第九章欧几里得空间 §1定义与基本性质 、向量的内积 定义1设是实数域R上一个向量空间在V上定义了一个二元实函数,称 为内积记作(a,B),它具有以下性质 2)(ka,B)=k(a,B); 3)(a+B,y)=(a,y)+(B,y); 4)(a,a)≥0,当且仅当a=0时,(a,a)=0 这里a,B,y是V任意的向量k是任意实数这样的线性空间V称为欧几里得空间 例1在线性空间R中对于向量 a=(a1,a2,…,an),B=(b,b2,…bn), 定义内积 (a,B)=a, 6,+a2b2+.+a,b 则内积(1)适合定义中的条件,这样R就成为一个欧几里得空间仍用来表示这个 欧几里得空间 在n=3时,(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达 式 例2在R"里,对于向量 a=(a1,a2,…,an),β=(b,b2…,bn), 定义内积 (a,B)=a,b,+2a,62+.+na, b 则内积(1适合定义中的条件,这样R"就也成为一个欧几里得空间仍用来表 示这个欧几里得空间
第九章 欧几里得空间 §1 定义与基本性质 一、向量的内积 定义 1 设 V 是实数域 R 上一个向量空间,在 V 上定义了一个二元实函数，称 为内积,记作 (, ),它具有以下性质: 1) (, ) = (,) ; 2) (k, ) = k(, ) ; 3) ( + , ) = (, ) + (, ) ; 4) (,) 0,当且仅当 = 0 时, (,) = 0 这里 , , 是 V 任意的向量, k 是任意实数,这样的线性空间 V 称为欧几里得空间. 例 1 在线性空间 n R 中,对于向量 ( , , , ) , ( , , , ) = a1 a2 an = b1 b2 bn , 定义内积 ( , ) . = a1 b1 + a2 b2 ++ an bn (1) 则内积(1)适合定义中的条件，这样 n R 就成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个 欧几里得空间. 在 n = 3 时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达 式. 例 2 在 n R 里, 对于向量 ( , , , ) , ( , , , ) = a1 a2 an = b1 b2 bn , 定义内积 ( , ) 2 . = a1 b1 + a2 b2 ++ nan bn 则内积(1)适合定义中的条件，这样 n R 就也成为一个欧几里得空间.仍用来表 示这个欧几里得空间
对同一个线性空间可以引入不同的内积使得它作成欧几里得空间 例3在闭区间[ab]上的所有实连续函数所成的空间C(a,b)中,对于函数 f(x),g(x)定义内积 (f(x),g(x)= f(x)g(x)dx 对于内积(2),C(a,b)构成一个欧几里得空间 同样地,线性空间xRx]对于内积2)也构成欧几里得空间 例4令H是一切平方和收敛的实数列 5=(x1,x2…,xn)∑x2<+∞ 所成的集合则H是一个欧几里得空间通常称为希尔伯特( Hilbert)空间 二、欧几里得空间的基本性质 1)定义中条件1)表明内积是对称的 2)(a, kB)=(k, a)=k(a, B)=k(B, a) 3)(a,B+y)=(B+y,a)=(B,a)+(y,a)=(a,B)+(a,y) 定义2非负实数√a,a)称为向量a的长度,记为 显然,向量的长度一般是正数,只有零向量的长度才是零,这样定义的长度符合 熟知的性质: ka=kila 这里k∈R,a∈V 长度为1的向量叫做单位向量如果,a≠0由(3)式,向量 就是一个单位向量用向量a的长度去除向量a,得到一个与a成比例的单位向 量,通常称为把a单位化 柯西布涅柯夫斯基不等式:即对于任意的向量a,B有 a,B)≤plf
对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里得空间. 例 3 在闭区间 [a,b] 上的所有实连续函数所成的空间 C(a,b) 中,对于函数 f (x), g(x) 定义内积 = b a ( f (x), g(x)) f (x)g(x)dx . (2) 对于内积(2)，C(a,b) 构成一个欧几里得空间. 同样地，线性空间 n R[x], R[x] 对于内积(2)也构成欧几里得空间. 例 4 令 H 是一切平方和收敛的实数列 = + =1 2 1 2 ( , , , ), n n n x x x x 所成的集合,则 H 是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间. 二、欧几里得空间的基本性质 1）定义中条件 1）表明内积是对称的. 2) (, k ) = (k,) = k(, ) = k(,). 3) (, + ) = ( + ,) = (,) + ( ,) = (, ) + (, ) 定义 2 非负实数 (,) 称为向量 的长度，记为 . 显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合 熟知的性质： k =| k | (3) 这里 k R, V . 长度为 1 的向量叫做单位向量.如果, 0 由(3)式，向量 1 就是一个单位向量.用向量 的长度去除向量 ，得到一个与 成比例的单位向 量，通常称为把 单位化. 柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量 , 有 (,) (5)
