§26量纲分析法建模 物理量大都带有量纲,其中基本量纲通常是质量(用M表 示)、长度(用L表示)、时间(用T表示),有时还有温 度(用Q表示)。其他物理量的量纲可以用这些基本量纲来 表示,如速度的量纲为LT,加速度的量纲为LT2,力的量纲 为MT2,功的量纲为M22等。 量纲分析的原理是:当度量量纲的基本单位改变时,公式 本身并不改变,例如,无论长度取什么单位,矩形的面积 总等于长乘宽,即公式S=ab并不改变。此外,在公式中只 有量纲相同的量才能进行加减运算,例如面积与长度是不 允许作加减运算的,这些限止在一定程度上限定了公式的 可取范围,即一切公式都要求其所有的项具有相同的量纲, 具有这种性质的公式被称为是“量纲齐次”的
物理量大都带有量纲，其中基本量纲通常是质量（用M表 示）、长度（ 用L表示）、时间（ 用T表示），有时还有温 度（用Θ表示）。其他物理量的量纲可以用这些基本量纲来 表示，如速度的量纲为LT-1，加速度的量纲为 LT-2，力的量纲 为 MLT-2，功的量纲为 ML2T -2等。 §2.6 量纲分析法建模 量纲分析的原理 是：当度量量纲的基本单位改变时，公式 本身并不改变，例如，无论长度取什么单位，矩形的面积 总等于长乘宽，即公式 S=ab并不改变。此外，在公式中只 有量纲相同的量才能进行加减运算，例如面积与长度是不 允许作加减运算的，这些限止在一定程度上限定了公式的 可取范围，即一切公式都要求其所有的项具有相同的量纲， 具有这种性质的公式被称为 是“量纲齐次”的
例3在万有引力公式中,引力常数G是有量纲的,根据量 纲齐次性,G的量纲为MT2,其实,在一量纲齐次的公 式中除以其任何一项,即可使其任何一项化为无量纲,因 此任一公式均可改写成其相关量的无量纲常数或无量纲变 量的函数。例如,与万有引力公式F Gm m 相关的物理量有:G、m1、m27和Fs 现考察这些量的无量纲乘积z=G"m1mnF 兀的量纲为M 6+c+e-a r3a+b+e T 2(c+e 由于兀是无量纲的量,故应有: 6+cte-a=0 3a+d+e=0 a+e=0
例3 在万有引力公式中，引力常数G是有量纲的，根据量 纲齐次性，G的量纲为M-1L 3T -2，其实，在一量纲齐次的公 式中除以其任何一项，即可使其任何一项化为无量纲，因 此任一公式均可改写成其相关量的无量纲常数或无量纲变 量的函数。例如，与万有引力公式 相关的物理量有：G、m1、m2、r和F。 现考察这些量的无量纲乘积 的量纲为 由于 是无量纲的量，故应有： 2 1 2 r G m m F = a b c d e π = G m1 m2 r F π b c e a 3a b e 2(a e) M L T + + − + + − + + = + + = + + − = 0 0 0 a e 3a d e b c e a π
b +c+e-a= 0 3a+d+e=0 a+e=0 此方程组中存在两个自由变量,其解构成一个二维线性空 间。取(a,b)=(1,0)和(ab)=(0,1),得到方程组解 空间的一组基(1,0.2-2,-1)和(0,1,-1,0.0),所有由这些 量组成的无量纲乘积均可用这两个解的线性组合表示。两 个基向量对应的无量纲乘积分别为: F 而万有引力定律则可写成1x2=0,排万有引函数为 兀1=g(兀2),即 力定律 F==2h()
+ = + + = + + − = 0 0 0 a e 3a d e b c e a 此方程组中存在两个自由变量，其解构成一个二维线性空 间。取（a,b）=（1,0）和（a,b）=（0,1），得到方程组解 空间的一组基 （1,0,2,-2,-1）和（0,1,-1,0,0），所有由这些 量组成的无量纲乘积均可用这两个解的线性组合表示。两 个基向量对应的无量纲乘积分别为： 2 1 2 2 2 2 1 m m ,π r F Gm π = = 而万有引力定律则可写 成f(π1 ,π2 )=0，其对应的显函数为： π1=g(π2 )，即 ( ) 2 2 2 2 1 m m h r m F = 万有引 力定律
定理21( Buckinghamπ定理)方程当且仅当可以表 示为f(1,丌2…)=0的才是量纲齐次的,其中是某 函数,丌1,x2为问题所包含的变量与常数的无量 纲乘积。 剩系输光你为 关动成生4维败氏 函数g建 扁瑰返k维欧氏空间到维欧氏空间的一个变换,这 里的g1为g的逆变换
