《高等代数与解析几何》课程教学资源（习题解答）第七章 线性变换

习题解答 第七章线性变换 1.设V为n维线性空间,m1,m,…,m为V的一个基 n2+…+ (1)证明:a1,a2,……,an为V的一个基; 2)求由基m,m,…,m到基a1,a2,…,an的过渡矩阵 (3)设a在基m1,m2,…,mn下的坐标为(a1 an),求a在基a1,a2,…,an下的坐标 解:(1),(2)因为 n)=(E1,E2, 0 则T可逆,从而a1,a2,…,an为V的基,且由基E1,E2,…,En到基a1,a2,……,an的过渡矩阵为 (3)设 则 所以a在基a1,a2,…,an下的坐标为(a1;a2-a1,a3-a2,…,an-an-1) 2.在K4中,求由基E1,E2,E3,E4到基m1,m2,n3,n4的过渡矩阵,并求向量在所给基下的坐标 (1)1=(1,0,0,0),E2=(0,1,0.0),3=(0,0,1,0),∈4=(0,0,0,1); m1=(2,1,-1,1),m=(0,-1,1,0),nB=(-1,-1,2,1),n4=(2,1,1,3) s=(x1,x2,x3,x4)在m,m2,73,n4下的坐标; (2)∈1=(1,2,-1,0),E2=(1,-1,1,1),e3=(-1,2,1,1),4=(-1,-1,0,1); m=(2,1,0,1),m=(0,1,2,2),3=(-3,-1,-1,1),n=(1,3,1,2) 5=(1,0.0,0)在1,E2,E3,∈4下的坐标 ),e3=(1,-1,1,-1),E4=(1,-1, m=(1,1,0,1),m=(2,1,2,1),m3=(1,1,1,0),n=(0,1,-1,-1)

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7–1 1.  V  n  , η1, η2, · · · , ηn  V . α1 = η1 + η2 + · · · + ηn, α2 = η2 + · · · + ηn, · · · , αn = ηn (1) : α1, α2, · · · , αn  V ; (2)  η1, η2, · · · , ηn  α1, α2, · · · , αn ; (3)  α  η1, η2, · · · , ηn  (a1, a2, · · · , an),  α  α1, α2, · · · , αn . : (1), (2)  (α1, α2, · · · , αn) = (ε1, ε2, · · · , εn)   1 0 · · · 0 1 1 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 1 1 · · · 1   ,  T =   1 0 · · · 0 1 1 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 1 1 · · · 1   , T !", #$ α1, α2, · · · , αn  V , % ε1, ε2, · · · , εn  α1, α2, · · · , αn  T. (3)  α = (ε1, ε2, · · · , εn)   a1 . . . an   , α = (α1, α2, · · · , αn)A −1   a1 . . . an   , &' α  α1, α2, · · · , αn  (a1, a2 − a1, a3 − a2, · · · , an − an−1). 2.  K4 (,  ε1, ε2, ε3, ε4  η1, η2, η3, η4 , )*+ ξ &,. (1) ε1 = (1, 0, 0, 0), ε2 = (0, 1, 0, 0), ε3 = (0, 0, 1, 0), ε4 = (0, 0, 0, 1); η1 = (2, 1, −1, 1), η2 = (0, −1, 1, 0), η3 = (−1, −1, 2, 1), η4 = (2, 1, 1, 3); ξ = (x1, x2, x3, x4)  η1, η2, η3, η4 ; (2) ε1 = (1, 2, −1, 0), ε2 = (1, −1, 1, 1), ε3 = (−1, 2, 1, 1), ε4=(−1, −1, 0, 1); η1 = (2, 1, 0, 1), η2 = (0, 1, 2, 2), η3 = (−3, −1, −1, 1), η4 = (1, 3, 1, 2); ξ = (1, 0, 0, 0)  ε1, ε2, ε3, ε4 ; (3) ε1 = (1, 1, 1, 1), ε2 = (1, 1, −1, −1), ε3=(1, −1, 1, −1), ε4=(1, −1, −1, 1); η1 = (1, 1, 0, 1), η2 = (2, 1, 2, 1), η3 = (1, 1, 1, 0), η4 = (0, 1, −1, −1); · 1 ·

