33为什么 〓幻 构造数学模型,以说明为 不能用一级灭箭而必须用 级火箭来发射人造卫星?为什么一般都采用三级火箭系统? 1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星? (1)卫星能在轨道上运动的最低速度 假设:(i)卫星轨道为过地球中心的某平面上的圆,卫星 在此轨道上作匀速圆周运动。 ⅱ)地球是固定于空间中的均匀球体,其它早致欢卫 星的引力忽略不计 R为地球半径 根据牛顿第三定律,地球对卫暴的引为/3今 分析: 约为6400 在地面有:km 得:k=gR2 g R 假设(i) 故引力:F=mg(R
§3.3 为什么要用三级火箭来发射人造卫星 构造数学模型，以说明为什么不能用一级火箭而必须用多 级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系统？ 1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星? （1）卫星能在轨道上运动的最低速度 假设：（i） 卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星 在此轨道上作匀速圆周运动。 （ii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫 分析： 星的引力忽略不计。 根据牛顿第三定律，地球对卫星的引力为: 2 km F r = 在地面有: 2 km mg R = 得: k=gR2 R为地球半径， 约为6400公 里 故引力: 2 R F mg r = 假设(ii)
卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力 故又有:F=m2 从而:D=R, 假设() (2)9難游水送度的分析 得 假设火箭重力及空气阻力均不计卫星离地面高度卫星速度 (公里/秒) 分析:记火箭在时刻的质量和速度分别为m和u( an 7.86 有:m(t+△t)-m() △t+O(△t2) 记火箭喷出的气体相对于火箭的速度(常数),80 由动量守恒定理: 400 7.69 d h m()U()=m(+△)U(t+△t) A+62)(()-758 dm 知叔:m d 由此解得: 800 7. Uo tuIn n(t) u和m-定的情况下 7.37 火箭速度υ(t)由喷发速 u 度u及质量比决定
dm m-dm v u-v 假设(i) 卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力 故又有: 2 m F r = 从而: g R r = 设g=9.81米/秒2 ， 得: 卫星离地面高度 (公里) 卫星速度 (公里/秒) 100 200 400 600 800 1000 7.80 7.69 7.58 7.47 7.37 7.86 （2）火箭推进力及速度的分析 假设：火箭重力及空气阻力均不计 分析：记火箭在时刻t的质量和速度分别为m(t)和υ(t) 2 ( ) ( ) ( ) dm m t t m t t O t dt 有： + − = + 记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u（常数）， 由动量守恒定理： 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) dm m t t m t t t t t O t t u dt = + + − + − υ0和m0一定的情况下， 火箭速度υ(t)由喷发速 度u及质量比决定。 d dm m u dt dt 故： = − 由此解得： 0 0 ( ) ln ( ) m t u m t = + (3.11)
(2)火箭推进力及速度的分析 现将火箭卫星系统的质量分成三部分: (i)m(有效负载,如卫星) i)mp(燃料质量) (ⅲ)ms(结构质量如外壳、燃料容器及推进器) 最终质量为mp+m,初始速度为0, 所以末速度:D=h= 火箭推进力在加速整个火箭时,其 实际效益越来越低。如果将结构质 量在燃料燃烧过程中不断减少,那 么末速度能达到要求吗? 自前根本不 可能用一级火箭发射人造卫星
