第八讲二阶线性常微分方程的幂级数解法(一) 第1页 第八讲二阶线性常微分方程的幂级数解法(一) §8.1二阶线性常微分方程的常点和奇点 阶线性齐次常微分方程的标准形式 d2 d2+p(2)2+q(2)w=0 , (8.1) p(z)和q(z)称为方程的系数 ·方程的解是完全由方程的系数决定的 ·特别是,方程解的解析性是完全由方程系数的解析性决定的 用级数解法解常微分方程时,得到的解总是某一指定点20的邻域内收敛的无穷级数 方程系数p(),q()在20点的解析性就决定了级数解在0点的解析性,或者说,就决定 了级数解的形式,例如,是 Taylor级数还是 Laurent级数 ·如果p(z),q(z)在20点解析,则0点称为方程的常点 ·如果p(),q(z)中至少有一个在20点不解析,则z0点称为方程的奇点 例8.1超几何方程( Hypergeometric equation) d2w dw z(1-)2+r-(1+a+b-aw=0 的系数是 p(z)= y-(1+a+3)2 aB 2(1-z) 和q(z)= z(1-z) 在有限远处,p(z)和q(z)有两个奇点:=0和z=1.所以,除了z=0和z=1是超几何方程 的奇点外,有限远处的其他点都是方程的常点 例8.2 Legendre方程 2d2 (1-x2)ax2-2x+(+1)y=0 , 在有限远处的奇点为x=±1
Wu Chong-shi ✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞✌✍✎✏✑ (✒) ✓ 1 ✔ ✕✖✗ ✘✙✚✛✜✢✣✤✥✦✧★✩✪✫ (✬) §8.1 ✭✮✯✰✱✲✳✴✵✶✱✷✸✹✷ ✺✻✼✽✾✿❀❁❂❃❄❅❆❇❈❉ d 2w dz 2 + p(z) dw dz + q(z)w = 0, (8.1) p(z) ❊ q(z) ❋●❍■❏❑▲▼ • ❍■❏◆❖P◗ ❘❍■❏❑▲❙❚❏▼ • ❯❱❖❲❍■◆❏◆❳❨❖P◗ ❘❍■❑▲❏◆❳❨❙❚❏▼ ❩❬❭❪❫❪❴❵❛❜❝❞❲ ❡❢❣❪❤✐ ❥❦❧♠♥ z0 ❣♦♣ qrs❣t✉❬❭▼ ❜❝ ✈❭ p(z), q(z) ✇ z0 ♥❣❪①②③④♠ ⑤❬❭❪✇ z0 ♥❣❪①②❲ ⑥⑦⑧❲③④♠ ⑤❬❭❪❣⑨⑩❲❶❷❲✐ Taylor ❬❭❸✐ Laurent ❬❭▼ • ❹❺ p(z), q(z) ❻ z0 ❼◆❳❲❽ z0 ❼❋●❍■❏❾❼▼ • ❹❺ p(z), q(z) ❿➀➁➂➃➄❻ z0 ❼➅◆❳❲❽ z0 ❼❋●❍■❏➆❼▼ ➇ 8.1 ➈➉➊❍■ (Hypergeometric equation) z(1 − z) d 2w dz 2 + γ − (1 + α + β)z dw dz − αβw = 0 ❏❑▲❖ p(z) = γ − (1 + α + β)z z(1 − z) ❊ q(z) = − αβ z(1 − z) . ❻➂➋➌➍❲ p(z) ❊ q(z) ➂➎➄➆❼➏ z = 0 ❊ z = 1 ▼➐➑❲➒➓ z = 0 ❊ z = 1 ❖➈➉➊❍■ ❏➆❼➔❲➂➋➌➍❏→➣❼↔❖❍■❏❾❼▼ ➇ 8.2 Legendre ❍■ 1 − x 2 d 2y dx 2 − 2x dy dx + l(l + 1)y = 0, ❻➂➋➌➍❏➆❼● x = ±1 ▼