5=(1,0.,0,-1)在m,n,3,T4下的坐标 解:(1)T x1-5x2-573+4x4 1 133-2 x1+3x2+3x3-2x4 1001 (2)T 0101 在所给基下的坐标为 0020 363 3y-121-1在所给基下的坐标为-5 10-1-1 3.继上题(2),求一向量,它在基E1,E2,E3,E4下的坐标是在基m,m2,m3,74下的坐标的2倍 解:m+m2+n3+n=(0,4,2,6) 4.设K[]n表示由K[x中次数小于n的多项式组成的线性空间 f(x)=(x-a1)…(x-a1-1)(x-a1+1)…(x-an),i=1,…,n 其中a;∈K(i=1,2,…,n)为互不相同的数 (1)证明:f1(x),f2(x),…,fn(x)组成K[x]n的一个基 (2)取a1,a2,…,an为全体n次单位根,求由基1,x,x2,…,xn-1到基f1(x),f2(x),…,fn(x)的过 渡矩阵 解:(1)只要证f1(x),f2(x),……,fn(x)线性无关即可.设 kifi(a)+k2f2()+.+knfn(a)=0 分别以x=a1代入上式得 kf(a)=0. 因为f(a1)≠0,所以k=0,i=1,2,……,n.故f1(x),f2(x),…,fn(x)线性无关又因dimK[x]n=n,可 知f1(x),f2(x),…,fn(x)为K[x]n的基 (2)设全部n次单位根是1,e1,……,En-1.则 fi(a) -1+xn-2+E2xn-3+ 故所求过渡矩阵为 5.在K{中,记 (x)°=1,(x)=x,(x)=x(x-1)(x-2)…(x-k+1),k>1 1)求K[x]5中由基1,(x),(x)2,(x2)3,(x)4到基1,x,x2,x3,x4的过渡矩阵

ξ = (1, 0, 0, −1)  η1, η2, η3, η4 . : (1) T =   2 0 −1 2 1 −1 −1 1 −1 1 2 1 1 0 1 3   ,   y1 y2 y3 y4   = T −1   x1 x2 x3 x4   = 1 2   −1 −5 −5 4 2 0 2 −2 −2 −4 −4 4 1 3 3 −2     x1 x2 x3 x4   = 1 2   −x1 − 5x2 − 5x3 + 4x4 2x1 + 2x3 − 2x4 −2x1 − 4x2 − 4x3 + 4x4 x1 + 3x2 + 3x3 − 2x4   . (2) T =   1 0 0 1 1 1 −1 1 0 1 0 1 0 0 2 0   , ξ &, 1 13   3 5 −2 −3   . (3) T = 1 4   3 6 3 −1 1 0 1 3 −1 2 1 −1 1 0 −1 −1   , ξ &,   −2 4 −5 3   . 3. -./ (2), *+, 0 ε1, ε2, ε3, ε4 1 η1, η2, η3, η4  2 2. : η1 + η2 + η3 + η4 = (0, 4, 2, 6). 4.  K[x]n 34 K[x] (5678 n 9:;( ai ∈ K (i = 1, 2, · · · , n) ?@AB6. (1) : f1(x), f2(x), · · · , fn(x) 1 (1)  K[x]5 ( 1,hxi,hxi 2 ,hxi 3 ,hxi 4  1, x, x2 , x3 , x4 ; · 2 ·

(2)求K[x]中多项式f(x)=1+x+x2+x3+x4在基1,(x),(x)2,(x)3,(x)4下的坐标 (3)证明:∑{x k+1+1)k+1 (4)由此导出数列Dn=∑k4的通项公式 x2=0+x+x(x-1)=0+(x)+(x)2 r4=(x)+7(x)2+6(x)3+(x)4 故所求过渡矩阵为 10000 00001 (2)(1,4,11,7,1) (3)易知{x+1)k+1-(x)k+1=(k+1)(x).所以 k+1 k+1 k+1 ∑(a)+1 k+ (n+1)k+1-(0)k+1) k+1(m+1)k+1 (4)因为x4=(x)+7(x)2+6(x)3+(x)4,所以 +7(x)-+ 卫=0 x=0 4+(n+1)5 n(n+1)(2n+1)(3n2+3n-1) 1.给定K3的两个基 设为F3的线性变换使 Ei= ni (1)求由基1,E2,E3到基m1,m,73的过渡矩阵 2)求在基E1,E2,E3下的矩阵;

