习题解答 第十二章多项式矩阵与若尔当典范形 习题12-1 1.下列多项式矩阵中,哪些是可逆的?若可逆试求其逆 入+1A-1 入+3入+1 A+2A+1 入-1A (3)-+2-A+1-2|;(4)x-入A 1+入入x2+1 2+1x2A2-1 解()可矩阵为号( 入+1-A+1 A-3A+1 2)可逆道矩阵为-( 入+1 入-2x2-2 (3)可逆逆矩阵为-2+A-2-A+1-12 1 2.求下列多项式矩阵的正规形 入+1A A-1 A-1入 A-12-2入+1 3入-1x2+2入3X2-1 4)|-2x2-A2+x3-2-3X 2 0X(A-1) (5)-1x+20 入+2 A(A-1)2 解:(1)diag(1,λ-1). (2)diag(入-1,(入-1)(A-2) ()dg,x+1,(A+12(x-号) (5)diag(1,1,(A+2)3) (6)diag(A-1,A(X-1)(+1),(X-1)2(A+1) 3.判断下列多项式矩阵是否等价: 入A-32-4入+3 2-3入+32-3A-3 (1)A=2-22A-5x2-4+3 B=x2-2+14A-72-5 (A-2)2 (2) (A+1)2x2+A+1 1)等价;(2)不等价￾
%/0' 12345 6789:; L M 12–1 1. iu !"w, st#3M? 3M>hM. (1) µ λ + 1 λ − 1 λ + 3 λ + 1 ¶ ; (2) µ λ 2 − 2 λ 2 − λ λ + 2 λ + 1 ¶ ; (3)   1 − λ −λ −λ 2 −λ + 2 −λ + 1 −λ 2 −1 + λ λ λ2 + 1  ; (4)   λ − 1 λ 2 λ λ −λ λ λ 2 + 1 λ 2 λ 2 − 1  . P: (1) 3M, M!"l 1 4 µ λ + 1 −λ + 1 −λ − 3 λ + 1 ¶ . (2) 3M, M!"l − 1 2 µ λ + 1 −λ 2 + λ −λ − 2 λ 2 − 2 ¶ . (3) 3M, M!"l   λ 2 − λ + 1 λ λ2 −λ 2 + λ − 2 −λ + 1 −λ 2 1 0 1  . (4) 3M. 2. iu !"X[: (1) µ λ + 1 λ λ − 1 λ − 1 ¶ ; (2) µ λ − 1 λ − 1 λ − 1 λ 2 − 2λ + 1 ¶ ; (3)   λ − 1 λ λ2 − 1 3λ − 1 λ 2 + 2λ 3λ 2 − 1 λ + 1 λ 2 λ 2 + 1  ; (4)   λ 2 λ 2 − 1 3λ 2 −λ 2 − λ λ2 + λ λ3 − 2λ 2 − 3λ λ 2 + λ λ2 + λ 2λ 2 + 2λ  ; (5)   λ + 2 0 0 −1 λ + 2 0 0 −1 λ + 2  ; (6)   0 0 λ(λ − 1) 0 λ 2 − 1 0 λ(λ − 1)2 0 0  . P: (1) diag(1, λ − 1). (2) diag(λ − 1,(λ − 1)(λ − 2)). (3) diag(1, λ, 0). (4) diag(1, λ(λ + 1), λ(λ + 1)2 ³ λ − 1 2 ´ ). (5) diag(1, 1,(λ + 2)3 ). (6) diag(λ − 1, λ(λ − 1)(λ + 1), λ(λ − 1)2 (λ + 1)). 3. tiu !"#T: (1) A =   λ λ − 3 λ 2 − 4λ + 3 2λ − 2 2λ − 5 λ 2 − 4λ + 3 λ − 2 λ − 2 (λ − 2)2  ; B =   λ 2 − 3λ + 3 2λ − 3 λ − 3 λ 2 − 2λ + 1 4λ − 7 2λ − 5 λ 2 − 3λ + 2 2λ − 4 λ − 2  . (2) A =   λ 2 − λ − 2 λ 2 − 1 λ + 1 0 λ + 1 1 (λ + 1)2 λ 2 + λ λ + 1  ; B =   1 2λ 2 + λ − 1 λ − 1 λ λ − 2 λ 2 + λ 1 λ λ + 1  . P: (1) T; (2) T. · 1 ·