§3.10分布参数法建模 前面建立的模型都用了考察对象在系统中的均匀分布假 设。这种方法建模被称为集中参数法。 考虑个体差异〔或分布差异)的建模方法被称为分布参 数法。分布参数法用于连续变量的问题时,得到的通常都是 偏微分方程,无论建模还是求解都比较困难。仅举两个简单 例子,来说明这种方法的应用
§3.10 分布参数法建模 前面建立的模型都用了考察对象在系统中的均匀分布假 设。这种方法建模被称为集中参数法。 考虑个体差异（或分布差异）的建模方法被称为分布参 数法。分布参数法用于连续变量的问题时，得到的通常都是 偏微分方程，无论建模还是求解都比较困难。仅举两个简单 例子，来说明这种方法的应用
E玩 人有年龄、性别等区别,本例中考虑到这些因素,用 分布参数法来建立人口问题的数学模型。 令p(tx)为小时刻年龄为r的人口密度,则时人口总数为: b(o=b(rx)op 其中A为人的最大寿命。 设小时刻年龄为x的人的死亡率为(1x),则有: (+q2x)g-b(x-q)qg=-(1x-q)b(x)q dv=d,由上式可导出: g -q(rxb(x) k(t,x)女性性别比 03238性生育率 初始条件:P(0x)=P0(x) (839判女生育期 边界条件:b(O)=1(x)(x)b(x)(340)
例8 人口问题的偏微分方程模型 人有年龄、性别等区别，本例中考虑到这些因素，用 分布参数法来建立人口问题的数学模型。 令p(t,x)为t时刻年龄为 0 x的人口密度，则t时人口总数为： ( ) ( , ) A P t p t x dx = 其中A为人的最大寿命。 设t时刻年龄为x的人的死亡率为d(t,x)，则有： p t dt x dx p t x dt dx d t x dt p t x dxdt ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) + − − = − − dx=dt，由上式可导出： ( , ) ( , ) p p d t x p t x t x + = − （3.38） 初始条件: P(0,x)=P0 (x) （3.39） 边界条件: 2 1 ( , 0) ( , ) ( , ) ( , ) x x P t b t x k t x p t x dx = （3.40） k(t,x)女性性别比 b(t,x)女性生育率 [x 1 ,x2 ]妇女生育期
对(338)式关于x从0到4积分,得: b(o)-q('x)b(r x)op P(t xx(rxb(1 x) q(rxb(1 x)ox b() 令:B p(r)(1 x)b(x) b() D()=10 L q(rx)b( x)qp 此即 Malthus模型 B()、D()分别为时刻的生育率和死亡率。则有: g=(B()-D()b(1 b(0)=B 若B(O、D(与元关,则可得、心z(B-D()
对（3.38）式关于x从0到A积分，得： 0 ( , 0) ( , ) ( , ) dP A P t d t x p t x dx dt = − 2 1 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x A x = − b t x k t x p t x dx d t x p t x dx 令： 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) A b t x k t x p t x dx B t P t = 0 ( , ) ( , ) ( ) ( ) A d t x p t x dx D t P t = B(t)、D(t)分别为t时刻的生育率和死亡率。则有： ( ( ) ( )) ( ) dP B t D t P t dt = − 若B(t)、D(t)与t无关，则可得: 0 ( ) ( ) (0) dP B D P t dt P P = − = 此即Malthus模型
9交通流问题 问题的两个角度: 司机或旅客 安全、快速地到达目的地 交通管理部门 尽可能多的人安全地通过 集中参数法: 假设车流量是均匀分布 目标使车流蜜度保持在安全的范围之內,让司机尽 可能开得快些即可,必要时司机自己会刹车。 ST0P现实生活中可能吗?
