第二十二章数学物理方程综述 说明 ★本章讲授学时可根据实际情况安排
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§221二阶线性偏微分方程的分类 第2页 §22.1二阶线性偏微分方程的分类 在本课程的数学物理方程部分中,总共讨论了三种类型偏微分方程 ·波动方程 ·热传导方程 ·稳定问题,如 Laplace方程, Poisson方程, Helmholtz方程等 定解问题的解.这三类方程,描写了不同的物理过程,它们的解也都表现出各自不同的特 点(例如,见13.6~13.8各节的讨论).在数学上,这三类方程也分属双曲型、抛物型和椭圆型 三类(见12.4节) 二阶线性偏微分方程,是否就只有这三种类型? 回答是:对于两个自变量的情形,一定如此 下面以两个自变量的二阶线性偏微分方程为例,作一个典型讨论.对于更多个自变量的情 形,问题要复杂一些,但讨论的基本方法是一样的. 两个自变量(x,y)的二阶线性偏微分方程的普遍形式是: 2 a2u douau +2b+c2+ aar2 +axoy ay2+ fu+g=0, () 其中a,b,c,d,e,f和g是x,y的已知函数.通常假设它们是连续可微的.显然,函数a,b,c中, 至少有一个不恒为0,否则,就不成其为二阶偏微分方程. 首先考虑a和(或)c不恒为0的情形.不妨设a≠0.这时可作变换 E=中(x,y),n=y(x,y) 为了保证和n仍然是独立变量,这一组变换必须满足 (,n)≠0 a(x, y) 在这一组变换下,有 au _ag au an au ax ax ag ax ax ag ax an' au av au ay ay ag + y an a2u () 2a2u ,apay a2u (av 282u a2pou a2vou ax2a2+2 dr+(an2+ax2+x2n a2u apapa2u a2u ava2u ardy ax ay ag2+ay+ ay agan+ ax ay an2 2 au ax ay ag axay an 2=()2 92u aoay a 2 0y2 2+2 。 +( 202 ayay agan ay an? + du y2 ay2 an
§22.1 二阶线性偏微分方程的分类 第 2 页 §22.1 二阶线性偏微分方程的分类 在本课程的数学物理方程部分中，总共讨论了三种类型偏微分方程 • 波动方程 • 热传导方程 • 稳定问题，如Laplace方程，Poisson方程，Helmholtz方程等 定解问题的解．这三类方程，描写了不同的物理过程，它们的解也都表现出各自不同的特 点(例如，见13.6 ∼ 13.8各节的讨论)．在数学上，这三类方程也分属双曲型、抛物型和椭圆型 三类(见12.4节)． 二阶线性偏微分方程，是否就只有这三种类型？ 回答是：对于两个自变量的情形，一定如此． 下面以两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，作一个典型讨论．对于更多个自变量的情 形，问题要复杂一些，但讨论的基本方法是一样的． 两个自变量(x, y)的二阶线性偏微分方程的普遍形式是： a ∂ 2u ∂x2 + 2b ∂ 2u ∂x∂y + c ∂ 2u ∂y2 + d ∂u ∂x + e ∂u ∂y + fu + g = 0, (z) 其中a, b, c, d, e, f和g是x, y的已知函数．通常假设它们是连续可微的．显然，函数a, b, c中， 至少有一个不恒为0，否则，就不成其为二阶偏微分方程． 首先考虑a和(或)c不恒为0的情形．不妨设a 6≡ 0．这时可作变换 ξ = φ(x, y), η = ψ(x, y). 