当且仅当a,线性相关时,等式才成立 对于例1的空间R”,(5)式就是 ab+ab2+…+a≤a+a+…+可V团+6+…+b2 对于例2的空间C(a,b),(5)式就是 f(xg(x f(x) g(x)dx 定义3非零向量a,B的夹角规定为 a,B>=a0cn,0(1)≤x 根据柯西-布涅柯夫斯基不等式,有三角形不等式 a+川sl+风 定义4如果向量α,B的内积为零,即 那么a,B称为正交或互相垂直,记为a⊥B 两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为z 只有零向量才与自己正交 勾股定理:当a,B正交时, a+B=a+B 推广:如果向量两∝1,a2,…,an两两正交,那么 a+a2+…+an|2=|a1+a2|+…+kam 设V是一个n维欧几里得空间,在V中取一组基1,E2…En,对于V中任意 两个向量 a=x1E1+x2E2+…+xnEn,B=yE1+y2E2+…+ynEn, 由内积的性质得
当且仅当 , 线性相关时，等式才成立. 对于例 1 的空间 n R ，(5)式就是 . 2 2 2 2 1 2 2 2 2 a1b1 + a2b2 ++ anbn a1 + a ++ an b + b ++ bn 对于例 2 的空间 C(a,b)，(5)式就是 2 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) b a b a b a f x g x dx f x dx g x dx 定义 3 非零向量 , 的夹角 , 规定为 = , 0 , ( , ) , arccos 根据柯西-布涅柯夫斯基不等式，有三角形不等式 + + . 定义 4 如果向量 , 的内积为零，即 (, ) = 0 那么 , 称为正交或互相垂直，记为 ⊥ . 两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为 2 . 只有零向量才与自己正交. 勾股定理：当 , 正交时， . 2 2 2 + = + 推广：如果向量两 m , , , 1 2 两两正交，那么 2 2 2 2 1 2 1 + 2 ++ m = + ++ m . 设 V 是一个 n 维欧几里得空间，在 V 中取一组基 n , , , 1 2 ，对于 V 中任意 两个向量 n n = x + x ++ x 1 1 2 2 , n n = y + y ++ y 1 1 2 2 , 由内积的性质得
(a,B)=(x11+x252+…+x,FnH1+y252+…+ynEn (,5,)xy 令 显然 于是 a,B)= 利用矩阵,(a,B)还可以写成 (a,B)=XAr 其中 y2 分别是a,B的坐标,而矩阵 称为基E1,E2,…,En的度量矩阵上面的讨论表明,在知道了一组基的度量矩阵之 后,任意两个向量的内积就可以通过坐标按(9)或(10)来计算,因而度量矩 阵完全确定了内积 设n,n2,…7n是空间V的另外一组基,而由E1,E2,…,En到71,n2…,n的过渡 矩阵为C,即 (1,n2…n)=(E1,E2…,En)C 于是不难算出,基m,n2…mn的度量矩阵 7,7
= = = = + + + + + + n i n j i j i j n n n n x y x x x y y y 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 ( , ) ( , ) , 令 a ( , ) (i, j 1, 2 , ,n) ij = i j = (8) 显然 . aij = a ji 于是 = = = n i n j ij i j a x y 1 1 (, ) (9) 利用矩阵， (, ) 还可以写成 (, ) = X AY , (10) 其中 = = n n y y y Y x x x X 2 1 2 1 , 分别是 , 的坐标，而矩阵 A aij nn = ( ) 称为基 n , , , 1 2 的度量矩阵.上面的讨论表明，在知道了一组基的度量矩阵之 后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按（9）或（10）来计算，因而度量矩 阵完全确定了内积. 设 n , , , 1 2 是空间 V 的另外一组基，而由 n , , , 1 2 到 n , , , 1 2 的过渡 矩阵为 C ，即 (1 ,2 , ,n ) = ( 1 , 2 , , n )C 于是不难算出，基 n , , , 1 2 的度量矩阵 B = (bij) = (i , j) = CAC . (11)
