高等数学复习公式 高等数学公式 导数公式 (arcsin x) (ctg) (a)=a In a 1+x xIn 基本积分表: tend In +c dx=tgx+C ctgrdr=In/sin x+C C +tgx Tcsc xdx=In/cscx-ctg+C Secx·lgxx=secx+C cscx· ctga=-cscx+C =-arctg dx +c In a C 2 chxdx= shx+C √a2-x2 arcsin -+C ln(x+√x2±a2)+C n= [sin"xdr-」syr=1 ln(x+√x2+a2)+C x csin -+C 三角函数的有理式积分: edu SInx= cosx= u=1g- l 第1页共18页
催ㄝ᭄ᄺд݀ᓣ 裎 1 义 簱 18 义 催ㄝ᭄ᄺ݀ᓣ ᇐ᭄݀ᓣ˖ ᴀ⿃ߚ㸼˖ ϝ㾦ߑ᭄ⱘ᳝⧚ᓣ⿃ߚ˖ 2 2 2 2 1 2 1 2 1 cos 1 2 sin u du dx x u tg u u x u u x ˈǂ ˈǂ ˈǂ x a x a a a x x ctgx x x tgx ctgx x tgx x a x x ln 1 (log ) ( ) ln (csc ) csc (sec ) sec ( ) csc ( ) sec 2 2 c c c c c c 2 2 2 2 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 1 (arccos ) 1 1 (arcsin ) x arcctgx x arctgx x x x x c c c c ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ r r x x a C x a dx chxdx shx C shxdx chx C C a a a dx x ctgxdx x C x tgxdx x C xdx ctgx C x dx xdx tgx C x dx x x ln( ) ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x a x dx C a x a x a x a dx C x a x a x a a dx C a x arctg a x a dx xdx x ctgx C xdx x tgx C ctgxdx x C tgxdx x C ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ ³ arcsin ln 2 1 ln 2 1 1 csc ln csc sec ln sec ln sin ln cos 2 2 2 2 2 2 2 2 ³ ³ ³ ³ ³ C a a x a x x a x dx x x a C a x a x x a dx x x a C a x a x x a dx I n n I xdx xdx n n n n arcsin 2 2 ln 2 2 ln( ) 2 2 1 sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 S S Click to buy NOW! PDF-XChange www.docu-track.com Click to buy NOW! PDF-XChange www.docu-track.com
高等数学复习公式 些初等函数: 两个重要极限 sIn x 双曲正弦:shx 双曲余弦:chx= lm(1+-)=e=2718281828459045 双曲正切; Thr shx el-e arshx=ln(x+√x2+1) arche=±ln(x+√x2-1) arth=-In- 三角函数公式 ·诱导公式: 函数 角A -sina cosa - -ctg cOSa -sIna 1800-a sina -cosa-tga-ctga 180°+a -cost tga 270-a-cosa -sina ctgatga 270°+a 360°+ a sina cosa tga ctga 和差角公式: 和差化积公式 sin(a+B)=sin a cos B+cosa sin p sin a+sin B=2sin a+B a-B cOS cos(a+B)=cosa cos B Sina sin B ga±1gB sin a-sin B=2cos g(a±β) 2 1+tga. tgB c(a±B)= gacigB+1 cosa+cos B=2cos a+B a-B cgB±cga cosa-cos B=2sin B. a-B 第2页共18页