(2)  K[x]5 (9:; f(x) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4  1,hxi,hxi 2 ,hxi 3 ,hxi 4 ; ∗ (3) : Xn x=0 hxi k = 1 k + 1 hn + 1i k+1; ∗ (4) XYZ6[ Dn = Xn k=0 k 4 \:];. : (1) 1 = 1 x = hxi x 2 = 0 + x + x(x − 1) = 0 + hxi + hxi 2 x 3 = x + 3x(x − 1) + x(x − 1)(x − 2) = hxi + 3hxi 2 + hxi 3 x 4 = hxi + 7hxi 2 + 6hxi 3 + hxi 4 S& T =   1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 3 7 0 0 0 1 6 0 0 0 0 1   . (2) (1, 4, 11, 7, 1). (3) ^U hx + 1i k+1 − hxi k+1 = (k + 1)hxi k . &' Xn x=0 hxi k = 1 k + 1 Xn x=0 [hx + 1i k+1 − hxi k+1] = 1 k + 1 " nX +1 x=1 hxi k+1 − Xn x=0 hxi k+1# = 1 k + 1 (hn + 1i k+1 − h0i k+1) = 1 k + 1 hn + 1i k+1 . (4)  x 4 = hxi + 7hxi 2 + 6hxi 3 + hxi 4 , &' Dn = Xn x=0 x 4 = Xn x=0 ¡ hxi + 7hxi 2 + 6hxi 3 + hxi 4 ¢ = 1 2 hn + 1i 2 + 7 3 hn + 1i 3 + 6 4 hn + 1i 4 + 1 5 hn + 1i 5 = 1 30 n(n + 1)(2n + 1)(3n 2 + 3n − 1). ￾
7–2 1. ,_ K3 `: ε1 = (1, 1, −1), ε2 = (1, 0, −1), ε3 = (1, 1, 1), η1 = (1, −1, 2), η2 = (2, −1, 2), η3 = (−2, 1, 1).  A  K3  ab, c: Aεi = ηi i = 1, 2, 3. (1)  ε1, ε2, ε3  η1, η2, η3 ; (2)  A  ε1, ε2, ε3 ; · 3 ·

3)求在基m1,m2,n3下的矩阵 (4)设a=(2,-1,3),分别求a在基1,e2,E3与基m,m,3下的坐标 解:设K3标准基为51=(1,0,0),2=(0,1,0),53=(0.,0,1),令 111 B 则有 (e1,e2,E3)=(51,52,53)B,(m1,m2,n3)=(51,52,53)C. (1)由于(m,m2,m)=(51,52,53)C=(E1,E2,E3)B-C,故由基E1,E2,E3到基m,m,m3的过渡矩阵为 T=B-C (2)由于((1),w(=2),(3)=(m,m,m3)=(a1,E2,E3)B-C,故在基E1,E2,E3下的矩阵为 A=B-C=23 (3)设在基m,m,3下的矩阵为A,则 A'=T-AT=(B-C)-(B-C)(B-C)=B-C 3 (4)a基e1,E2,3与基m,m,73下的坐标分别为 与C- 因此a在基1,E2,E3下的坐标为 AB-I 1 2 在基m,m2,73下的坐标为 A'B-1 2.设A~C,B~D,证 证明存在可逆矩阵T,T2,使得 T1A71=C,T2-1Bn2=D, 因此T= 可逆,且 AT T 0 B 02B72 0 D 所以 C 0 3.设A可逆,证明:AB与BA相似

(3)  A  η1, η2, η3 ; (4)  α = (2, −1, 3), NO Aα  ε1, ε2, ε3 d η1, η2, η3 . :  K3 e ξ1 = (1, 0, 0), ξ2 = (0, 1, 0), ξ3 = (0, 0, 1), f B =   1 1 1 1 0 1 −1 −1 1   , C =   1 2 −2 −1 −1 1 2 2 1   , g (ε1, ε2, ε3) = (ξ1, ξ2, ξ3)B, (η1, η2, η3) = (ξ1, ξ2, ξ3)C. (1) 8 (η1, η2, η3) = (ξ1, ξ2, ξ3)C = (ε1, ε2, ε3)B−1C, S ε1, ε2, ε3  η1, η2, η3  T = B −1C =   − 5 2 −3 3 2 2 3 −3 3 2 2 − 1 2   . (2) 8 (A(ε1),A(ε2),A(ε3)) = (η1, η2, η3) = (ε1, ε2, ε3)B−1C, S A  ε1, ε2, ε3  A = B −1C =   − 5 2 −3 3 2 2 3 −3 3 2 2 − 1 2   . (3)  A  η1, η2, η3  A0 , A 0 = T −1AT = (B −1C) −1 (B −1C)(B −1C) = B −1C ==   − 5 2 −3 3 2 2 3 −3 3 2 2 − 1 2   . (4) α  ε1, ε2, ε3 d η1, η2, η3 NO B −1   2 −1 3   d C −1   2 −1 3   , X Aα  ε1, ε2, ε3  AB−1   2 −1 3   = 1 2   7 −11 −1   , A  η1, η2, η3  A 0B −1   2 −1 3   = 1 2   −7 6 5   . 2.  A ∼ C, B ∼ D, : µ A 0 0 B ¶ ∼ µ C 0 0 D ¶ . : h!" T1, T2, cR T −1 1 AT1 = C, T −1 2 BT2 = D, X T = µ T1 0 0 T2 ¶ !", % T −1 µ A 0 0 B ¶ T = µ T −1 1 AT1 0 0 T −1 2 BT2 ¶ = µ C 0 0 D ¶ . &' µ A 0 0 B ¶ ∼ µ C 0 0 D ¶ . 3.  A !", : AB d BA Ai. · 4 ·

