第十六章球函数 说明 ★本章计划讲授学时:7
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第十六章球函数 第1页 第十六章球函数 将 Helmholtz方程在球坐标系下分离变量,可得到连带 Legendre方程 sinedo sinede 1 d d)+ 一 μ sin20 =0 以及它的特殊情形, Legendre方程 1d (sin+= sin 0 de 作变换x=cos,y(x)=(),则又可将它们改写成 d (1-x) + -x2y=0 和 dx[() dy + =0 d dx 本章讨论这两个方程的解,它们的主要性质及其在分离变量法中的应用
18Ù ¥ ¼ ê 1 1 18Ù ¥ ¼ ê òHelmholtz§3¥IXe©lCþ§ëLegendre § 1 sin θ d dθ µ sin θ dΘ dθ ¶ + h λ − µ sin2 θ i Θ = 0 ±9§AÏ/§Legendre§ 1 sin θ d dθ µ sin θ dΘ dθ ¶ + λΘ = 0, Cx = cos θ, y(x) = Θ(θ)§Kqò§U¤ d dx ·³ 1 − x 2 ´ dy dx ¸ + · λ − µ 1 − x2 ¸ y = 0 Ú d dx ·³ 1 − x 2 ´ dy dx ¸ + λy = 0. Ù?Øùü§)§§Ì59Ù3©lCþ{¥A^©
6.1 Legendre方程的解 第2页 16.1 Legendre方程的解 在求出 Legendre方程的解的具体形式之前,根据常微分方程的解析理论(见第六 章),事先就可以对 Legendre方程的解的解析性作出判断 ★ Legendre方程(这里的x是复变量!) +y=0 有三个奇点,x=±1和r=∞,并且都是正则奇点.因此,除了这三个点可能是奇点 外, Legendre方程的解在全平面解析 ★x=0点是 Legendre方程的常点,因此,方程的解在以x=0点为圆心的单位圆x<1内 解析,可以展开为 Taylor级数,第六章中已经求出了两个线性无关的特解,它们是 2 rIn- r(n+1+ 2n+1 26(2n+1) 2丿r(1+2) 其中 把这两个特解作解析延拓,可以得到 Legendre方程的解在其他区域内的表达式.但是,无论如 何,在级数解收敛圆的圆周上,确切说,在α=±1这两点,方程的级数解总一定不解析.这 从上面写出的解的具体形式可以看出 对于y(x),当n足够大时,其系数 U)n-(u+1)/2n+v/2√2丌 (2n+1)2n+1/2e-(2n+1)√2r n+3+1)n+/2 e-n-(+1)/2y2r 常数
16.1 Legendre§) 1 2 16.1 Legendre§) 3¦ÑLegendre§)äN/ªc§â~©§)ÛnØ(18 Ù)§¯kÒ±éLegendre§))Û5Ñä© F Legendre§(ùpx´ECþ) d dx ·³ 1 − x 2 ´ dy dx ¸ + λy = 0. knÛ:§x = ±1Úx = ∞§¿ Ñ´KÛ:©Ïd§Ø ùn:U´Û: §Legendre§)3 ²¡)Û© F x = 0:´Legendre§~:§Ïd§§)3±x = 0 : %ü |x| < 1S )Û§±ÐmTaylor?ê©18Ù¥®²¦Ñ ü5Ã'A)§§´ y1(x) = X∞ n=0 2 2n (2n)! Γ ³ n − ν 2 ´ Γ µ n + ν + 1 2 ¶ Γ ³ − ν 2 ´ Γ µ ν + 1 2 ¶ x 2n , y2(x) = X∞ n=0 2 2n (2n + 1)! Γ µ n − ν − 1 2 ¶ Γ ³ n + 1 + ν 2 ´ Γ µ − ν − 1 2 ¶ Γ ³ 1 + ν 2 ´ x 2n+1 , Ù¥ ν(ν + 1) = λ. rùüA))Ûòÿ§±Legendre§)3Ù¦«SLª©´§ÃØX Û§3?ê)Âñ ±þ§(`§3x = ±1 ùü:§§?ê)o½Ø)Û©ù lþ¡Ñ)äN/ª±wÑ© éuy1(x)§nv §ÙXê c2n = 2 2n (2n)! Γ ³ n − ν 2 ´ Γ µ n + ν + 1 2 ¶ Γ ³ − ν 2 ´ Γ µ ν + 1 2 ¶ ∼ 2 2n (2n + 1)2n+1/2e−(2n+1)√ 2π ³ n − ν 2 ´n−(ν+1)/2 e −n+ν/2√ 2π Γ ³ − ν 2 ´ × µ n + ν + 1 2 ¶n+ν/2 e −n−(ν+1)/2√ 2π Γ µ ν + 1 2 ¶ = ~ê × 1 n .