催ㄝ᭄ᄺд݀ᓣ 裎 2 义 簱 18 义 ϔѯ߱ㄝߑ᭄˖ ϸϾ䞡㽕ᵕ䰤˖ ϝ㾦ߑ᭄݀ᓣ˖ g䇅ᇐ݀ᓣ˖ ᭄ߑ 㾦 A sin cos tg ctg Į -sinĮ cosĮ -tgĮ -ctgĮ 90°-Į cosĮ sinĮ ctgĮ tgĮ 90°+Į cosĮ -sinĮ -ctgĮ -tgĮ 180°-Į sinĮ -cosĮ -tgĮ -ctgĮ 180°+Į -sinĮ -cosĮ tgĮ ctgĮ 270°-Į -cosĮ -sinĮ ctgĮ tgĮ 270°+Į -cosĮ sinĮ -ctgĮ -tgĮ 360°-Į -sinĮ cosĮ -tgĮ -ctgĮ 360°+Į sinĮ cosĮ tgĮ ctgĮ gᏂ㾦݀ᓣ˖ ·Ꮒ࣪݀鳥ᓣ˖ 2 sin 2 cos cos 2sin 2 cos 2 cos cos 2cos 2 sin 2 sin sin 2cos 2 cos 2 sin sin 2sin D E D E D E D E D E D E D E D E D E D E D E D E E D D E D E D E D E D E D E D E D E D E D E D E ctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg r r r r r r r 1 ( ) 1 ( ) cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin # # # x x arthx archx x x arshx x x e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x r 1 1 ln 2 1 ln( 1) ln( 1 : 2 : 2 : 2 2 ˅ ঠ᳆ℷߛ ঠ᳆ԭᓺ ঠ᳆ℷᓺ ) 2.718281828459045... 1 lim(1 1 sin lim 0 of o e x x x x x x Click to buy NOW! PDF-XChange www.docu-track.com Click to buy NOW! PDF-XChange www.docu-track.com
高等数学复习公式 倍角公式: sin 2a =2 sin a cosa cos 2a =2cos2a-1=1-2 sin a= cos2a-sin a sin 3a=3sin a-4sin'a cos 3a=4 cos'a-3cosa a g30 2ts 1-3g 1g 2a 1-g2a g ·半角公式: 1+cos 2 2 I-cosa 1-cosa sin a 1+cosa 1+cosa sin( V1+cosa sin a 1+cosa cg=土 cosa sIn a cosa b 正弦定理: n A sin B sInC S2R 余弦定理:c2=a2+b2-2 abcosc 反三角函数性质: arcsin x=- arccos arctex=--arcctex 高阶导数公式—莱布尼兹(Lebn|z)公式: (m)=∑Cnny" =uv+nu (n-1)y2+ n(n-1) n(n-1)…(n-k+1),(n-k)、++n 中值定理与导数应用: 拉格朗日中值定理:∫(b)-f(a)=f()(b-a) 柯西中值定理:(b)-(a)= F(b)-F(a)F'(2) F(x)=x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理 曲率 弧微分公式:d=1+y2d,其中y=g 平均曲率=(A:从M点到M点,切线斜率的倾角变化量;As:M弧狐长 M点的曲率:K=lim 直线:K=0 半径为a的圆:K 第3页共18页
催ㄝ᭄ᄺд݀ᓣ 裎 3 义 簱 18 义 gס㾦݀ᓣ˖ gञ㾦݀ᓣ˖ D D D D D D D D D D D D D D D D D D 1 cos sin sin 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 2 sin sin 1 cos 1 cos 1 cos 2 2 1 cos 2 cos 2 1 cos 2 sin r r r r tg ǂǂctg ǂǂǂǂǂǂǂǂǂǂǂǂ gℷᓺᅮ⧚˖ R C c B b A a 2 sin sin sin gԭᓺᅮ⧚˖c a b 2abcosC 2 2 2 gডϝ㾦ߑ᭄ᗻ䋼˖ x x arctgx arcctgx 2 arccos 2 arcsin S S ǂǂǂ 催䰊ᇐ᭄݀ᓣ——㦅Ꮧሐݍ˄Leibniz˅݀ᓣ˖ ( ) ( 1) ( 2) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) ( ) n n n n k k n n k k n k k n n u v uv k n n n k u v n n u v nu v uv C u v cc c ¦ Ёؐᅮ⧚Ϣᇐ᭄ᑨ⫼˖ ᔧ ᯊˈ᷃㽓Ёؐᅮ⧚ህᰃᢝḐᳫ᮹Ёؐᅮ⧚DŽ ᷃㽓Ёؐᅮ⧚˖ ᢝḐᳫ᮹Ёؐᅮ⧚˖ x x F f F b F a f b f a f b f a f b a c c c F( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ [ [ ᳆⥛˖ . 