这就是说,不同基的度量矩阵是合同的 根据条件(4),对于非零向量a,即 00:0 有 (a, a)=XAX>0 因此,度量矩阵是正定的 反之,给定一个n级正定矩阵A及n维实线性空间的一组基s,E2,…,En 可以规定V上内积,使它成为欧几里得空间,并且基的s1E2…En度量矩阵是A 欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下显然也是一个欧几里得空间 欧几里得空间以下简称为欧氏空间
这就是说，不同基的度量矩阵是合同的. 根据条件(4)，对于非零向量 ，即 0 0 0 X 有 (,) = X AX 0 因此，度量矩阵是正定的. 反之，给定一个 n 级正定矩阵 A 及 n 维实线性空间 V 的一组基 n , , , 1 2 . 可以规定 V 上内积，使它成为欧几里得空间，并且基的 n , , , 1 2 度量矩阵是 A . 欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下显然也是一个欧几里得空间. 欧几里得空间以下简称为欧氏空间
§2正交基 、标准正交基 定义5欧氏空间V的一组非零的向量,如果它们两两正交,就称为一个正交 向量组 按定义,由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组 正交向量组是线性无关的这个结果说明,在n维欧氏空间中,两两正交的非 零向量不能超过n个 定义6在n维欧氏空间中,由n个向量组成的正交向量组称为正交基:由单 位向量组成的正交基称为标准正交基组 对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基 设61,E2…,5n是一组标准正交基,由定义,有 几1,当=j 0,当i≠j 显然,(1)式完全刻画了标准正交基的性质换句话说,一组基为标准正交基 的充要条件是:它的度量矩阵为单位矩阵因为度量矩阵是正定矩阵的,根据第 五章关于正定二次型的结果,正定矩阵合同于单位矩阵这说明在n维欧氏空间中 存在一组基,它的度量矩阵是单位矩阵由此断言,在n维欧氏空间中,标准正交 基是存在的 在标准正交基下,向量的坐标可以通过内积简单地表示出来,即 a=(E1a)E1+(E2,a)E2+…+(En,a)E 在标准正交基下,内积有特别简单的表达式设 x1E1+xE+…+x,E B=yE1+y2E2+…+ynEn 那么 (a,B)=xy+x,y,+.+x,y=XY. 这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广 应该指出,内积的表达式(3),对于任一组标准正交基都是一样的这说明了,所
§2 正交基 一、标准正交基 定义 5 欧氏空间 V 的一组非零的向量,如果它们两两正交，就称为一个正交 向量组. 按定义，由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组. 正交向量组是线性无关的.这个结果说明，在 n 维欧氏空间中，两两正交的非 零向量不能超过 n 个. 定义 6 在 n 维欧氏空间中，由 n 个向量组成的正交向量组称为正交基；由单 位向量组成的正交基称为标准正交基组. 对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交基. 设 n , , , 1 2 是一组标准正交基，由定义，有 = = 0, . 1, ; ( , ) i j i j i j 当 当 (1) 显然，(1)式完全刻画了标准正交基的性质.换句话说，一组基为标准正交基 的充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵.因为度量矩阵是正定矩阵的，根据第 五章关于正定二次型的结果，正定矩阵合同于单位矩阵.这说明在 n 维欧氏空间中 存在一组基，它的度量矩阵是单位矩阵.由此断言，在 n 维欧氏空间中，标准正交 基是存在的. 在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即 n n ( ,) ( ,) ( ,) = 1 1 + 2 2 ++ . (2) 在标准正交基下，内积有特别简单的表达式.设 . 1 1 2 2 n n = x + x ++ x . 1 1 2 2 n n = y + y ++ y 那么 ( , ) . = x1 y1 + x2 y2 ++ xn yn = X Y (3) 这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广. 应该指出，内积的表达式(3)，对于任一组标准正交基都是一样的.这说明了，所
