《数学物理方法》课程教学资源（PPT课件）第二章 复变函数的积分

数学物理方法 复变函数的积分

数学物理方法 复变函数的积分

复变函数的积分 ■路积分 ■柯西定理 不定积分 ■柯西公式 ■本章小结

复变函数的积分 ◼ 路积分 ◼ 柯西定理 ◼ 不定积分 ◼ 柯西公式 ◼ 本章小结

路积分 ■路积分的概念和性质 实变函数 复变函数 定义n2k=1m/xxk=imn/ q04/k9=4 性质|[f+g=+|gLf+g!1=比+,gt 八h=/h上/k= f(z /4=+=L

路积分 ◼ 路积分的概念和性质 实变函数 复变函数 定义 性质 i n i i x b a f x dx f x x i =     →0 =1 ( ) ( ) lim i n i i z C f z dz f z z i =     →0 =1 ( ) ( ) lim   = b a b a cf (x)dx c f (x)dx   = C C cf (z)dz c f (z)dz    + = + b a b a b a [ f g]dx fdx gdx    + = + C C C [ f g]dz fdz gdz   = − a b b a f (x)dx f (x)dx   = − C C f (z)dz f (z)dz f dx f dx f dx b a b c c a   + = f dz f dz f dz C C C C + = 1 2 1 2

路积分 ■路积分的计算 思路 ·化复为实 公式I ∫cf(z)dz=∫c(u+iv)(dx+idy) Scludx-vdy)+ijc(udy+vdx) ■公式I Jc f(zdz=cu +iv(elopdr +i r elopdop) Sceiop[(udr-vrdop)+i(urda+vdr)]

路积分 ◼ 路积分的计算 ◼ 思路 • 化复为实 ◼ 公式I • ∫C f(z) dz = ∫C(u +iv)(dx +idy) • = ∫C(udx-vdy)+i∫C(udy+vdx) ◼ 公式II • ∫C f(z) dz = ∫C(u +iv)(eiφdr +i r eiφdφ) • = ∫C eiφ[(udr-vrdφ)+i(urdφ+vdr)]

路积分 例题1 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫czdz从O到B的定积分。 解: d+ =dz OAB B(2+1) iyd(y)+L(x+i)d(x+i) 22+×2)=2+2 22 x、 C(2) =(x+i)l(x+ cdc d z+ =dz +2i OCB B +03[xh=2+2

路积分 ◼ 例题1 • 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫Czdz从O到B的定积分。 解： zdz zdz zdz OAB OA AB    = + ( ) ( ) ( ) 2 0 1 0 = iyd iy + x +i d x +i   i 2i 2 3 2 2) 2 1 ( 2 1 2 = − +  +  = + ) 2 ) ( 2 ( 2 0 x d x i x zdz x i OB = + +   (1 i) xdx 2i 2 3 2 0 2 2 1 = + = +  zdz zdz zdz OCB OC CB    = + 2i 2 3 = +

路积分 ■例题2 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫cz2dz从O到B的定积分 解 d 2+ adz OAB A〔i) B(2+1) =[()2d(y)+(x+0)adx+) (2+11) x C(2) (x+i=)2d(x lOB n:i=[2:i+:=921 =(1+1)[xx=(2+)

路积分 ◼ 例题2 • 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫C z 2dz从O到B的定积分。 解： z dz z dz z dz OAB OA AB 2 2 2    = + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 1 0 = iy d iy + x +i d x +i   (2 11 ) 3 1 = + i ) 2 ) ( 2 ( 2 2 0 2 x d x i x z dz x i OB = + +   3 3 1 2 0 3 2 1 = (1+ i) xdx = (2+i)  z dz z dz z dz OCB OC CB 2 2 2    = + (2 11 ) 3 1 = + i

路积分 例题3 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫cRe(z)dz从O到B的定积 分 解: cdx= xdx+xdx AB OA AB A〔i) B(2+1) =0(y)+[xd(x+) C(2) xd= xd(x+ d=[x+[xb=2+2 OCB CB (1+10)xdx=2+i

路积分 ◼ 例题3 • 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫C Re(z) dz从O到B的定积 分。 解： xdz xdz xdz OAB OA AB    = + 0 ( ) ( ) 2 0 1 0 = d iy + xd x +i   = 2 ) 2 ( 2 0 x xdz x d x i OB = +   = + i xdx = +i  (1 ) 2 2 0 2 xdz xdz xdz 1 OCB OC CB    = + = 2+ 2i

路积分 ■例题4 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫z-dz从O到B的定积分。 解 dz= ede 兀l d =+ =dz+|=dz ABCD A(-1) B(a C(a) D(1)x d r+ e d e"+-dr d=[e"de=丌i

路积分 ◼ 例题4 • 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫z -1dz从O到B的定积分。 解：    i i AD z dz e de − −   = 0 1 = −i z dz z dz z dz z dz ABCD AB BC CD −1 −1 −1 −1     = + + dr r dr e de r a i i a 1 0 1 1 1    = + + −    = −i     i i AD z dz e de − −   = 2 1 =  i

柯西定理 ■积分规律的探究 归纳 B 如果函数f(z)在单连通区 域内解析,则路积分与路 径无关,完全由起点和终 点决定 猜想 如果函数f(z)在闭单连通 L2 区域B上解析,则沿B上 任一分段光滑闭合曲线/ 的路积分有 「f(=,他+ f(zdz=o fdz-.fd2=0 ■证明(见教材)

柯西定理 ◼ 积分规律的探究 ◼ 归纳 • 如果函数f(z)在单连通区 域内解析，则路积分与路 径无关，完全由起点和终 点决定。 ◼ 猜想 • 如果函数f(z)在闭单连通 区域B上解析，则沿B上 任一分段光滑闭合曲线 l 的路积分有：  = l f (z)dz 0 0 ( ) 1 2 1 2 = − = = +      L L l L L fdz fdz f z dz fdz fdz ◼ 证明（见教材）

柯西定理 ■推广 ■规律 闭复连通区域上的解析函数沿 外边界线逆时针积分等于沿所 有内边界线逆时针积分之和 公式 f(n=∑5f( L2 ■统一表述 解析函数沿所有边界线正向积 分为零; 起点和终点固定时,积分路径 在解析区域中连续变形不改变 路积分的值

柯西定理 ◼ 推广 ◼ 规律 • 闭复连通区域上的解析函数沿 外边界线逆时针积分等于沿所 有内边界线逆时针积分之和。 ◼ 公式    = i l l i f (z)dz f (z)dz ◼ 统一表述 • 解析函数沿所有边界线正向积 分为零； • 起点和终点固定时，积分路径 在解析区域中连续变形不改变 路积分的值