第二十七讲积分变换 介绍求解偏微分方程定解问题的另一种做法,即将积分变换应用于在求解偏微分方 程定解问题 常用的积分变换有 LaplaceFourier变换和变换两种 §27.1应用 Laplace变换求解偏微分方程定解问题 Laplace变换可用于求解含时间的偏微分方程定解问题变换后,自变量的个数比原来减少 一个.例如,原来是x和t两个自变量的偏微分方程定解问题,变换后就只需求解常微分方程(自 变量为x)的定解问题.一般说来,后者总比较容易求解这样求得的是原始的定解问题的解的象 函数,还必须反演,才能得到原始问题的解 例271求无界杆的热传导问题 au a2u ta=f(x,t),-∞0 ut=0=0 ∞<<∞ 的解 解在这种无界区间的定解问题中,往往并不明确列出边界条件实际上,无界区间,只是 一个物理上的抽象,它只是表明在所考察的限度(时间,精度,…)内,两端的影响可以忽略因 此,如果要完整地列出定解问题的话,则还应当有边界条件 u →0 作 Laplace变换令 利用初始条件,有 ( ) 把变换后的象函数只看成是x的函数,p是参数,所以 ar2dz2' 微商运算就是一元函数的微商.再进一步令 f(,)= F(, p), 这样,在经过 Laplace变换后,定解问题就变成 d2U(,) (,p)--dr2 =F(,p). 在Ux→0的条件下可以得到 U(x,p)=
Wu Chong-shi ✁✂✄☎ ✆✝✞✟ ✠✡☛☞✌✍✎✏✑✒☞✓✔✕✖✗✘✙✚✛✜✢✣✎✤✥✦✧★✩☛☞✌✍✎✏ ✑✒☞✓✔✪ ✫✧✕✣✎✤✥✬ Laplace ✤✥✭ Fourier ✤✥✮✘✪ §27.1 ✯✰ Laplace ✱✲✳✴✵✶✷✸✹✺✴✻✼ Laplace ✤✥✽✧★☛☞✾✿❀✕✌✍✎✏✑✒☞✓✔✪✤✥❁✛ ❂✤❃✕❄❅ ❆❇❈❉❊ ✗❄✪❋●✛❇❈❍ x ✭ t ✮❄ ❂✤❃✕✌✍✎✏✑✒☞✓✔✛✤✥❁■❏❑☛☞✫✍✎✏✑ ( ❂ ✤❃▲ x) ✕✒☞✓✔✪✗▼◆❈✛❁❖P ❆◗❘❙☛☞✪❚❯☛❱✕❍❇❲✕✒☞✓✔✕☞✕❳ ❨❅✛❩❬❭❪❫✛❴❵❱❛❇❲✓✔✕☞✪ ❜ 27.1 ☛❝❞❡✕❢❣❤✓✔ ∂u ∂t − κ ∂ 2u ∂x2 = f(x, t), − ∞ 0; u t=0 = 0, − ∞ < x < ∞ ✕☞✪ ✐ ❥❦❧♠♥ ♦♣qrs t✉ ✈✛✇✇①② ③④⑤ ⑥⑦♥⑧⑨✪⑩❶❷✛♠♥ ♦♣✛❸❹ ❺❻❼❽❷q❾❿✛➀ ❸❹➁ ③❥➂➃➄q➅➆ (➇ ♣✛➈➆✛ · · ·) ➉ ✛➊➋q➌➍➎ ➏➐➑✪➒ ➓✛➔→➣ ↔↕➙⑤ ⑥rs t✉q➛✛➜➝➞ ➟➠⑦♥⑧⑨ u x→±∞ → 0. ➡ Laplace ✤✥✪➢ u(x, t) ; U(x, p) = Z ∞ 0 u(x, t)e−ptdt, ➤✧➥❲➦➧✛✬ ∂u ∂t ; pU(x, p). ➨✤✥❁✕❳❨❅❏➩➫❍ x ✕❨❅✛ p ❍➭❅✛➯➲ ∂ 2u ∂x2 ; d 2U(x, p) dx 2 , ✍➳➵➸■❍✗➺❨❅✕✍➳✪➻➼✗➽➢ f(x, t) ; F(x, p), ❚❯✛✩➾➚ Laplace ✤✥❁✛✒☞✓✔■✤➫ pU(x, p) − κ d 2U(x, p) dx 2 = F(x, p). ✩ U x→±∞ → 0 ✕➦➧➪✽➲❱❛ U(x, p) = 1 2 1 √κp Z ∞ −∞ F(x 0 , p) exp − r p κ |x − x 0 | dx 0