有的标准正交基,在欧氏空间中有相同的地位 规范正交基的存在性及其正交化方法 定理1n维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基 应该注意,定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组的方法 如果从任一个非零向量出发,按证明中的步骤逐个地扩充,最后就得到一组正交 基再单位化,就得到一组标准正交基 定理2对于n维欧氏空间中任意一组基61E2…,En,都可以找到一组标准正 交基n1,n2 使 L(s1E2,…,6)=L(7 7),i=1,2,…,n 应该指出,定理中的要求 E1)=L(m1,n2,…,n1),i=1,2,…,n 就相当于由基1,E2…,En到基n,nh2,…,n的过渡矩阵是上三角形的 定理2中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和 文献中称为施密特( Schmidt)正交化过程. 例1a1=(10.0,a2=(1,0,1,0),a3=(-100,1,a4=(,-1,-1,1) 变成单位正交组 、正交矩阵 上面讨论了标准正交基的求法由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地 位,所以有必要来讨论从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式 设E1,E2…,En与1,n2…是欧氏空间V中的两组标准正交基,它们之间的 过渡矩阵是A=(an),即 (71,n2,…,n)=( a 因为n1,2…,7n是标准正交基,所以
有的标准正交基，在欧氏空间中有相同的地位. 二、规范正交基的存在性及其正交化方法 定理 1 n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基. 应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个具体的扩充正交向量组的方法. 如果从任一个非零向量出发，按证明中的步骤逐个地扩充，最后就得到一组正交 基.再单位化，就得到一组标准正交基. 定理 2 对于 n 维欧氏空间中任意一组基 n , , , 1 2 ，都可以找到一组标准正 交基 n , , , 1 2 ，使 L( 1 , 2 , , i ) = ( , , , ) , 1,2, , . L 1 2 i i = n 应该指出，定理中的要求 L( 1 , 2 , , i ) = ( , , , ) , 1,2, , . L 1 2 i i = n 就相当于由基 n , , , 1 2 到基 n , , , 1 2 的过渡矩阵是上三角形的. 定理 2 中把一组线性无关的向量变成一单位正交向量组的方法在一些书和 文献中称为施密特（Schimidt）正交化过程. 例 1 (1,1,0,0), (1,0,1,0), ( 1,0,0,1), (1, 1, 1,1) 1 = 2 = 3 = − 4 = − − 变成单位正交组. 三、正交矩阵 上面讨论了标准正交基的求法.由于标准正交基在欧氏空间中占有特殊的地 位，所以有必要来讨论从一组标准正交基到另一组标准正交基的基变换公式. 设 n , , , 1 2 与 n , , , 1 2 是欧氏空间 V 中的两组标准正交基，它们之间的 过渡矩阵是 ( ) A = aij ，即 (1 ,2 , ,n ) = n n nn n n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 1 2 ( , , , ) 因为 n , , , 1 2 是标准正交基，所以
∫1,当 矩阵A的各列就是m1,n2…n在标准正交基E1,E2…En下的坐标按公式(3)4) 式可以表示为 当i=j a1a1+a2a21+…+ann=10,当≠j (5)式相当于一个矩阵的等式 A'A=E 或者 定义7n组实数矩阵A称为正交矩阵,如果A'A=E 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵;反过来,如果第一组基 是标准正交基,同时过渡矩阵是正交矩阵,那么第二组基一定也是标准正交基 最后指出,根据逆矩阵的性质,由 AA=E 即得 AA=E 写出来就是 +a,2a+……+a1na l≠J (5)式是矩阵列与列之间的关系,(7)式是矩阵行与行之间的关系这两组关系是等 价的 例2考虑定义在闭区间[0,2x]上一切连续函数所作成的欧氏空间C[0,2] 函数组 1. coS x sin x... cosnx. sin nx 构成C[0,2x]的一个正交组 把上面的每一向量除以它的长度,就得到C[0,2x]的一个标准正交组