证明:由于A-1(AB)A=BA,故AB~BA 4.设A可逆,且A~B,证明:B也可逆,且A-1~B-1 证明由于T,A皆可逆,所以B可逆,且 (T-47)-1=TAT 次A-1~B-1 设A~B,证明:A~BT 证明存在可逆矩阵T,使得T-1AT=B.故B=(T-14m)=TA1T-T 6.设A~B,f(x)∈K[x]证明:f(4)~f(B) 证明:存在可逆矩阵T,使得T-1AT=B.故 T-((A)T=f(T- AT)=f(B) 7.证明 其中(1,2,…,in)是(1,2,…,n)的一个排列 证明设V是n维线性空间,E1,……,En是V的基w为V的线性变换,定义为 E;=入2Et 则w在基E1,…,En下的矩阵为 A 由于(i1,i2,……,in)是(1,2,……,n)的一个排列,因此1,…,Ein仍为V的基,而 故W在基E1,…,En下的矩阵为 B 从而A~B 8.设A,B∈Mn(R),证明:如果存在可逆矩阵U∈Mn(C),使A=U-1BU,则必存在可逆矩阵 T∈Mn(R),使A=T-1BT 注:本题是下述结论的特例 设K,F是两个数域,其中F是K的扩域(即K≤F),A,B是数域K上的两个矩阵.如 果A,B在F上相似,则它们必在K上桕似 证明:设U=T1+i2,T1,T2∈Mn(R).则(1+i2)A=B(T1+讥2).又因A,B∈Mn(),可推出 T1A= BT1, 12A= BT2

: 8 A−1 (AB)A = BA, S AB ∼ BA. 4.  A !", % A ∼ B, : B j!", % A−1 ∼ B−1 . : 8 T, A k!", &' B !", % B −1 = (T −1AT) −1 = T AT −1 , S A−1 ∼ B−1 . 5.  A ∼ B, : AT ∼ BT. : h!" T, cR T −1AT = B. S BT = (T −1AT) T = T TATT −T. 6.  A ∼ B, f(x) ∈ K[x], : f(A) ∼ f(B). : h!" T, cR T −1AT = B. S T −1 (f(A))T = f(T −1AT) = f(B). 7. :   λ1 λ2 . . . λn   ∼   λi1 λi2 . . . λin   , >( (i1, i2, · · · , in) 1 (1, 2, · · · , n) l[. :  V 1 n  , ε1, · · · , εn 1 V . A  V  ab, _m Aεi = λiεi , A  ε1, · · · , εn  A =   λ1 λ2 . . . λn   . 8 (i1, i2, · · · , in) 1 (1, 2, · · · , n) l[, X εi1 , · · · , εin n V , $ Aεij = λij εij , j = 1, · · · , n. S A  εi1 , · · · , εin  B =   λi1 λi2 . . . λin   , #$ A ∼ B. 8.  A, B ∈ Mn(R), : oph!" U ∈ Mn(C), c A = U −1BU, qh!" T ∈ Mn(R), c A = T −1BT. r: stuvwxyz{|: } K, F u~￾
, F u K z
( K ⊆ F), A, B u￾
K z~. A, B  F  ,  K  . :  U = T1 + iT2, T1, T2 ∈ Mn(R). (T1 + iT2)A = B(T1 + iT2). T A, B ∈ Mn(R), !Z T1A = BT1, T2A = BT2. · 5 ·

