《数学物理方法》课程教学资源（PPT课件）第八章 分离变数法

数学物理方法 第八章分离变数法

数学物理方法 第八章 分离变数法

分离变数法 齐次演化问题的求解 齐次稳定场问题的求解 ■非齐次问题的求解 ■多变量推广 本章小结

分离变数法 n 齐次演化问题的求解 n 齐次稳定场问题的求解 n 非齐次问题的求解 n 多变量推广 n 本章小结

齐次演化问题的求解 ■定解问题的求解思路II ■原则:化未知为已知 ■方法:分析和综合 ■步骤:分偏为常,分别求解,合成定解 典型问题的求解 分析过程 例题 其它问题的求解 ■边界条件的变化 ■泛定方程的变化

齐次演化问题的求解 n 定解问题的求解思路 II n 原则：化未知为已知 n 方法：分析和综合 n 步骤：分偏为常，分别求解，合成定解 n 典型问题的求解 n 分析过程 n 例题 n 其它问题的求解 n 边界条件的变化 n 泛定方程的变化

典型问题的求解 u,=au.0<x<L 定解问题 uro=0, urL=0 l=0=(x 未知函数分离(x)=X(x)() TX=aTX 。泛定方程分离a7x=ax T"/(a27)=X"/X=-4=-02 7(1)X(0)=7()X(L)=0 边界条件分离X(0)=X()=0 分离结果 X"+o2X=0 T"+a2a2T=0 X(0)=X(L)=0

典型问题的求解 n 定解问题               | ( ) | 0, | 0 , 0 0 0 2 u x u u u a u x L t x x L t xx  u(x,t)  X (x)T(t) (0) ( ) 0 ( ) (0) ( ) ( ) 0     X X L T t X T t X L 2 2 2 2 2 2 '/( ) "/ ' " ' "        T a T X X a TX a TX a TX T X T X a TX l 未知函数分离 l 泛定方程分离 l 边界条件分离 l 分离结果 ' 0 (0) ( ) 0 " 0 2 2 2           T a T X X L X X  

典型问题的求解 分离结果的求解1x0=XCD=0 T"+a2T=0 X(x)=Ccos ox+Dsin ox 。空间方程解出X0)=C=0 X(L=DsinOL=0 非零解条件 sinO=o OL=kx→=kr/L、k∈N 非零解 Xk(x)=sin @kx, Ok=kT/L 。时间方程解出7(0)=4exp(o2a2

典型问题的求解 ( ) exp( ) 2 2 T t A a t k  k k ( ) sin 0 (0) 0 ( ) cos sin       X L D L X C X x C x D x    Xk (x)  sink x,k  k / L L k k L k N L      / , sin 0      l 空间方程解出 l 非零解条件 l 非零解 l 时间方程解出 l 分离结果的求解 ' 0 (0) ( ) 0 " 0 2 2 2           T a T X X L X X  

典型问题的求解 分离结果的合成(x,)=Xk(x)7k(0)=4exp(-a2o2) SioUx 。再合成半通解=∑(x1)=2a14smox 初始条件要求 (x)=∑ Ak sinKo 系数的确定 Ak p(x)sin @kxdx 过程小结 分离变量——分别求解合成半通解——由初始条件确定系数

典型问题的求解 u x t X x T t A a t x k k k k k k ( , ) ( ) ( ) exp( )sin 2 2    x A x  k k ( ) sin          1 1 ( , ) sin 2 2 k k a t k k k u u x t A e x k   l 初始条件要求 l 分离结果的合成 l 再合成半通解 l 系数的确定 x xdx L A k L k ( )sin 2 0  l 过程小结 l分离变量——分别求解——合成半通解——由初始条件确定系数

l=0=9(x) 0 0 分离变量流程 =7(t)X(x)X0=X(D)=0 T"(an)=/X=-1 T+awT=o 12X=0 图 T=Aexpaw't X=sinox.o L (t)X(x) u=u(x, t) ∑ T,X

分 离 变 量 流 程 图 t xx u a u 2 u | t0(x)  u |x0 u |xL 0 u T(t)X(x) X(0)X(L)0 T '/(a T)X"/X  2 ' 0 2 2 T a w T  " 0 2 X w X  exp( ) 2 2 T  A a w t L k X x  sin , u T (t)X (x) k  k k u  u(x,t) u   Tk X k

典型问题的求解 L1-a2un=0,02=0

典型问题的求解 n 例题1                 | sin ( cos ) | 0, | 0 0, 0 0 0 2 u x A B x u u u a u x t x x t xx   Xk  sin(kx),Tk  Ak exp(k a t), k N 2 2            (0) ( ) 0 " 0 ' 0, ( , ) ( ) ( ) 2 2 2    X X X X T a T u x t X x T t , , 0 sin sin 2 sin sin 2 sin 3 sin ( cos ) sin 2 2 1 1 2 2 1 2 3 1             k k A A A B A A x B x A x A x A x x A B x A kx       1 2 2 exp( )sin k k u A k a t kx l 代入初始条件 l 分离变量 l 分别求解 l 合成半通解

第二类边界条件 u, -au=0.0<x<L 定解问题=0,21=0 l=0=9(x) 未知函数分离v(x.)=X(x)T(t) 泛定方程分离T/(a27)=X"/X=-2 边界条件分离X(O)=X(L)=0 X=cos(wx), w=kT /L, k=0, 1, 2, .,=w 本征运动 Tk=Ak exp(wkat) 半通解 T+∑T4()X2(x) 初始条件要求x)=4+∑4X(x)

第二类边界条件 n 定解问题                | ( ) | 0, | 0 0, 0 0 0 2 u x u u u a u x L t x x x x L t xx  exp( ) cos( ), / , 0,1,2, , 2 2 2 T A w a t X wx w k L k w k  k  k        u(x,t)  X (x)T(t) X '(0)  X '(L)  0 T'/(a T)  X"/ X   2 ( )   ( ) 0 x A A X x  k k      1 0 ( ) ( ) k k k u T T t X x l 初始条件要求 l 未知函数分离 l 泛定方程分离 l 边界条件分离 l 本征运动 l 半通解

典型问题的求解 l-a2un=0,0<x<丌 例题2 0 0 A COS X u(x, *)=X(xr(t) 分离变量 X"+2X=0 T"+a2o2T=0, X"(0)=X"()=0 分别求解 Xk =cos(hr), k=Ak exp(kab), kEN X0=1,70=A 合成半通解=∑4cp(-k2)ck cos x 4k COS KX 代入初始条件 2A+2 Acos 2x=A0+ A, cos x+ A2 cos 2x+ A] cos 3x+ 4=A,A2=1A,41=A

典型问题的求解 n 例题2                u A x u u u a u x t x x x x t xx 2 0 0 2 | cos | 0, | 0 0, 0   0 0 0 2 2 1,cos( ), exp( ), X T A Xk kx Tk Ak k a t k N                  '(0) '( ) 0 " 0 ' 0, ( , ) ( ) ( ) 2 2 2    X X X X T a T u x t X x T t , , 0 cos2 cos cos2 cos3 cos cos 2 1 2 1 2 2 1 0 2 0 1 2 3 1 2 1 0 2                k k k A A A A A A A A x A A x A x A x A x A kx       0 2 2 exp( ) cos k k u A k a t kx l 代入初始条件 l 分离变量 l 分别求解 l 合成半通解