为了保证ξ和η仍然是独立变量，这一组变换必须满足 ∂(ξ, η) ∂(x, y) 6= 0. 在这一组变换下，有 ∂u ∂x = ∂ξ ∂x ∂u ∂ξ + ∂η ∂x ∂u ∂η = ∂φ ∂x ∂u ∂ξ + ∂ψ ∂x ∂u ∂η , ∂u ∂y = ∂φ ∂y ∂u ∂ξ + ∂ψ ∂y ∂u ∂η , ∂ 2u ∂x2 = ³ ∂φ ∂x ´2 ∂ 2u ∂ξ2 +2∂φ ∂x ∂ψ ∂x ∂ 2u ∂ξ∂η + ³ ∂ψ ∂x ´2 ∂ 2u ∂η2 + ∂ 2φ ∂x2 ∂u ∂ξ + ∂ 2ψ ∂x2 ∂u ∂η , ∂ 2u ∂x∂y = ∂φ ∂x ∂φ ∂y ∂ 2u ∂ξ2 + ³ ∂φ ∂x ∂ψ ∂y + ∂φ ∂y ∂ψ ∂x ´ ∂ 2u ∂ξ∂η + ∂ψ ∂x ∂ψ ∂y ∂ 2u ∂η2 , + ∂ 2φ ∂x∂y ∂u ∂ξ + ∂ 2ψ ∂x∂y ∂u ∂η , ∂ 2u ∂y2 = ³ ∂φ ∂y ´2 ∂ 2u ∂ξ2 +2∂φ ∂y ∂ψ ∂y ∂ 2u ∂ξ∂η + ³ ∂ψ ∂y ´2 ∂ 2u ∂η2 + ∂ 2φ ∂y2 ∂u ∂ξ + ∂ 2ψ ∂y2 ∂u ∂η
§221二阶线性偏微分方程的分类 第3页 所以,方程(型)变为 2+2B0a au Fu+G A +2b 物+物物)+物物 C=a( φ+c0+d2 y ay ay 容易证明 lo ay do ay dy dy a O(5,m) (x,y) 为了书写简便起见,令 du 则方程(#)变为 次2+2B +更(s, 0. (##) 这样,我们就希望,通过适当选择变换,使得A,B,C中有一个或几个为0,达到使方程简化的 目的 为此,要介绍一个定理 定理如果φ(x,y)=C是方程 da + c(dr) (a) 的一般积分,则=叭(x,y是方程 do do 的一个特解
§22.1 二阶线性偏微分方程的分类 第 3 页 所以，方程(z)变为 A ∂ 2u ∂ξ2 + 2B ∂ 2u ∂ξ∂η + C ∂ 2u ∂η2 + D ∂u ∂ξ + E ∂u ∂η + F u + G = 0, (#) 其中， A = a ³ ∂φ ∂x ´2 + 2b ∂φ ∂x ∂φ ∂y + c ³ ∂φ ∂y ´2 , B = a ∂φ ∂x ∂ψ ∂x + b ³ ∂φ ∂x ∂ψ ∂y + ∂φ ∂y ∂ψ ∂x ´ + c ∂φ ∂y ∂ψ ∂y , C = a ³ ∂ψ ∂x ´2 + 2b ∂ψ ∂x ∂ψ ∂y + c ³ ∂ψ ∂y ´2 , D = a ∂ 2φ ∂x2 + 2b ∂ 2φ ∂x∂y + c ∂ 2φ ∂y2 + d ∂φ ∂x + e ∂φ ∂y , E = a ∂ 2ψ ∂x2 + 2b ∂ 2ψ ∂x∂y + c ∂ 2ψ ∂y2 + d ∂ψ ∂x + e ∂ψ ∂y , F = f, G = g. 容易证明 B 2 − AC = ³ ∂φ ∂x ∂ψ ∂y − ∂φ ∂y ∂ψ ∂x ´2 ¡ b 2 − ac¢ (>) = ¯ ¯ ¯ ¯ ∂(ξ, η) ∂(x, y) ¯ ¯ ¯ ¯ 2 ¡ b 2 − ac¢ . 为了书写简便起见，令 Φ ³ ξ, η, u, ∂u ∂ξ , ∂u ∂η ´ ≡ D ∂u ∂ξ + E ∂u ∂η + F u + G, 则方程(#)变为 A ∂ 2u ∂ξ2 + 2B ∂ 2u ∂ξ∂η + C ∂ 2u ∂η2 + Φ ³ ξ, η, u, ∂u ∂ξ , ∂u ∂η ´ = 0. (##) 这样，我们就希望，通过适当选择变换，使得A, B, C中有一个或几个为0，达到使方程简化的 目的． 为此，要介绍一个定理． 定理 如果φ(x, y) = C是方程 a ¡ dy ¢2 − 2bdydx + c ¡ dx ¢2 = 0 (a) 的一般积分，则ξ = φ(x, y)是方程 a ³ ∂φ ∂x ´2 + 2b ∂φ ∂x ∂φ ∂y + c ³ ∂φ ∂y ´2 = 0 (b) 的一个特解．