6.1 Legendre方程的解 第3页 这说明,除了一个常数倍外,y(x)在x=±1附近的行为,和 完全相同.因此,y(x)在x=土1对数发散.x=±1是y1(x)的枝点.如果把 Legendre方程 在x=0的第一解驷(x)解析延拓到全平面上,它一定是一个多值函数 对于y2(x),当n足够大时,也有 2 r(n+1+ c2n+1 (2n+1)! (2n+2) +1+ 2 常数 所以,除了一个常数倍外,y2(x)在x=±1附近的行为,和 完全相同.因此,y2(x)在x=土1也对数发散.x=±1也是v2(x)的枝点,把 Legendre方程 在x=0的第二解y2(x)解析延拓到全平面上,它也是一个多值函数 ★还可以在x=1(或x=-1)点的邻域内求解 Legendre方程 由于x=±1是方程的正则奇点,方程在环域0<|x-1<2内有两个正则解,故可设 v(x)=(x-1∑cn(x-1 代入 Legendre方程,就可以得到在x=1点的指标方程 p(p-1)+p=0 所以,p1=P2=0.这说明 Legendre方程在x=1点邻域内的第一解实际上是在圆域x-1|< 2内解析的,而第二解则一定含有对数项,以x=1(和x=-1)为枝点 按照常微分方程级数解法的标准步骤,可以求出 Legendre方程在x=1点邻域内的第 P门F=+(=2
16.1 Legendre§) 1 3 ù`²§Ø ~ê §y1(x)3x = ±1NC1§Ú ln 1 1 − x2 = X∞ n=1 1 n x 2n Ó©Ïd§y1(x)3x = ±1éêuÑ©x = ±1´y1(x) {:©XJrLegendre§ 3x = 01)y1(x))Ûòÿ ²¡þ§§½´õ¼ê© éuy2(x)§nv §k c2n+1 = 2 2n (2n + 1)! Γ µ n − ν − 1 2 ¶ Γ ³ n + 1 + ν 2 ´ Γ µ − ν − 1 2 ¶ Γ ³ 1 + ν 2 ´ ∼ 2 2n (2n + 2)2n+3/2e−(2n+2)√ 2π × µ n − ν − 1 2 ¶n−ν/2 e −n+(ν−1)/2√ 2π Γ µ − ν − 1 2 ¶ × ³ n + 1 + ν 2 ´n+(ν+1)/2 e −n−1−ν/2√ 2π Γ ³ 1 + ν 2 ´ = ~ê × 1 2n + 1 . ¤±§Ø ~ê §y2(x)3x = ±1NC1§Ú ln 1 + x 1 − x = X∞ n=1 2 2n + 1 x 2n+1 Ó©Ïd§y2(x)3x = ±1éêuÑ©x = ±1´y2(x) {:©rLegendre§ 3x = 01)y2(x))Ûòÿ ²¡þ§§´õ¼ê© F ±3x = 1(½x = −1):S¦)Legendre§© dux = ±1´§KÛ:§§30 < |x − 1| < 2SküK)§ y(x) = (x − 1)ρ X∞ n=0 cn(x − 1)n , \Legendre§§Ò±3x = 1:I§ ρ(ρ − 1) + ρ = 0. ¤±§ρ1 = ρ2 = 0©ù`²Legendre§3x = 1:S1)¢Sþ´3 |x − 1| < 2S)Û§ 1)K½¹ké꧱x = 1(Úx = −1){:© Uì~©§?ê){IOÚ½§±¦ÑLegendre§3x = 1:S1) Pν(x) = X∞ n=0 1 (n!)2 Γ (ν + n + 1) Γ (ν − n + 1) µ x − 1 2 ¶n ,
6.1 Legendre方程的解 第4页 称为v次第一类 Legendre函数;第二解可取为 Qv(a)=oPv(a) x-1-27-2p(u+1) 品可=m+订(1+5+…×1)(2 1r(u+n+1 称为v次第二类 Legendre函数,其中γ是 Euler数,ψ(z)是r函数的对数微商 由于函数P(x)(延拓到全平面后,它是以x=-1和x=∞为枝点的多值函 数)和Q(x)的多值性已有约定性的规定,使用时需要特别注意
16.1 Legendre§) 1 4 ¡νg1aLegendre¼ê¶1) Qν(x) = 1 2 Pν(x) · ln x + 1 x − 1 − 2γ − 2ψ(ν + 1)¸ + X∞ n=0 1 (n!)2 Γ (ν + n + 1) Γ (ν − n + 1) µ 1 + 1 2 + · · · + 1 n ¶ µx − 1 2 ¶n , ¡νg1aLegendre ¼ê§Ù¥γ´Euler ê§ψ(z) ´Γ¼êéêû© du¼êPν(x)(òÿ ²¡§§´±x = −1Úx = ∞{:õ¼ ê)ÚQν(x)õ5®k½55½§¦^IAO5¿©