§27.1应用 Laplace变换求解偏微分方程定解问题 再根据 Laplace变换的反演公式 以及卷积定理,就能够最后得到 u(a, t) dr'/exp (-r)Id 用 Laplace变换求解偏微分方程定解间题,除了可以减少自变量的数目以外,某些已 知函数的象函数(例如方程的非齐次项,它的形式可能很复杂)甚至都不必具体求出 在求反演时只需应用卷积定理即可 例27.2用 Laplace变换求解无界弦的波动问题 2 0, φ(x) 解设在 Laplace变换之 (ar, t)=U(r, p). 于是,原来的定解问题就化为 P-U(r, p)-a d-U,2=po(r)+v(r) 可以求得此方程的解(实际上还考虑了U(x,p)在x→士∞的行为 U(a, p) po(r)+v()exp P 因为 6(t-a) 7(t-a) 所以 o(x)6( v(x)( p(a)(at-r-a'Ddx+ N v(a)n(at-lr-r'Ddr 注意到 6(at-|z-x|) 0,1x-x1≠at 0,|x-xl> at 1, r-r'<at 就可以求出 (x,t) 2a v(a')dr
Wu Chong-shi §27.1 ➶➹ Laplace ➘➴➷➬➮➱✃❐❒❮➬❰Ï Ð 2 Ñ ➻ÒÓ Laplace ✤✥✕❪❫ÔÕ 1 √ p e −α √p : 1 √ πt exp − α 2 4t ➲Ö×✣✒Ø✛■❵ÙÚ❁❱❛ u(x, t) = 1 2 √ κπ Z ∞ −∞ dx 0 Z t 0 exp − (x − x 0 ) 2 4κ(t − τ) f(x 0 , τ) √ t − τ dτ. ✧ Laplace ✤✥☛☞✌✍✎✏✑✒☞✓✔✛ÛÜ✽➲❉❊ ❂✤❃✕❅ Ý➲Þ✛ßà á â❨❅✕❳❨❅ (❋●✏✑✕ãäåæ✛ç✕èÕ✽❵éêë) ìíîï❬ðñ☛ò✛ ✩☛❪❫✿❏❑✦✧×✣✒Ø✜✽✪ ❜ 27.2 ✧ Laplace ✤✥☛☞❝❞ó✕ôõ✓✔ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, − ∞ 0; u t=0 = φ(x), ∂u ∂t t=0 = ψ(x), − ∞ at, 1, |x − x 0 | < at, ■✽➲☛ò u(x, t) = 1 2 Z ∞ −∞ φ(x 0 )δ t − |x − x 0 | a dx 0 + 1 2a Z x+at x−at ψ(x 0 )dx 0
第二十七讲积分变换 第3页 -at)+o(=+at)+ v(adr x一at 用 Laplace变换求解偏微分方程定解问题还有一个优点,这就是不必将非齐次的边 界条件齐次化,因为这时原有的偏微分方程定解问题的非齐次边界条件将转化为常微 分方程的非齐次边界条件,这并不会带来原则的困难
Wu Chong-shi ✄☎✆✝✞ ✟ ✃➘➴ Ð 3 Ñ = 1 2 h φ(x − at) + φ(x + at) i + 1 2a Z x+at x−at ψ(x 0 )dx 0 . ✧ Laplace ✤✥☛☞✌✍✎✏✑✒☞✓✔❩✬✗❄✠✡✛❚■❍ï ❬✢ãäå✕☛ ❞➦➧äåø✛▲❚✿❇✬✕✌✍✎✏✑✒☞✓✔✕ãäå☛❞➦➧✢☞ø▲✫✍ ✎✏✑✕ãäå☛❞➦➧✛❚✌ ï✍✎❈❇✏✕✑✒✪