定理2.1 （Backinghamπ定理）方程当且仅当可以表 示为 f（π1，π2…）=0时才是量纲齐次的，其中 f是某 一函数，π1，π2…为问题所包含的变量与常数的无量 纲乘积。 设此变换的零空间为 m维的，取此零空间的一组基 e1 ,……,em，并将其扩充 为k维欧氏空间的一组基 e1 ,……,em, em+1,……ek 令πi=g-1 (ei ), i=1,…,k,显然，π1，…, πm是无量纲的，而πm+1 ,…, πk是有量纲的（若k>m）。由 于公式量纲齐次当且仅当它可用无量纲的量表示，故方 程当且仅当可写 成f(π1，…, πm)=0时才是量纲齐次的， 定理证毕。 证 设x1 ,…,xk为方程中出现的变量与常数, ,对这些变量与 常数的任一乘积 ,令 函数g建立了xi (i=1,…,k)的乘积所组成的空间 与k维欧氏 空间之间的一个一一对应。现设涉及到的基本量纲有n个, 它们 为y1 ,…,yn .用这些基本量纲来表达 该xi的乘幂,设此乘 幂的量纲为 令 易见dg-1是k维欧氏空间 到n维欧氏空间的一个变换，这 里的g -1为g的逆变换。 1 k a k a 1 x x g(x x ) (a , ,a ) 1 k a k a 1 1 k = 1 bn n b 1 y y d(x x ) (b , ,b ) 1 n a k a 1 1 k =
题例4(理想单摆的摆动周期) 考察质量集中于距支点为的质点上的无阻 尼单摆,(如图),其运动为某周期t的 左右摆动,现希望得到周期t与其他量之间 的关系。 0 b+d=0 C-2b=0 考察,的量纲 可“ mg
例4（理想单摆的摆动周期） 考察质量集中于距支点为 l 的质点上的无阻 尼 单摆，（如图），其运动为某周 期 t 的 左右摆动，现希望得到周期 t 与其他量之间 的 关系。 θ l mg 考 察 ， 的 量 纲 为 a b c d e π=m g t l θ π π − = + = = 0 0 0 c 2b b d a
此方程组中不含e,故(0,0,0,0,1)为一解,对应的兀1=0即 为无量纲量。为求另一个无纲量可令b=1,求得(0,1,2, 1,0),对应有 gt 故单摆公式可用f(x,x2)=0f(0号)=0表示 从中解出显函数2 h(则可得 t=√h(=k 其中k(O)=√h( g g 此即理想单摆的周期公式。当然k0是无法求得的,事实 上,需要用椭圆积分才能表达它
此方程组中不含 e，故（0, 0, 0, 0, 1）为一解，对应的π1=θ即 为无量纲量。为求另一个无纲量可 令b=1，求得（0，1，2， -1，0），对应有 l gt π 2 = 故单摆公式可用 f(π1 ,π2 ) = 0 ) 0 l g t f(θ, 2 = 表示。 从中解出显函数 h(θ( l gt 2 = 则可得： g l k (θ( g l t = h(θ( = 其中 k(θ) = h(θ) 此即理想单摆的周期公式。当然 k(θ)是无法求得的，事实 上，需要用椭圆积分才能表达它
量纲分析法虽然简单,但使用时在技巧方面的要求较高,稍 疏忽就会导出荒谬的结果或根本得不出任何有用的结果。 首先,它要求建模者对研究的问题有正确而充分的了解,能 正确列出与该问题相关的量及相关的基本量纲,容易看出, 其后的分析正是通过对这些量的量纲研究而得出的,列多或 列少均不可能得出有用的结果。其次,在为寻找无量纲量而 求解齐次线性方程组时,基向量组有无穷多种取法,如何选 取也很重要,此时需依靠经验,并非任取一组基都能得出有 用的结果。此外,建模者在使用量纲分析法时对结果也不应 抱有不切实际的过高要求,量纲分析法的基础是公式的量纲 齐次性,仅凭这一点又怎么可能得出十分深刻的结果,例如, 公式可能包含某些无量纲常数或无量纲变量,对它们之间的 关系,量纲分析法根本无法加以研究
量纲分析法虽然简单，但使用时在技巧方面的要求较高，稍 一疏忽就会导出荒谬的结果或根本得不出任何有用的结果。 首先，它要求建模者对研究的问题有正确而充分的了解，能 正确列出与该问题相关的量及相关的基本量纲，容易看出， 其后的分析正是通过对这些量的量纲研究而得出的，列多或 列少均不可能得出有用的结果。其次，在为寻找无量纲量而 求解齐次线性方程组时，基向量组有无穷多种取法，如何选 取也很重要，此时需依靠经验，并非任取一组基都能得出有 用的结果。此外，建模者在使用量纲分析法时对结果也不应 抱有不切实际的过高要求，量纲分析法的基础是公式的量纲 齐次性，仅凭这一点又怎么可能得出十分深刻的结果，例如， 公式可能包含某些无量纲常数或无量纲变量，对它们之间的 关系，量纲分析法根本无法加以研究