§44差分方程建模_c 差分方程简介 以t表示时间,规定t只取非负整数。t0表示第一周期初, t=1表示第二周期初等。记y为变量y在时刻t时的取值,则 称4y1=y1-V为y的一阶差分,称 △y=Δ(4y)=2A+-4=y1+2-2y++y 为的二阶差分。类似地,可以定义y的r阶差分。 由t、y及y的差分给出的方程称为y差分方程,其中含的最 高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成 不显含差分的形式。例如,二阶差分方程 △2y1+△y1+y=0也可改写成y+2-y++y=0
§4.4 差分方程建模 一、差分方程简介 以t 表示时间，规 定t只取非负整数。t=0表示第一周期初， t=1表示第二周期初等。 记yt 为变量y在时刻t 时的取值，则 称 为yt 的一阶差分，称 为的二阶差分。类似地，可以定义yt的n阶差分。 由t、yt及yt的差分给出的方程称 为yt差分方程，其中含的最 高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成 不显含差分的形式。例如，二阶差分方程 也可改写成 t t t y = y − y +1 t t t t t t t y = y = y − y = y − y + y +1 +2 +1 2 ( ) 2 0 2 yt + yt + yt = yt+2 − yt+1 + yt = 0
满足一差分方程的序列y称为此差分方程的解。类似于微分 方程情况,若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶 数时,称此解为该差分方程的通解。若解中不含任意常数, 则称此解为满足某些初值条件的特解,例如,考察两阶差 分方程 y+2+yt=0 易见y=sin3y=C0s均是它的特解,而 Jt=c, sin-t+C2 sIn a 2 2则为它的通解,其中c1,c2为两个任 意常数。类似于微分方程,称差分方程 a()y+n+a1(D)yt+n-1+…+an(D)yt=b() 为m阶线性差分方程,当b(t)≠0时称其为m阶非齐次线性差 分方程,而
满足一差分方程的序 列yt称为此差分方程的解。类似于微分 方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶 数时，称此解为该差分方程 的通解。若解中不含任意常数， 则称此解为满足某些初值条件的 特解，例如，考察两阶差 分方程 0 yt+2 + yt = 易见 2 sin t yt = 与 2 cos t yt = 均是它的特解，而 y c t c t t 2 sin 2 1 sin 2 = + 则为它的通解，其中c1，c2为两个任 意常数。类似于微分方程，称差分方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 a t y a t y a t y b t t+n + t+n− ++ n t = 为n阶线性差分方程， 当 ≠0时称其为n阶非齐次线性差 分方程，而 b(t)
ao(t)yin+a(t)vn-1++an(t)y,=0 则被称为方程对应的齐次线性差分方程。 若所有的a()均为与优无关的常数,则称其为常系数差分 方程,即m阶常系数线性差分方程可分成 a0yn++an1yn+1+…+any1=b(t)(415) 的形式,其对应的齐次方程为 0yn++a1yn+(-1+…+any1=0 (4.16) 容易证明,若序列y与y}2)均为方程(416)的解,则 十C 2) 也是方程(416)的解,其中c1、c2为任意常数,这说明, 齐次方程的解构成一个线性空间(解空间)。 此规律对于(415)也成立
a0 (t) yt+n + a1 (t) yt+n−1 ++ an (t) yt = 0 则被称为方程对应的齐次线性差分方程。 若所有的 ai (t)均为与t无关的常数，则称其为 常系数差分 方程，即n阶常系数线性差分方程可分成 ( ) 0 1 1 a y a y a y b t n+t + n+t− ++ n t = （4.15） 的形式，其对应的齐次方程为 a0 yn+t + a1 yn+t−1 ++ an yt = 0 （4.16） (2) 2 (1) t 1 t t y = c y + c y (1) t y (2) t 容易证明，若序列 与 y 均为方程（4.16）的解，则 也是方程（4.16）的解，其 中c1、c2为任意常数，这说明， 齐次方程的解构成一个 线性空间（解空间）。 此规律对于（4.15）也成立