明求f()=1+A2.由于f()={U≠0,由明f(不是到多项式,必有∈R使f(0)≠0.从而 T=T1+0T2可逆.由T1A=BT1,T2A=BT2可得TA=BT.故A=T-BT 9.设x,y,z∈K,令 A B 证明:A,B,C过此似 证明取渡换矩阵 010 001 P=0011,Q=100 010 则P,Q皆可逆,且 P AP=C, Q AQ=B, 所以A~B,A~C.由似关矩的阵在性,可得B~C. *10.证明: 0 1 00 0 00 证明设V是n维线性空间,e1,……,En是V的基为V的线性变换,定义为 ;=E1+E2+…+En 1,2 则在基E1,…,En下的矩阵为 A 又易知 a1=E1+E2+…+En,2=E1 仍为V的基且在基a1,…,an下的矩阵为 习题7-3 1.求下数坐上线性空间V的线性变换的标因则与标因向量,设在V的一个基下的矩阵是 (1)A (a≠0) (4)A

 f(λ) = |T1 + λT2|. 8 f(i) = |U| 6= 0,  f(λ) @19:;, qg λ0 ∈ R c f(λ0) 6= 0. #$ T = T1 + λ0T2 !".  T1A = BT1, T2A = BT2 !R T A = BT. S A = T −1BT. 9.  x, y, z ∈ K , f A =   x y z y z x z x y   , B =   z x y x y z y z x   , C =   y z x z x y x y z   . : A, B, C XAi. : Cb P =   0 1 0 0 0 1 1 0 0   , Q =   0 0 1 1 0 0 0 1 0   , P, Q k!", % P −1AP = C, Q−1AQ = B, &' A ∼ B, A ∼ C. AiL, !R B ∼ C. ∗10. :   1 1 · · · 1 1 1 · · · 1 . . . . . . . . . . . . 1 1 · · · 1   n ∼   n 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · 0   . :  V 1 n  , ε1, · · · , εn 1 V . A  V  ab, _m Aεi = ε1 + ε2 + · · · + εn, i = 1, 2, · · · , n. A  ε1, · · · , εn  A =   1 1 · · · 1 1 1 · · · 1 . . . . . . . . . . . . 1 1 · · · 1   n . T^U α1 = ε1 + ε2 + · · · + εn, α2 = ε1 − ε2, · · · , αn = ε1 − εn n V , % A  α1, · · · , αn  B =   n 0 · · · 0 0 0 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · 0   . #$ A ∼ B. ￾
7–3 1. 6.  V  ab A  d*+,  A  V 1: (1) A = µ 2 5 4 3 ¶ ; (2) A = µ 0 a −a 0 ¶ (a 6= 0); (3) A =   1 1 1 1 1 1 −1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 1   ; (4) A =   5 6 −3 −1 0 1 1 2 −1   ; · 6 ·

001 (5)A=010 20 100 430 (7)A 3-20 解:数字表示特征值,紧接在后的向量就是ⅵ应的一个特征向量 (1)7,(1,1);-2,(5,-4) (2)ai,(1,i);-ai,(i,1) (3)2,k(1,1,0.0)+l(1,0,1,0)+m(1,0,0,1);-2,(-1,1,1,1) (5)1,k(1,0,1)+l(0,1,0);-1,(-1,0,1) (6)-3,(1,1,1);2,(1,1,-4) (7)2,(0,0,1);1,(-1,1,8) 2.设λ1,λ是线性变换相的两个不同的特征值,ε1,ε2分别是相的属于特征值λ1,λ2的特征向量 证明:ε1+ε2不是相的特征向量 证明:(反证)如果1+ε2是相的属于某个特征值λ的特征向量,则 相∈1+2)=0(1+E2) 又相1+2)=柑1+椎2=A1E1+A22,所以 (A1-0)E1+(入2-0)2=0. 由A1≠A2可得=1,E线性无关,因此 得到A1=A0=入2,矛盾 3.证明:如果线性变换相以每个非零向量作为它的特征向量,则相为标量乘积变换 证明:设对某个非零向量a有相=ka,对另一个非零向量,有相=mB.如果k≠m,则根据 习题2的结论,α+β不是相的特征向量.如果a+β=0,则有祁=一相=-kα=k,与k≠m矛盾 因此α+β是非零向量,与题设矛盾 4.证明:AB与BA有同的特征值 证明:根据习题4-8的第4题,当|4|≠0,AC=CA时,有 a B C D =JAD-CB 因此 JAE-ABI 又因 0 EAE B\0 E E A E0八AE八(E0 B aE 两边取行列式,即得 E A ae B B AE 「此AB与BA有同的特征多项式,从而有同的特征值

