x) 2.f(x)的原函数表达式很复杂(计算量大) 3.f(x)用列表给出(观测所得数据表) − 2 sinx 1 x e.g. , ,e x lnx + ∫b 4 a 1 e.g. dx 1 x 所以,讨论数值积分,即用数值方法计算定积分的近似值
31机械求积 Chapter 3 Numerical Integreation and Differentiation 对于I=fx减,若(x)>0时,则对应于曲边梯形的面积 a 当f)在[ab]上连续,由积分中值定理.Y f( 彐∈[!出(xk=(b-)(9 f(b I是以ba为底高为f()的矩形的面 积f()称为[a,b]上的平均高度 梯形公式取f9 f(a+fb f(×dk≈(b-a) fa+(b b-a fa (b-a) f(b) 2 2.中矩形公式 a+b 取19=-(y)「 atb f(×)d≈(b-a)f( 2 HUST
3.1 机械求积 对于 ,若f(x)>0时,则I对应于曲边梯形的面积. b a I f(x)dx = ∫ 当f(x)在[a,b]上连续,由积分中值定理. ∃∈ =− ∫b [a,b] f(x)dx (b a)f( a ) 1. 梯形公式 + ≈ +− − ≈− = + ∫ba f(a) f(b) f( ) 2 f(a) f(b) (b a) (b a) f(x)dx (b a) 2 f(a) ) 2 2 f(b 取 2. 中矩形公式 + + ≈ ≈− ∫ba a b f( ) f( ) f(x)dx (b a a )f( ) 2 b2 取 I是以b-a为底,高为f( )的矩形的面 积. f( )称为[a,b]上的平均高度
Chapter 3 Numerical Integreation and Differentiation 3 Simpson公式 取f(≈[fa)+4f(--)+f()] atb f(xax (b-a) f(a)+4f(-)+f(b) 6 2 b-a b-a f(xax f( 4()ca+b a)+ f(-)+°f(b) 6 6 26 HUST
3. Simpson公式 1 ab f( ) [f(a) 4f( ) f(b)] 6 2+ 取 ≈+ + −− − ∴ ≈ + + ∫ba ba 4 a+b f(a) f( ) f(b) 2 (b a) b a f(x)dx 66 6 b a (b a) a b f(x)dx [f(a) 4f( ) f(b)] 6 2 − + ≈ ++ ∫
Chapter 3 Numerical Integreation and Differentiation 机械求积公式: 在[ab]中有n+1个互异的节点x0,X1,x2…,xn f(x)d≈Af(x)+Af(X)+…+Af(Xn)(3.1) 称上式为机械求积公式其中X~x1为求积节点 A(=0,1,,n)为求积系数(权) 注:1.求积系数A仅与节点X的选取有关而不依赖于被积 函数f(X)的具体形式 2通过机械求积把求积分值转化为求函数值避免了 Newton-Leibnits求原函数的困难 3.机械求积是求定积分的近似方法。 n R0()=1-,EAx)求积公式(3.1)的截断误差或余项 HUST
机械求积公式: 在[a,b]中有n+1个互异的节点x0, x1, x2,…, xn. b 00 11 nn a f(x)dx A f(x ) A f(x ) ... A f(x ) (3.1) ≈ + ++ ∫ 称上式为机械求积公式,其中x0~ xn为求积节点, Ai(i=0,1,…,n)为求积系数(权). 注:1. 求积系数Ak仅与节点xi的选取有关,而不依赖于被积 函数f(x)的具体形式. 2.通过机械求积,把求积分值转化为求函数值,避免了 Newton-Leibnits求原函数的困难. 3. 机械求积是求定积分的近似方法. = − ∑ 求积公式(3.1)的截断误差或余项. = n I A f(x ) i i i R f) 0 ( n
代数精度 Chapter 3 Numerical Integreation and Differentiation 对于机械求积公式fx)d=∑Af(x) i=0 R(f=I-∑Af(x) i=0 定义若上述公式对所有不超过m次的多项式Pm(x)都精确成立, 即R(Pm)=0而对某一个m+1次多项式Pm+x近似成立 即Rn(Pm+)≠0则称机械求积公式具有m次代数精度 梯形公式1(+的代数精度为1 HUST
代数精度 n b i i a i 0 f(x)dx Af(x ) = 对于机械求积公式 ∫ ≈ ∑ 定义 若上述公式对所有不超过m次的多项式Pm(x)都精确成立, 即Rn(Pm)=0,而对某一个m+1次多项式Pm+1(x)近似成立, 即Rn(Pm+1) 0.则称机械求积公式具有m次代数精度. 梯形公式 的代数精度为 梯形公式 的代数精度为1. b a (b a) f(x)dx [f(a) f(b)] 2− ≈ + ∫ = − ∑ = n I A f(x ) i i i R f) 0 ( n
判断代数精度的方法 Chapter 3 Numerical Integreation and Differentiation 当f(x)=1,Xx2,…Ⅻm时求积公式精确成立, 而f(x)=xm+时公式近似成立分求积公式的代数精度为m次 证明:必要性显然,下证充分性 对任意m次多项式Pn(X)=a+aX+a2x2+…anx(an≠0) 由于求积公式!减=∑Ax)对于f(x)=1,xx2…xm时精确成立 b ∫1dx=∑A b k xdX=∑Ax X"dx=∑AkxR a k≠0 k=a,+a×+…+21xk=a2A+a2Ax+…+a2∑A k=0 k=0 k=0 ∑A+aX+…+anx)=∑APnx) k=0 ∴求积公式对Pn(X)精确成立 但对m+1次多项式公式近似成立(R≠0),由定义知 HUST 该公式的代数精度是m次
