习题解答 第十二章多项式矩阵与若尔当典范形 习题12-1 1.下列多项式矩阵中,哪些是可逆的?若可逆试求其逆 入+1A-1 入+3入+1 A+2A+1 入-1A (3)-+2-A+1-2|;(4)x-入A 1+入入x2+1 2+1x2A2-1 解()可矩阵为号( 入+1-A+1 A-3A+1 2)可逆道矩阵为-( 入+1 入-2x2-2 (3)可逆逆矩阵为-2+A-2-A+1-12 1 2.求下列多项式矩阵的正规形 入+1A A-1 A-1入 A-12-2入+1 3入-1x2+2入3X2-1 4)|-2x2-A2+x3-2-3X 2 0X(A-1) (5)-1x+20 入+2 A(A-1)2 解:(1)diag(1,λ-1). (2)diag(入-1,(入-1)(A-2) ()dg,x+1,(A+12(x-号) (5)diag(1,1,(A+2)3) (6)diag(A-1,A(X-1)(+1),(X-1)2(A+1) 3.判断下列多项式矩阵是否等价: 入A-32-4入+3 2-3入+32-3A-3 (1)A=2-22A-5x2-4+3 B=x2-2+14A-72-5 (A-2)2 (2) (A+1)2x2+A+1 1)等价;(2)不等价
%/0' 12345 6789:; L M 12–1 1. iu !"w, st#3M? 3M>hM. (1) µ λ + 1 λ − 1 λ + 3 λ + 1 ¶ ; (2) µ λ 2 − 2 λ 2 − λ λ + 2 λ + 1 ¶ ; (3) 1 − λ −λ −λ 2 −λ + 2 −λ + 1 −λ 2 −1 + λ λ λ2 + 1 ; (4) λ − 1 λ 2 λ λ −λ λ λ 2 + 1 λ 2 λ 2 − 1 . P: (1) 3M, M!"l 1 4 µ λ + 1 −λ + 1 −λ − 3 λ + 1 ¶ . (2) 3M, M!"l − 1 2 µ λ + 1 −λ 2 + λ −λ − 2 λ 2 − 2 ¶ . (3) 3M, M!"l λ 2 − λ + 1 λ λ2 −λ 2 + λ − 2 −λ + 1 −λ 2 1 0 1 . (4) 3M. 2. iu !"X[ : (1) µ λ + 1 λ λ − 1 λ − 1 ¶ ; (2) µ λ − 1 λ − 1 λ − 1 λ 2 − 2λ + 1 ¶ ; (3) λ − 1 λ λ2 − 1 3λ − 1 λ 2 + 2λ 3λ 2 − 1 λ + 1 λ 2 λ 2 + 1 ; (4) λ 2 λ 2 − 1 3λ 2 −λ 2 − λ λ2 + λ λ3 − 2λ 2 − 3λ λ 2 + λ λ2 + λ 2λ 2 + 2λ ; (5) λ + 2 0 0 −1 λ + 2 0 0 −1 λ + 2 ; (6) 0 0 λ(λ − 1) 0 λ 2 − 1 0 λ(λ − 1)2 0 0 . P: (1) diag(1, λ − 1). (2) diag(λ − 1,(λ − 1)(λ − 2)). (3) diag(1, λ, 0). (4) diag(1, λ(λ + 1), λ(λ + 1)2 ³ λ − 1 2 ´ ). (5) diag(1, 1,(λ + 2)3 ). (6) diag(λ − 1, λ(λ − 1)(λ + 1), λ(λ − 1)2 (λ + 1)). 3. tiu !"# T: (1) A = λ λ − 3 λ 2 − 4λ + 3 2λ − 2 2λ − 5 λ 2 − 4λ + 3 λ − 2 λ − 2 (λ − 2)2 ; B = λ 2 − 3λ + 3 2λ − 3 λ − 3 λ 2 − 2λ + 1 4λ − 7 2λ − 5 λ 2 − 3λ + 2 2λ − 4 λ − 2 . (2) A = λ 2 − λ − 2 λ 2 − 1 λ + 1 0 λ + 1 1 (λ + 1)2 λ 2 + λ λ + 1 ; B = 1 2λ 2 + λ − 1 λ − 1 λ λ − 2 λ 2 + λ 1 λ λ + 1 . P: (1) T; (2) T. · 1 ·
4.设A(为一个多项式矩阵,证明:4()可逆的充分必要条件是对所有的复数c,A(c)都可逆 证明:(→)设A(可逆,则 1A(A)=a≠0∈C. 故对任意的c∈C,|A(c川=a,所以A(c)可逆 (←)考察f(A)=|4(),则对任意的c∈C,f(c)≠0,故f()在C中无根.所以f(A)=a≠0∈C, ()=a≠0∈C.因此A(可逆 5.下列结论是否成立:(如成立,则加以证明,如不成立,则举出反求) 两个多项式矩阵等价的充分必要条件是,对所有的k∈K,A(k)与B(k)都等价 解:不成立.如 A()= (入) 则A(A)与B()不等价,其对任意的k∈K,A(k)与B(k)等价 习题12-2 1.