§272 Fourier变换 第4页 8272 Fourier变换 Fourier变换可对空间变量进行.根据空间变量的变化区间,可以选用 · curler变换对于无界区间(-∞,∞)上的函数f(x),如果在任意有限区间上只有有限个极 大极小和有限个第一类间断点,且 积分/f(x)dx绝对收敛,则它的 Fourier变换存在 F(k)=U()]=6/f()- dr, 而逆变换(反演)是 f(x)=[F(k)≡ k)eirik 这里的 Fourier变换和逆变换的形式可能和读者熟悉的形式略有不同.形式更加对 称,更多地为物理学家所采用 ·正弦变换和余弦变换如果f(x)是定义在半无界区间,∞)上,则可根据x=0端边界条件 的不同类型,选用正弦变换 F()=v#/ f(a) sin kidz, f()=V元F(6)skdk 或余弦变换 F(k) f(ar)cos kadz f(x)= F()cos cdk ·有限正弦、余弦变换如果f(x)是定义在有界区间上,则应采用有限正弦或余弦变换 本节介绍无界空间上的 Fourier变换 用 Fourier变换来求解上一节的例271和例272
Wu Chong-shi §27.2 Fourier ➘➴ Ð 4 Ñ §27.2 Fourier ✱✲ Fourier ✤✥✽✓✔❀✤❃➼ÿ✪ÒÓ✔❀✤❃✕✤ø✕❀✛✽➲✖✧ • Fourier ✤✥ ✓★ ✗✘✙✚(−∞, ∞) ü ✕❨❅ f(x) ✛●✛✩✜✂✬✢✕❀ ü ❏✬✬✢❄✣ ✤✣✥✭✬✢❄✦✗✧❀★✡✛✩ ✣✎ Z ∞ −∞ f(x)dx ✪ ✓✫✬✛✏ç✕ Fourier ✤✥✭✩✛ F(k) = ✮ [f(x)] ≡ 1 √ 2π Z ∞ −∞ f(x)e−ikxdx, ✯✰✤✥ (❪❫) ❍ f(x) = ✮ −1 [F(k)] ≡ 1 √ 2π Z ∞ −∞ F(k)eikxdk. ❚✱✕ Fourier ✤✥✭✰✤✥✕èÕ✽❵✭✲❖✳✴✕èÕ✵✬ ï✶ ✪èÕ✷✸✓ ✹✛✷✺✻▲✼Ø✽✾➯✿✧✪ • ❀ ó✤✥✭❁ó✤✥ ●✛ f(x) ❍✒❂✩ ❃✗✘✙✚[0, ∞) ü ✛✏✽ÒÓ x = 0 ❄ ☛❞➦➧ ✕ ï✶ ✧❅✛✖✧ ❀ ó✤✥ F(k) = r 2 π Z ∞ 0 f(x) sin kxdx, f(x) = r 2 π Z ∞ 0 F(k) sin kxdk, ❆❁ó✤✥ F(k) = r 2 π Z ∞ 0 f(x) cos kxdx, f(x) = r 2 π Z ∞ 0 F(k) cos kxdk.. • ✬✢ ❀ ó❇❁ó✤✥ ●✛ f(x) ❍✒❂✩✬❞✕❀ ü ✛✏✦✿✧✬✢ ❀ ó❆❁ó✤✥✪ ❈❉✠✡❝❞✔❀ ü ✕ Fourier ✤✥✪ ✧ Fourier ✤✥❈☛☞ü ✗❉✕❋ 27.1 ✭❋ 27.2 ✪
第二十七讲积分变换 第5页 ★对断例27.1果任无界杆区热传导对空 06Dx2f(x,1),-∞0 0<x<0. 假设u(x,t)区 Fourier大小存且果 、-山,并设F(=层0a 这样果且作 Fourier大小余果定解对空就大为 dU(h, t dt+kkU(k, t)=F(k, t) U(k, t) 类收型大易间边解这无阶收微分则程区初值对空果就得到 U(k, t)=ekAt/F(k, r)erk4Tdr 再边反演果 u()=/(.dk 家/F(k(=ka 利类 t cos 2xt dt=-VTe 学以算出 :k(t-r)eikrd -kk(t-T) cos krak 2 exp 一 一c T) 再利类 f(a, t)= F(k, t)edk, 根据 Fourier大小区卷极公式果 f1(xf2(x)= 27 fi1()f2(x-5)d 就能最余得到 u(a, t) { f(,r) (x-) V2J∞√2k(t-r) k(t- T) ④C.1n吗g 存上无节中得到区解式完全无样 从解间上看果 Fourier大小区反演对窒似乎要或Lape大小简单无些果往往不要 类留型定理本计算反演中出现区定极分就本例而言果界则间都要类到卷极公式