§81二阶线性常微分方程的常点和奇点 要判断无穷远点z=∞是不是方程(8.1)的奇点,则必须作自变量的变换z=1/t dt dz 因此,方程(8.1)变为 dt2+ t tP (8.2) 如果t=0是方程(8.2)的常点(奇点),则称无穷远点z=∞是方程(8.1)的常点(奇点) t=0(即z=∞)为方程常点的条件是 1-t1-t 4t+bst°+ 2 P(e ba b5 无穷远点是超几何方程和 Legendre方程的奇点
Wu Chong-shi §8.1 ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞✞↕➙➛↕ ✓ 2 ✔ ➜➝➞➟➠➌❼ z = ∞ ❖➅❖❍■ (8.1) ❏➆❼❲❽➡➢➤ ➥ ➦➧❏ ➦➨ z = 1/t ▼ dw dz = −t 2 dw dt , d 2w dz 2 = t 4 d 2w dt 2 + 2t 3 dw dt . ➩➫❲❍■ (8.1) ➦ ● d 2w dt 2 + 2 t − 1 t 2 p 1 t dw dt + 1 t 4 q 1 t w = 0. (8.2) ❹❺ t = 0 ❖❍■ (8.2) ❏❾❼ (➆❼) ❲❽❋➟➠➌❼ z = ∞ ❖❍■ (8.1) ❏❾❼ (➆❼) ▼ t = 0 (➭ z = ∞) ●❍■❾❼❏➯➲❖ p 1 t = 2t + a2t 2 + a3t 3 + · · · , q 1 t = b4t 4 + b5t 5 + · · · , ➭ p(z) = 2 z + a2 z 2 + a3 z 3 + · · · , q(z) = b4 z 4 + b5 z 5 + · · · . ➟➠➌❼❖➈➉➊❍■❊ Legendre ❍■❏➆❼▼
第八讲二阶线性常微分方程的幂级数解法( 第3页 §8.2方程常点邻域内的解 首先,不加证明地介绍下面的定理 定理81如果p(2)和q(2)在圆|z-a0|<R内单值解析,则在此圆内常微分方程初值间题 2 a2x+p(2)2+)=0 (20)=c0,u(z0)=c1(co,c1为任意常数) 有唯一的一个解v(2),并且v(z)在这个圆内单值解析 根据这个定理,可以把u(z)在20点的邻域|2-20<R内展开为 Taylor级数 (2) k(z-20) k=0 显然,这里(2-20)°与(z-20)}的系数co与c1正好和初值条件 将这个形式的级数解代入微分方程,比较系数,就可以求出系数∝k.定理说明,系数 (k=2,3,…)均可用co,c1表示 例83求 Legendre方程 (1-x2) ay +l(+1)y=0 在x=0点邻域内的解,其中l是一个参数 解x=0是方程的常点,因此,可令解 代入方程,就有 (1-x2)∑ck(k-1)x-2-2x∑kx-1+1(+1)∑cx=0 k=0 整理合并,得到 ∑{+2(+1)+2-体+1-0+1)4=0 根据 Taylor展开的唯一性,可得 (k+2)(k+1)ck+2-[k(k+1)-l(+1) +1)-l(+1)(k-l)(k+l+1) (k+2)(k+1)