62 Legendre多项式 第5页 16.2 Legendre多项式 球形区域内x2+y2+22<a2的 Laplace方程边值问题 us=f(2) 其中∑代表球面x2+y2+2=a2上的变点 考虑到现在所讨论的空间区域的具体形状,自然会采用球坐标系来求解这个定解问题, 而且会把坐标原点放置在球心,如果边界条件具有绕某一个(通过球心的)固定轴旋转不变的对 称性,那么,当然也就应当把这个对称轴的方向取为极轴的方向 这样选择了坐标系后,所要求的未知函数u当然就与d无关 容易写出定解问题在球坐标系下的具体形式.但是,需要注意 ★ Laplace方程在θ=0和6=丌方向上不成立,在这些点上充其量只存在u(r,0)对的单侧 导数 把 Laplace方程改写到球坐标系时,为了保持定解问题的等价性,必须补充上u(r,θ)在θ= 0和=丌方向上的有界条件 ★ Laplace方程在坐标原点r=0也不成立,在该点充其量只存在a(r,)对r的单侧导数 把 Laplace方程改写到球坐标系时,为了保持定解问题的等价性,还必须补充上u(r,0)在 坐标原点r=0处的有界条件 定解问题在球坐标系下的完整表达形式应该是 10 r2 dr( ar u=有界 有界 u-=有界, u=f(0) 分离变量.令 u(r,6)=f(r)e(6) 代入方程和有界条件,就能够分离变量而得到 de(6) sIn d6)+X6( (0)有界, O(丌)有界, d(2dR() aR(r=0
16.2 Legendreõª 1 5 16.2 Legendreõª ¥/«Sx 2 + y 2 + z 2 ¯K ∇ 2 u = 0, u ¯ ¯ Σ = f(Σ), Ù¥ΣL¥¡x 2 + y 2 + z 2 = a 2þC:© Äy3¤?Øm«äN/G§g,¬æ^¥IX 5¦)ù½)¯K§ ¬rI:3¥%©XJ>.^äk7,(ÏL¥%)½¶^=ØCé ¡5§@o§,ÒArù顶4¶© ùÀJ IX§¤¦¼êu,ÒφÃ'§ u = u(r, θ). N´Ñ½)¯K3¥IXeäN/ª©´§I5¿µ F Laplace §3θ = 0Úθ = πþؤá§3ù :þ¿Ùþ3u(r, θ)éθüý ê© rLaplace§U¥IX§ ±½)¯K d5§7LÖ¿þu(r, θ)3θ = 0Úθ = πþk.^© F Laplace §3I:r = 0ؤá§3T:¿Ùþ3u(r, θ) érüýê© rLaplace§U¥IX§ ±½)¯K d5§7LÖ¿þu(r, θ)3 I:r = 0?k.^© ½)¯K3¥IXeL/ªAT´ 1 r 2 ∂ ∂r µ r 2 ∂u ∂r ¶ + 1 r 2 sin θ ∂ ∂θ µ sin θ ∂u ∂θ ¶ = 0, u ¯ ¯ θ=0k.§ u ¯ ¯ θ=πk.§ u ¯ ¯ r=0k.§ u ¯ ¯ r=a = f(θ). ©lCþ©- u(r, θ) = R(r)Θ(θ), \§Úk.^§ÒU ©lCþ 1 sin θ d dθ µ sin θ dΘ(θ) dθ ¶ + λΘ(θ) = 0, Θ(0)k.§ Θ(π) k., Ú d dr µ r 2 dR(r) dr ¶ − λR(r) = 0,
62 Legendre多项式 第6页 其中入是分离变量时引进的待定参数 Legendre方程,配上有界条件,构成本征值问题,通常作变换x=cos,y(x)=6(6),并 且把待定参数λ写成v(u+1),本征值问题就变为 a(-)出+0+1=0 y(±1)有界 求本征值和本征函数 ★可以从 Legendre方程在x=0点邻域內两个线性无关解出发来求解 上一节已经给出了这两个线性无关解的形式,还论证了对于一般的入(或)值,这两个解 在x=±1都是对数发散的 为了使得方程的解在x=士1均有界,就要求λ(或υ)取某些特殊值 ★从 Legendre方程在x=1点邻域内的两个线性无关解Pu(x)和Q(x)出发来讨论 (x) T(+n+l (m)2r(u-n+ P(x)在x=1点是解析的,当然也就是有界的 Qv(a)=Pv(a) r-7-27-2u(u+1) 1r(u+n+1) 1+-+…+ (m!)2r(u-n+1) Q(x)在x=1点是对数发散的 把 Legendre方程的通解写成 a)=ciPv(a)+ c2Qv(a), 由于要求解在x=1有界,必须有c2=0,而且不妨取c1=1 要求解在x=-1点也有界,就可以定出本征值λ=v(u+1),从而求出相应的本征函数 在x=-1点,P(x)的数值为 P(-1) r(+n+1 r(v-n+1)
