分方程模型 + 浙江大学部学建模实溅基地
微分方程模型 浙江大学数学建模实践基地
s3.1微分方程的几个简单实例 在许多实际问题中,当直接导出变量之间的函数关系较 为困难,但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为 容易时,可用建立微分方程模型的方法来研究该问题, 本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的 一般方法。在连续变量问题的研究中,微分方程是十分常 用的数学工具之
§3.1 微分方程的几个简单实例 在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较 为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为 容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题， 本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的 一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常 用的数学工具之一
例1(理想单摆运动)建立理想单摆运动满足的微 分方程,并得出理想单摆运动的周期公式。 6+8=0 (3.1)的 (3.2) 近似方程 e(0)=0,6(0)=6 (32)的解为:(=0 cost 其中 当t=时,0()=0 故有 V142 由此即可得出 T=2丌 图3
例1 （理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微 分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。 从图3-1中不难看出，小球所受的合力为mgsinθ， 根据牛顿第二定律可得： ml mg = − sin 从而得出两阶微分方程： 0 sin 0 (0) 0, (0) g l + = = = （3.1） 这是理想单摆应 满足的运动方程 （3.1）是一个两阶非线性方程，不 易求解。当θ很小时，sinθ≈θ，此时，可 考察（3.1）的近似线性方程： 0 0 (0) 0, (0) g l + = = = （3.2） 由此即可得出 2 g T l = （3.2）的解为: θ(t)= θ0 cosωt g l 其中 = 当 时,θ(t)=0 4 T t = 4 2 g T l 故有 = M Q P mg l 图3-1 （3.1）的 近似方程
例我巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了 我方巡逻艇,并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为60哩,潜水艇最 大航速为30节而巡逻艇最大航速为60节,问巡逻艇应如何追赶潜 水艇。 这一问题属于对策问题,较为复杂。讨论以下简单情形: 敌潜艇发现自己目标已暴露后,立即下潜,并沿着直 线方向全速逃逸,逃逸方向我方不知。 设巡逻艇在A处发现位于B处的潜水艇,取极坐标,以B 为极点,BA为极轴,设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程 为厂=(0),见图3-2。 Al 由题意=2,故ds=2dr 图3-2可看出,(ds)2=(dh)2+(rlb) 6 B A 图3-2
例2 我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了 我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为60哩，潜水艇最 大航速为30节而巡逻艇最大航速为60节，问巡逻艇应如何追赶潜 水艇。 这一问题属于对策问题，较为复杂。讨论以下简单情形： 敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即下潜，并沿着直 线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。 设巡逻艇在A处发现位于B处的潜水艇，取极坐标，以B 为极点，BA为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程 为r=r(θ)，见图3-2。 B A A1 dr ds dθ θ 图3-2 由题意， 2 ，故ds=2dr ds dr dt dt = 图3-2可看出， 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ds dr rd = +
故有:3d)2=r2(d)2 即:c==d √3 (3,3) 解为:r=Ae(34) 追赶方法如下: 先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离然后按(3.4) 对数螺线航行,即可追上潜艇
