前言 数学分析，一般都是作为大学当中数学系的最基础的一门专业课出现的。但是在 中科大，少年班学院未选择数学专业的同学与大多数院系英才班的同学会学习数学分 析(B1)、(B2)两门课程。这门课程知识的深度和广度介于普通的高等数学和数学专业的数 学分析(A)之间。虽说如此，但此门课程的主要内容依旧是以极限理论、微积分和级数理论 为主。因此，这本讲义肯定不会脱离这些内容」 今年秋季学期，我有幸担任本门课程李平教授班级的助教，看到了同学们问的题目， 想到了这个棘手的问题。由于大多数同学以后不会进入数学专业，因此不可以在习题课中 讲解过难的知识；但是与此同时，有些同学会对数学的精妙之处产生好奇心，从而很容易 就问出了达到甚至超越数学专业难度的问题。例如，在本学期第一次习题课之前，有些同 学就询问有关实数六大基本定理的推导。事实上，这个结论虽说奠定了分析学的基础，但 是它的证明对于数学专业A类课程来讲都算是比较难的，更不用提我们的B类课程。 于是我想到发动同学们的力量，让同学们日常做题的同时，将一些好的题目发给我， 我整理成讲义的形式于习题课讲解。当然，我也会从个人的角度加入部分典型题或稍有难 度但比较有意义的题目。尽管这样，我还是希望以同学们的题目为主，因为只有同学们想 到才是他们所需要的，也是最适合大家的。因此，讲义中选择的题目有如下几种类型： (1)典型题目，具有常用技巧或容易造成学习误区的： (2)作业中错误较多的题目，尤其是反映出共性问题的： (3)比较难的题目，但都反映了更本质、更深入的一些理论，它们一般出现在问题中。 华罗庚老前辈曾经说过：“数学教材不应该有答案。”诚如是，学习数学，思考的过程 很重要。正所谓：“数学是思维的体操。”数学分析中的证明题目尤其如此。如果附带详细 的解答过程，同学们可能会对它产生依赖，从而减少思考量，影响了思维的训练。不过既 然这是一份讲义，它就需要引用一些例题来讲解方法。所以，对于每个类型的题目，例题 i前言 数学分析，一般都是作为大学当中数学系的最基础的一门专业课出现的。但是在 中科大，少年班学院未选择数学专业的同学与大多数院系英才班的同学会学习数学分 析(B1)、(B2)两门课程。这门课程知识的深度和广度介于普通的高等数学和数学专业的数 学分析(A)之间。虽说如此，但此门课程的主要内容依旧是以极限理论、微积分和级数理论 为主。因此，这本讲义肯定不会脱离这些内容. 今年秋季学期，我有幸担任本门课程李平教授班级的助教，看到了同学们问的题目， 想到了这个棘手的问题。由于大多数同学以后不会进入数学专业，因此不可以在习题课中 讲解过难的知识；但是与此同时，有些同学会对数学的精妙之处产生好奇心，从而很容易 就问出了达到甚至超越数学专业难度的问题。例如，在本学期第一次习题课之前，有些同 学就询问有关实数六大基本定理的推导。事实上，这个结论虽说奠定了分析学的基础，但 是它的证明对于数学专业A类课程来讲都算是比较难的，更不用提我们的B类课程。 于是我想到发动同学们的力量，让同学们日常做题的同时，将一些好的题目发给我， 我整理成讲义的形式于习题课讲解。当然，我也会从个人的角度加入部分典型题或稍有难 度但比较有意义的题目。尽管这样，我还是希望以同学们的题目为主，因为只有同学们想 到才是他们所需要的，也是最适合大家的。因此，讲义中选择的题目有如下几种类型： (1)典型题目，具有常用技巧或容易造成学习误区的； (2)作业中错误较多的题目，尤其是反映出共性问题的； (3)比较难的题目，但都反映了更本质、更深入的一些理论，它们一般出现在问题中。 华罗庚老前辈曾经说过：“数学教材不应该有答案。”诚如是，学习数学，思考的过程 很重要。正所谓：“数学是思维的体操。”数学分析中的证明题目尤其如此。如果附带详细 的解答过程，同学们可能会对它产生依赖，从而减少思考量，影响了思维的训练。不过既 然这是一份讲义，它就需要引用一些例题来讲解方法。所以，对于每个类型的题目，例题 i