16.2 Legendreõª 1 6 Ù¥λ´©lCþÚ?½ëê© Legendre§§þk.^§¤ ¯K©Ï~Cx = cos θ, y(x) = Θ(θ)§¿ r½ëêλ¤ν(ν + 1)§ ¯KÒC d dx ·³ 1 − x 2 ´ dy dx ¸ + ν(ν + 1)y = 0, y(±1) k.. ¦ Ú ¼ê F ±lLegendre§3x = 0:Sü5Ã')Ñu5¦)© þ!®²Ñ ùü5Ã')/ª§Øy éuλ(½ν)§ùü) 3x = ±1Ñ´éêuÑ© ¦§)3x = ±1þk.§Ò¦λ(½ν) , AÏ© F lLegendre§3x = 1:Sü5Ã')Pν(x)ÚQν(x)Ñu5?Ø© Pν(x) = X∞ n=0 1 (n!)2 Γ (ν + n + 1) Γ (ν − n + 1) µ x − 1 2 ¶n , Pν(x)3x = 1:´)Û§,Ò´k.¶ Qν(x) = 1 2 Pν(x) · ln x + 1 x − 1 − 2γ − 2ψ(ν + 1)¸ + X∞ n=0 1 (n!)2 Γ (ν + n + 1) Γ (ν − n + 1) µ 1 + 1 2 + · · · + 1 n ¶ µx − 1 2 ¶n , Qν(x)3x = 1:´éêuÑ© rLegendre§Ï)¤ y(x) = c1Pν(x) + c2Qν(x), du¦)3x = 1k.§7Lkc2 = 0§ Øc1 = 1© ¦)3x = −1:k.§Ò±½Ñ λ = ν(ν + 1)§l ¦ÑA ¼ê© 3x = −1:§Pν(x)ê Pν(−1) = X∞ n=0 (−) n (n!)2 Γ (ν + n + 1) Γ (ν − n + 1).
re多项式 第7页 容易看出,当n>以以后,级数的各项符号相同,因此这个级数是一个正项级数①.它的相邻两 项之比为 =[+]r(+x+2=m 1+-+O (n++1)(n-v) 根据Gaus判到别法②,可以看出 ★对于一般的v值,P(x)在x=-1点发散 ★只要Pu(x)是无穷级数,它就不可能在x=-1点有界 ★要使得本征值问题有(非零)解,必须要求PL(x)不是无穷级数,即截断为多项式 从P(x)的具体形式看,这只能发生在v为非负整数时,所以,本征值问题的解就是 本征值 l(l 本征函数 y (r)=PI(a) Pl(x)是一个次多项式,称为次 Legendre多项式, n!)2(-n)!(2 容易得到 Legendre多项式在x=1点的数值 Legendre多项式是作为本征值问题的解出现的,是作为 Legendre方程在有界条件 下的本征函数出现的 列出最低的几个 Legendre多项式的表达式 P P2(x)=2 P4(x) ①首先要证明v(u+1)≥0,因而v≥0 2Gas判别法:若级数∑un中相邻两项之比可以写成 则当a>1时,级数绝对收敛;当a<1时,级数不可能绝对收敛
16.2 Legendreõª 1 7 N´wѧn > ν±§?êÎÒÓ§Ïdù?ê´?ꩧü ' un un+1 = − h (n + 1)! n! i2 Γ (ν + n + 1) Γ (ν + n + 2) Γ (ν − n) Γ (ν − n + 1) = (n + 1)2 (n + ν + 1)(n − ν) = 1 + 1 n + O µ 1 n2 ¶ , âGaussO{§±wѵ F éuν§Pν(x)3x = −1:uÑ© F Pν(x)´Ã¡?ꧧÒØU3x = −1:k.¶ F ¦ ¯Kk("))§7L¦Pν(x)شá?ê§= äõª© lPν(x)äN/ªw§ùUu)3νKꩤ±§ ¯K)Ò´ λl = l(l + 1), l = 0, 1, 2, 3, · · · , ¼ê yl(x) = Pl(x). Pl(x)´lgõª§¡lgLegendreõª§ Pl(x) = X l n=0 1 (n!)2 (l + n)! (l − n)! µ x − 1 2 ¶n . N´Legendreõª3x = 1:êµ Pl(1) = 1. Legendreõª´ ¯K)Ñy§´Legendre§3k.