(5) A =   0 0 1 0 1 0 1 0 0   ; (6) A =   0 −2 −1 −2 0 −1 −1 −3 1   ; (7) A =   4 3 0 −3 −2 0 2 −6 2   . : 6!34 , "#$*+%1A&*+. (1) 7, (1, 1); −2, (5, −4). (2) ai, (1, i); −ai, (i, 1). (3) 2, k(1, 1, 0, 0) + l(1, 0, 1, 0) + m(1, 0, 0, 1); −2, (−1, 1, 1, 1). (4) 2, (−2, 1, 0); 1 + √ 3, (−3, 1, −2 + √ 3); 1 − √ 3, (−3, 1, −2 − √ 3). (5) 1, k(1, 0, 1) + l(0, 1, 0); −1, (−1, 0, 1). (6) −3, (1, 1, 1); 2, (1, 1, −4). (7) 2, (0, 0, 1); 1, (−1, 1, 8). 2.  λ1, λ2 1 ab A `@B , ε1, ε2 NO1 A '8 λ1, λ2 *+. : ε1 + ε2 @1 A *+. : (() op ε1 + ε2 1 A '8) λ0 *+, A(ε1 + ε2) = λ0(ε1 + ε2). T A(ε1 + ε2) = Aε1 + Aε2 = λ1ε1 + λ2ε2, &' (λ1 − λ0)ε1 + (λ2 − λ0)ε2 = 0.  λ1 6= λ2 !R ε1, ε2 KL, X λ1 − λ0 = 0, λ2 − λ0 = 0, R λ1 = λ0 = λ2, *+. 3. : op ab A ',-*+.0*+, A +/0ab. : 1)-*+ α g Aα = kα, 12-*+ β, g Aβ = mβ. op k 6= m, H3 4/ 2 56, α + β @1 A *+. op α + β = 0, g Aβ = −Aα = −kα = kβ, d k 6= m *+. X α + β 1-*+, d/*+. 4. : AB d BA gAB . : H34/ 4–8 7 4 /, 8 |A| 6= 0, AC = CA 9, g ¯ ¯ ¯ ¯ A B C D ¯ ¯ ¯ ¯ = |AD − CB|. X ¯ ¯ ¯ ¯ λE B A E ¯ ¯ ¯ ¯ = |λE − AB|. T µ 0 E E 0 ¶ µ λE B A E ¶ µ 0 E E 0 ¶ = µ E A B λE ¶ , `:C;[;, MR ¯ ¯ ¯ ¯ E A B λE ¯ ¯ ¯ ¯ = |λE − BA| = ¯ ¯ ¯ ¯ λE B A E ¯ ¯ ¯ ¯ = |λE − AB|. X AB d BA gAB9:;, #$gAB . · 7 ·

5.证明:组成其得空间的互不变换的标因则(如有的相)只同是±1 证明:设α是以于互不变换的标因则λo的标因向量,则 0≠(a (a,a)=A6(a,a), 因此=1,A0=±1 6.证明:取到矩阵的标因则全为到 证明设a是以于取到矩阵A的标因则入的标因向量,则Aa=λoa.由于 可得=0,A0=0 7.设A=(a1,a2,…,an)∈R”(a1不全为到),求矩阵AA的标因则与标因向量 解:设a≠0.标因则0是所的标因向量是ay=(0,…,0.a1,…,-a,0,……,0) (=1,…,-1,+1,…,n的线性组全标因则∑a的标因向量是(a1,…,an 8.设A=(a1)∈Mn(K),体式 ainin aini 单为A的一个k位根体式令标因多项式 XA(入)=|AE-A|=An-a1-1+…+(-1)n-an-1A+(-1)nan 证明:ak只于A的全部k位根体式要无 证明:关AE一A的给 即分成两列 A与 则式列式|AE-4可分别为2个n位式列式要无其中给个式列式的列即是上代两入得式要 设Ak为故一又有k个λ的体式列式,其λ知于j,…,k列,部Ak记此k列展出,得 Ak=X·(-1) 其中Dn-k为在A中列去小j1,…,jk列、小,…,j式而得到的n-k位根体式.于此k个λ取遍n 位式列式中所有可同的k个位渡,则Dn-k且取遍所有C个根体式从而xA(A)中-k的矩数只于