方程(4.15)可用如下的代数方法求其通解: (步一)先求解对应的特征方程 an0"+a1"-+…+anJ1=0(417 (步二)根据特征根的不同情况,求齐次方程(416)的通解 情况1若特征方程(417)有n个互不相同的实根 4-,,则齐次方程(416)的通解为 Ax+…+Cnxn(C1…Cn为任意常数) 情况2若λ是特征方程(4.17)的k重根,通解中对应 于λ的项为C1+…+C4t)x O任意常数,=1,…,k 情况3若特征方程(417)有单重复根=a± 通解中对应它们的项为C1 p cos t+C2p' sin pt p=a2+B2为的模,= arctan B为的幅角
方程（4.15）可用如下的代数方法求其通解： （步一）先求解对应的特征方程 0 1 0 + 1 + + = − n t n n a a a y （4.17） （步二）根据特征根的不同情况，求齐次方 程(4.16)的通解 情况1 若特征方程（4.17）有n个互不相同的实根 1 ,…, ，则齐次方程（ n 4.16）的通解为 t n n t C1 1 ++C (C1 ， ,…,Cn为任意常数) Ci 情况2 若λ 是特征方程（4.17）的k重根，通解中对应 于λ的项为 k t k (C C t ) 1 1 − ++ 为任意常数，i=1,…,k。 情况3 若特征方程（4.17）有单重复根 = a i 通解中对应它们的项为 t t t t C1 cos + C2 sin 2 2 = + 为λ的模， = arctan 为λ的幅角
情况4若=a±G为特征方程(4.17)的重复根,则通 解对应于它们的项为 (1+…+C1t) p cos p+(Cx+…C2t-)p' sin t 为任意常数 L日 .,2K (步三)求非齐次方程(4.15的一个特解y若y为方程416) 的通解,则非齐次方程(415)的通解为y+y 求非齐次方程(415)的特解 般要用到常数变易法,计算较繁 对特殊形式的b(2)也可使用待定 系数法
情况4 若 = a i 为特征方程（4.17）的k重复根，则通 解对应于它们的项为 t t t t k t k t (C C ) cos (C C ) sin 1 k 1 2k 1 1 k − + − ++ + + Ci 为任意常数，i=1,…,2k。 t y .若yt为方程(4.16) 的通解,则非齐次方程(4.15)的通解为 （步三） 求非齐次方程 (4.15)的一个特解 t t y + y 求非齐次方程（4.15）的特解一 般要用到 常数变易法，计算较繁。 对特殊形式 的b(t)也可使用 待定 系数法
例413求解两阶差分方程+2+y=t 解对应齐次方程的特征方程为x2+1=0其特征根为 12=土,对应齐次方程的通解为y ECr CoOS-t+C, sin-t 原方程有形如at+的特解。代入原方程求得 故原方程的通解为C,cost+C, sin-t+1t 在应用差分方程研究问题时,一般不需要求出方程的通解, 在给定初值后,通常可用计算机迭代求解,但我们常常需要 讨论解的稳定性。对差分方程415),若不论其对应齐次方程 的通解中任意常数C1…C如何取值,在t→+时总 有y→0,则称方程(714的解是稳定的否则称其解为不 稳定的根据通解的结构不难看出,齐次方程(415稳定的 充要条件为其所有特征根的模均小于1
例4.13 求解两阶差分方程 y y t t+2 + t = 解 对应齐次方程的特征方程为 1 0 2 + = ，其特征根为 = i 1,2 ，对应齐次方程的通解为 y C t C t t 2 sin 2 cos 1 2 = + 原方程有形如 at + 的特解。代入原方程求得 b 2 1 a = ， 2 1 b = − ，故原方程的通解为 2 1 2 1 2 sin 2 cos C1 t +C2 t + t − 在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解， 在给定初值后，通常可用 计算机迭代求解，但我们常常需要 讨论解的稳定性。对 差分方程(4.15),若不论其对应齐次方程 的通解中任意常 数C1 ,…,Cn如何取值 , 在 时总 有 ,则称方程 (7.14)的解是稳定 的,否则称其解为不 稳定 的.根据通解的结构不难看出 ,非齐次方程(4.15)稳定的 充要条件为其所有特征根的模均小 于1。 t → + → 0 t y
例414(市场经济的蛛网模型) 在自由竞争的市场经济中,商品的价格是由市场上该 商品的供应量决定的,供应量越大,价格就越低。另 一方面,生产者提供的商品数量又是由该商品的价格 决定的,价格上升将刺激生产者的生产积极性,导致 商品生产量的增加。反之,价格降低会影响生产者的 积极性,导致商品生产量的下降。 在市场经济中,对每一商品事实上存在着两个不同的 函数: (1)供应函数x=fP),它是价格P的单增函数,其曲 线称为供应曲线。 (2)需求函数x=g(P),它是价格P的单降函数,其 曲线称为需求曲线,供应曲线与需求曲线的 形状如图所示