求下列多项式矩阵的秩 2入-1 入+1-1 (1)A+1x2+2A+1-1 (2)2Ax2-12-入 2+A12+3X+2入-2 解:(1)3;(2) 2.设A(为一个多项式矩阵,证明: rank A()=max{ rank a(k)k∈K} 解:设 rank A(=r,则A(入)有一个r阶子式M+1()=0.故对所有的k∈K,M+1(k)=0,这 说明 rank a(k)≤r.又因M(≠0,存在c∈K使Mr(c)≠0,这说明r=max{ rank a(k)|k∈K} 3.试求下列矩阵的不变因子: 0入-1 (A-1)2x2- a 0 0 A 0 入 10+-ββ 0 0入-1 B B 入 入3β3.0 解:(1)1,1,(A-1) (2)1,A-1,A(入-1) (3)如B≠0,1,1,1,[(A+a)2+22;如B=0,1,1,(X+a)2,(A+a)2 (5)如β≠0,1,1,……,1,(X-a)x;如B=0, (6)1,1,……,1,A+a1n-1+…+ 4.设Dk(A)(k=1,2,……,r)为4(的行列式因子,证明 D(A)|Dk-1(X)D+1(X),k=2,3,…,r-1
4. A(λ) ljk !", 01: A(λ) 3MCDEFG#@&+( c, A(c) x3M. NO: (⇒) A(λ) 3M, = |A(λ)| = a 6= 0 ∈ C. @cd c ∈ C, |A(c)| = a, H A(c) 3M. (⇐) f(λ) = |A(λ)|, =@cd c ∈ C, f(c) 6= 0, f(λ) % C w78. H f(λ) = a 6= 0 ∈ C, |A(λ)| = a 6= 0 ∈ C. a A(λ) 3M. 5. iu# [: (9[, =H01, 9 [, =.) Ik !"TCDEFG#, @& k ∈ K, A(k) B(k) xT. P: [. 9 A(λ) = µ 1 λ ¶ , B(λ) = µ 1 λ 2 ¶ , = A(λ) B(λ) T, h@cd k ∈ K, A(k) B(k) T. L M 12–2 1. iu !" : (1) λ 2 − 1 λ + 1 2λ − 1 λ + 1 λ 2 + 2λ + 1 −1 λ 2 + λ λ2 + 3λ + 2 λ − 2 ; (2) λ + 1 −1 λ 2 2λ λ2 − 1 λ 2 − λ λ − 1 λ 2 −λ . P: (1) 3; (2) 2. 2. A(λ) ljk !", 01: rank A(λ) = max{rank A(k)|k ∈ K}. P: rank A(λ) = r, = A(λ) &jk r Mr+1(λ) = 0. @& k ∈ K, Mr+1(k) = 0, _ 1 rank A(k) 6 r. y Mr(λ) 6= 0, m% c ∈ K iu!" : (1) λ − 1 −1 0 0 λ − 1 −1 0 0 λ − 1 ; (2) −λ + 2 (λ − 1)2 −λ + 1 1 λ 2 − λ 0 λ 2 − 2 −(λ − 1)2 λ 2 − 1 ; (3) λ + α β 1 0 −β λ + α 0 1 0 0 λ + α β 0 0 −β λ + α ; (4) λ − 1 1 0 0 0 λ − 1 1 0 0 0 λ − 1 1 0 0 0 λ − 1 ; (5) λ − α β β β · · · β 0 λ − α β β · · · β 0 0 λ − α β · · · β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 0 · · · λ − α ; (6) λ 0 0 · · · 0 an −1 λ 0 · · · 0 an−1 0 −1 λ · · · 0 an−2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · −1 λ + a1 . P: (1) 1, 1,(λ − 1)3 . (2) 1, λ − 1, λ(λ − 1). (3) 9 β 6= 0, 1, 1, 1, [(λ + α) 2 + β 2 ] 2 ; 9 β = 0, 1, 1,(λ + α) 2 ,(λ + α) 2 . (4) 1, 1, 1,(λ − 1)4 . (5) 9 β 6= 0, 1, 1, · · · , 1,(λ − α) n; 9 β = 0, λ − α, λ − α, · · · , λ − α. (6) 1, 1, · · · , 1, λn + a1λ n−1 + · · · + an. 4. Dk(λ) (k = 1, 2, · · · , r) l A(λ) 3u , 01: D 2 k (λ) | Dk−1(λ)Dk+1(λ), k = 2, 3, · · · , r − 1. · 2 ·