Wu Chong-shi ✄☎✆✝✞ ✟ ✃➘➴ Ð 5 Ñ F ✓★❋ 27.1 ✛✜❝❞❡✕❢❣❤✓✔ ∂u ∂t − κ ∂ 2u ∂x2 = f(x, t), − ∞ 0; u t=0 = 0, − ∞ < x < ∞. ❊ö u(x, t) ✕ Fourier ✤✥✭✩✛ U(k, t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ u(x, t)e−ikxdx, ✌ö F(k, t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ f(x, t)e−ikxdx, ❚❯✛✩➡ Fourier ✤✥❁✛✒☞✓✔■✤▲ dU(k, t) dt + κk2U(k, t) = F(k, t), U(k, t) t=0 = 0, ✧✫❅✤❙✚☛☞❚❄✗❋✫✍✎✏✑✕➥●✓✔✛■❱❛ U(k, t) = e−κk2 t Z t 0 F(k, τ)eκk2 τ dτ. ➻☛❪❫✛ u(x, t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ U(k, t)eikxdk = Z t 0 1 √ 2π Z ∞ −∞ F(k, τ)e−κk2 (t−τ) e ikxdk dτ. ➤✧ Z ∞ 0 e −t 2 cos 2xt dt = 1 2 √ πe −x 2 , ✽➲➸ò 1 √ 2π Z ∞ −∞ e −κk2 (t−τ) e ikxdk = 1 √ 2π Z ∞ −∞ e −κk2 (t−τ) cos kxdk = 1 p 2κ(t − τ) exp − x 2 4κ(t − τ) , ➻➤✧ f(x, t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ F(k, t)eikxdk, ÒÓ Fourier ✤✥✕×✣ÔÕ✛ ✮ [f1(x)] ✮ [f2(x)] = ✮ 1 √ 2π Z ∞ −∞ f1(ξ)f2(x − ξ)dξ , ■❵Ú❁❱❛ u(x, t) = Z t 0 ( 1 √ 2π Z ∞ −∞ f(ξ, τ) p 2κ(t − τ) exp − (x − ξ) 2 4κ(t − τ) dξ ) dτ = 1 2 √ κπ Z t 0 Z ∞ −∞ f(ξ, τ) exp − (x − ξ) 2 4κ(t − τ) dξ dτ √ t − τ . ✭ ü ✗❉ ❍❱❛✕☞Õ■❏✗❯✪ ❑☞✚ü ➩✛ Fourier ✤✥✕❪❫✓✔▲▼◆ ❆ Laplace ✤✥❖P✗à✛◗◗ï ❑◆ ✧ ❘❅✒Ø❈❙➸❪❫ ❍ò❚✕✒✣✎✪■❈❋✯❯✛✮✘✏✚î ◆✧❛×✣ÔÕ✪
§272 Fourier变换 第6页 ★再来解例272,无界弦上的自由振动问题, a-u au 0, ∞0; 仍设u(x,t)的 Fourier变换存在 并设 V2/v()e-ikzdz 于是,在作 Fourier变换后,定解问题就变为 d2U +k2a2U(k,t)=0 (,1)=0=到(k),U(k,)=0=(k) 这是一个二阶常微分方程的初值问题,解之即得 U(k, t)=p(k)cos kat +(k)sin kat 根据 Fourier变换的反演公式,就可以求出 sin kat u(a, t) √2π (k) cos kat+业(k 注意 6(k)cos kat ek ak =52/ %(k)eik(a+at)+eik(az-at) dk 2[o(x+a)+o(x-a) 类似地,还有 y(k) V2/v(k) cos kat dr e dk 、如 y(k)cos kaTe 1 v(r+ar)+v(a-ar) dr v(5) 代入上面的结果,最后就得到 1 r+at 这当然和用 Laplace变换得到的形式完全一样