1 0; . (1 ) M lim . : M M s 1 , 0 2 3 2 a a K K y y ds d s K MM s K ds y dx y tg s c cc ' ' ' c ' c ' ' c c ' o ञᕘЎ ⱘ˖ Ⳉ㒓˖ ⚍ⱘ᳆⥛˖ ᑇഛ᳆⥛˖ Ң ⚍ࠄˈ⚍ ߛ㒓᭰⥛ⱘؒ㾦ব࣪䞣˗ ˖ ᓻ䭓DŽ ᓻᖂߚ݀ᓣ˖ ݊Ё D D D D D D D D D D D D D D D 2 3 3 3 1 3 3 3 cos3 4cos 3cos sin 3 3sin 4sin tg tg tg tg D D D D D D D D D D D D D D 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 cos2 2cos 1 1 2sin cos sin sin 2 2sin cos tg tg tg ctg ctg ctg Click to buy NOW! PDF-XChange www.docu-track.com Click to buy NOW! PDF-XChange www.docu-track.com
高等数学复习公式 定积分的近似计算: 矩形法:「f(x) (yo+y1+…+yn) 梯形法:「f(x)≈ (y+yn)+y1+…+y 抛物线法f(x)≈[(υ+yn)+22+y4+…+yn2)+4(V+y3+…+yn 定积分应用相关公式: 水压力:F=pA 引力:F=km,k为引力系数 函数的平均值:y= f(x)dx a 均方根: f(dt 空间解析几何和向量代数: 空间2点的距离:d=|MM2=√x2-x)2+(2-y1)2+(=2-21)2 向量在轴上的投影:PrAB=ABco,是AB与轴的夹角。 Prj (a +a2)=Pr ja,+ Pr ja, ab=lcos=a,+a,b+ab,是一个数量 两向量之间的夹角:cos= 1, b, +a, b, +a b. 6-+b-+b. g=a×b=,a,a=m例:线速度:下=x br b, 向量的混合积46]=(a×6)a=内b,b1=1×6osa为锐角时, 代表平行六面体的体积。 第4页共18页
催ㄝ᭄ᄺд݀ᓣ 裎 4 义 簱 18 义 ᅮ⿃ߚⱘ䖥Ԑ䅵ㅫ˖ ³ ³ ³ | | | b a n n n b a n n b a n y y y y y y y y n b a f x y y y y n b a f x y y y n b a f x [( ) 2( ) 4( )] 3 ( ) ( ) ] 2 1 ( ) [ ( ) ( ) 0 2 4 2 1 3 1 0 1 1 0 1 1 ᡯ⠽㒓⊩˖ ẃᔶ⊩˖ ⶽᔶ⊩˖ ᅮ⿃ߚᑨ⫼Ⳍ݇݀ᓣ˖ ³ ³ b a b a f t dt b a f x dx b a y k r m m F k F p A W F s ( ) 1 ( ) 1 , 2 2 1 2 ഛᮍḍ˖ ˖᭄ؐⱘᑇഛߑ ᓩ ˖ЎᓩLTD᭄ ˖य़∈ ˖ࡳ ぎ䯈㾷ᵤԩ䞣ҷ᭄˖ ҷ㸼ᑇ㸠݁䴶ԧⱘԧ⿃DŽ 䞣ⱘ⏋ড়⿃˖ Ў䫤㾦ᯊˈ ՟˖㒓䗳ᑺ˖ ϸ䞣П䯈ⱘ།㾦˖ ᰃϔϾ᭄䞣 䞣䕈Ϟⱘᡩᕅ˖ ᰃ Ϣ 䕈ⱘ།㾦DŽ ぎ䯈 ⚍ⱘ䎱⾏˖ D D T T T M M [ ] ( ) cos , , sin . . cos cos , , Pr ( ) Pr Pr Pr cos , 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 a b c c c c b b b a a a abc a b c c a b v w r b b b a a a i j k c a b a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b j a a ja ja j AB AB AB u d M M x x y y z z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x x y y z z x x y y z z u u * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * u u u u Click to buy NOW! PDF-XChange www.docu-track.com Click to buy NOW! PDF-XChange www.docu-track.com