证明:设A(的不变因子为 d1(入),d2(入),…,dn(入) (入) Dk(入)=d1(入)d2())…dk(入)=Dk-1(A)dk(入), Dk+1()=d1(A)d2(A)…dk+1()), 所以 D2()=D2-1()()|Dk-1(X)D()dk(A)dk+1(X) D2(x)|Dk-1(X)Dk+1(X) 5.设A()为n阶方阵,证明:A(X)与A()等价 证明:存在可逆矩阵P(入),Q(,使 d2(入) P(A)A(AQ(入)= 故 d2(入) P(从)4(A)Q( =Q(X)24(x)2P(x) 于是A()与A()等价 6.设f1(x),…,fn(x)∈K[],且(f1(x),……,fn(x)=1 证明:存在多项式f(x)∈K回(i=2,3,…,n,j=1,2,……,n),使 f1(x)f2(x) fn (a) f21(x)f2(x)…f2n(x) fnl(a) fn2(a) 证明考察多项式矩阵 由已知,A(x)的不变因子为1,故存在可逆矩阵P(x),使 A(x)P(x)=(1,0,…,0) 设|P(x)=c≠0,则存在可逆矩阵Q(x)使 Q(r)P(a) (*) Q(x)=(f(x)
NO: A(λ) l d1(λ), d2(λ), · · · , dn(λ), = Dk−1(λ) = d1(λ)d2(λ)· · · dk−1(λ), Dk(λ) = d1(λ)d2(λ)· · · dk(λ) = Dk−1(λ)dk(λ), Dk+1(λ) = d1(λ)d2(λ)· · · dk+1(λ), H D2 k (λ) = D2 k−1 (λ)d 2 k (λ) | Dk−1(λ)Dk(λ)dk(λ)dk+1(λ), D2 k (λ) | Dk−1(λ)Dk+1(λ). 5. A(λ) l n ?", 01: A(λ) AT(λ) T. NO: m%3M!" P(λ), Q(λ), < P(λ)A(λ)Q(λ) = d1(λ) d2(λ) . . . dn(λ) , P(λ)A(λ)Q(λ) = d1(λ) d2(λ) . . . dn(λ) T = Q(λ) TA(λ) TP(λ) T, L# A(λ) AT(λ) T. 6. f1(x), · · · , fn(x) ∈ K[x], b (f1(x), · · · , fn(x)) = 1. 01: m% fij (x) ∈ K[x] (i = 2, 3, · · · , n, j = 1, 2, · · · , n), < ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ f1(x) f2(x) · · · fn(x) f21(x) f22(x) · · · f2n(x) . . . . . . . . . . . . fn1(x) fn2(x) · · · fnn(x) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 1. NO: !" A(x) = (f1(x), f2(x), · · · , fn(x)), , A(x) l 1, m%3M!" P(x), < A(x)P(x) = (1, 0, · · · , 0). (*) |P(x)| = c 6= 0, =m%3M!" Q(x), < Q(x)P(x) = 1 1 . . . 1 c . (**) Q(x) = (fij (x)), · 3 ·
f1(x)f2(x) fn(a) f21(x)f22(x) f2n(r) B fni(a) fn2(a) fnn(r) 则由(*)与(**)知 1 1 B(r)P() 于是|B(x川P(x)=c又因P(x)=c,得|B(x)=1,从而f(x)即为所求 习题123 1.判断下列矩阵是否相似: 26-10 12-3 66-15 (2)A=15-5;B 解:(1)是;(2)是;(3)否 2.证明:任何方阵A与它的转置矩阵AT相似 证明:由于AE-AT=(AE-A)等价于AE-A(习题12-2.5),因此A与AT相似 3.设A与B为n阶方阵证明:(AB)*=BA 证明考察等式 (AE +A)(E BI(E+A(E+B) (E +A)(E B)IE=E +AE. AE+BE (E +A)(E+ B(E+B)"(E +a) 所以 (E +A)(E+ B)I(E +A(E+ B)*-(E + B(E +A)=0 比较上式两边的次数,知 (E+A(E+ B)-(E+ B(E+A)=0 即 (E +A)(E B*=(E+ B)(E +a) 令A=0就有 )=B A 4.证明:如果矩阵A与B相似,则它们的伴随矩阵A与B*也相似