例9 交通流问题 问题的两个角度： 司机或旅客 安全、快速地到达目的地 交通管理部门 尽可能多的人安全地通过 集中参数法： 假设车流量是均匀分布 目标使车流密度保持在安全的范围之内，让司机尽 可能开得快些即可，必要时司机自己会刹车。 现实生活中可能吗？
车流密度和车速不可能是常数 分布参数法: 轴表示公路,x轴正向表示车流方向。 如果采用连续模型,设u(t,x)为时刻耐车辆按方向分布 的密度,再设q(tx)为车辆通过x点的流通率 车辆数守恒,有 s (a+gl x)ox-s(r)ox=d(rx)at-d(rx+apx)ay 假设函数连续可微,有:au ∞(t2x) (t,x)=0(3.41 由于安全上的原因,q是n的函数,该函数关系称为基本 方程或结构方程
车流密度和车速不可能是常数 分布参数法： x轴表示公路，x轴正向表示车流方向。 如果采用连续模型，设u(t,x)为时刻t时车辆按x方向分布 的密度，再设q(t,x)为车辆通过x点的流通率。 车辆数守恒，有： u t dt x dx u t x dx q t x dt q t x dx dt ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) + − = − + 假设函数连续可微，有： ( , ) ( , ) 0 u q t x t x t x + = （3.41） 由于安全上的原因，q是u的函数，该函数关系称为基本 方程或结构方程
利用经验公式导出基本方程 图3-28是根据美国公路上的车辆情况而统计出来的曲线, 其中n的单位是车辆数每英里,q的单位为车辆数/每小时。图 中可以看出: (1)当u的值较小时,公路利用率较低,q较小(=0时公 路是空置的,车辆率q为零);随着u的增大,公路利用率逐渐 提高,q逐渐增大。 (2)u增大到一定程度(达到un)时,达到最大;l继续 增大时,车辆流q将减小,这表示车辆密度太大反而会影响车 辆率,使之下降,(出现堵塞)。 根据美国公路实际统计: 当≈75辆/每英里可达到最大车辆流 当≈225辆英里时,q0,即堵塞。 图3-28
利用经验公式导出基本方程。 q 0 u u m uj 图3-28 图3-28是根据美国公路上的车辆情况而统计出来的曲线, 其中u的单位是车辆数/每英里，q的单位为车辆数/每小时。图 中可以看出： （2）u增大到一定程度（达到um）时，q达到最大；u继续 增大时，车辆流q将减小，这表示车辆密度太大反而会影响车 辆率，使之下降，（出现堵塞）。 （1）当u的值较小时，公路利用率较低，q较小（u=0时公 路是空置的，车辆率q为零）；随着u的增大，公路利用率逐渐 提高，q逐渐增大。 根据美国公路实际统计： 当u≈75辆/每英里可达到最大车辆流 当u≈225辆/英里时，q≈0，即堵塞
根据图3-28中曲线的特征,可用多种函数来拟合=q(u) Greenshields用二次函数来拟合。 他令 q=l/1(1-a/)0sK≤4 u为自由速度,u为出现完全堵塞时的车流密度。 有 um=u /2,9m-uuun2 将 Greenshields的基本方程代入(341),利用复合函数求导 法则并注意到u均为常数,可得: du 21l. (t,x)+(l (t,x)=0 OX 令h=u-2n,方程可简化为:(,x)+h-(42x)= 0 ax 初值条件:h0.x)=-n(x)
根据图3-28中曲线的特征，可用多种函数来拟合q=q(u)。 uf为自由速度，uj为出现完全堵塞时的车流密度 。 Greenshields用二次函数来拟合。 他令： (1 / ) f j q u u u u = − 0≤u≤uj um =uj /2，qm =uf um 有： /2 将Greenshields的基本方程代入（3.41），利用复合函数求导 法则并注意到uf、uj均为常数，可得： 2 ( , ) ( ) ( , ) 0 f f j u u u u t x u t x t u x + − = 令 ，方程可简化为： 2 f f j u h u u u = − ( , ) ( , ) 0 h h t x h t x t x + = 初值条件： 0 2 (0, ) ( ) f f j u h x u u x u = −