例4.14（市场经济的蛛网模 型） 在自由竞争的市场经济中，商品的价格是由市场上该 商品的供应量决定的，供应量越大，价格就越低。另 一方面，生产者提供的商品数量又是由该商品的价格 决定的，价格上升将刺激生产者的生产积极性，导致 商品生产量的增加。反之，价格降低会影响生产者的 积极性，导致商品生产量的下降。 在市场经济中，对每一商品事实上存在着两个不同的 函数： （1）供应函数x=f(P)，它是价格P的单增函数，其曲 线称为供应曲线。 （2）需求函数x=g(P)，它是价格P的单降函数，其 曲线称为需求曲线，供应曲线与需求曲线的 形状如图所示
记时段初市场上的供应量(即上 ①供应曲线 时段的生产量为x,市场上0 该商品的价格为P,。商品成交的 0 价格是由需求曲线决定的,即卩P2 P=8(x, 需求曲线 随着t→+qM将趋于平衡点M 即商品量将趋于平衡量κ,价格 将趋于平衡价格P。图中的箭线 反映了在市场经济下该商品的供 X1 X2 Xo 应量与价格的发展趋势。 但是,如果供应曲线和需求曲 3 线呈图①中的形状,则平衡点 M是不稳定的,M将越来越远 离平衡点。 X
记t时段初市场上的供应量 (即上 一时段的生产量)为xt ，市场上 该商品的价格为Pt 。商品成交的 价格是由需求曲线决定的，即 ( ) 1 Pt g xt − = 随着 t → + ,Mt将趋于平衡点M* , 即商品量将趋于平衡量x * ,价格 将趋于平衡价格P * 。图中的箭线 反映了在市场经济下该商品的供 应量与价格的发展趋势。 x o P P0 P2 P* P1 x x1 x x2 x0 * 需求曲线 供应曲线 M0 M2 M1 M* ① P o M3 M2 M1 ② 但是，如果供应曲线和需求曲 线呈图①中的形状，则平衡点 M*是不稳定的，Mt将越来越远 离平衡点
但是,如果供应曲线和需求曲线呈图②中的形状,则平衡点 M是不稳定的,M将越来越远离平衡点。即使初始时刻的供 应量和价格对应于平衡点,一点微小的波动也会导致市场供 求出现越来越大的混乱。上述用图示法分析市场经济稳定性 的讨论在经济学中被称为市场经济的蛛网模型。 不难看出,在图①中平衡点 M处供应曲线的切线斜率大于 需求曲线切线斜率的绝对值, 而在图②中情况恰好相反
图①和图②的区别在哪里， 如何判定平衡点的稳定 性呢？ 但是，如果供应曲线和需求曲线呈 图②中的形状，则平衡点 M*是不稳定的，Mt将越来越远离平衡点。即使初始时刻的供 应量和价格对应于平衡点，一点微小的波动也会导致市场供 求出现越来越大的混乱。上述用图示法分析市场经济稳定性 的讨论在经济学中被称为市场经济的 蛛网模型。 不难看出，在 图①中平衡点 M*处供应曲线的切线斜率大于 需求曲线切线斜率的绝对值， 而在图②中情况恰好相反
现在利用差分方程方法来研究蛛网模型,以验证上述猜测是 否正确。我们知道,平衡点M是否稳定取决于在M附近供 需曲线的局部性态。为此,用M处供、需曲线的线性近似 来代替它们,并讨论此线性近似模型中M的稳定性。 设供应曲线与需求曲线的线性近似分别为 P=P+a(x-xi P=P-b(x-x) 式中,a、b分别为供 应曲线在M处的切线斜率与需求曲线在M处切线斜率的绝对值 根据市场经济的规律,当供应量为x时,现时段的价格 P1=P-b(x,-x),又对价格P,由供应曲线 P+1=P+a(x+1-x)解得下一时段的商品量 xu=x+-(pa-P=x+-IP-b(x-x)-Pl
现在利用差 分方程方法来研究蛛网模型，以验证上述猜测是 否正确。我们知道，平衡 点M*是否稳定取决于 在M*附近供、 需曲线的局部性态。为此， 用M*处供、需曲线的线性近似 来代替它们，并讨论此线性近似模型 中M*的稳定性。 设供应曲线与需求曲线的线性近似分别为 ( ) * * P = P + a x − x 和 ( ) * * P = P − b x − x 式中，a、b分别为供 应曲线在M*处的切线斜率与需求曲线 在M*处切线斜率的绝对值。 根据市场经济的规律，当供应量 为xt时，现时段的价格 ( ) * * 1 P P b x x t+ = − t − ，又对价格 Pt+1 ，由供应曲线 ( ) * 1 * Pt+1 = P + a xt+ − x 解得下一时段的商品量 [ ( ) ] 1 ( ) 1 * * * * * 1 * 1 P b x x P a P P x a xt+ = x + t+ − = + − t − −