Wu Chong-shi §27.2 Fourier ➘➴ Ð 6 Ñ F ➻❈☞❋ 27.2 ✛❝❞óü ✕ ❂❱❲õ✓✔✛ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, − ∞ 0; u t=0 = φ(x), ∂u ∂t t=0 = ψ(x), − ∞ < x < ∞. ❳ö u(x, t) ✕ Fourier ✤✥✭✩✛ U(k, t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ u(x, t)e−ikxdx, ✌ö Φ(k) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ φ(x)e−ikxdx, Ψ(k) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ ψ(x)e−ikxdx, ★❍✛✩➡ Fourier ✤✥❁✛✒☞✓✔■✤▲ d 2U(k, t) dt 2 + k 2 a 2U(k, t) = 0, U(k, t) t=0 = Φ(k), U(k, t) t=0 = Ψ(k). ❚❍✗❄❨❋✫✍✎✏✑✕➥●✓✔✛☞÷✜❱ U(k, t) = Φ(k) cos kat + Ψ(k) sin kat ka . ÒÓ Fourier ✤✥✕❪❫ÔÕ✛■✽➲☛ò u(x, t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ Φ(k) cos kat + Ψ(k) sin kat ka e ikxdk. ✁✂ 1 √ 2π Z ∞ −∞ Φ(k) cos kat e ikxdk = 1 √ 2π 1 2 Z ∞ −∞ Φ(k) h e ik(x+at) + eik(x−at) i dk = 1 2 φ(x + at) + φ(x − at) , ✧▲✻✛❩✬ 1 √ 2π Z ∞ −∞ Ψ(k) sin kat ka e ikxdk = 1 √ 2π Z ∞ −∞ Ψ(k) Z t 0 cos kaτ dτ e ikxdk = Z t 0 1 √ 2π Z ∞ −∞ Ψ(k) cos kaτ e ikxdk dτ = 1 2 Z t 0 h ψ(x + aτ) + ψ(x − aτ) i dτ = 1 2a Z x+at x−at ψ(ξ)dξ, ❩❬ü❭ ✕❪✛✛Ú❁■❱❛ u(x, t) = 1 2 h φ(x + at) + φ(x − at) i + 1 2a Z x+at x−at ψ(ξ)dξ. ❚❫❴✭✧ Laplace ✤✥❱❛✕èÕ■❏✗❯✪
第二十七讲积分变换 第7页 例273求解三维无界空间波动方程的定解问题 ot2-eVu=f(r, t),t>0, =v(T) 解首先作 Fourier变换.令 U(k, t)=02///u(r, D)exp(-ik r)dr, (k)-(2m) 3/ ()exp{-ik·r}dr, w(r)expl-ikr) 则定解问题化为常微分方程初值问题 d 2U d2+keU(k, t)=F(k, t). U=0=更(k =y(k) 再作 Laplace变换 U(k,t)=1(k,p),F(k,t)=6(k,p) 于是,定解问题进一步变成代数方程 p2(k,p)-p(k)-更(k)+k22(k,p)=3(k,p) 解之即得 (kD二严+k+(+(对小 求反演.