《数学物理方法》课程教学资源（教案讲义）第四章 留数定理

第四章留数定理(3) 基本要求: 1.掌握留数定理,了解留数的计算方法; 2.应用留数定理计算实变函数的定积分。 教学内容: §4.1.留数定理。留数定理概念,计算留数的一般方法,判断极点的 阶,极点留数的计算方法,例13。 §4.2.应用留数定理计算实变函数的定积分。类型一,类型二。 本章重点: 留数定理及其计算方法。 习题: §4.1.(第71页):1(1)(3)(5)(7)(9),2(1)(2)(3),3 §4.2.(第8182页)1(1)(2)(5)(),2(3)(4)(6),3(2) (4)(6)(8) 24


 
  
    
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、留数定理 1、留数引入 问题:如何高效地计算解析函数的围道积分? 方法:由复连通域柯西定理,解析函数的围道积分等于沿围道 内奇点邻域积分之和。 2、定性定义 复函数f(z)在z=z0的邻域围道积分的结果 当z0为f(z)的解析点时,结果为零,什么都没留下; 当z0为f(z)的孤立奇点时,结果通常为一个非零值 3、定量定义 ResJ(-0)-2mi1=-==g 4、留数的计算 般情况 孤立奇点的留数等于在该点邻域罗朗展开的负一次项的系数; Res f(b)=a-1 证明 f(=) Res f(b) f(=i: 2Ti J=-bl= ∑m-an5(=-b 极点情况 m阶极点的留数由下面的公式确定 Resf(b)=lim_Idm-l [(二-b)mf(二) →+b(m-1)!d 证明


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f(-)=am(-b)m+am+(2-b)m+…+a1(-b)+a0+a1(-b)+ (z-b)f(x)=an+anm(x-b)+…+a1(2-b)m+an(x-b)+a1(-b)m+ dm(25()=0+(m-aM((m+ a1(=-b) 单极点情况 单极点的留数由下面的公式确定 es∫(b)=lim[(-b)f(=) 如果f(z)为分式,即f(z)=P(2)/Q(z),P(b)≠0,则有 Res f(b)=lim( -b)P(=) (二-b)P(=)P(b) =im :+b 0() 0(6) 例1 问题:计算函数f(z)=z2exp(1/z)的留数。 解:f(z)有一个孤立奇点z=0,是本性奇点,在该点罗朗展开 Res f(o)=a-I=3 例2 问题:计算函数f(z)=sin(z)(z-)2的留数 解:f(z)有一个孤立奇点z=1,是2阶极点,应用公式 ln,1d3[(-1)f() Res f(=lim 1! dz 例3 问题:计算函数f(z)=exp(z)/[z(2-1)]的留数。 解:f(z)有两个孤立奇点z=0,1,都是1阶极点,应用公式 esf(1)=lim(二-1)f(=) limexp(a)/==e Res f(o)=lim:f(=) exp(=)/(-1) 又解:也可以用单极点的简化公式 Res f(b)=P() p(b) Q(=)2b-1


              


 
   
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5、留数定理 定理 设函数f(z)在回路L所围区域B内除有限个孤立奇点b b2,…,bn外解析,在对应的闭区域上除b1,b2,,bn外连续,则 /cx=2n∑ Res f(b) 应用步骤 确定回路L内的孤立奇点; 判断留数定理的条件是否满足; 计算各孤立奇点的留数 代入定理。 、留数定理的应用 1、基本应用 例题1:计算下列回路积分= d 解:奇点为 2i±√4+4g2 1千√1-g2 =+k1,|二-卜1 Resf(x,)=262.+22( =2 i Res(2)=2n/-/ 2.实变函数的定积分 2.1基本思想 变形法:变线段为封闭曲线; 辅助线法:加辅助线使线段封闭。 2.2类型 被积函数是三角函数的有理式 R(coS x, sin x )dx

 

   
 
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二=e→c0sx=(+2),sinx=(---) -= 2 例题2:计算下列定积分 dx,Ek1 1+ssin 解:作变量变换 dz e→I 1+8(=-=-)/2i iz 2dc 2iz+E(2-1) 2.3类型二 被积函数是有理分式的广义积分=f(x) 其中 分母在实轴上没有零点; 分母比分子高两次或以上。 则 证明: 例题3:计算下列定积分= d x (1+x2)(4+x2 解:被积函数是有理式,分母比分子高4次,在实轴无零点, 满足定理的条件 上半平面内有单极点z=i和z=2i,对应的留数分别为: 1/(1+ Res(o 12 6 2.4类型二的推广I

        
   
        

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被积函数是有理分式的广义积分/=fxk 其中: 分母在实轴上有一阶零点 分母比分子高两次或以上。 则 =2i f()+∑Ref(z) 例题4:计算下列定积分l= dx (4+x2)(x-1 解:被积函数是有理式,分母比分子高3次,在实轴有一阶零点, 满足定理的推广条件。 上半平面有单极点z=2i,实轴有单极点z=1,对应留数 Res(2i) (2i+1) 4(2i-1 201 Res(1) 1/(4+ =2ri( +×) 2.5类型二的推广II 被积函数是广义积分=fx)lmr,m>0 其中:fx)为有理式 分母在实轴上没有零点 分母比分子高一次或以上 则 =2xz∑0Resf(=,)em 证明 例题5:计算下列定积分|= cos mx dx x2+25 解:上面的积分可以化为标准形式 cos mx dx 被积函数满足定理的条件,上半平面内有单极点z=5i,对应的留数 为

  

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Resf(5i) 10i 2.6类型二的推广II 被积函数是广义积分1=。f(x)-k,m>0 其中:f(x)为有理式 分母在实轴上有一阶零点; 分母比分子高一次或以上 =2zi{} 例题6:计算下列定积分/=.2 本章小结 概念 留数:回路积分留下的数薮; 计算 单极点 般极点 般孤立奇点 应用 直接应用 计算回路积分; 间接应用 计算三角有理式的积分 计算有理式的广义积分及其推广

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