高等数学复习公式 平面的方程 1、点法式:A(x-x0)+B(y-y)+C(二-0)=0,其中亓={A,B,C},M(x0,y0,二0) 2、一般方程:Ax+By+Cz+D=0 3、截距世方程:x+y+三=1 Ax。+Bya+Czo+D 平面外任意一点到该平面的距离:d √A2+B2+C2 x=x+ mt 空间直线的方程:x=y=-=其中={mn,;参数方程:{y=+n P 2=20+pr 次曲面: 1、椭球面:x+y+ 2、抛物面:+=,(p,q同号) 3、双曲面 单叶双曲面: +2-==1 双叶双曲面:x-y+三=1(马鞍面 多元函数微分法及应用 全微分:d=dx+d ax+一by+-dz ax ay 全微分的近似计算:A=d=/(x,y)Ax+f,(x,y)2y 多元复合函数的求导法: 二=f[u(),v(O] dz a dt au at ay a ==flu(x,y),v(x, y) ax 当u=u(x,y),v=v(x,y)时, dv=dx+dy 隐函数的求导公式: 隐函数F(x,y)=0,中_F 2ya,F\,F、d dx Fy dx F F 隐函数F(x,y,z)=0 ax F dy 第5页共18页
催ㄝ᭄ᄺд݀ᓣ 裎 5 义 簱 18 义 ঠঠ᳆䴶˖ ˄偀䵡䴶˅ ऩঠ᳆䴶˖ ǃঠ᳆䴶˖ ǃᡯ⠽䴶˖ ˄ ৠো˅ ǃἁ⧗䴶˖ Ѡ᳆䴶˖ ぎ䯈Ⳉ㒓ⱘᮍ˖ ݊Ё খ᭄ᮍ˖ ᑇ䴶ӏᛣϔ⚍ࠄ䆹ᑇ䴶ⱘ䎱⾏˖ ǃ䎱Ϫᮍ˖ ǃϔ㠀ᮍ˖ ǃ⚍⊩ᓣ˖ ˈ݊Ё ᑇ䴶ⱘᮍ˖ 1 1 3 , , 2 2 2 1 1 , { , , }; 3 1 2 0 1 ( ) ( ) ( ) 0 { , , }, ( , , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ° ¯ ° ® c z b y a x c z b y a x z p q q y p x c z b y a x z z pt y y nt x x mt t s m n p p z z n y y m x x A B C Ax By Cz D d c z b y a x Ax By Cz D A x x B y y C z z n A B C M x y z * * ⫼ঞᑨ⊩ߚ᭄ᖂߑܗ z y z x y x y x y x x y F F y z F F x z F x y z dx dy F F F y F dx x d y F F dx dy F x y dy y v dx x v dy dv y u dx x u du u u x y v v x y x v v z x u u z x z z f u x y v x y t v v z t u u z dt dz z f u t v t z dz f x y x f x y y dz z u dy y u dx x u dy du y z dx x z dz w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w ' | ' ' w w w w w w w w w w 䱤ߑ᭄ ˈǂ ˈǂǂ 䱤ߑ᭄ ˈǂǂ ˈǂǂ ˇ 䱤ߑ᭄ⱘ∖ᇐ݀ᓣ˖ ǂǂǂ ᔧ ˈ ᯊˈ ǂǂǂ ǂǂǂ ܗড়ߑ᭄ⱘ∖ᇐ⊩˖ ܼᖂߚⱘ䖥Ԑ䅵ㅫ˖ ܼᖂߚ ˖ǂǂǂ ( , , ) 0 ( , ) 0 ( ) ( ) ( , ) ( , ) [ ( , ), ( , )] [ ( ), ( )] ( , ) ( , ) 2 2 Click to buy NOW! PDF-XChange www.docu-track.com Click to buy NOW! PDF-XChange www.docu-track.com