先作 Laplace变换的反演,有 (k=如(k)如k+()k+kskF(k,t-)d 再作 Fourier变换的反演 r,t) U(k,t)exp{ik·r}dk ∥/w).-体k,+面cm体时 kc kcr F(k, t-r)dr explik.r)dk 利用 Fourier变换的折积公式,就可以求出上述各项的反演,从而就最终求出定解问题的解. 采用k空间的球坐标,可以算出 3/2 sin kct ikr cos e k2 sin 0 dk de do k sin kct dk:/ eikr cos e sin 0 de sin kct
Wu Chong-shi ✄☎✆✝✞ ✟ ✃➘➴ Ð 7 Ñ ❜ 27.3 ☛☞❵❛❝❞✔❀ôõ✏✑✕✒☞✓✔✛ ∂ 2u ∂t2 − c 2∇2u = f(r, t), t > 0, u t=0 = φ(r), ∂u ∂t t=0 = ψ(r). ✐ ❜❝➡ Fourier ✤✥✪➢ U(k, t) = 1 (2π) 3/2 ZZ Z u(r, t) exp{−ik · r} dr, Φ(k) = 1 (2π) 3/2 Z ZZ φ(r) exp{−ik · r} dr, F(k, t) = 1 (2π) 3/2 Z ZZ f(r, t) exp{−ik · r} dr, Ψ(k) = 1 (2π) 3/2 ZZ Z ψ(r) exp{−ik · r} dr, ✏✒☞✓✔ø▲✫✍✎✏✑➥●✓✔ d 2U dt 2 + k 2 c 2U(k, t) = F(k, t), U t=0 = Φ(k), dU dt t=0 = Ψ(k). ➻➡ Laplace ✤✥ U(k, t) ; U(k, p), F(k, t) ; F(k, p). ★❍✛✒☞✓✔➼✗➽✤➫❩❅✏✑ p 2U(k, p) − pΦ(k) − Ψ(k) + k 2 c 2U(k, p) = F(k, p). ☞÷✜❱ U(k, p) = 1 p 2 + k 2c 2 F(k, p) + pΦ(k) + Ψ(k) . ☛❪❫✪❝➡ Laplace ✤✥✕❪❫✛✬ U(k, t) = 1 kcΨ(k) sin kct + Φ(k) cos kct + 1 kc Z t 0 sin kcτ F(k, t − τ)dτ. ➻➡ Fourier ✤✥✕❪❫✛ u(r, t) = 1 (2π) 3/2 Z ZZ U(k, t) exp{ik · r} dk = 1 (2π) 3/2 Z ZZ Ψ(k) sin kct kc exp{ik · r} dk + 1 (2π) 3/2 Z ZZ Φ(k) cos kct exp{ik · r} dk + 1 (2π) 3/2 ZZ Z 1 kc Z t 0 sin kcτ F(k, t − τ) dτ exp{ik · r} dk. ➤✧ Fourier ✤✥✕❞✣ÔÕ✛■✽➲☛òü❡❢æ✕❪❫✛❑✯■Ú❣☛ò✒☞✓✔✕☞✪ ✿✧ k ✔❀✕❤✐❥✛✽➲➸ò❦ F ✦✗æ 1 (2π) 3/2 ZZZ sin kct kc exp{ik · r} dk = 1 (2π) 3/2 Z ZZ sin kct kc e ikr cos θ k 2 sin θ dk dθ dφ = 1 √ 2πc Z ∞ 0 k sin kct dk Z π 0 e ikr cos θ sin θ dθ = 1 √ 2πc Z ∞ 0 sin kct 1 −ir e ikr cos θ π 0 dk