1 B(x) = f1(x) f2(x) · · · fn(x) f21(x) f22(x) · · · f2n(x) . . . . . . . . . . . . fn1(x) fn2(x) · · · fnn(x) , = (*) (**) B(x)P(x) = 1 1 . . . 1 c , L# |B(x)||P(x)| = c, y |P(x)| = c, N |B(x)| = 1, jk fij (x) l. L M 12–3 1. tiu!"# : (1) A = 3 2 −5 2 6 −10 1 2 −3 ; B = 6 20 −34 6 32 −51 4 20 −32 . (2) A = 6 6 −15 1 5 −5 1 2 −2 ; B = 37 −20 −4 34 −17 −4 119 −70 −11 . (3) A = 2 −2 1 1 −1 1 1 −2 2 ; B = 1 −3 3 −2 −6 13 −1 −4 8 . P: (1) #; (2) #; (3) . 2. 01: cB?" A m|!" AT . NO: L λE − AT = (λE − A) T TL λE − A ( i 12–2.5), a A AT . ∗3. A B l n ?", 01: (AB) ∗ = B∗A∗ NO: [(λE + A)(λE + B)][(λE + A)(λE + B)]∗ = |(λE + A)(λE + B)|E = |λE + A|E · |λE + B|E = (λE + A)(λE + B)(λE + B) ∗ (λE + A) ∗ . H (λE + A)(λE + B) {[(λE + A)(λE + B)]∗ − (λE + B) ∗ (λE + A) ∗ } = 0. cd2 IyV(, [(λE + A)(λE + B)]∗ − (λE + B) ∗ (λE + A) ∗ = 0, [(λE + A)(λE + B)]∗ = (λE + B) ∗ (λE + A) ∗ . g λ = 0 r& (AB) ∗ = B ∗A ∗ . ∗4. 01: 9:!" A B , =mr!" A∗ B∗ . · 4 ·
证明:试A与B不变,则存在行题矩阵P,使P-1AP=B.习是利用习下4的结等, B*=(P-1AP)*=PA'(P-1)=PA'(P*)-1 故A·与B*不变 *5.证明:矩阵的不变与数域的扩张无关 证明:设A,B是数域K1中的矩阵,则ME-A与AE一B的不变反子都是系数在K1中的多项式 设数域K1CK2,那么这断多项式也行以看成系数在K2中的多项式,一个不变反子组与数域的扩张无 关(最多差一个常数反子).个矩阵A,B不变当且仅当AE-A与AE一B有不项的不变反子组、反此矩 阵的不变与数域的扩张无关 6.设A为n分方阵,为A的一个特征立.证明:特征立λ的代数为数≥n-rank(A0E-A) 证明:设为A的r为特征立。设d1(A,…,dn()为A的不变反子.则A入-A0|dn(入),但 入-Aodn-r(),(否则,如入-Ao|d-r(),则A-A0|dn-r+1(入),……,A-加o|dn(),习是入-0的为 数≥T+1)反此存在行题矩阵P(入),Q(使 P(入)(AE-A)Q(A) dn-r(入) di(o) P(0)(A0E-A)Q(0) r+1(o) 子习d1(0)≠0.,…,dn-r(0)≠0.求以 rank(A0E-4)≥ rank p(0)(AE-A)Q(A0)≥n-r. 反此 r≥n-rank(A0E-A) 习 1.求下列多项式矩阵的结论反子: 12+2入-3A A2+2A-3 2+12X2 (1)(2+3-5 (2)(x2+1x2+12-2 2+入-2 0 x2+2A2+13A2-5 解:(1)λλ-1,A-1,A-1,A+3 (2)A+1,A-3. 2.已知多项式矩阵A(λ)的结论反子,秩r与分数n,求A()的正规形: (1)A+1,1+1,(A+1)2,A-1,(X-1)2;r=4,n=5; 2)A-2,(A-2)2,(A-2)3,A+2,(X+2)3;r=4,n=4;
NO: > A B , =m%3M!" P, n − rank(λ0E − A). NO: λ0 l A r l, d1(λ), · · · , dn(λ) l A . = λ − λ0 | dn(λ), h λ − λ0 - dn−r(λ), ( =, 9 λ − λ0 | dn−r(λ), = λ − λ0 | dn−r+1(λ), · · · , λ − λ0 | dn(λ), L# λ − λ0 l ( > r + 1) am%3M!" P(λ), Q(λ) rank P(λ0)(λ0E − A)Q(λ0) > n − r. a r > n − rank(λ0E − A). L M 12–4 1. iu !": (1) λ 2 + 2λ − 3 λ − 1 λ 2 + 2λ − 3 2λ 2 + 3λ − 5 λ 2 − 1 λ 2 + 3λ − 4 λ 2 + λ − 2 0 λ − 1 ; (2) λ 2 − 2 λ 2 + 1 2λ 2 − 2 λ 2 + 1 λ 2 + 1 2λ 2 − 2 λ 2 + 2 λ 2 + 1 3λ 2 − 5 . P: (1) λ, λ − 1, λ − 1, λ − 1, λ + 3. (2) λ + 1, λ − 3. 2. !" A(λ) , r ( n, A(λ) X[ : (1) λ + 1, λ + 1,(λ + 1)2 , λ − 1,(λ − 1)2 ; r = 4, n = 5; (2) λ − 2,(λ − 2)2 ,(λ − 2)3 , λ + 2,(λ + 2)3 ; r = 4, n = 4; · 5 ·
