第二十一章变分法初步 说明 ★本章计划讲授学时:4
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§21.1泛函的概念 第2页 §211泛函的概念 ★泛函,简单地说,就是以整个函数为自变量的函数.这个概念,可以看成是函数概念的 推广 ★所谓函数,是指给定自变量x(定义在某区间内的任一数值,就有一个y与之对应.y称 为x的函数,记为y=f(x) ★设在x,y平面上有一簇曲线y(x),其长度 1 L= ds=+. 显然,y(x)不同,L也不同,即L的数值依赖于整个函数y(x)而改变.L和函数y(x)之间 的这种依赖关系,称为泛函关系. 类似的例子还可以举出许多例如,闭合曲线围成的面积,平面曲线绕固定轴 而生成的旋转体体积或表面积,等等它们也都定了各自的泛函关系 设对于(某一函数集合内的)任意一个函数y(x),有另一个数y]与之对应,则称y为y(x)的 泛函. 这里的函数集合,即泛函的定义域,通常包含要求y(x)满足一定的边界条件,并且具有 连续的二阶导数.这样的y(x)称为可取函数 泛函不同于复合函数,例如g=g(f(x)) 对于后者,给定一个x值,仍然是有一个g值与之对应; 对于前者,则必须给出某一区间上的函数y(x),才能得到一个泛函值 (定义在同一区间上的)函数不同,泛函值当然不同 为了强调泛函值y]与函数y(x)之间的依赖关系,常常又把函数y(x)称为变量函 数. 泛函的形式可以是多种多样的,但是,在本书中我们只限于用积分 Jy]=(,y,)dx 定义的泛函,其中的F是它的宗量的已知函数,具有连续的二阶偏导数. 如果变量函数是二元函数u(x,y),则泛函为 ]=[[(,, u,, uy) drdy, 其中uxOu/x,uy=u/y. 对于更多个自变量的多元函数,也可以有类似的定义
§21.1 泛 函 的 概 念 第 2 页 §21.1 泛 函 的 概 念 F 泛函，简单地说，就是以整个函数为自变量的函数．这个概念，可以看成是函数概念的 推广． F 所谓函数，是指给定自变量x(定义在某区间内)的任一数值，就有一个y与之对应．y称 为x的函数，记为y = f(x)． F 设在x, y平面上有一簇曲线y(x)，其长度 L = Z C ds = Z x1 x0 q 1 + y 02dx. 显然，y(x)不同，L也不同，即L的数值依赖于整个函数y(x)而改变．L和函数y(x)之间 的这种依赖关系，称为泛函关系． 类似的例子还可以举出许多．例如，闭合曲线围成的面积，平面曲线绕固定轴 而生成的旋转体体积或表面积，等等．它们也都定了各自的泛函关系． F 设对于(某一函数集合内的)任意一个函数y(x)，有另一个数J[y]与之对应，则称J[y]为y(x)的 泛函． 这里的函数集合，即泛函的定义域，通常包含要求y(x) 满足一定的边界条件，并且具有 连续的二阶导数．这样的y(x)称为可取函数． 泛函不同于复合函数，例如g = g(f(x))． 对于后者，给定一个x值，仍然是有一个g值与之对应； 对于前者，则必须给出某一区间上的函数y(x)，才能得到一个泛函值J[y]． (定义在同一区间上的)函数不同，泛函值当然不同． 为了强调泛函值J[y]与函数y(x)之间的依赖关系，常常又把函数y(x)称为变量函 数． 泛函的形式可以是多种多样的，但是，在本书中我们只限于用积分 J[y] = Z x1 x0 F(x, y, y 0 ) dx 定义的泛函，其中的F是它的宗量的已知函数，具有连续的二阶偏导数． 如果变量函数是二元函数u(x, y)，则泛函为 J[u] = ZZ S F (x, y, u, ux, uy) dxdy, 其中ux ≡ ∂u/∂x, uy ≡ ∂u/∂y． 对于更多个自变量的多元函数，也可以有类似的定义．