V cr 所以,根据 Fourier变换的折积公式,就有 (2x)3/2 v()sin kct p{ik·r}dk (2)/2V2c 6(r-rl-ct)v(r)dr 1 其中∑是以r为球心、ct为半径的球面|r-rl=ct (k:)cos kct explikr)dk (2丌)3/2Ot 中(k)nk expiry 10 (2)3 k如F(k一:r)4k {a∥/P (sinke F(k, t-rlexplik r)dk dr {=// r-rI 6(r-rT-cr)f(r, t-T)dr's dr 显然 二f(-p-r1/,|r-r1<ct 8(r-rl-cr)f(r, t-r)dr 所以, 公人如 kcT F(k, t-)p读, f(r, t-lr-r/c)dr 把上面的结果集中起来,就最后求得 (T,t) u(r)d∑+ p(r)d∑
Wu Chong-shi §27.2 Fourier ➘➴ Ð 8 Ñ = 1 √ 2πc 2 r Z ∞ 0 sin kct sin kr dk = r π 2 1 cr δ(r − ct). ➯➲✛ÒÓ Fourier ✤✥✕❞✣ÔÕ✛■✬ 1 (2π) 3/2 ZZZ Ψ(k) sin kct kc exp{ik · r} dk = 1 (2π) 3/2 r π 2 1 c Z ZZ 1 |r − r 0 | δ(|r − r 0 | − ct) ψ(r 0 ) dr 0 = 1 4πc ZZ Σ0 1 |r − r 0 | ψ(r 0 ) dΣ0 , ❧ ❍ Σ 0 ❍➲ r ▲❤♠❇ ct ▲♥♦✕❤ ❭ |r − r 0 | = ct ✪ F ✦❨æ 1 (2π) 3/2 ZZ Z Φ(k) cos kct exp{ik · r} dk = 1 (2π) 3/2 ∂ ∂t ZZ Z Φ(k) sin kct kc exp{ik · r} dk = 1 4πc ∂ ∂t ZZ Σ0 1 |r − r 0 | φ(r 0 ) dΣ0 . F ✦❵æ 1 (2π) 3/2 ZZZ 1 kc Z t 0 sin kcτ F(k, t − τ) dτ exp{ik · r} dk = Z t 0 1 (2π) 3/2 ZZZ sin kcτ kc F(k, t − τ) exp{ik · r} dk dτ = Z t 0 1 4πc ZZZ 1 |r − r 0 | δ(|r − r 0 | − cτ) f(r 0 , t − τ) dr 0 dτ = 1 4πc Z ZZ 1 |r − r 0 | Z t 0 δ(|r − r 0 | − cτ) f(r 0 , t − τ) dτ dr 0 , ♣❴✛ Z t 0 δ(|r − r 0 | − cτ) f(r 0 , t − τ) dτ = 1 c f(r 0 , t − |r − r 0 |/c), |r − r 0 | ct. ➯➲✛ 1 (2π) 3/2 ZZZ 1 kc Z t 0 sin kcτ F(k, t − τ) dτ exp{ik · r} dk = 1 4πc2 ZZZ |r−r0 |<ct 1 |r − r 0 | f(r 0 , t − |r − r 0 |/c) dr 0 . ➨ ü❭ ✕❪✛q ❍r❈✛■Ú❁☛❱ u(r, t) = 1 4πc Z Z Σ0 1 |r − r 0 | ψ(r 0 ) dΣ0 + ∂ ∂t ZZ Σ0 1 |r − r 0 | φ(r 0 ) dΣ0 + 1 4πc2 ZZ Z |r−r0 |<ct 1 |r − r 0 | f(r 0 , t − |r − r 0 |/c) dr 0