解:(1)diag(1,A+1,(X+1)(X-1),(A+1)2(A-1)2,0) (2)diag(1,A-2,(A-2)2(+2),、(X-2)3(+2)3) (3)diag(A-1,(X-1)2(A+2),(-1)3(A+2)2,0,0) 3.求下列矩阵的正规形: A(+1)2 0 A2(X-1)0 0 0 0x2+2入0 0x3=2X 0 0 0 0 22+2入 入+1 0 0 解:(1)diag(1,A(λ+1),A(入+1)2(A-1),A2(A+1)2(A-1) (2)diag(1,(12-4),A(2-4),12(2-4) (3)diag(1,A-1,(A-1)(X+1),0). (4)diag(1,1,2-4,0) 4.求下列矩阵的不变因子,行列式因子与初等因子 2-300 151-2 022-3 解:(1)不变因子:1,1,A2(A-1),行列式因子:1,1,12(A-1),初等因子A2,A-1 (2)不变因子:1,A,(A+1),行列式因子:1,A,A2(+1),初等因子:A,A,A+1 (3)不变因子:1,A,…,A,A(A-n),行列式因子:1,A,A2,……,1-2,A-4(-n),初等因子:A,……,λ (4)不变因子:1,1,1,(X+1)4,行列式因子:1,1,1,(A+1)4,初等因子:(A+1)4 5.设λ为n阶矩阵A的一个特征值,证明:矩阵A的属于特征值λ的初等因子的个数等于 (oE-A 证明:设d1(),…,dn(从)为A的不变因子.如A的属于特征值λo的初等因子的个数为r,则
(3) λ − 1,(λ − 1)2 ,(λ − 1)3 , λ + 2,(λ + 2)2 ; r = 3, n = 5. P: (1) diag(1, λ + 1,(λ + 1)(λ − 1),(λ + 1)2 (λ − 1)2 , 0). (2) diag(1, λ − 2,(λ − 2)2 (λ + 2),(λ − 2)3 (λ + 2)3 ). (3) diag(λ − 1,(λ − 1)2 (λ + 2),(λ − 1)3 (λ + 2)2 , 0, 0). 3. iu!"X[ : (1) 0 λ(λ + 1)2 0 0 λ 2 (λ − 1) 0 0 0 0 0 0 λ 2 − 1 0 0 λ(λ + 1)2 0 ; (2) λ 2 − 4 0 0 0 0 λ 2 + 2λ 0 0 0 0 λ 3 − 2λ 2 0 0 0 0 λ 3 − 4λ ; (3) λ 2 + 2λ − 3 λ 2 + λ − 2 0 0 2λ 2 + 2λ − 4 2λ 2 + λ − 3 0 0 0 0 λ + 1 λ + 2 0 0 λ 2 − 1 λ 2 + λ − 2 ; (4) λ 2 − λ − 2 0 λ 3 + λ 2 − λ − 1 0 λ 2 − 4 0 λ 3 + 2λ 2 − λ − 2 0 0 λ 2 + 2λ 0 λ 2 + 6λ − 2 0 λ 2 + λ − 2 0 λ 2 + 5λ − 7 . P: (1) diag(1, λ(λ + 1), λ(λ + 1)2 (λ − 1), λ2 (λ + 1)2 (λ − 1)). (2) diag(1, λ(λ 2 − 4), λ(λ 2 − 4), λ2 (λ 2 − 4)). (3) diag(1, λ − 1,(λ − 1)(λ + 1), 0). (4) diag(1, 1, λ2 − 4, 0). 4. iu!" , 3u : (1) 4 2 −5 6 4 −9 5 3 −7 ; (2) −2 1 3 6 −3 −9 4 −2 −6 ; (3) 1 1 1 · · · 1 1 1 1 · · · 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 · · · 1 ; (4) 2 −3 0 0 3 −4 0 0 1 5 1 −2 0 2 2 −3 . P: (1) : 1, 1, λ2 (λ − 1), 3u : 1, 1, λ2 (λ − 1), : λ 2 , λ − 1. (2) : 1, λ, λ(λ + 1), 3u : 1, λ, λ2 (λ + 1), : λ, λ, λ + 1. (3) : 1, λ, · · · , λ | {z } n−2 , λ(λ−n), 3u : 1, λ, λ2 , · · · , λn−2 , λn−1 (λ−n), : λ, · · · , λ | {z } n−1 , λ − n. (4) : 1, 1, 1,(λ + 1)4 , 3u : 1, 1, 1,(λ + 1)4 , : (λ + 1)4 . 