^ e ¼êÑy© Ñ$ALegendreõªLªµ P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) = 1 2 ³ 3x 2 − 1 ´ , P3(x) = 1 2 ³ 5x 3 − 3x ´ , P4(x) = 1 8 ³ 35x 4 − 30x 2 + 3´ . Äky²ν(ν + 1) ≥ 0§Ï ν ≥ 0© GaussO{µe?ê P∞ n=0 un¥ü'±¤ un un+1 = 1 + µ n + O ³ n −λ ´ , µ = α + iβ, λ > 1, Kα > 1§?êýéÂñ¶α ≤ 1§?êØUýéÂñ©
re多项式 第8页 它们的图形见图16.1 P,(x) P(a 图16.1 Legendre多项式
16.2 Legendreõª 1 8 §ã/ã16.1© ã16.1 Legendreõª
6.3 Legendre多项式的微分表示 第9页 16.3 Legendre多项式的微分表示 Legendre多项式的微分表示是 P1(x)= 2 ll drl 这个表达式也称为 Rodrigues公式. 证因为 (2-1)=(-1)2+(a-1) l! 所以 d4 2 1 drl n!(-n)! n=0 1(+n)! n!(l-n)!n! 这样就证明了 Legendre多项式的微分表示.口 从 Legendre多项式的微分表示,立即可以看出 Legendre多项式的奇偶性:l为偶数 时P(x)是偶函数;1为奇数时P(x)是奇函数,即 (_x)=(-)P(x) 再结合P1(x)在x=1点的数值,又可以得到P(x)在x=-1点的数值 从 Legendre多项式的微分表示还可以直接求出 Legendre多项式中所有各项的系数,从而导 出 Legendre多项式的另一个显明表达式.为此,可将(x2-1)展开 !(-r) 然后逐项微商l次, l!(2-2r)!t-2r (-r)!( 由于微商l次后,多项式的次数要降低l次,所以这里和式的上限就由微商前的l变为微商后 的1/2].对比一下 Legendre多项式的微分表示,就得到 P2(x)=∑(-) r!(-r)!(1-2r)!
16.3 Legendre õª©L« 1 9 16.3 Legendre õª©L« Legendreõª©L«´ Pl(x) = 1 2 l l! d l dxl ³ x 2 − 1 ´l . ùLª¡Rodriguesúª© y Ï ³ x 2 − 1 ´l = (x − 1)l [2 + (x − 1)]l = X l n=0 l! n! (l − n)!2 l−n (x − 1)l+n , ¤± 1 2 l l! d l dxl ³ x 2 − 1 ´l = d l dxl X l n=0 1 n! (l − n)!2 −n (x − 1)l+n = X l n=0 1 n! (l − n)! (l + n)! n! µ x − 1 2 ¶n . ùÒy² Legendreõª©L«© lLegendreõª©L«§á=±wÑLegendreõªÛó5µl óê Pl(x)´ó¼ê¶lÛêPl(x)´Û¼ê§= Pl(−x) = (−) lPl(x). 2(ÜPl(x)3x = 1:ê§q±Pl(x)3x = −1:ê§ Pl(−1) = (−1)l . lLegendreõª©L«±¦ÑLegendreõª¥¤kXê§l ÑLegendreõª,w²Lª©d§ò ¡ x 2 − 1 ¢lÐm§ ³ x 2 − 1 ´l = X l r=0 (−) r l! r! (l − r)!x 2l−2r , ,Åûlg§ d l dxl ³ x 2 − 1 ´l = d l dxl X l r=0 (−) r l! r! (l − r)!x 2l−2r = [ X l/2] r=0 (−) r l! r! (l − r)! (2l − 2r)! (l − 2r)! x l−2r , duûlg§õªgêü$lg§¤±ùpÚªþÒdûclCû [l/2]©é'eLegendreõª©L«§Ò Pl(x) = [ X l/2] r=0 (−) r (2l − 2r)! 2 l r! (l − r)! (l − 2r)!x l−2r .