高等数学复习公式 隐函数方程组: x,y,u,v)=0 J=0(, G)ou av=E F, G(,y, u,v)=0 aGaG C 1(F,G) 1 a(F, G) a(x J au,x) du 1 a(F, G) av 1 a(F,G) ay J a(,v) ay a(u,y) 微分法在几何上的应用: x=q(1) 空间曲线{y=W0在点M(x,y,)处的切线方程x=ym=三元 (=0(0 q(o0)v(t0)o(0) 在点M处的法平面方程:q(t0x-x0)+v(t0(y-y)+0(t0)(二-=0)=0 若空间曲线方程为 F(x,y,=)=0 则切向量T Fr F-F FF F G(x,y,=)=0 G PG. GPG,G 曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y20),则 1、过此点的法向量:n={F2(x0,y,=0)F1(x,y,-0,F(x2y0250) 2、过此点的切平面方程:F2(x0,y,-0(x-x0)+F(x,y20y-y)+F(x0,y,=0(-=0)=0 3、过此点的法线方程 y-yo F(x0,y0,=0)F(x0,y,0)F(x,y,=0) 方向导数与梯度: 函数=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向方向导数为: cosp+ 其中为x轴到方向转角 函数=(xy)在一点p(x,y)的梯度:gady(x,y)=97+9 它与方向导数的关系是 f dI gradf(x,y),其中=c0s9+snp/,为方向上的 单位向量。 c是gay(xy)在上的投影。 多元函数的极值及其求法 第6页共18页
催ㄝ᭄ᄺд݀ᓣ 裎 6 义 簱 18 义 ( , ) 1 ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 u y F G y J v y v F G y J u u x F G x J v x v F G x J u G G F F v G u G v F u F u v F G J G x y u v F x y u v u v u v w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w ¯ ® ǂǂǂǂ ǂǂǂǂ 䱤ߑ᭄ᮍ㒘˖ ǂǂǂ ˖⫼Ϟⱘᑨԩ⫣ߚᖂ ( , , ) ( , , ) ( , , ) 3 2 ( , , )( ) ( , , )( ) ( , , )( ) 0 1 { ( , , ), ( , , ), ( , , )} ( , , ) 0 ( , , ) , { , , } ( , , ) 0 ( , , ) 0 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( , , ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F x y z z z F x y z y y F x y z x x F x y z x x F x y z y y F x y z z z n F x y z F x y z F x y z F x y z M x y z G G F F G G F F G G F F T G x y z F x y z M t x x t y y t z z t z z t y y t x x M x y z z t y t x t x y z x y z x y z x y x y z x z x y z y z °¯ ° ® c c c c c c ° ¯ ° ® ǃ䖛ℸ⚍ⱘ⊩㒓ᮍ˖ ǃ䖛ℸ⚍ⱘߛᑇ䴶ᮍ˖ ǃ䖛ℸ⚍ⱘ⊩䞣˖ ᳆䴶 Ϟϔ⚍ ˈ߭˖ 㢹ぎ䯈᳆㒓ᮍЎ˖ ߭ߛ䞣 ⚍ ໘ⱘ⊩ᑇ䴶ᮍ˖ ぎ䯈᳆㒓 ⚍ ໘ⱘߛ㒓ᮍ˖ * * M \ Z M \ Z Z \ M ᮍᇐ᭄Ϣẃᑺ˖ ᰃ ϞⱘᡩᕅDŽ ऩԡ䞣DŽ ᅗϢᮍᇐ᭄ⱘ݇㋏ᰃ˖ ˈ݊Ё ˈЎ ᮍϞⱘ ߑ᭄ ϔ⚍ ⱘẃᑺ˖ ݊Ё Ў 䕈ࠄᮍ ⱘ䕀㾦DŽ ߑ᭄ ϔ⚍ ⊓ӏϔᮍ ⱘᮍᇐ᭄Ў˖ f x y l l f f x y e e i j l l f j y f i x f z f x y p x y f x y x l y f x f l f z f x y p x y l grad ( , ) grad ( , ) cos sin ( , ) ( , ) grad ( , ) ( , ) ( , ) cos sin w w ? w w w w w w w w w w w w * * * * * * M M M M M ߑܗ᭄ⱘᵕؐঞ݊∖⊩˖ Click to buy NOW! PDF-XChange www.docu-track.com Click to buy NOW! PDF-XChange www.docu-track.com