5. : R ?@ab (ogA) IB1 ±1. :  α 1'8?@ab A  λ0 *+, 0 6= (α, α) = (Aα,Aα) = λ 2 0 (α, α), X λ 2 0 = 1, λ0 = ±1. 6. : C D. :  α 1'8C A  λ0 *+, Aα = λ0α. 8 0 = A kα = λ k 0α, !R λ k 0 = 0, λ0 = 0. 7.  A = (a1, a2, · · · , an) ∈ R n (ai @D),  ATA  d*+. :  ai 6= 0.   0 1 &    * + 1 αj = (0, · · · , 0,ai , · · · ,−aj , 0, · · · , 0) j i (j=1, · · · , i−1, i+1, · · · , n) (,;[;[M1.P`QR;J.  Ak STg k  λ E;[;, > λ U8 j1, · · · , jk [, V Ak WX k [YZ, R Ak = λ k · (−1)n−kDn−k, >( Dn−k  A ([\7 j1, · · · , jk [] 7 j1, · · · , jk ;$R n − k GHE;. 8X k  λ C^ n G;[;(&g!B k G, Dn−k %C^&g C k n HE;. #$ χA(λ) ( λ n−k 6I8 · 8 ·

(-1)乘以A的所有k阶主子式之和因此ak为A的所有k阶主子式之和 9.设A∈Mn(K).证明:存在K上的一个次数不超过n2的多项式f(x),使f(A)=0. 证明因为Mn(K)是K上n2维线性空间故E,A,A2,…,An2-1,A2线性关于是存在不全为 零的a1∈K,i=1,…,n2使得 令 f(a)=anan+an2-1rn-+.+a1r+a 则∫(A)=0 10.设A∈Mn(C).证明:存在可逆矩阵T∈GL(n,C),使T-1AT为上三角矩阵 证明:对π用数学归纳法.当n=1时结论自然成立.现设结论对n-1阶矩阵成立 设h是A的一个特征值,应的特征向量是a1∈Cn.把a1扩充成C"的基a1,a2,…,an.令 T1=(a1,a2,…,an),则T可逆,且 AT=T( 即T12AT1 入1 其中A1∈Mn-1(C).由归纳假设,存在可逆矩阵T2∈M-1(C),使得 T2141T2 0 令 0T2 .则T可逆,且 11.设A∈Mn(C),f(x)为一复系数多项式.证明:如果A的全部特征值为A1,λ2,……,λn,则f(A) 的全部特征值为f(A1),f(A2),…,f(An) 证明:由习题10,存在可逆矩阵T,使 λn是A的全部特征值.从而 T-f(A)T=f(T- AT)=f 0 所以f(A1),∫(λ2),…,∫(λn)为f(A)的全部特征值 习题7-4 1.习题73第一题中的矩阵,哪些是可以对角化的?在可对角化的情况下,求出应的过渡矩阵 和对角矩阵

(−1)k /' A &g k GHE;JK. X ak  A &g k GHE;JK. 9.  A ∈ Mn(K). : h K .56@_ n 2 9:; f(x), c f(A) = 0. :  Mn(K) 1 K . n 2  , S E, A, A2 , · · · , An 2−1 , An 2 AL. 81h@D  ai ∈ K, i = 1, · · · , n2 cR a0E + a1A + · · · + an2−1A n 2−1 + an2A n 2 = 0. f f(x) = an2 x n 2 + an2−1x n 2−1 + · · · + a1x + a0, f(A) = 0. ∗10.  A ∈ Mn(C). : h!" T ∈ GL(n, C), c T −1AT .`a. : 1 n b6cdef. 8 n = 1 956gh=i. j561 n − 1 G=i.  λ1 1 A  , A&*+1 α1 ∈ C n. L α1 kl= C n  α1, α2, · · · , αn. f T1 = (α1, α2, · · · , αn), T1 !", % AT1 = T1 µ λ1 ∗ 0 A1 ¶ , M T −1 1 AT1 = µ λ1 ∗ 0 A1 ¶ , >( A1 ∈ Mn−1(C). dem, h!" T2 ∈ Mn−1(C), cR T −1 2 A1T2 =   λ2 ∗ . . . 0 λn   , f T = T1 µ 1 0 0 T2 ¶ , T !", % T −1AT =   λ1 ∗ . . . 0 λn   . 11.  A ∈ Mn(C), f(x) 69:;. : op A DV  λ1, λ2, · · · , λn, f(A) DV  f(λ1), f(λ2), · · · , f(λn). : 4/ 10, h!" T, c T −1AT =   λ1 ∗ λ2 . . . 0 λn   , X> λ1, · · · , λn 1 A DV . #$ T −1 f(A)T = f(T −1AT) = f     λ1 ∗ λ2 . . . 0 λn     =   f(λ1) ∗ f(λ2) . . . 0 f(λn)   . &' f(λ1), f(λ2), · · · , f(λn)  f(A) DV . ￾
7–4 1. 4/ 7–3 7/(, no1!'1ap? !1apqr, ZA& K1a. · 9 ·