Wu Chong-shi ✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞✌✍✎✏✑ (✒) ✓ 3 ✔ §8.2 ❃❄❀➳➵➸➺❅➻ ➼➽❲➅➾➚ ➪➶➹➘➴➷❏❚➬▼ ➮➱ 8.1 ❹❺ p(z) ❊ q(z) ❻ ✃ |z − z0| < R ❐❒❮◆❳❲❽❻➫ ✃❐❾❰Ï❍■Ð❮ÑÒ d 2w dz 2 + p(z) dw dz + q(z)w = 0, w(z0) = c0, w0 (z0) = c1 (c0, c1 ●ÓÔ❾▲) ➂Õ➃❏➃➄◆ w(z) ❲Ö× w(z) ❻Ø➄ ✃❐❒❮◆❳▼ ÙÚØ➄❚➬❲Û➑Ü w(z) ❻ z0 ❼❏ÝÞ |z − z0| < R ❐ßà● Taylor á▲ w(z) = X∞ k=0 ck(z − z0) k . âã❲Øä (z − z0) 0 å (z − z0) 1 ❏❑▲ c0 å c1 æç❊Ð❮➯➲➃è▼ é Ø➄êë❏á▲◆ìí❰Ï❍■❲îï❑▲❲ðÛ➑ñò❑▲ ck ▼❚➬ó ➪❲❑▲ ck(k = 2, 3, · · ·) ôÛõ c0, c1 ö÷▼ ➇ 8.3 ñ Legendre ❍■ 1 − x 2 d 2y dx 2 − 2x dy dx + l(l + 1)y = 0 ❻ x = 0 ❼ÝÞ ❐❏◆❲→ ❿ l ❖➃➄ø▲▼ ➻ x = 0 ❖❍■❏❾❼❲ ➩➫❲Ûù◆ y = X∞ k=0 ckx k . ìí❍■❲ð➂ 1 − x 2 X∞ k=0 ckk(k − 1)x k−2 − 2x X∞ k=0 ckkxk−1 + l(l + 1)X∞ k=0 ckx k = 0, ú ➬ûÖ❲üý X∞ k=0 n (k + 2)(k + 1)ck+2 − k(k + 1) − l(l + 1) ck o x k = 0. ÙÚ Taylor ßà❏Õ➃❨❲Ûü (k + 2)(k + 1)ck+2 − [k(k + 1) − l(l + 1)] ck = 0, ➭ ck+2 = k(k + 1) − l(l + 1) (k + 2)(k + 1) ck = (k − l)(k + l + 1) (k + 2)(k + 1) ck. Øþðüý➓❑▲ÿ❏ ✁✂✄☎ ▼✆✝✞õ✟✠✡❑❲ðÛ➑ñü❑▲
§82方程常点邻域内的解 第4页 (2n-l-2)(2 1) C2n-2 (2n-l-2)(2n-l-4)(2n+l-1)(2n+l-3) 2n(2n-1)(2n-2)(2n-3) 2)(2n-l-4)…(-1)·(2n+l-1)(2n+l-3)…(l+1), (2n-l-1)(2n-l-3)(2n+l)(2n+l-2 (2n+1)(2n)(2n-1)(2n-2) (2n-1-1)(2n-1-3)…(-1+1).(2m+1)(2n+1-2)…(+2) 利用r函数的性质 r(z+1) r(z+n+1)=(x2+n)(z+n-1)…(z+1)r(z) 可以将c2n和C2n+1写成 l+1 所以, Legendre方程的解就是 v(x)=co1(x)+c1y2(x), 其中 (2n)! 2 (x)