高等数学复习公式 &f(xo,yo)=f,(xo, yo)=0, : f(xo, yo )=A, f (xo, yo)=B, f(xo, yo)=C AC-B2>O时 A0.(x02y)为极小值 则:AC-B20)的引力:F={F,F,F},其中 P(x, y)xdo F,=/∫ P(x, y)yde F=-fa P(x, y)xde (x2+y2+a2)2 面坐标和球面坐标 x=rose 柱面坐标y=0,J/(xy=r(: 其中:F(,O,z)=f( rose, rsin 6,=) x=rsin (o cosB 球面坐标:y= rsin sin 6,bh= rdo. rsin,d.tb=r2 sin drdode ∫(xy,)dd=F(,,O)2smod=」dj4pJF(rr2smot 重心:x= x y M JJ/ypd =pc 其中M=x=ph 转动惯量:,=02+=2)pt x2+:2)ht1:=』(x2+y)poh 曲线积分: 第7页共18页
催ㄝ᭄ᄺд݀ᓣ 裎 7 义 簱 18 义 ° ° ° ¯ ° ° ° ® ¯ ® ! ! ᯊ ǂǂǂǂǂǂǂϡ⹂ᅮ ᯊˈǂǂǂǂǂǂ᮴ᵕؐ Ўᵕᇣؐ Ўᵕؐ ᯊˈ ߭˖ 䆒 ˈҸ˖ 0 , 0 0,( , ) 0,( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 ( , ) , ( , ) , ( , ) 2 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 AC B AC B A x y A x y AC B f x x y f y x y f xx x y A f xy x y B f yy x y C 䞡⿃ߚঞ݊ᑨ⫼˖ ³³ ³³ ³³ ³³ ³³ ³³ ³³ ³³ ³³ ³³ ³³ ³³ ! ¸ ¸ ¹ · ¨ ¨ © § w w ¸ ¹ · ¨ © § w w c D z D y D x x y z D y D x D y D D x D D D x y a x y xd F fa x y a x y yd F f x y a x y xd F f xoy z M a a F F F F x I y x y d y I x x y d x y d y x y d M M y x y d x x y d M M x dxdy y z x z z f x y A f x y dxdy f r r rdrd 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 D 2 2 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) (0,0, ),( 0) { , , } ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( cos , sin ) U V U V U V U V U V U V U V U V U V T T T ˈǂǂ ˈǂǂ ᑇ䴶㭘⠛˄ԡѢ ᑇ䴶˅ᇍ 䕈Ϟ䋼⚍ ⱘᓩ݊ˈ ˖Ё˖ ᑇ䴶㭘⠛ⱘ䕀ࡼᛃ䞣˖ᇍѢ 䕈 ǂǂᇍѢ 䕈 ᑇ䴶㭘⠛ⱘ䞡ᖗ˖ ǂǂ ᳆䴶 ⱘ䴶⿃ ᷅䴶തᷛ⧗䴶തᷛ˖ ³³³ ³³³ ³³³ ³³³ ³³³ ³³³ ³³³ ³³³ ³³³ ³³ ³ ³³³ ³³³ : : : : : : : : : : : ° ¯ ° ® ° ¯ ° ® I y z dv I x z dv I x y dv z dv M x dv M y dv z M x dv y M x f x y z dxdydz F r r drd d d d F r r dr dv rd r d dr r drd d z r y r x r F r z f r r z f x y z dxdydz F r z rdrd dz z z y r x r x y z r U U U U U U U M T M M T T M M T M M M T M M T M M T M T T T T T T T T S S M T ( ) ( ) ( ) 1 , 1 , 1 ( , , ) ( , , ) sin ( , , ) sin sin sin cos sin sin sin cos ( , , ) ( cos , sin , ) sin , ( , , ) ( , , ) , cos 2 2 2 2 2 2 2 0 0 ( , ) 0 2 2 2 䕀ࡼᛃ䞣˖ ˈǂǂ ˈǂǂ 䞡ᖗ˖ ǂǂ ǂǂ ˈǂǂ݊Ё ⧗䴶തᷛ˖ ˈǂǂ ݊Ё˖ ᷅䴶തᷛ˖ ǂǂǂ ˖ߚ鳥㒓᳆ Click to buy NOW! PDF-XChange www.docu-track.com Click to buy NOW! PDF-XChange www.docu-track.com