（2）火箭推进力及速度的分析 现将火箭——卫星系统的质量分成三部分： （i）mP（有效负载，如卫星） （ii）mF（燃料质量） （iii）mS（结构质量——如外壳、燃料容器及推进器）。 最终质量为mP + mS ，初始速度为0， 所以末速度： ln O P S m u m m = + 根据目前的技术条件和燃料性 能，u只能达到3公里/秒，即使 发射空壳火箭，其末速度也不 超过6.6公里/秒。 目前根本不 可能用一级火箭发射人造卫星 火箭推进力在加速整个火箭时，其 实际效益越来越低。如果将结构质 量在燃料燃烧过程中不断减少，那 么末速度能达到要求吗？
2、理想火箭模型 假设:记结构质量m在m+m中占的比例为λ,假没 箭理想地好,它能随时抛弃无用的结构,即结趑质量 与燃料质量以与(1-)的比例同时减少 建模:由m)()=m(t+△)-2 am 哈哈,我还是有可能 上天的! 考虑到空气阻力和重力皂 计(按比例的粗略估计)发射 要使υ=10.5公里秒才行,则可推算 出m/m2约为51,即发射一吨重的卫 星大约需要5吨重的理想火箭于,当火箭燃料 耗尽何顶童m尽,它的最终质量为mp, 司0。所以最终速度为 U=u(I-A)Ino
2、理想火箭模型 假设： 记结构质量mS在mS + mF中占的比例为λ，假设火 箭理想地好，它能随时抛弃无用的结构，即结构质量 与燃料质量以λ与（1-λ）的比例同时减少。 建模: 由 2 ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) ( ( ) ) ( ) dm dm m t t m t t t t t u t O t dt dt = + − − − − + 得到： (1 ) dm dm m u dt dt = − − 解得： 0 ( ) (1 )ln ( ) m t u m t = − 理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料 耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为mP， 所以最终速度为： 0 (1 )ln P m u m = − 只要m0足够大，我们可以 使卫星达到我们希望它具 有的任意速度。 考虑到空气阻力和重力等因素，估 计（按比例的粗略估计）发射卫星 要使υ=10.5公里/秒才行，则可推算 出m0 / mp约为51,即发射一吨重的卫 星大约需要50吨重的理想火箭 哈哈，我还是有可能 上天的！
3、理想过程的实际逼近多级火箭卫星系统 记火箭级数为n,当第趿级火箭的燃料烧尽时,第计1级 箭立即自动点火,并抛弃已经无用的第級级火箭。用m表示第 级火箭的质量,m2表示有效负载。 为简单起见,先作如下假设: (i)设各级火箭具有相同的,即级火箭中入m为结构 质量,(1-λ)m为燃料质量。 ⅱi〕)设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变 并记比值为k 该假设有点强加 考虑二级火箭: 的味道,先权作 讨论的方便吧 由3.1,当第一级火箭燃烧完时,头不运反 my +m2+m D2=uIn 当第二级火箭燃尽时,未速度为: Am,+m,+mp m+m m, +m, +mp m2 t 1m,+ am, ++mm+
3、理想过程的实际逼近——多级火箭卫星系统 记火箭级数为n，当第i级火箭的燃料烧尽时，第i+1级火 箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级火箭。用mi表示第 i级火箭的质量，mP表示有效负载。 为简单起见，先作如下假设： （i）设各级火箭具有相同的λ ,即i级火箭中λmi为结构 质量，（1-λ）mi为燃料质量。 （ii）设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变， 并记比值为k。 考虑二级火箭： 由3.11式，当第一级火箭燃烧完时，其末速度为： 1 2 2 1 2 ln P P m m m u m m m + + = + + 当第二级火箭燃尽时，末速度为： 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 ln ln P P P P P P m m m m m m m u u m m m m m m m + + + + = + = • + + + + 该假设有点强加 的味道，先权作 讨论的方便吧
mL,十 仍设13公里秒,且为了计算方便,近以取-,则可 得 +1 m、+m, k+1 k+1 3In =6In 是否三级火箭就是最省呢? 0.1k+1 最简单的方法就是对四级 要使v2五级等火箭进行讨论 ≈5.75 即k12,而u, 类似地,可以推算出兰级火箭: +m2+m2+m h 12+m =ulr am,+m2+m,+mp am2+ am +m 在同样假设下:D=390(0+=9(01k+1)级火箭比二级火箭 k+1 k+1 几乎节省了一半 要使3=10.5公里秒,则k+1)01k+1)≈321,k3.25,而 (m1+m2+m3+mp)(mp≈77