当f(x)=1,x,x2,…,xm时,求积公式精确成立, 而f(x)= xm+1时公式近似成立, 证明: 必要性显然.下证充分性 对任意m次多项式Pm(x)=a0+a1x+ a2x2+…+ amxm.(am 0) 由于求积公式 对于 由于求积公式 对于 f(x)=1,x,x2,…,xm时精确成立 n b i i a i 0 f(x)dx Af(x ) = ∫ ≈ ∑ ≠≠ ≠ ∴= = = ∫∫ ∫ ∑∑ ∑ nn n bb b m m k kk kk aa a k0 k0 k0 1dx A , xdx A x , ... , x dx A x = + ++ ∫ ∫∫ ∫ b bb b m m 01 m a aa a P (x)dx a dx a xdx ... a x dx 判断代数精度的方法 求积公式对Pm(x)精确成立. 但对m+1次多项式,公式近似成立(R 0),由定义知. 该公式的代数精度是m次 == = = + ++ ∑∑ ∑ nn n m 0 k 1 kk m kk k0 k0 k0 a A a A x ... a A x = = + + + ∑ n m k 0 1k mk k 0 A (a a x ... a x ) = = ∑ n km k k 0 A P (x ) !求积公式的代数精度为m次
Chapter 3 Numerical Integreation 验证梯形公式的代数精度为1 and Differentiation b-a 解梯形公式x)d [f(a+f(b) 令f(x)=1左=[=b-a右 a [1+1]=b-a左=右 公式对f(x)=1精确成立。 b-a 令(x)=x×x=12,右=2+]=2,在=右 公式对f(x)=X精确成立 令f()=X2左=「x2d 右 a [a2+b2]≠左 2 公式对f(x)=×2不再精确成立 梯形公式代数精度为1 例 Simpson公式的代数精度为3 f(x)、b a tb [f(a)+4f(--)+f(b)] 2 HUST
例 验证梯形公式的代数精度为 1. 解:梯形公式 b a b a f(x)dx [f(a) f(b)] 2 − ≈ + ∫ 令f(x)=1 b a b a 1dx b a, [1 1] b a, 2 左 右 左右 − = =− = + =− = ∫ 公式对 f(x)=1精确成立. 令f(x)=x 22 22 b a b a ba b a xdx , [a b] , 22 2 右 左右 −− − = = += = ∫ 公式对 f(x)=x精确成立 令f(x)=x 2 3 3 b 2 22 a b a ba x dx , [a b ] 3 2 左 右左 − − = = = +≠ ∫ 公式对 f(x)=x 2不再精确成立 梯形公式代数精度为 1. 例 Simpson公式的代数精度为 3 b a ba ab f(x)dx [f(a) 4f( ) f(b)] 6 2 − + ≈ ++ ∫
Chapter 3 Numerical Integreation vr设有求积公式∫f(x)dx=Af(-1)+Af()+A(1) and Differentiation 试确定系数AA1A2使这个公式具有最高的代数精度 分析:要确定公式中3个待定常数A0A1A2, 可令公式对1Xx2都准确成立 解:令f()=1,XⅩ2公式都准确成立,则 A+A1+A2=2 A+A,=0 解得A=1/3A1=43A2=13 A+A ∷该求积公式为∫,fxkx=f(1)+4(0)+f( 3 易验证:f(×)=3时,求积公式也准确成立 而fx)=x时xdk= [(-1)+4×0+1] 该求积公式具有3次代数精度,它是[-1,1上的 Simpson公式 HUS
例 设有求积公式 1 0 12 1 f(x)dx A f( 1) A f(0) A f(1) − ≈ −+ + ∫ 分析: 要确定公式中 3个待定常数 A 0,A 1,A 2 可令公式对 1 ,x,x 2都准确成立. 解:令f(x)= 1,x,x 2.公式都准确成立 , 则 012 0 2 0 2 AAA2 AA0 2 A A 3 ++= − + = + = 解得 A 0=1/3, A 1=4/3, A 2=1/3 该求积公式为 1 1 1 f(x)dx [f( 1) 4f(0) f(1)] − 3 ≈ −+ + ∫ 易验证:f(x)= x 3 时, 求积公式也准确成立 而f(x)= x4 时 1 4 44 1 221 x dx [( 1) 4 0 1 ] − 533 ≈ ≠ = − +×+ ∫ 该求积公式具有 3次代数精度 ,它是[-1,1]上的Simpson公式. 试确定系数 A 0,A 1,A 2,使这个公式具有最高的代数精度
Chapter 3 Numerical Integreation and Differentiation 一般对于n+1给节点上的机械求积公式∫x)dx=∑A(x) k=0 若使其代数精度至少为n,则可确定A构造出求积公式 只需令上式对f(x)=1XX2,…,x都准确成立,则 An+A,+A2+…+A=b-a AnX+AX1+…+AnXn 2 +1 x+AX1+…+Anxn n+1 上面是关于A0,A1,A2…,An的线性方程组, 其系数行列式为范德蒙行列式其值非零, 可求得唯一解 HUST
一般,对于n+1给节点上的机械求积公式 n b k k a k 0 f(x)dx A f(x ) = ∫ ≈ ∑ 若使其代数精度至少为n,则可确定Ak,构造出求积公式. 只需令上式对f(x)=1,x,x2,…,xn都准确成立,则 012 n 2 2 00 11 nn n1 n1 nn n 00 11 nn A A A ... A b a b a A x A x ... A x 2 (3.4) ... ... b a A x A x ... A x n 1 + + + + + + = − − + ++ = − + ++ = + 上面是关于A0 , A1 , A2 ,…,An的线性方程组, 其系数行列式为范德蒙行列式,其值非零, 可求得唯一解