5. λ0 l n !" A jk, 01: !" A fL λ0 k(L n − rank(λ0E − A). NO: d1(λ), · · · , dn(λ) l A . 9 A fL λ0 k(l r, = λ − λ0 | dn(λ), · · · , λ − λ0 | dn−r+1(λ), λ − λ0 - dn−r(λ), · · · , λ − λ0 - d1(λ). · 6 ·
因此存在可逆矩阵P(A),Q(A使 d1(入) P()E-AQ() dn(入) d1(0) P(o)(oE-A)Q(o) dn-r(λo) 0 于是 n-r=rank P(o)(oE- A)Q(o)= rank(AoE-A r=n-rank(λ0E-A) 习题12-5 1.求下列矩阵的若尔当典范形 001 2-6 (3)(-6-7-6 1-33 -1-48 (7)3-33 (8)-203 -402 4-5-24 (11) 0.00 000 解:(1) 00
a m%3M!" P ( λ ), Q ( λ ) < P ( λ)(λE − A ) Q ( λ) = d 1 ( λ ) . . . d n ( λ ) , P ( λ 0)( λ 0 E − A ) Q ( λ 0) = d 1 ( λ 0 ) . . . d n − r ( λ 0 ) 0 . . . 0 , L# n − r = rank P ( λ 0)( λ 0 E − A ) Q ( λ 0) = rank( λ 0 E − A ) , r = n − rank( λ 0 E − A ) . L M 12–5 1. i u!" : (1) 1 −1 0 0 −1 0 −1 2 1 ; (2) 2 6 −15 1 1 − 5 1 2 − 6 ; (3) 13 16 14 −6 −7 −6 −6 −8 −7 ; (4) 9 − 6 − 2 18 −12 − 3 18 − 9 − 6 ; (5) 1 −3 3 − 2 −6 13 − 1 −4 8 ; (6) 1 − 2 − 1 −2 4 2 3 −6 −3 ; (7) 1 −1 1 3 −3 3 2 −2 2 ; (8) 5 2 6 −2 0 3 2 1 − 2 ; (9) −2 1 1 − 2 5 −4 2 9 −3 1 2 − 2 2 −4 3 8 ; (10) 3 −4 0 2 4 − 5 −2 4 0 0 3 − 2 0 0 2 − 1 ; (11) 0 1 0 · · · 0 0 0 0 1 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 0 1 1 0 0 · · · 0 0 ; (12) 1 2 3 · · · n 0 1 2 · · · n − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 1 . P: (1) −1 0 0 0 1 1 0 0 1 ; (2) −1 0 0 0 −1 1 0 0 − 1 ; (3) 1 0 0 0 −1 1 0 0 − 1 ; (4) −3 0 0 0 −3 1 0 0 − 3 ; · 7 ·
(5)0 00 001 010 (7)000 200100 0 1+2v6 0 00 1-26 0100 0 0100 011 (10) 00-11 000 000-1 (11)diag(1,e1,e2,…,En-1),1,∈1,E2,…,En-1是xn-1的m个根; 011 (12) 11 00 2.设矩阵 200 a20 (1)矩阵A可能有怎样的若尔当典范形? (2)试确定A可对角化的条件 解:(1)A仅有一个特征值λ=2,所以A的若尔当块的块数=A的初等因子的个数=rank(M0E 1)(参见习题12-4.5)而 2当ac≠0 rank(A0E-A)={1当ac中一个等于0,另一个不等于0,或ac都是0,但b≠0时, 0当a=b=c=0时 因此当aC≠0时,A的若尔当典范形是021|;当a,c中一个等于0,另一个不等于0,或a,c都是0 002 200 但b≠0时,A的若尔当典范形是021;当a=b=c=0时,A的若尔当典范形是020 (2)A可对角化→a=b=c=0 3.设矩阵A的特征多项式 X4(A)=A5+4-53-12+81-4 试求出A所有可能的若尔当典范形 解:xA(A)=(A-1)3(X+2)2,因此A的可能的初等因子为 (a)A-1,A-1,A-1,A+2,A+2; (b)(X-1)2,A-1,A+2,A+2 (c)(A-1)3,x+2,A+ (d)-1,A-1,A-1,(+2)2; (e)(A-1)2,A-1,(