§21.1泛函的概念 第3页 例1如图211所示,在重力作用下,一个质点从(xo,y)点沿平面曲线y(x)无摩擦地自由 下滑到(x1,y)点,则所需要的时间 (x0,vo)√2g(y0-y) 2g(y0-y) 就是叭(x)的泛函.这里,要求变量函数y(x)一定通过端点(x0,y0)和(x1,y) (此问题最早 由 Galileo Galilei提出) 例2弦的横振动问题.设在弦上隔离出足够短的一段弦,则该段弦的 动能=△x/a)2 势能=T△x 其中α(x,t)是弦的横向位移,p是弦的线密度,T是张力.这样,弦的 Hamilton作用量 s=/(o )-(ou 也是位移u(x,t)的泛函 at 称为 Lagrange量( Lagrangian),而被积函数 称为 Lagrange量密度
§21.1 泛 函 的 概 念 第 3 页 图 21.1 例1 如图21.1所示，在重力作用下，一个质点从(x0, y0)点沿平面曲线y(x)无摩擦地自由 下滑到(x1, y1)点，则所需要的时间 T = Z (x1,y1) (x0,y0) ds p 2g(y0 − y) = Z x1 x0 p 1 + y 02 p 2g(y0 − y) dx 就是y(x)的泛函．这里，要求变量函数y(x)一定通过端点(x0, y0)和(x1, y1)． (此问题最早 由Galileo Galilei提出) 例2 弦的横振动问题．设在弦上隔离出足够短的一段弦，则该段弦的 动能 = 1 2 ρ∆x µ ∂u ∂t ¶2 , 势能 = 1 2 T∆x µ ∂u ∂x¶2 , 其中u(x, t)是弦的横向位移，ρ是弦的线密度，T是张力．这样，弦的Hamilton作用量 S = Z t1 t0 dt Z x1 x0 1 2 h ρ µ ∂u ∂t ¶2 − T µ ∂u ∂x¶2 i dx 也是位移u(x, t)的泛函． L = Z x1 x0 1 2 h ρ µ ∂u ∂t ¶2 − T µ ∂u ∂x¶2 i dx 称为Lagrange量(Lagrangian)，而被积函数 1 2 h ρ µ ∂u ∂t ¶2 − T µ ∂u ∂x¶2 i 称为Lagrange量密度．
§21.2泛函的极值 第4页 §21.2泛函的极值 何谓泛函极值? 泛函取极值的必要条件? ★先回忆一下有关函数极值的概念 所谓函数f(x)在xo点取极小值,是指当x在xo点及其附近|r-xo|<E时,恒有 ∫(x)≥∫(xo); 而如果恒有 ∫(x)≤f(xo), 则称函数f(x)在xo点取极大值 函数f(x)在xo点取极值(极小或极大)的必要条件是在该点的导数为0, ★可以用同样的方法定义泛函的极值 当变量函数为y(x)时,泛函取极小值”的含义就是:对于极值函数y(x)及其“附 近”的变量函数y(x)+y(x),恒有 y+]≥Jl 所谓函数y(x)+8y(x)在另一个函数y(x)的“附近”,指的是 2.有时还要求(Sy)'(x)<ε 这里的δy(x)称为函数y(x)的变分 ★可以仿照函数极值必要条件的导出办法,导出泛函取极值的必要条件 不妨不失普遍性地假定,所考虑的变量函数均通过固定的两个端点 y(x1)=b, y(xo)=0,Sy(x1)=0. 考虑泛函的差值 +M=/[F(+60+(0-F数d
§21.2 泛 函 的 极 值 第 4 页 §21.2 泛 函 的 极 值 • 何谓泛函极值？ • 泛函取极值的必要条件？ F 先回忆一下有关函数极值的概念． 所谓函数f(x)在x0点取极小值，是指当x在x0点及其附近|x − x0| < ε时，恒有 f(x) ≥ f(x0); 而如果恒有 f(x) ≤ f(x0), 则称函数f(x)在x0点取极大值． 函数f(x)在x0点取极值(极小或极大)的必要条件是在该点的导数为0， f 0 (x0) = 0. F 可以用同样的方法定义泛函的极值． “当变量函数为y(x)时，泛函J[y]取极小值”的含义就是：对于极值函数y(x)及其“附 近”的变量函数y(x) + δy(x)，恒有 J[y + δy] ≥ J[y]. 