《数学物理方法》课程教学资源（教案讲义）第二章 复变函数的积分

第二章复变函数的积分(3) 基本要求: 1.正确理解复变数函数路积分的概念; 2.深透理解科希定理及孤立奇点的定义; 3.理解并会熟练运用科希公式。 教学内容: §2.1.复数函数的积分,路积分及其与实变函数曲线积分的 联系。 §2.2.科希定理。科希定理的内容和应用,孤立奇点,单通 区域,复通区域,回路积分。 §2.3.不定积分*。原函数。 §2.4.科希公式。科希公式的导出,高阶导数的积分表达式。 (模数原理及刘维定理不作要求) 本章重点: 科希定理,科希公式和孤立奇点。 习题: §2.4.(第38页):1,2

 

    
  
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路积分 1、路积分的概念和性质 实变函数 复变函数 定义o=1m5x Lf(yd==limX/eXe, cf(=)de=cLf( 性质U+k了 [U+gk=[+ f(r)dx=-lf(xdx p(=k=[/(k +[=[ 2、路积分的计算 思路 化复为实 公式I ∫Cf(z)dz=∫C(u+i)(dx+idy) f C(udx-vdy+i f c(udy +vdx) 公式II ∫cf(z)dz=∫C(u+ⅳ)(eiφdr+ireiφd中) ∫ce种[(udr-vrdφ)+i(urd中+vdr)] 例题1 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫Czdz从O到B的定积分。 解: cdz (y)+(x+1)d(x+1)

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(×22+i×2)=2+2i Lmh=(x+2)(x+2 B2+i) (1+11)2[x=+2i 反=+22=+2 例题2 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫Cz2dz从O到B的定积 分 解: -d= dz+ =dc (y)d(y)+[(x+0)2d(x+) AG) B(2+i) (2+11 z2d=[(x+1-)d(x+1) (1+)3xx=3(2+ L=+。=t=(2+1) 例题3 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫CRe(2)dz从O到B的定 积分 解 xdr Od(iy) d(x+i) =2 xd- d(x+i (1+ 2+2i 例题4 沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫2-1dz从O到B的定积分

                     

  

         







 

   
  
  

   

  
    





      


   





     


                

                

  

         






         

      
   

  
     



 

  

解 d dz+=d2+ dz ∫+""+b A(-1) d 柯西定理 1、积分规律的探究 归纳 B 如果函数f(z)在单连通区域内解析, 则路积分与路径无关,完全由起点和终 点决定。 猜想 如果函数f(z)在闭单连通区域B上 解析,则沿旦上任一分段光滑闭合曲线 L2 的路积分有: f(=)d==0 币/()=+ 址-ft=0 L 证明(见教材) 2、推厂 规律 闭复连通区域上的解析函 数沿外边界线逆时针积分等于沿 所有内边界线逆时针积分之和 公式 L /()=∑f() 统一表述




    
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解析函数沿所有边界线正向积分为 零 起点和终点固定时,积分路径在 解析区域中连续变形不改变路积分的 值。 例题 计算积分 (二-a)"c (二-a)"dz 解: (re)d(re) 如a不在L内,I=0 当a在L内时, 0.n≠-1 如n≥0,I= =r"1:(n+1id-12xi,n=-1 如n<0,可以用柯西定理的推 三、不定积分 1、不定积分原函数 概念 上限为变量的路积分称为不定积分 分析 如被积函数f(z)在单连通区域B上解析,则不定积分单值 如被积函数f(z)在复连通区域B上解析,则不定积分多值 2、原函数 概念 如f(z)在单连通区域B上解析,则不定积分 F()=f(5)d5 在B上定义了一个单值解析函数,称为f(z)的原函数。 3、性质 设F(z)是f(z)的原函数,则F(z)=f(z) 如果允许相差一个任意常数,则不定积分可以写成 F(z)=∫f(z)dz 4、求原函数 在原函数存在的情况下,复积分与实积分只是变量不同,形式上没有任何区别,其原函数的 计算方法和结果与实数情况完全类似。 例如: ∫zdz=zn+/(n+1) ∫cos(z)dz=sin(z) ∫sin(z)dz=-cos(z) ∫exp(z)dz=exp(z)


     
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四、柯西公式 1、公式 如(z)在单连通闭区域B上解析,L为B的边界线,a为B内的任意一点,则 f(a)= 2、证明 f(=) d= lim f(=) d -a -+0JF-alsr--a f(atre reido=lim f(a+re")ido r f(a)ido=2xi f(a) 3、变形 4、推广 f() ∫()=2m(5-) f() f"()= 2mi1h(5-) 3.2rf(5) (二)= "()=n5 5、意义 解析函数的整体性:边界值完全决定内部值 解析函数的可导性:一次可导=>无限次可导 6、应用 理论上 模数原理:f(z)在闭区域解析,|f(z)|在边界上取最大值 刘维定理:全平面上有界的解析函数必为常数 计算上 简化路积分的计算 7、应用举例




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例1问题:计算回路积分 cosh 分析:与柯西公式比较,可知f(z)=cosh(z),a=-1 解:由柯西公式 ∫()d=2rif(a) h :2z+1 dz= 2Ticosh()=2TicoshI 例2问题:计算回路积分 6 sinh=a 分析:与推广的柯西公式比较,可知f(z)=sinh(z),a=0,n=1 解:由推广的柯西公式f(2)h=2r"o fu si-d:=2zisinh'(O) 2icosh0= 2Ti 本章小结 路积分 复变函数的路积分可分解为2个线积分 般情况下,路积分与积分路径有关 柯西定理 在单连通区域内解析,则路积分与路径无关,完全由起点和终点决定 在复连通区域内解析,则回路积分等于沿回路里所有内边界线积分之和。 柯西公式

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