Wu Chong-shi §8.2 ✡☛✞↕☛☞ ✌☞✏ ✓ 4 ✔ c2n = (2n − l − 2)(2n + l − 1) 2n(2n − 1) c2n−2 = (2n − l − 2)(2n − l − 4)(2n + l − 1)(2n + l − 3) 2n(2n − 1)(2n − 2)(2n − 3) c2n−4 = · · · = c0 (2n)!(2n − l − 2)(2n − l − 4)· · ·(−l) · (2n + l − 1)(2n + l − 3)· · ·(l + 1), c2n+1 = (2n − l − 1)(2n + l) (2n + 1)(2n) c2n−1 = (2n − l − 1)(2n − l − 3)(2n + l)(2n + l − 2) (2n + 1)(2n)(2n − 1)(2n − 2) c2n−3 = · · · = c1 (2n + 1)!(2n − l − 1)(2n − l − 3)· · ·(−l + 1) · (2n + l)(2n + l − 2)· · ·(l + 2). ✞õ Γ ✍▲❏❨✎ Γ (z + 1) = zΓ (z), Γ (z + n + 1) = (z + n)(z + n − 1)· · ·(z + 1)zΓ (z), Û➑é c2n ❊ c2n+1 ✏✑ c2n = 2 2n (2n)! Γ n − l 2 Γ − l 2 Γ n + l + 1 2 Γ l + 1 2 c0, c2n+1 = 2 2n (2n + 1)! Γ n − l − 1 2 Γ − l − 1 2 Γ n + 1 + l 2 Γ 1 + l 2 c1. ➐➑❲ Legendre ❍■❏◆ð❖ y(x) = c0y1(x) + c1y2(x), → ❿ y1(x) = X∞ n=0 2 2n (2n)! Γ n − l 2 Γ − l 2 Γ n + l + 1 2 Γ l + 1 2 x 2n , y2(x) = X∞ n=0 2 2n (2n + 1)! Γ n − l − 1 2 Γ − l − 1 2 Γ n + 1 + l 2 Γ 1 + l 2 x 2n+1
第八讲二阶线性常微分方程的幂级数解法( 第5页 正如定理所说,任意给定一组co和q,就一定可以求出方程的一个特解.特别是, 如果取co=1,c1=0,就得到特解y(x); 如果取co=0.c1=1,就得到特解y2(x) 显然,这两个特解{x)和ψ(x)是线性无关的.从这两个线性无关特解出发,就可以构 造出方程的通解 如果把解式中的常数co和c1看成是任意叠加常数,上面得到的就是方程的通解 关于解的奇偶性的讨论.上面求得的特解中,y(x)只含有x的偶次幂,y(x)只含有r的奇 次幂,即y(x)是x的偶函数,y2(x)是x的奇函数.从求解的过程来看,这是由于递推关系中只 出现系数+2和(,而与+无关,因此2n完全由c0决定,2n+1完全由a1决定.从根本上 来说,方程的解的对称性(这里指的是奇偶性),当然应该是方程的对称性的反映 通过这个实例,可以看出在常点邻域内求级数解的一般步骤.这就是: 将(方程常点邻域内的)解展开为 Taylor级数,代入微分方程 比较系数,得到系数之间的递推关系 反复利用递推关系,求出系数ck的普遍表达式(用c和1表示),从而最后得出级数解; 由于递推关系一定是线性的(因为方程是线性的),所以最后的级数解一定可以写成 w(a)=cown(a)+c1w2(2) 的形式 在系数之间的递推关系中,一般会同时出现ck,ck+1,ck+2三个相邻的系数,因此ck会同时依 赖于c0和c1,最后求得的u1(2)或u2(z)就不会只含有z的偶次幂或奇次幂