所谓函数y(x) + δy(x)在另一个函数y(x)的“附近”，指的是： 1. |δy(x)| < ε； 2. 有时还要求|(δy) 0 (x)| < ε． 这里的δy(x)称为函数y(x)的变分． F 可以仿照函数极值必要条件的导出办法，导出泛函取极值的必要条件． 不妨不失普遍性地假定，所考虑的变量函数均通过固定的两个端点 y(x0) = a, y(x1) = b, 即 δy(x0) = 0, δy(x1) = 0. 考虑泛函的差值 J[y + δy] − J[y] = Z x1 x0 h F ¡ x, y + δy, y 0 + (δy) 0 ¢ − F(x, y, y 0 ) i dx
§21.2泛函的极值 当函数的变分8y(x)足够小时,可以将被积函数在极值函数附近作 Taylor展开,于是,有 +-=厂m{+(1p 1r0 6d+182J+ 其中 F OF 8JlyI 02F 分别是泛函J的一级变分和二级变分.这样就得到:泛函J取极小值的必要条件是泛函的 一级变分为0 6= aF 将上式积分中的第二项分部积分,同时代入边界条件,就有 OF +厂C d OF 8Jly dx d aF L Oy ]8y dz=o 由于Sy的任意性,就可以得到 OF 这个方程称为 Euler-Lagrange方程,它是泛函J列取极小值的必要条件的微分形式.一般说 来,这是一个二阶常微分方程 对于泛函J以]取极大值的情形,也可以类似地讨论,并且也会得到同样形式的必要 条件 在导出 Euler- Lagrange方程时,实际上用到了变分法的一个重要的基本引理: 设(x)是x的连续函数,n(x)具有连续的二阶导数,且n(x) 0,若对于任意n(x) p(a)n(a)dr=0 均成立,则必有(x)≡0 例3设质点在有势力场中沿路径q=q(t)由to,q(to)点运动到t1,q(t1)点,它的 Hamilton作 用量是 S L(t, q, q)dt
§21.2 泛 函 的 极 值 第 5 页 当函数的变分δy(x)足够小时，可以将被积函数在极值函数附近作Taylor展开，于是，有 J[y + δy] − J[y] = Z x1 x0 ½h δy ∂ ∂y + (δy) 0 ∂ ∂y0 i F + 1 2! h δy ∂ ∂y + (δy) 0 ∂ ∂y0 i2 F + · · · ¾ dx = δJ[y] + 1 2!δ 2 J[y] + · · · , 其中 δJ[y] ≡ Z x1 x0 h ∂F ∂y δy + ∂F ∂y0 (δy) 0 i dx, δ 2 J[y] ≡ Z x1 x0 h δy ∂ ∂y + (δy) 0 ∂ ∂y0 i2 Fdx = Z x1 x0 h ∂ 2F ∂y2 (δy) 2 + 2 ∂ 2F ∂y∂y0 δy(δy) 0 + ∂ 2F ∂y02 (δy) 02 i dx 分别是泛函J[y]的一级变分和二级变分．这样就得到：泛函J[y]取极小值的必要条件是泛函的 一级变分为0， δJ[y] ≡ Z x1 x0 h δy ∂F ∂y + (δy) 0 ∂F ∂y0 i dx = 0. 将上式积分中的第二项分部积分，同时代入边界条件，就有 δJ[y] = ∂F ∂y0 δy ¯ ¯ ¯ ¯ x1 x0 + Z x1 x0 h δy ∂F ∂y − δy d dx ∂F ∂y0 i dx = Z x1 x0 h ∂F ∂y − d dx ∂F ∂y0 i δy dx = 0. 由于δy的任意性，就可以得到 ∂F ∂y − d dx ∂F ∂y0 = 0. 这个方程称为Euler–Lagrange方程，它是泛函J[y]取极小值的必要条件的微分形式．一般说 来，这是一个二阶常微分方程． 对于泛函J[y]取极大值的情形，也可以类似地讨论，并且也会得到同样形式的必要 条件． 