扩:(1) T-l AT=diag(7, -2 (2)T ) T-1AT=diag(ai, -ai) 1100 (3) 010 T-1AT=diag(-2,2,2,2) T-AT=diag(2,1+√3,1-√3) 10 (5)T=001|,T-1T=dag(-1,,1 110 (6),(7)不字是变果 2.在Kxn反,求微分变换: (f(x)=f(x) 则标因时边行,某推明:彡在故何它们必下则矩阵即不字同对是变矩阵 扩:取K[x]n则必1,x,x2,…,x-1.值%在此们必下则矩阵对 002 接后则标因时边行阵ⅹD(A)=A.如果字是变果,值存在字紧矩阵T使得T1AT=0,即D=0 后不对到变换,向量 3.矩A∈Mn(K),推明:如果 rank a+rank(A-E)=n,值A字是变果 其中:由示乘4813知, rank a+rank(A-E)=n则充分必要条件对A2=A.即是A则故它列矛 盾a有Aa=a.又A(A-E)=0,故是A-E则故它列矛盾β有AB=0. 矩A则列矛盾组则极大无关组阵a1,…,ar,A-E则极大无关列矛盾组阵1,……,An-r(征阵 ankA+rank(A-E)=n).下推a1,…,ar,1,……,An-r果在无关 矩有 ka1+∑m3=0 ∑kAn1+∑m4=∑kAn;=∑ka1=0. 当对k1=…=kr=0,进后m1 mn-r=0.应属a1,……,ar,B1,……,Bn-r果在无关 令T=(a1,……,ar,1,…,An-r),值T字紧,就 AT=A(a1,……,ar,B1,…,An-r)=(a1,…,ar,月1,…,A-r) 00 AT=T 10

: (1) T = µ 1 5 1 −4 ¶ , T −1AT = diag(7, −2). (2) T = µ 1 i i 1 ¶ , T −1AT = diag(ai, −ai). (3) T =   −1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1   , T −1AT = diag(−2, 2, 2, 2). (4) T =   −2 −3 −3 1 1 1 0 −2 + √ 3 −2 − √ 3  , T −1AT = diag(2, 1 + √ 3, 1 − √ 3). (5) T =   −1 1 0 0 0 1 1 1 0  , T −1AT = diag(−1, 1, 1). (6), (7) @!1ap. 2.  K[x]n (, sNab D: D(f(x)) = f 0 (x) 9:;, ): D StM@!B11a. : C K[x]n  1, x, x2 , · · · , xn−1 . D X1 D =   0 1 0 · · · 0 0 0 2 · · · 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 0   . #$ D 9:; χD(λ) = λ n. op D !1ap, h!" T cR T −1AT = 0, M D = 0, $ D @1ab, *+. ∗3.  A ∈ Mn(K), : op rank A + rank(A − E) = n, A !1ap. : 4/ 4–8.13 U, rank A + rank(A − E) = n lNqJuv1 A2 = A. M1 A S[* + α g Aα = α. T A(A − E) = 0, S1 A − E S[*+ β g Aβ = 0.  A [*+<wxKL< α1, · · · , αr, A − E wxKL[*+< β1, · · · , βn−r ( rank A + rank(A − E) = n).  α1, · · · , αr, β1, · · · , βn−r KL. g Xr i=1 kiαi + nX−r j=1 mjβj = 0. Xr i=1 kiAαi + nX−r j=1 mjAβj = Xr i=1 kiAαi = Xr i=1 kiαi = 0. 81 k1 = · · · = kr = 0, y$ m1 = · · · = mn−r = 0. &' α1, · · · , αr, β1, · · · , βn−r KL. f T = (α1, · · · , αr, β1, · · · , βn−r), T !", % AT = A(α1, · · · , αr, β1, · · · , βn−r) = (α1, · · · , αr, β1, · · · , βn−r) µ Er 0 0 0 ¶ , M AT = T µ Er 0 0 0 ¶ , · 10 ·