网§28方桌问题 将一张四条因此我们假设 上,不 允许将桌子科(1)地面为连续曲面(2)心旋转 ,是否总能订方桌的四条腿长度相同 (3)相对于地面的弯曲程? 度而言,方桌的腿是足够长 的 (4) 方桌的腿只要有点接触地 面就算着地。 总可以使三条腿 同时着地
§2.8 方桌问题 将一张四条腿的方桌放在不平的地面上，不 允许将桌子移到别处，但允许其绕中心旋转 ，是否总能设法使其四条腿同时落地？ 不附加任何条件，答案 显然 是否定的， 因此我们假设 （1）地面为连续曲面 （2） 方桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程 度而言，方桌的腿是足够长 的 （4） 方桌的腿只要有一点接触地 面就算着地。 总可以使三条腿 同时着地
现在,我们来证明:如果上述假设条件成立,那么答案是肯定 的。以方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图所示,方桌 的四条腿分别在A、B、C、D处,A、C的初始位置在x轴上, 而B、D则在y轴上,当方桌绕中心0旋转时,对角线AC与x轴 的夹角记为0 容易看出,当四条腿尚未全部着地时,腿到地面的距离是不确 定的。为消除这一不确定性,令f0为A、C离地距离之和, g(0为B、D离地距离之和,它们的值由O唯一确定。由假设 (1),0)、g(0)均为0的连续函数。又由假设(3),三条腿 总能同时着地,故f0g(=0必成立(0)。不妨设 f(0)=0.g(0)>0(若g0)也为0,则初始时刻已四条腿着地,不必 再旋转),于是问题归结为 已知0)、g(0)均为0的连续函数,0)=0,g10)>0且对任意有 01020,求证存在某一,使/O=g00。0
现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定 的。以方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如 图所示，方桌 的四条腿分别在A、B、C、D处，A、C的初始位置在x轴上， 而B、D则在y轴上，当方桌绕中 心0旋转时，对角线 AC与x轴 的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确 定的。为消除这一不确定性，令 f(θ)为A、C离地距离之和， g(θ)为B、D离地距离之和，它们的值 由θ唯一确定。由假设 （1），f(θ)、g(θ)均为θ的连续函数。又 由假设（3），三条腿 总能同时着地， 故f(θ)g(θ)=0必成立（ θ）。不妨设 f(0)=0,g(0)>0（若g(0)也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必 再旋转），于是问题归结为： y x θ C D A B o 已知f(θ)、g(θ)均为θ的连续函数，f(0)=0,g(0)>0且对任意θ有 f(θ)g(θ)=0，求证存在某一θ0，使f(θ0 )=g(θ0 )=0
(证法一)当0=π2时,AC与BD互换位置,故(x2)>0 g(x2)=0。作h1()=f0)-g0),显然,h(也是0的连续函数, h(0)=0)-g10)0,由连续函数的取 零值定理,存在O,00,g(m/2)=0。令日=0 )=0,0≤0},显然0,总有>0且80。因为00+0g(+8)=0,故必有g(00+8)=0,由δ 可任意小且g连续,可知必有 g(0)=0,证毕。证法 二除用到/、g的连续性外,还用到了上确界的性质
（证法一）当θ=π/2时，AC与BD互换位置，故f(π/2)>0 , g(π/2)=0。作h(θ)=f(θ)-g(θ)，显然，h(θ)也是θ的连续函数， h(0)=f(0)-g(0)0，由连续函数的取 零值定理，存在 θo，00,g(π/2)=0。令θo =sup {θ|f (ζ)=0，0≤ζ0，总有δ>0且δ0。因为f(θ0+δ)g (θo+δ)=0，故必有g (θ0+δ)=0，由δ 可任意小且g连续，可知必 有 g (θ0 )=0，证毕。证法 二除用 到f、g的连续性外，还用到了上确界的性质