(5) 1 1 0 0 1 1 0 0 1 ; (6) 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ; (7) 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ; (8) 1 0 0 0 1 + 2√ 6 0 0 0 1 − 2 √ 6 ; (9) 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 ; (10) 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 −1 ; (11) diag(1, ε1, ε2, · · · , εn−1), 1, ε1, ε2, · · · , εn−1 # x n − 1 n k8; (12) 1 1 0 · · · 0 0 1 1 · · · 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · 1 1 0 0 · · · 0 1 . 2. !" A = 2 0 0 a 2 0 b c 2 . (1) !" A 3T& ? (2) >DY A 3@ABFG. P: (1) AC&jkλ0 = 2, HAmm(= Ak(= rank(λ0E − A) ( E i 12–4.5) k rank(λ0E − A) = 2 ac 6= 0, 1 a, c wjkL 0, jk L 0, a, c x# 0, h b 6= 0 R, 0 a = b = c = 0 R. a ac 6= 0 R, A # 2 1 0 0 2 1 0 0 2 ; a, c wjkL 0, jk L 0, a, c x# 0, h b 6= 0 R, A # 2 0 0 0 2 1 0 0 2 ; a = b = c = 0 R, A # 2 0 0 0 2 0 0 0 2 . (2) A 3@AB ⇐⇒ a = b = c = 0. 3. !" A χA(λ) = λ 5 + λ 4 − 5λ 3 − λ 2 + 8λ − 4. > A &3T . P: χA(λ) = (λ − 1)3 (λ + 2)2 , a A 3Tl: (a) λ − 1, λ − 1, λ − 1, λ + 2, λ + 2; (b) (λ − 1)2 , λ − 1, λ + 2, λ + 2; (c) (λ − 1)3 , λ + 2, λ + 2; (d) λ − 1, λ − 1, λ − 1,(λ + 2)2 ; (e) (λ − 1)2 , λ − 1,(λ + 2)2 ; · 8 ·
(f)(-1)3,(+2)2 故A的可能的若尔当典范形为 10000 10000 11000 01000 01100 01100 100 00100 00100 000-20 000-20 000-20 0000-2 0000-2 0000-2 01000 00100 00100 00100 000-21 000-21 000-21 0000-2 0000-2 0000-2 *4.设矩阵A的秩为1.证明:A的若尔当典范形只可能为 如B=TrA≠0, 如TrA=0 证明由于A的秩等于1,因此JA的秩也等于1.故A的若尔当块中仅有一个的秩为1,其余的秩 都等于0.而秩为0的若尔当块就是一阶零矩阵(0),秩为1的若尔当块可能是一阶阵()或2阶若尔当 块 所以A的若尔当典范形只可能为 00 或 0 又因TrJA=TrA,即得所需结论 *5.利用上题的结论计算下列矩阵的行列式 0 a1 a2 02 T a0工1a2···an 正正a3 a1-正
(f) (λ − 1)3 ,(λ + 2)2 . A 3T l: 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 −2 0 0 0 0 0 −2 , 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 −2 0 0 0 0 0 −2 , 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 −2 0 0 0 0 0 −2 , 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 −2 1 0 0 0 0 −2 , 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 −2 1 0 0 0 0 −2 , 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 −2 1 0 0 0 0 −2 . ∗4. !" A l 1. 