又由假设（ii），m2 =kmP，m1 =k(m2+mP )，代入上式，并 仍设u=3公里/秒，且为了计算方便，近似取λ=0.1，则可 得： 1 2 2 2 1 2 2 1 1 3ln 0.1 0.1 1 1 P P P P m m m m m m m m m m + + + = • + + + 2 1 1 3ln 6ln 0.1 1 0.1 1 k k k k + + = = + + 要使υ2=10.5公里/秒，则应使: 10.5 6 1 5.75 0.1 1 k e k + = + 即k≈11.2，而: 1 2 149 P P m m m m + + 类似地，可以推算出三级火箭： 1 2 3 2 3 3 3 1 2 3 2 3 3 ln P P P P P P m m m m m m m m m u m m m m m m m m m + + + + + + = • • + + + + + + 在同样假设下: 3 3 1 1 3ln 9ln 0.1 1 0.1 1 k k k k + + = = + + 要使υ3=10.5公里/秒，则(k+1)/(0.1k+1)≈3.21，k≈3.25，而 （m1+ m2+ m3+ mP）/ mP ≈77。 三级火箭比二级火箭 几乎节省了一半 是否三级火箭就是最省呢？ 最简单的方法就是对四级、 五级等火箭进行讨论
考虑N级火箭: 记级火箭的总质量(包含有效负载m)为 相同的假设下可以计算出相应的mn/m的值,见表3-2 表3-2 n(级数) 2345 ∞(理想) 火箭厂当然若燃料的价钱很便宜 50 而推进器的价钱很贵切且 制作工艺非常复杂的话, 箭 也可选择二级火箭 所以使 用级以上火箭是不合 算的,三级火箭提供了一个最 好的方案
考虑N级火箭： 记n级火箭的总质量（包含有效负载mP）为m0 ，在 相同的假设下可以计算出相应的m0 / mP的值，见表3-2 n（级数） 1 2 3 4 5 … ∞（理想） 火箭质量（吨） / 149 77 65 60 … 50 表3-2 由于工艺的复杂性及每节火箭 都需配备一个推进器，所以使 用四级或四级以上火箭是不合 算的，三级火箭提供了一个最 好的方案。 当然若燃料的价钱很便宜 而推进器的价钱很贵切且 制作工艺非常复杂的话， 也可选择二级火箭
4、火箭结构的优化设计 3中已经能说过假设(有点强加的味道;现去掉该假设 在各级火箭具有相同λ的粗糙假设下,来讨论火箭结构的 最优设计。 解条火箭结构优化设计讨论中 我们得到与假设(ⅱ)相 符的结果,这说明前面的 讨论都是有效的 万…[Akn(-) 或等价地求解无约束极值问题: mink, k2…kn-a kk C k1+(1-4)…[4 可以解出最优结构设计应满足 k=k2
4、火箭结构的优化设计 3中已经能说过假设(ii)有点强加的味道；现去掉该假设， 在各级火箭具有相同λ的粗糙假设下，来讨论火箭结构的 最优设计。 W1=m1+…+ mn+ mP W2=m2+…+ mn + mP …… Wn = mn + mP Wn+1 = mP 记 应用（3.11）可求得末速度： 1 2 1 2 2 3 1 ln n n n n W W W u m W m W m W + = + + + 1 1 2 1 , , n n n W W k k W W + = = 记 1 2 1 1 2 1 ln 1 1 1 1 n n n n n W W W W u W W W W + + = − + − + 则 1 1 2 1 1 2 1 2 3 1 n n n W W W W k k k W W W W + + 又 = = 问题化为，在υn一定的条件下，求使k1 k2…kn最小 1 ln [ (1 )] [ (1 )] n n k k u k k = + − + − 解条件极值问题： 1 2 1 2 1 min . . [ (1 )] [ (1 )] n n n k k k k k k s t C k k = + − + − 或等价地求解无约束极值问题： 1 2 1 2 1 min [ (1 )] [ (1 )] n n n k k k k k k a C k k − − + − + − 可以解出最优结构设计应满足： 1 2 n k k k = = = 火箭结构优化设计讨论中 我们得到与假设（ii）相 符的结果，这说明前面的 讨论都是有效的！