高等数学复习公式 第一类曲线积分(对弧长的曲线积分): 设f(x,y)在L上连续,L的参数方程为 x=p(1) y=v(3(assB则 X=I ∫/(x,y)=J1o())k(0)+v((a<B)特殊情况 第二类曲线积分(对坐标的曲线积分): 设L的参数方程为x=q(t),则 y=v() ∫P(x,y)+Q(x,y)d=P19w((o)+lw(y(o)t 两类曲线积分之间的关系「Pd+h=( Pcos+ Ocos B)ds,其中a和分别为 L上积分起止点处切向量的方向角。 格林公式2,小=4+格林公式(图地-p0 当P=-y,Q=x,即 ax ay =2时,得到D的面积:A=4h=手xy-y 平面上曲线积分与路径无关的条件: 1、G是一个单连通区域 2、P(x,y)Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,且 。注意奇点,如(0,0),应 减去对此奇点的积分,注意方向相反! 元函数的全微分求积 在 a0 aP 时,Pax+Qh才是二元函数u(x,y)的全微分,其中 u(x,y)=P(x,y)t+g(x,y)d,通常设x=y=0 曲面积分: 第8页共18页
催ㄝ᭄ᄺд݀ᓣ 裎 8 义 簱 18 义 ¯ ® c c d d ¯ ® ³ ³ ( ) ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) , ( ), ( ) ( ) ( , ) 2 2 y t x t f x y ds f t t t t dt t y t x t f x y L L L M M \ M \ D E D E \ M E D ǂǂ ǂǂ⡍⅞ᚙމ˖ 䆒 Ϟ䖲㓁ˈ ⱘখ᭄ᮍЎ˖ ǂǂ ߭˖ ϔ㉏᳆㒓⿃ߚ˄ᇍᓻ䭓ⱘ᳆㒓⿃ߚ˖˅ ˈ䗮ᐌ䆒 DŽ ˙ ᯊˈ ᠡᰃѠߑܗ᭄ ⱘܼᖂߚ݊ˈЁ˖ Ѡߑܗ᭄ⱘܼᖂߚ˖鳥∖ ޣএᇍℸ༛⚍ⱘ⿃ߚ⊼ˈᛣᮍⳌডʽ ǃ ˈ ݙ᳝ϔ䰊䖲㓁أᇐ᭄ˈϨ ˙ DŽ⊼ᛣ༛⚍ˈབ ˈᑨ ǃ ᰃϔϾऩ䖲䗮ऎඳ˗ ᑇ䴶Ϟ᳆㒓⿃ߚϢ䏃ᕘ᮴݇ⱘᴵӊ˖ ᔧ ˈे˖ ᯊˈᕫࠄ ⱘ䴶⿃˖ Ḑᵫ݀ᓣ˖ Ḑᵫ݀ᓣ˖ Ϟ⿃ߚ䍋ℶ⚍໘ߛ䞣ⱘᮍ㾦DŽ ϸ㉏᳆㒓⿃ߚП䯈ⱘ݇㋏˖ ˈ݊Ё ߿ߚЎ 䆒 ⱘখ᭄ᮍЎ ˈ߭˖ Ѡ㉏᳆㒓⿃ߚ˄ᇍതᷛⱘ᳆㒓⿃ߚ˖˅ ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) · 2 ( , ) ( , ) (0,0) 1 · 2 1 , 2 ( ) ( ) ( cos cos ) ( , ) ( , ) { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )} ( ) ( ) 0 0 ( , ) ( , ) 0 0 w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w c c ¯ ® ³ ³³ ³ ³³ ³ ³³ ³ ³ ³ ³ ³ u x y P x y dx Q x y dy x y Pdx Qdy u x y y P x Q y P x Q P x y Q x y G G D A dxdy xdy ydx y P x Q P y Q x dxdy Pdx Qdy y P x Q dxdy Pdx Qdy y P x Q L Pdx Qdy P Q ds P x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt y t x t L x y x y D L D L D L L L L D E D E M \ M M \ \ \ M E D ˖ߚ鳥䴶᳆ Click to buy NOW! PDF-XChange www.docu-track.com Click to buy NOW! PDF-XChange www.docu-track.com
高等数学复习公式 对面积的曲面积分』(xy,)d=-nxx1+:(x,)+:(x,)d 对坐标的曲面积分P(xy)+xy,)+R(x,y)d,其中: R(xy)dody=址xy:=(xy)d,取曲面的上侧时取正号 ∫Px,y:)dd=士Px,-)y1取曲面的前侧时取正号 ∫(x,y)kd=qx,y(,x),取曲面的右侧时取正号。 两类曲面积分之间的关系:Pbdk+hdk+Rod=( Pcos+ Ocos B+ Cosy)ds 高斯公式: 第9页共18页