在导出Euler–Lagrange方程时，实际上用到了变分法的一个重要的基本引理： 设φ(x)是x的连续函数，η(x)具有连续的二阶导数，且η(x) ¯ ¯ x=x0 = η(x) ¯ ¯ x=x1 = 0，若对于任意η(x)， Z x1 x0 φ(x) η(x) dx = 0 均成立，则必有φ(x) ≡ 0． 例3 设质点在有势力场中沿路径q = q(t)由t0, q(t0)点运动到t1, q(t1)点，它的Hamilton作 用量是 S = Z t1 t0 L(t, q, q˙) dt
§21.2泛函的极值 第6页 其中q和q是描写质点运动的广义坐标和广义动量,L=T-V是动能T和势能V之差, 为 量 Hamilton原理告诉我们,在一切(运动学上允许的)可能路径中,真实运动的(即由力学规 律决定的)路径使作用量S取极值 根据上面的讨论可知,作用量S取极值的必要条件的积分形式和微分形式分别是 OL dg 和 d al dt ag 在给定的有势力场中,写出 Lagrange量L的具体形式,就会发现,它和 Newton力学的动力学方 程完全一样 现在讨论泛函 (a, y, y)d 的两种常见的特殊情形. ★泛函中的F=F(x,y)不显含y 这时的 Euler- Lagrange方程就是 aF dz dy 所以,立即就可以得到它的首次积分 y7=常量C ★泛函中的F=F(y,y)不显含x 容易证明 d「;OF LOF d aFaF, aF aF d aF dr a 所以,这时的 Euler- Lagrange方程也可以有首次积分 0F=常量C 把这个结果应用到例21.3中,如果 Lagrange量L不显含t,则有 厉-1=常量C
§21.2 泛 函 的 极 值 第 6 页 其中q和q˙是描写质点运动的广义坐标和广义动量，L = T − V 是动能T和势能V 之差，称 为Lagrange量． Hamilton原理告诉我们，在一切(运动学上允许的)可能路径中，真实运动的(即由力学规 律决定的)路径使作用量S取极值． 根据上面的讨论可知，作用量S取极值的必要条件的积分形式和微分形式分别是 δS = Z t1 t0 h ∂L ∂q δq + ∂L ∂q˙ δq˙ i dt = 0 和 ∂L ∂q − d dt ∂L ∂q˙ = 0. 在给定的有势力场中，写出Lagrange量L的具体形式，就会发现，它和Newton力学的动力学方 程完全一样． 现在讨论泛函 J[y] = Z x1 x0 F(x, y, y 0 ) dx 的两种常见的特殊情形． F 泛函中的F = F(x, y0 )不显含y 这时的Euler–Lagrange方程就是 d dx ∂F ∂y0 = 0, 所以，立即就可以得到它的首次积分 ∂F ∂y0 = 常量 C. F 泛函中的F = F(y, y0 )不显含x 容易证明， d dx h y 0 ∂F ∂y0 − F i =y 00 ∂F ∂y0 + y 0 d dx ∂F ∂y0 − ∂F ∂y y 0 − ∂F ∂y0 y 00 = − y 0 h ∂F ∂y − d dx ∂F ∂y0 i , 所以，这时的Euler–Lagrange方程也可以有首次积分 y 0 ∂F ∂y0 − F = 常量 C. 把这个结果应用到例21.3中，如果Lagrange量L不显含t，则有 q˙ ∂L ∂q˙ − L = 常量 C
§21.2泛函的极值 这就是能量守恒 下面研究二元函数的情形.设有二元函数u(x,y),(x,y)∈S,在此基础上可以定义泛函 a, y, u, uz, 仍然约定,u(x,y)在S的边界T上的数值给定,即 ur固定 首先,当然要计算 Ju+Su-Ja F(, y, u+Su,(u+ Su)z,(u+Su)y)dr dy F(, y, u, ur, uy)dr dy 0 +(5u)}x,+(5n)y 01F 于是,泛函J回取极值的必要条件就是泛函的一级变分为0, F +(S)z aur aF a/aF 0/0F δ u dr d a/aF ar Su).z dy 利用公式 dx (mx+) Q= OF 就能将上面的结果化为 aF a af a aF δJd]= sudrd du ar dur dy auy dr+