Wu Chong-shi ✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡☛☞✌✍✎✏✑ (✒) ✓ 5 ✔ æ❹❚➬➐ó❲ ÓÔ✒❚➃✓ c0 ❊ c1 ❲ð➃❚Û➑ñò❍■❏➃➄❯◆▼❯❱❖❲ • ❹❺✔ c0 = 1, c1 = 0 ❲ðüý❯◆ y1(x) ✕ • ❹❺✔ c0 = 0, c1 = 1 ❲ðüý❯◆ y2(x) ▼ ✖✗❲ ✘✙✚✛❪ y1(x) ✜ y2(x) ✐✢②t ✣❣ ▼✤✘✙✚✢②t ✣✛❪ ✥✦❲③✧ ★✩ ✪ ✥❜❝❣✫❪ ▼ • ❹❺Ü◆ë ❿❏❾▲ c0 ❊ c1 ✬✑❖ÓÔ✭➾❾▲❲✮ ➷üý❏ð❖❍■❏✯◆▼ ✄✰➻❅✱✲✽❅✳✴▼ ✮ ➷ñü❏❯◆ ❿❲ y1(x) ✵✶➂ x ❏✷✸✹❲ y2(x) ✵✶➂ x ❏➆ ✸✹❲➭ y1(x) ❖ x ❏✷✍▲❲ y2(x) ❖ x ❏➆✍▲▼✺ ñ◆❏✻■✼✬❲Ø❖ ❘✽✟✠✡❑ ❿✵ ò✾❑▲ ck+2 ❊ ck ❲✿å ck+1 ➟ ✡❲ ➩➫ c2n P◗ ❘ c0 ❙❚❲ c2n+1 P◗ ❘ c1 ❙❚▼✺Ù❀✮ ✼ó❲❍■❏◆❏❁❋❨ (Øä❂❏❖➆✷❨) ❲❃ ã❄❅❖❍■❏❁❋❨❏✆❆▼ ✯✻Ø➄❇❈❲Û➑✬ò❻❾❼ÝÞ ❐ñá▲◆❏➃❉❊❋▼Øð❖➏ • é (❍■❾❼ÝÞ ❐❏) ◆ßà● Taylor á▲❲ìí❰Ï❍■✕ • îï❑▲❲üý❑▲ÿ❏✟✠✡❑✕ • ✆✝✞õ✟✠✡❑❲ñò❑▲ ck ❏●❍ö■ë (õ c0 ❊ c1 ö÷) ❲ ✺ ✿❏❑üòá▲◆✕ ❘✽✟✠✡❑➃❚❖▲❨❏ (➩ ●❍■❖▲❨❏) ❲➐➑❏❑❏á▲◆➃❚Û➑✏✑ w(z) = c0w1(z) + c1w2(z) ❏êë▼ ❻❑▲ÿ❏✟✠✡❑ ❿❲➃❉▼◆❖ò✾ ck, ck+1, ck+2 P➄◗Ý❏❑▲❲➩➫ ck ▼◆❖❘ ❙ ✽ c0 ❊ c1 ❲❏❑ñü❏ w1(z) ❚ w2(z) ð➅▼✵✶➂ z ❏✷✸✹❚➆✸✹▼
§82方程常点邻域内的解 第6页 应用常微分方程的幂级数解法,可以得到方程在一定区域内的解式,我们也可以根据需要 求出方程在不同区域内的解式.可以证明,方程在不同区域内的解式,互为解析延拓.因此,也可 从方程在某一区域内的解式出发,通过解析延拓,推出方程在其他区域内的解式 例8.4设u1是方程 (8.3) 的解,在区域G1内解析.若ω1是ω1在区域G2内的解析延拓,即 ∈G1∩ (8.4) 试证明:t1仍是方程(8.3)的解 12u +q(2)1=g(2), g(2)在G2内解析.因为u1是方程(8.3)在区域G1内的解,故在子区域G1∩G2内,仍满足方程 +八+m=0 d-wr 而在此子区域内,mn1(2)≡1(z),故 d 2i lw1 d2+p(/a2+g(z)i1 z∈Gi∩G 即g(z)≡0,z∈G1∩G2.根据解析函数的唯一性,立即证得 g(2)≡0 ∈G2 亦即v1在G2内满足方程 42+p(2) +q()1=0.