= = 0, . 1, ; ( , ) i j i j i j 当 当 (4) 矩阵 A 的各列就是 n , , , 1 2 在标准正交基 n , , , 1 2 下的坐标.按公式(3),(4) 式可以表示为 = + + + = 0 , . 1 , ; 1 1 2 2 i j i j a ia j a ia j anianj 当 当 (5) (5)式相当于一个矩阵的等式 AA = E (6) 或者 A = A −1 定义 7 n 组实数矩阵 A 称为正交矩阵，如果 AA = E 由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基 是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是标准正交基. 最后指出，根据逆矩阵的性质，由 AA = E 即得 AA = E 写出来就是 = + + + = 0 , . 1 , ; 1 1 2 2 i j i j ai a j ai a j ai na j n 当 当 (7) (5)式是矩阵列与列之间的关系，(7)式是矩阵行与行之间的关系.这两组关系是等 价的. 例 2 考虑定义在闭区间 [0, 2 ] 上一切连续函数所作成的欧氏空间 C[0,2 ]. 函数组 1,cos x,sin x, ,cos nx,sin nx, . 构成 C[0,2 ] 的一个正交组. 把上面的每一向量除以它的长度,就得到 C[0,2 ] 的一个标准正交组:
cosx,rsnx,……," cosmi, sin x, 例3欧氏空间R的基 E1=(0,…0,1,0,…0),1=1,2…,n 是R的一个标准正交基
sin , . 1 cos , 1 sin , , 1 cos , 1 , 2 1 x x nx nx 例 3 欧氏空间 n R 的基 ） （ ） (0,,0, 1,0,,0 i i = ,i = 1,2, ,n 是 n R 的一个标准正交基
§3同构 定义8实数域R上欧氏空间V与V称为同构的如果由V到V有一个双射 ,满足 1)o(a+B)=o(a)+o(B), 2)o(ka)=ko(a) 3)(G(a),a(B)=(a,B), 这里a,B∈V,k∈R,这样的映射σ称为V到I的同构映射 由定义,如果是欧氏空间V到V的一个同构映射,那么也是V到Ⅳ作为 线性空间的同构映射因此,同构的欧氏空间必有相同的维数 设是一个n维欧氏空间,在V中取一组标准正交基E1,E2…,En,在这组基 下,V的每个向量a都可表成 a=x1E1+x2E2+…+xnE 令 (a)=(x1,x °,xn)∈R 就是V到R"的一个双射,并且适合定义中条件1)2)上一节(3)式说明,σ也适合 条件3),因而a是V到R的一个同构映射,由此可知,每个n维的欧氏空间都 与R同构 同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性与传递性 既然每个n维欧氏空间都与R同构,按对称性与传递性得,任意两个n维欧 氏空间都同构 定理3两个有限维欧氏空间同构分它们的维数相等 这个定理说明,从抽象的观点看,欧氏空间的结构完全被它们的维数决定
§3 同构 定义 8 实数域 R 上欧氏空间 V 与 V 称为同构的,如果由 V 到 V 有一个双射 ，满足 1) ( + ) = () + ( ), 2) (k) = k () , 3) ( (), ( )) = (, ) , 这里 , V, k R ，这样的映射 称为 V 到 V 的同构映射. 由定义，如果 是欧氏空间 V 到 V 的一个同构映射，那么也是 V 到 V 作为 线性空间的同构映射.因此，同构的欧氏空间必有相同的维数. 设 V 是一个 n 维欧氏空间，在 V 中取一组标准正交基 n , , , 1 2 ，在这组基 下， V 的每个向量 都可表成 n n = x + x ++ x 1 1 2 2 令 n () = (x1 , x2 , , xn ) R 就是 V 到 n R 的一个双射，并且适合定义中条件 1),2).上一节(3)式说明， 也适合 条件 3)，因而 是 V 到 n R 的一个同构映射，由此可知，每个 n 维的欧氏空间都 与 n R 同构. 同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性与传递性. 既然每个 n 维欧氏空间都与 n R 同构，按对称性与传递性得，任意两个 n 维欧 氏空间都同构. 定理 3 两个有限维欧氏空间同构 它们的维数相等. 这个定理说明，从抽象的观点看，欧氏空间的结构完全被它们的维数决定