§21.2 泛 函 的 极 值 第 7 页 这就是能量守恒． 下面研究二元函数的情形．设有二元函数u(x, y), (x, y) ∈ S，在此基础上可以定义泛函 J[u] = ZZ S F(x, y, u, ux, uy) dx dy. 仍然约定，u(x, y)在S的边界Γ上的数值给定，即 u ¯ ¯ Γ 固定. 首先，当然要计算 J[u + δu] − J[u] = ZZ S F (x, y, u + δu, (u + δu)x, (u + δu)y) dx dy − ZZ S F(x, y, u, ux, uy) dx dy = ZZ S h δu ∂ ∂u + (δu)x ∂ ∂ux + (δu)y ∂ ∂uy i F dx dy + 1 2! ZZ S h δu ∂ ∂u + (δu)x ∂ ∂ux + (δu)y ∂ ∂uy i2 F dx dy + · · · , 于是，泛函J[u]取极值的必要条件就是泛函的一级变分为0， δJ[u] = ZZ S h δu ∂F ∂u + (δu)x ∂F ∂ux + (δu)y ∂F ∂uy i dx dy = ZZ S h ∂F ∂u − ∂ ∂x ³ ∂F ∂ux ´ − ∂ ∂y ³ ∂F ∂uy ´i δu dx dy + ZZ S h ∂ ∂x ³ ∂F ∂ux δu ´ + ∂ ∂y ³ ∂F ∂uy δu ´i dx dy = 0. 利用公式 ZZ S ³ ∂Q ∂x − ∂P ∂y ´ dx dy = Z Γ ³ Pdx + Qdy ´ , 取 Q = ∂F ∂ux δu, P = − ∂F ∂uy δu, 就能将上面的结果化为 δJ[u] = ZZ S h ∂F ∂u − ∂ ∂x ∂F ∂ux − ∂ ∂y ∂F ∂uy i δu dx dy + Z Γ h − ∂F ∂ux dx + ∂F ∂uy dy i δu
§21.2泛函的极值 第8页 根据边界条件,叫r固定,可知 上式右端第二项的线积分为0,所以 aJa a af a OF Sudrd 再利用δu的任意性,就可以导出上面的被积函数一定为0 of a aF a8F≥0 这就是二元函数情形下,泛函 取极值的必要条件的微分形式(Euer- Lagrange方程) 把这个结果应用到例21.2中弦的横振动问题上,就得到使作用量 s=/at[(au)- ou 取极值的必要条件 t a 0 这正是第十二章导出的弦的横振动方程 以上在一元函数和多元函数的泛函极值问题中,都限定了变量函数在端点或边界上 取定值,因而变量函数的变分在端点或边界上一定为0. 这种泛函极值问题称为固定端点或固定边界的泛函极值问题 这类问题在数学上是最简单的,然而却又是物理上最常用的 下面以一元函数为例,总结一下变分的几条简单运算法则 1.首先,由于变分是对函数y进行的,独立于自变量x,所以,变分运算和微分或微商运 算可交换次序 dy_d(59)即8y′=(6y) drdr 2.变分运算也是一个线性运算 8(aF+BG)=aSF+BSG, 其中a和β是常数
