数学物理方法 傅立叶变换
数学物理方法 傅立叶变换
傅立叶变换 ■傅立叶级数 ■傅立叶变换 ■狄拉克函数 ■本章小结
傅立叶变换 ◼ 傅立叶级数 ◼ 傅立叶变换 ◼ 狄拉克函数 ◼ 本章小结
傅立叶级数 三角级数 定义 由周期为2n的正弦和余弦函数的线性组合而成的无穷级数 a+∑( a cosnx+ bn, sin nx) 基本函数族 组成:1,Cos(nx),sin(nx) 性质:任意两个在一个周期上的积分等于0,称为正交性; cosnxcosmxdx=0 sinnxs in mdx=0,n≠m cosnxsin mdx=0
傅立叶级数 ◼ 三角级数 ◼ 定义 • 由周期为2π的正弦和余弦函数的线性组合而成的无穷级数 = + + 1 2 0 1 ( cos sin ) n a an nx bn nx ◼ 基本函数族 • 组成：1，cos(nx)，sin(nx) • 性质：任意两个在一个周期上的积分等于0，称为正交性； nx mxdx = nx mxdx = n m − − cos cos 0， sin sin 0， cos sin = 0 − nx mxdx
傅立叶级数 ■傅立叶展开 ■傅立叶展开定理: 周期为2n的函数f(x)可以展开为三角级数 展开式系数为 f(xcos nxdx, b f(x)sin ndx ■狄利克雷收敛定理 收敛条件 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 在一个周期内至多只有有限个极值点。 收敛结果 当x是连续点时,级数收敛于该点的函数值; 当x是间断点时,级数收敛于该点左右极限的平均值
傅立叶级数 ◼ 傅立叶展开 ◼ 傅立叶展开定理： • 周期为2π的函数f(x)可以展开为三角级数， • 展开式系数为 − − = = a f x nxdx b f x nxdx n n ( )sin 1 ( ) cos , 1 ◼ 狄利克雷收敛定理 • 收敛条件 • 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点； • 在一个周期内至多只有有限个极值点。 • 收敛结果 • 当x是连续点时，级数收敛于该点的函数值； • 当x是间断点时，级数收敛于该点左右极限的平均值
傅立叶级数 ■展开举例 对称函数 °对奇函数:an=0,b f(x)sin ndx 对偶函数:an f(x)cos nxdx, b=0 典型周期函数(周期为2n) 函数 展开式 sgn(X) (4/n(sin x+ sin 3x/3 sin5X/5 +. 2(sin x-sin2X/2+ sin3x/3-sin4x/4+ sin5x5+. n/2-(4/n)(cosx+cos3x/32+cos5X/52+….)
傅立叶级数 ◼ 展开举例 • 对称函数 • 对奇函数： • 对偶函数： = = 0 ( )sin 2 a 0, b f x nxdx n n ( ) cos , 0 2 0 = = n nxdx bn a f x 函数 展开式 sgn(x) (4/π) (sin x + sin3x/3 + sin5x/5 +) x 2 (sin x − sin2x/2 + sin3x/3 − sin4x/4 + sin5x/5 +) |x| π/2 − (4/π)(cos x + cos3x/32 + cos5x/52 + ) • 典型周期函数(周期为2π)
傅立叶级数 ■傅立叶展开的意义: 理论意义:把复杂的周期函数用简单的三角级数表示; 应用意义:用三角函数之和近似表示复杂的周期函数 例如:对称方波的傅立叶展开 f(x) =+x/4,0<X+z -丌/4.-丌<x<0 ∑ sin(2n-1)x 2n-1 lim Sm(x)=f(x) n→)0
傅立叶级数 ◼ 傅立叶展开的意义： • 理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示； • 应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。 • 例如：对称方波的傅立叶展开 − − + + = / 4, 0 / 4, 0 ( ) x x f x = − − = m n m n n x S x 1 2 1 sin(2 1) ( ) lim S m (x) f (x) m = →
0.75 0.5 -0.25 0.25 S3 0.5 0.25 -0.25
-3 -2 -1 1 2 3 -1 -0.5 0.5 1 S1 -3 -2 -1 1 2 3 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 S2 -3 -2 -1 1 2 3 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 S3 -3 -2 -1 1 2 3 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 f
0.25 0.25 0.25 -0.5 0.75 0.5 0.25 0.25 -0.5 -0.5 OAA
-3 -2 -1 1 2 3 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 S6 -3 -2 -1 1 2 3 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 S12 -3 -2 -1 1 2 3 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 S24 -3 -2 -1 1 2 3 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 f
傅立叶级数 ■重要推广 推广1 问题:把周期为T=2L的函数f(t)的展开: 方法:对基本公式作变换x→nt/L, f(t=3ao+>(an cos" +bnsin n丌t f(t)cost L」L n丌t n f(tsin L
傅立叶级数 ◼ 重要推广 • 推广1： • 问题：把周期为T=2L的函数f(t)的展开： • 方法：对基本公式作变换x→πt/L， = = + + 1 2 0 1 ( ) ( cos sin ) n L n t L n n t f t a an b ( )cos , 1 − = L L L n t n f t dt L a − = L L L n t n f t dt L b ( )sin 1
傅立叶级数 ●推广2 °问题:把定义在[L,L]上的函数f(t)展开 方法:先把它延拓为周期函数(即把它当成是一个周期 为2L的函数的一部分), 再按推广1展开; 注意:所得到的级数仅在原定义范围中与f(t)一致。 延拓前 延拓后 人心八
傅立叶级数 • 推广2 • 问题：把定义在 [-L, L] 上的函数 f(t)展开； • 方法：先把它延拓为周期函数(即把它当成是一个周期 为2L的函数的一部分)， 再按推广1展开； • 注意：所得到的级数仅在原定义范围中与f(t)一致。 • 延拓前 • • 延拓后