口 例85设m1和m2都是方程(8.3)的两个线性无关解,且均在区域G1内解析.若 m1和2分别是u1和m2在区域G2内的解析延拓,即在z∈G1∩G2中 l1三u1,U2三u2 试证:t1和v2仍线性无关 证由例8.4知,1和2仍是方程(在G2内)的解.因为u1和m2线性无关, △[u1,2]≡ n1m2l≠0,z∈G1 U12 u2 g(2)在G2内解析.由于在z∈G1∩G2中 U三,m2≡u2 故g(x)≠0,z∈G1∩G2.仍然根据解析函数的唯一性,就证得 g(2)≠0.,z∈G 所以,1和2(在G2内)仍线性无
Wu Chong-shi §8.2 ✡☛✞↕☛☞ ✌☞✏ ✓ 6 ✔ ❄ õ❾❰Ï❍■❏✹á▲◆❯❲Û➑üý❍■❻➃❚❱Þ ❐❏◆ë▼❲❳❨Û➑ÙÚ❩➜ ❲ ñò❍■❻➅◆❱Þ ❐❏◆ë▼Û➑➚ ➪❲❍■❻➅◆❱Þ ❐❏◆ë❲❬ ●◆❳❭❪▼ ➩➫❲❨Û ✺ ❍■❻❫➃❱Þ ❐❏◆ëò❴❲✯✻◆❳❭❪❲✠ò❍■❻→➣❱Þ ❐❏◆ë▼ ➇ 8.4 ❵ w1 ❖❍■ d 2w dz 2 + p(z) dw dz + q(z)w = 0 (8.3) ❏◆❲❻❱Þ G1 ❐◆❳▼❛ we1 ❖ w1 ❻❱Þ G2 ❐❏◆❳❭❪❲➭ w1 ≡ we1, z ∈ G1 T G2, (8.4) ❜ ➚ ➪➏ we1 ❝❖❍■ (8.3) ❏◆▼ ❞ ❵ d 2we1 dz 2 + p(z) dwe1 dz + q(z)we1 = g(z), g(z) ❻ G2 ❐◆❳▼➩ ● w1 ❖❍■ (8.3) ❻❱Þ G1 ❐❏◆❲❡ ❻❢❱Þ G1 T G2 ❐❲❝❣❤❍■ d 2w1 dz 2 + p(z) dw1 dz + q(z)w1 = 0. ✿❻ ➫ ❢❱Þ ❐❲ w1(z) ≡ we1(z) ❲ ❡ d 2we1 dz 2 + p(z) dwe1 dz + q(z)we1 = 0, z ∈ G1 T G2, ➭ g(z) ≡ 0, z ∈ G1 T G2 ▼ ÙÚ◆❳✍▲❏Õ➃❨❲✐➭➚ü g(z) ≡ 0, z ∈ G2, ❥ ➭ we1 ❻ G2 ❐❣❤❍■ d 2we1 dz 2 + p(z) dwe1 dz + q(z)we1 = 0. ➇ 8.5 ❵ w1 ❊ w2 ↔ ❖ ❍ ■ (8.3) ❏ ➎ ➄ ▲ ❨ ➟ ✡ ◆ ❲× ô ❻ ❱ Þ G1 ❐◆ ❳ ▼❛ we1 ❊ we2 Ï❱❖ w1 ❊ w2 ❻❱Þ G2 ❐❏◆❳❭❪❲➭❻ z ∈ G1 T G2 ❿ w1 ≡ we1, w2 ≡ we2. ❜ ➚➏ we1 ❊ we2 ❝▲❨ ➟ ✡▼ ❞ ❘❈ 8.4 ❦❲ we1 ❊ we2 ❝❖❍■ (❻ G2 ❐) ❏◆▼➩ ● w1 ❊ w2 ▲❨ ➟ ✡❲ ∆[w1, w2] ≡ w1 w2 w 0 1 w 0 2 6= 0, z ∈ G1. ❵ ∆[we1, we2] ≡ we1 we2 we 0 1 we 0 2 = g(z), g(z) ❻ G2 ❐◆❳▼❘✽❻ z ∈ G1 T G2 ❿❲ w1 ≡ we1, w2 ≡ we2, ❡ g(z) 6= 0, z ∈ G1 T G2 ▼❝ ãÙÚ◆❳✍▲❏Õ➃❨❲ð➚ü g(z) 6= 0, z ∈ G2. ➐➑❲ we1 ❊ we2(❻ G2 ❐) ❝▲❨ ➟ ✡▼