§21.2 泛 函 的 极 值 第 8 页 根据边界条件，u ¯ ¯ Γ 固定，可知 δu ¯ ¯ Γ = 0, 上式右端第二项的线积分为0，所以 δJ[u] = ZZ S h ∂F ∂u − ∂ ∂x ∂F ∂ux − ∂ ∂y ∂F ∂uy i δu dx dy = 0. 再利用δu的任意性，就可以导出上面的被积函数一定为0， ∂F ∂u − ∂ ∂x ∂F ∂ux − ∂ ∂y ∂F ∂uy = 0, 这就是二元函数情形下，泛函 J[u] = ZZ S F(x, y, u, ux, uy)dx dy 取极值的必要条件的微分形式(Euler–Lagrange方程)． 把这个结果应用到例21.2中弦的横振动问题上，就得到使作用量 S = Z t1 t0 dt Z x1 x0 1 2 h ρ µ ∂u ∂t ¶2 − T µ ∂u ∂x¶2 i dx 取极值的必要条件 ∂ 2u ∂t2 − T ρ ∂ 2u ∂x2 = 0, 这正是第十二章导出的弦的横振动方程． 以上在一元函数和多元函数的泛函极值问题中，都限定了变量函数在端点或边界上 取定值，因而变量函数的变分在端点或边界上一定为0． 这种泛函极值问题称为固定端点或固定边界的泛函极值问题． 这类问题在数学上是最简单的，然而却又是物理上最常用的． 下面以一元函数为例，总结一下变分的几条简单运算法则． 1. 首先，由于变分是对函数y进行的，独立于自变量x，所以，变分运算和微分或微商运 算可交换次序， δ dy dx = d(δy) dx 即 δy 0 = (δy) 0 . 2. 变分运算也是一个线性运算， δ(α F + β G) = α δF + β δG, 其中α和β是常数．
§21.2泛函的极值 第9页 3.直接计算,就可以得到函数乘积的变分法则: FG)=(6)G+F(8O 4.变分运算和积分(微分的逆运算)也可以交换次序, 8 Fdr (SF)da 这只要把等式两端的定积分写成级数和即可看出 5.复合函数的变分运算,其法则和微分运算完全相同,只要简单地将微分法则中的“d” 换成“δ”即可.例如, 8F(, y, y OF aF 这里注意,引起F变化的原因,是函数y的变分,而自变量x是不变化的.所以,绝对不会出现 “(OF/Ox)8x”项 这些运算法则,当然完全可以毫不困难地推广到多元函数的情形 ★作为完整的泛函极值问题,在列出泛函取极值的必要条件、即 Euler- Lagrange方程后 还需要在给定的定解条件下求解微分方程,才有可能求得极值函数 ★需要注意, Euler- Lagrange方程只是泛函取极值的必要条件,并不是充分必要条件.在 给定的定解条件下, Euler- Lagrange方程的解可能不止一个,它们只是极值函数的候选 者.到底哪—(几)个解是要求的极值函数,还需要进一步加以甄别. ★和求函数极值的情形一样,甄别的方法有两种. ★一种是直接比较所求得的解及其“附近”的函数的泛函值,根据泛函极值的定义加以判 断.这种方法不太实用,至少会涉及较多的计算 ★另一种方法是计算泛函的二级变分52J,如果对于所求得的解,泛函的二级变分取 正(负)值,则该解即为极值函数,泛函取极小(大).这种方法当然比较简便,但如果二级 变分为0,则需要继续讨论高级变分 ★实际问题往往又特别简单:这就是在给定的边界条件下,Euer- Lagrange方程只有一个 解,同时,从物理或数学内容上又能判断,该泛函的极值一定存在,那么,这时求得的 唯一解一定就是所要求的极值函数
§21.2 泛 函 的 极 值 第 9 页 3. 直接计算，就可以得到函数乘积的变分法则： δ(F G) = (δF) G + F (δG). 4. 变分运算和积分(微分的逆运算)也可以交换次序， δ Z b a F dx = Z b a (δF) dx. 这只要把等式两端的定积分写成级数和即可看出． 5. 复合函数的变分运算，其法则和微分运算完全相同，只要简单地将微分法则中的“d” 换成“δ”即可．例如， δF(x, y, y 0 ) = ∂F ∂y δy + ∂F ∂y0 δy 0 . 这里注意，引起F变化的原因，是函数y的变分，而自变量x是不变化的．所以，绝对不会出现 “(∂F /∂x)δx”项． 