故有: 2 2 2 3( ) ( ) dr r d = 即: 3 r dr d = （3.3） 解为： 3 r Ae = （3.4） 先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离然后按（3.4） 对数螺线航行，即可追上潜艇。 追赶方法如下：
个半径为Rm的半球形容器内开始时盛满了 水,但由于其底部一个面积为Scm的小孔在仁0时刻 被打开,水被不断放出。问:容器中的水被放完总共 需要多少时间? 解:以容器的底部O点为原点,取坐标系如图3.3际示 令h()为时刻容器中水的高度,现建立h()满足的微分 方程。 即 06S√2lg z[R2-(R-h)2] 这是可分离变量的一阶微分方程,得 [R2-(R-h)2] 0.6S√2gh (2Rh-h2 )dh 0.6S√2gR h 5 14丌R Rh h 06y2g(3 9S√2g 图3-3
例3 一个半径为Rcm的半球形容器内开始时盛满了 水，但由于其底部一个面积为Scm2的小孔在t=0时刻 被打开，水被不断放出。问：容器中的水被放完总共 需要多少时间？ 解: 以容器的底部O点为 原点，取坐标系如图3.3所示。 令h(t)为t时刻容器中水的高度，现建立h(t)满足的微分 方程。 设水从小孔流出的速度为v(t)，由力学定律，在不计水 的内部磨擦力和表面张力的假定下，有： ( ) 0.6 2 t gh = 因体积守衡，又可得： 2 dV r dh s dt = − = 易见： 2 2 r R R h = − − ( ) 故有： 2 − − − = [ ( ) ] 0.6 2 R R h dh S ghdt 2 2 0.6 2 [ ( ) ] dh S hg dt R R h = − − − 即： 这是可分离变量的一阶微分方程，得 2 2 0 [ ( ) ] 0.6 2 R R R h T dh S gh − − − = 3 0 2 (2 ) 0.6 2 R R h h dh S g − = − 5 3 5 2 4 2 14 2 2 0 0.6 2 9 2 3 5 R R Rh h S g S g − = − = R x y S O 图3-3 h r
例4—根长度为的金属杆被水平地夹在两端垂直的支架上,一端 的温度恒为T1,另一端温度恒为T2,(T、T为常数,T1>T2)。 金属杆横截面积为A,截面的边界长度为B,它完全暴露在空气中 空气温度为T3,(TT2,T为常数),导热系数为a,试求金属 杆上的温度分布T(x),(设金属杆的导热率为) dt时间内通过距离o点处截面的热量为:AT(x)dt d时间内通过距离O点x+处截面的热量为:A7(x+k)lt 白泰勒公式:-2AT(x+dx)d≈-4[T(x)+T"(x)ahxd 金属杆的微元[xXH+d在dt内由获得热量为:AA7"(x)ddt 同时,微元向空气散发出的热量为: a BaxT(x)- Tdt 系统处于热平衡状态,故有:7(x)ht=aB(x)-T31t 所以金属杆各处温度7x满足的微分方程: 这是一个两阶常系数线 a B 性方程,很容易求解 T"(x)=(T-73) ZA
例4 一根长度为l的金属杆被水平地夹在两端垂直的支架上，一端 的温度恒为T1，另一端温度恒为T2，（T1、T2为常数，T1>T2）。 金属杆横截面积为A，截面的边界长度为B，它完全暴露在空气中， 空气温度为T3，（T3< T2，T3为常数），导热系数为α，试求金属 杆上的温度分布T(x)，（设金属杆的导热率为λ） 一般情况下，在同一截面上 的各点处温度也不尽相同， 如果这样来考虑问题，本题 要建的数学模型当为一偏微 分方程。 但由题意可以看出，因金属 杆较细且金属杆导热系数又 较大，为简便起见，不考虑 这方面的差异，而建模求单 变量函数T(x)。 热传导现象机理：当温差在一定范围内时，单位时间里由温度高 的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量与两侧的温差成正比， 比例系数与介质有关。 T1 T2 o x A B T3 l dt时间内通过距离O点x处截面的热量为：−AT x dt '( ) dt时间内通过距离O点x+dx处截面的热量为： − + AT x dx dt '( ) 由泰勒公式： − + − + AT x dx dt A T x T x dx dt '( ) [ '( ) ( ) ] 金属杆的微元[x,x+dx]在dt内由获得热量为： AT x dxdt ( ) 同时，微元向空气散发出的热量为： 3 Bdx T x T dt [ ( ) ] − 系统处于热平衡状态，故有： 3 AT x dxdt Bdx T x T dt ( ) [ ( ) ] = − 所以金属杆各处温度T(x)满足的微分方程: 3 ( ) ( ) B T x T T A = − 这是一个两阶常系数线 性方程，很容易求解