第六节 第一章 极限存在准则及 两个重要极限 函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 二、两个重要极限 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
二、 两个重要极限 一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 第六节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限存在准则及 两个重要极限 第一章
函数极限与数列极限的关系及夹逼准则 1.函数极限与数列极限的关系 定理1 imf(x)=A,{xn}:xn≠x,f(xn)有定义 X→> X→0 →>x0(n→>∞)2有lmnf(xn)=A x.→> n→ 为确定起见,仅讨论x→>x的情形 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则 1. 函数极限与数列极限的关系 定理1. f x A x x = → lim ( ) 0 : n x , 0 x x n 有定义, ( ), xn → x0 n → f xn A n = → lim ( ) 为确定起见 , 仅讨论 的情形. 0 x → x 有 ( ) n f x x → xn → 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1.lmf(x)=A,V{xn}:xn≠x23f(xn) x→ 有定义,且xn2→x0(n→>∞),有limf(xn)=A 证:>设lmf(x)=A,即∨E>0,3δ>0,当 x→)x 0∞) 对上述8,彐N,当n>N时有0N时f(xn)-A0 可用反证法证明(略 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理1. f x A x x = → lim ( ) 0 , ( ) n 0 n x x f x 有定义, 且 设 lim ( ) , 0 f x A x x = → 即 0, 0, 当 有 f (x) − A . : n x , ( ) n 0 n x x f x 有定义 , 且 对上述 , 时, 有 于是当 n N 时 f (x ) − A . n 故 f xn A n = → lim ( ) 可用反证法证明. (略) lim f (x ) A. n n = → 有 证： 当 x y A N, “ ” “ ” 0 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1.limf(x)=A,{xn}:xn≠x0,f(xn)有定义 且xn→x0(n→∞),有limf(xn)=A (xn→>∞) n→0 说明:此定理常用于判断函数极限不存在 法1找一个数列{xn}:xn≠x,且xn→x0(n→∞) 使limf(xn)不存在 n→0 法2找两个趋于x0的不同数列{xn}及{xn},使 limf(xn)≠limf(xn n→ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
定理1. f x A x x = → lim ( ) 0 , ( ) n 0 n x x f x 有定义 且 lim f (x ) A. n n = → 有 说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 . 法1 找一个数列 , 0 x x n lim ( ) 不存在 . n n f x → 使 法2 找两个趋于 的不同数列 xn 及 , n x 使 lim ( ) n n f x → lim ( ) n n f x → (x → ) ( → ) n x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.证明 lim sin不存在 x->0 X 证:取两个趋于0的数列 n2n兀 及 1 2n兀+ 有1 lim sin= lim sin2nx=0 n→)0 Im sin n→>00 n1m lim sin (2nT+2)=1 由定理1知 lim sin-不存在 x->0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例1. 证明 不存在 . 证: 取两个趋于 0 的数列 n xn 2 1 = 及 2 2 1 + = n xn 有 n n x 1 lim sin → n n→ x 1 lim sin 由定理 1 知 不存在 . (n =1, 2, ) = lim sin 2 = 0 → n n lim sin(2 ) 1 2 = + = → n n 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.函数极限存在的夹逼准则 定理2.当x∈Ux,d8)时,g(x)≤f(x)≤h(x),且 (x|>X>0) lim g(x)=lim h(x)=A x→ x→)x (x→>∞) (x→>∝ →limf(x)=A x→> x→0 (利用定理1及数列的夹逼准则可证) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
2. 函数极限存在的夹逼准则 定理2. ( , ) , 当x x0 时 g x h x A x x x x = = → → lim ( ) lim ( ) 0 0 g(x) f (x) h(x) , f x A x x = → lim ( ) 0 ( x X 0) (x → ) (x → ) (x → ) 且 ( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、两个重要极限 BD Sinx Im A 证:当x∈(0,至)时 △AOB的面积0 . x 学 HIGH EDUCATION PRESS 注目录 下页返回结束
1 sin cos x x x 圆扇形AOB的面积 二、 两个重要极限 证: 当 即 sin x 2 1 tan x 2 1 亦即 sin tan (0 ) 2 x x x x (0, ) 2 x 时， (0 ) 2 显然有 x △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 D C B A x 1 o 故有 注 注 目录 上页 下页 返回 结束
例2求lim tanx x->0y tan x 解:1im sinx 1 lin x->0x >0、 X COSX -lim sinx lim 0 x x-0 cOS x 例3.求lm arcsinx >0 解:令t= arcsin x,则x=sint,因此 原式=lim=1im t→>0Sntt→>0 Sint1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
例2. 求 解: x x x tan lim →0 = → x x x x cos sin 1 lim 0 x x x sin lim →0 = x cos x 1 lim →0 =1 例3. 求 解: 令 t = arcsin x, 则 x = sint , 因此 原式 t t t sin lim →0 = t sin t =1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
1-cosx 例4.求lim 0 SIn 解:原式=lim x->0 2m/S:72 例5.已知圆内接正n边形面积为 A=nr sin cos 证明:imAn=xR2 R 证: lim An=lim sIn 兀 R n→) T COS Z 丌R n→>0 说明:计算中注意利用 lim sine(x) (x)>0(x) HIGH EDUCATION PRESS 10°a8
n n n R cos sin lim 2 → = R n 例4. 求 解: 原式 = 2 2 2 0 2sin lim x x x→ 2 1 2 1 = 例5. 已知圆内接正 n 边形面积为 证明: 证: n n A → lim n n n n A nR sin cos 2 = 说明: 计算中注意利用 2 0 sin lim = x→ 2 x 2 x 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.im(1+1)=e 证:当x>0时,设n≤x0 1+ n+1 i(1+1)+=limn[(1+1)0+1)]=e n→>O n→0 lim(1 x→>+0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
2. 证: 当 x 0 时, 设 n x n +1, 则 x x (1 ) 1 + 1 1 (1 ) + + n n + + n n (1 ) 1 1 n n n lim (1 ) 1 1 + → + lim → = n 1 1 1 (1 ) + + + n n 1 1 1 + + n = e 1 1 lim (1 ) + → + n n n lim[(1 ) 1 ] 1 n n（ 1 n ） n = + + → = e e x x x + = →+ lim (1 ) 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束