催ㄝ᭄ᄺд݀ᓣ 裎 9 义 簱 18 义 ³³ ³³ ³³ ³³ ³³ ³³ ³³ ³³ ³³ ³³ ³³ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ r r r Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R ds Q x y z dzdx Q x y z x z dzdx P x y z dydz P x y z y z dydz R x y z dxdy R x y z x y dxdy P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy f x y z ds f x y z x y z x y z x y dxdy zx yz xy xy D D D D x y ( cos cos cos ) ( , , ) [ , ( , ), ] ( , , ) [ ( , ), , ] ( , , ) [ , , ( , )] ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) [ , , ( , )] 1 ( , ) ( , ) 2 2 ϸ㉏᳆䴶⿃ߚП䯈ⱘ݇㋏˖ D E J ˈপ᳆䴶ⱘেջᯊপℷোDŽ ˈপ᳆䴶ⱘࠡջᯊপℷো˗ ˈপ᳆䴶ⱘϞջᯊপℷো˗ ᇍതᷛⱘ᳆䴶⿃ߚ݊ˈ ˖Ё˖ ᇍ䴶⿃ⱘ᳆䴶⿃ߚ˖ 催ᮃ݀ᓣ˖ Click to buy NOW! PDF-XChange www.docu-track.com Click to buy NOW! PDF-XChange www.docu-track.com
高等数学复习公式 22+8h=手+Qh+h=手(c+w+ykh 高斯公式的物理意义一一通量与散度 散度:divv= ap a0 a 即:单位体积内所产生的流体质量,若divv<0,则为消失 ax ay a 通量4币d=4d=(Posg+Qcs+ Cosy)s, 因此,高斯公式又可写成:dvh=手4d 斯托克斯公式—曲线积分与曲面积分的关系: 地h+0pddx+(---)xdh=中Pax+Qdy+R OR aO dydz did dxdy cosa cos B cosy 上式左端又可写成|80 ax ay a R P R 空间曲线积分与路径无关的条件:= aP ar a0 aP azaz ax ax ay k 旋度:Ota ax ay a= 向量场沿有向闭曲线的环流量手Par+Qh+R=于Ad 常数项级数: 等比数列q+q2+…+q q 1-q 等差数列:+2+3+…+n=n+1 调和级数+3+…+是发散的 级数审敏法: 第10页共18页
催ㄝ᭄ᄺд݀ᓣ 裎 10 义 簱 18 义 ³³³ ³³ ³³ ³³ ³³ ³³³ ³³ ³³ : ¦ ¦ ¦ ¦ : ¦ ¦ w w w w w w w w w w w w Adv A ds A nds A ds P Q R ds z R y Q x P dv Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R ds z R y Q x P n n * * * * * div ( cos cos cos ) div , div 0, ... ( ) ( cos cos cos ) ℸˈ催ᮃ݀ᓣজৃݭ ៤˖ 䗮䞣˖ ˈ ᬷᑺ˖ े˖ऩԡԧ⿃ݙ᠔ѻ⫳ ⱘ⌕ԧ䋼䞣ˈ㢹 ߭Ў⍜༅ 催ᮃ݀ᓣⱘ⠽⧚ᛣН — ü䗮䞣Ϣᬷᑺ˖ D E J Q Q D E J ᮃᠬܟᮃ݀ᓣ——᳆㒓⿃ߚϢ᳆䴶⿃ߚⱘ݇㋏˖ ³ ³ ³³ ³³ ³³ ³ * * ¦ ¦ ¦ * * w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w A Pdx Qdy Rdz A t ds P Q R x y z A y P x Q x R z P z Q y R P Q R x y z P Q R x y z dydz dzdx dxdy dxdy Pdx Qdy Rdz y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R * * * * 䞣എ ⊓᳝䯁᳆㒓 ⱘ⦃⌕䞣˖ ᮟᑺ˖ ぎ䯈᳆㒓⿃ߚϢ䏃ᕘ᮴݇ⱘᴵӊ˖ ˈǂ ˈǂ ϞᓣᎺッজৃݭ៤˖ i j k rot cos cos cos ( ) ( ) ( ) D E J ᐌ᭄乍㑻᭄˖ 䇗㑻᭄˖ ᰃথᬷⱘ ㄝᏂ᭄߫˖ ㄝ↨᭄߫˖ n n n n q q q q q n n 1 3 1 2 1 1 2 ( 1) 1 2 3 1 1 1 2 1 㑻᭄ᅵᬯ⊩˖ Click to buy NOW! PDF-XChange www.docu-track.com Click to buy NOW! PDF-XChange www.docu-track.com