这些运算法则，当然完全可以毫不困难地推广到多元函数的情形． F 作为完整的泛函极值问题，在列出泛函取极值的必要条件、即Euler–Lagrange 方程后， 还需要在给定的定解条件下求解微分方程，才有可能求得极值函数． F 需要注意，Euler–Lagrange方程只是泛函取极值的必要条件，并不是充分必要条件．在 给定的定解条件下，Euler–Lagrange方程的解可能不止一个，它们只是极值函数的候选 者．到底哪一(几)个解是要求的极值函数，还需要进一步加以甄别． F 和求函数极值的情形一样，甄别的方法有两种． F 一种是直接比较所求得的解及其“附近”的函数的泛函值，根据泛函极值的定义加以判 断．这种方法不太实用，至少会涉及较多的计算． F 另一种方法是计算泛函的二级变分δ 2 J，如果对于所求得的解，泛函的二级变分取 正(负)值，则该解即为极值函数，泛函取极小(大)．这种方法当然比较简便，但如果二级 变分为0，则需要继续讨论高级变分． F 实际问题往往又特别简单：这就是在给定的边界条件下，Euler–Lagrange方程只有一个 解，同时，从物理或数学内容上又能判断，该泛函的极值一定存在，那么，这时求得的 唯一解一定就是所要求的极值函数．
§21.3泛函的条件极值 第10页 §21.3泛函的条件极值 先回忆一下多元函数的极值问题 ★设有二元函数∫(x,y),它取极值的必要条件是 ,8b+dfn=0. 因为dx,dy任意,所以二元函数f(x,y)取极值的必要条件又可以写成 dxo, a ay ★还有另一类二元函数的极值问题,二元函数的条件极值问题,即在约束条件 g(r, y=C 下求∫(x,y)的极值.这时,在原则上,可以由约束条件解出y=h(x),然后消去f(x,y)中 的y.这样,上述条件极值问题就转化为一元函数f(x,h(x)的普通极值问题,它取极值 的必要条件就是 h2(x) ★对于这个结果还有另一种理解.因为上面并不需要真正知道y=h(x)的表达式,而只需 要知道 h 这样,甚至不必(在大多数情形下也不可能)求出y=h(x),就可以直接对约束条件微分 ag ag 从而求出 dy ag/ax Lr ag/ay 于是即可将上述二元函数取极值的必要条件写成 af af ag/ar ar ay ag/ay 上面的讨论,当然很容易推广到更多个自变量的多元函数的情形.但是,随着 自变量数目的增多,公式也就越来越麻烦 ★在实用中,更常用 Lagrange乘子法来处理多元函数的条件极值问题
§21.3 泛函的条件极值 第 10 页 §21.3 泛函的条件极值 先回忆一下多元函数的极值问题． F 设有二元函数f(x, y)，它取极值的必要条件是 df = ∂f ∂xdx + ∂f ∂y dy = 0. 因为dx, dy任意，所以二元函数f(x, y)取极值的必要条件又可以写成 ∂f ∂x = 0, ∂f ∂y = 0. F 还有另一类二元函数的极值问题，二元函数的条件极值问题，即在约束条件 g(x, y) = C 下求f(x, y)的极值．这时，在原则上，可以由约束条件解出y = h(x)，然后消去f(x, y)中 的y．这样，上述条件极值问题就转化为一元函数f(x, h(x))的普通极值问题，它取极值 的必要条件就是 ∂f ∂x + ∂f ∂y h 0 (x) = 0. F 对于这个结果还有另一种理解．因为上面并不需要真正知道y = h(x)的表达式，而只需 要知道 dy dx ≡ h 0 (x). 这样，甚至不必(在大多数情形下也不可能)求出y = h(x)，就可以直接对约束条件微分 ∂g ∂xdx + ∂g ∂y dy = 0, 从而求出 dy dx = − ∂g/∂x ∂g/∂y , 于是即可将上述二元函数取极值的必要条件写成 ∂f ∂x − ∂f ∂y ∂g/∂x ∂g/∂y = 0. 上面的讨论，当然很容易推广到更多个自变量的多元函数的情形．但是，随着 自变量数目的增多，公式也就越来越麻烦． F 在实用中，更常用Lagrange乘子法来处理多元函数的条件极值问题．