01: A 3Tl β 0 0 . . . 0 , 9 β = Tr A 6= 0, 0 1 0 0 0 . . . 0 , 9 Tr A = 0. NO: L A L 1, a JA L 1. A mwC&jk l 1, h. xL 0. k l 0 mr#jo!" (0), l 1 m3T#j" (β) 2 m µ 0 1 0 0 ¶ . H A 3Tl β 0 0 . . . 0 , 0 1 0 0 0 . . . 0 . y Tr JA = Tr A, Nq. ∗5. U=2iiu!"3u : (1) a1 x x · · · x x a2 x · · · x x x a3 · · · x . . . . . . . . . . . . . . . x x x · · · an , ai6=x, x6=0; (2) x0 a1 a2 · · · an a0 x1 a2 · · · an a0 a1 x2 · · · an . . . . . . . . . . . . . . . a0 a1 a2 · · · xn , xi6=ai . P: (1) |A|= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a1 − x . . . an − x + x 1 1 · · · 1 . . . . . . . . . . . . 1 1 · · · 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ · 9 ·
II(ai-E+x ∏(a-x)E+ 0 ∏(a1-x)1+ (2)同样的方法可得 4=I-a)1+∑20 6.设λ0为n阶矩阵A的一个特征值 no=rank E=n, nk=rank(X0E-A)k k=1.2. 如下表所示 n0 11 n2 n3 nA b1 b2 b3 证明:(1)矩阵A的属于特征值入的若尔当块的块数等于a1; (2)矩阵A的属于特征值λo的k阶若尔当块的块数等于b 证明:(1)由习题12-4.5立即可得 (2)由于n是矩阵的相似不变量,故所有的α,b也都是矩阵的相似不变量.设A的属于特征值入 的k阶若尔当块的块数为mk,而其余不属于特征值λo的各若尔当块的阶数之和为m,则 mk(k-1)+m, +m ∑m(k-n)+ 10
= Qn i=1 (ai − x) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ E + x 1 a1 − x · · · 1 a1 − x 1 a2 − x · · · 1 a2 − x . . . . . . . . . 1 an − x · · · 1 an − x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = Qn i=1 (ai − x) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ E + x Pn i=1 1 ai − x 0 0 . . . 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = Qn i=1 (ai − x) · 1 + Pn i=1 x ai − x ¸ . (2) ?@3N |A| = Yn i=0 (xi − ai) " 1 +Xn i=0 ai xi − ai # . ∗6. λ0 l n !" A jk. g n0 = rank E = n, nk = rank (λ0E − A) k , ak = nk−1 − nk, bk = ak − ak+1, k = 1, 2, · · · 9i : n0 n1 n2 n3 n4 · · · a1 a2 a3 a4 · · · b1 b2 b3 · · · 01: (1) !" A fL λ0 mm(L a1; (2) !" A fL λ0 k mm(L bk; NO: (1) i 12–4.5 3N. (2) L ni #!" , & ai , bi x#!" . A fL λ0 k mm(l mk, kh. fL λ0 m(? l m, = n0 = X k>1 mkk + m, n1 = X k>1 mk(k − 1) + m, n2 = X k>2 mk(k − 2) + m, · · · · · · · · · · · · · · · · · · nr = X k>r mk(k − r) + m, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 ·