§221二阶线性偏微分方程的分类 第4页 证因为(x,y)=C,故有 axd+ady=0即dy=-a/ydr 这里,不妨设0/0y≠0.代入方程(a),就有 a(dy ).-2bdydr + c(dr) +cl(dr m)+2mm+(m)](m)=0 所以(b)成立.定理得证.口 这个定理告诉我们,如果想要选择变换ξ=φ(x,y)使A=0,或是选择变换η= v(x,y)使C=0,就可以通过求解常微分方程 ①+C=0 的解来得到.在一般情况下,这样能得到两个无关解,称为偏微分方程(为的特征线 在具体求解方程(c)时,又需要区别下列三种情形 1.b2-ac>0.这时,从方程(c)可以求得两个实函数解 φ(x,y)=C1及v(x,y)=C2 也就是说,偏微分方程(呀有两条实的特征线.于是,令 s=叭(x,y),n=v(x,y), 就可以使得A=C=0.同时,根据(米)式,就可以断定B一定不为0.所以,方程(##)就变 成 +(次)=0 或者进一步作变换 5+T 于是有 所以 又可以进一步将方程化为 这种类型的方程称为双曲型方程.波动方程就属于这种类型
§22.1 二阶线性偏微分方程的分类 第 4 页 证 因为φ(x, y) = C，故有 ∂φ ∂xdx + ∂φ ∂y dy = 0 即 dy = − ∂φ/∂x ∂φ/∂y dx. 这里，不妨设∂φ/∂y 6= 0．代入方程(a)，就有 a ¡ dy ¢2 − 2bdydx + c ¡ dx) 2 = h a ³ − ∂φ/∂x ∂φ/∂y ´2 − 2b ³ − ∂φ/∂x ∂φ/∂y ´ + c i¡ dx ¢2 = h a ³ ∂φ ∂x ´2 + 2b ∂φ ∂x ∂φ ∂y + ³ ∂φ ∂y ´2 i³ dx ∂φ/∂y ´2 = 0, 所以(b)成立．定理得证． 这个定理告诉我们，如果想要选择变换ξ = φ(x, y)使A = 0，或是选择变换η = ψ(x, y)使C = 0，就可以通过求解常微分方程 a µ dy dx ¶2 − 2b dy dx + c = 0 或 dy dx = b a ± 1 a p b 2 − ac (c) 的解来得到．在一般情况下，这样能得到两个无关解，称为偏微分方程(z) 的特征线． 在具体求解方程(c)时，又需要区别下列三种情形： 1. b 2 − ac > 0. 这时，从方程(c)可以求得两个实函数解 φ(x, y) = C1 及 ψ(x, y) = C2, 也就是说，偏微分方程(z)有两条实的特征线．于是，令 ξ = φ(x, y), η = ψ(x, y), 就可以使得A = C = 0．同时，根据(>)式，就可以断定B一定不为0．所以，方程(##) 就变 成 ∂ 2u ∂ξ∂η + Φ ³ ξ, η, u, ∂u ∂ξ , ∂u ∂η ´ = 0. (M) 或者进一步作变换 ρ = ξ + η, σ = ξ − η, 于是有 ∂ ∂ξ = ∂ ∂ρ + ∂ ∂σ , ∂ ∂η = ∂ ∂ρ − ∂ ∂σ . 所以 ∂ 2u ∂ξ∂η = ∂ 2u ∂ρ2 − ∂ 2u ∂σ2 , 又可以进一步将方程化为 ∂ 2u ∂ρ2 − ∂ 2u ∂σ2 + Φ1 ³ ρ, σ, u, ∂u ∂ρ , ∂u ∂σ ´ = 0. 这种类型的方程称为双曲型方程．波动方程就属于这种类型．
§221二阶线性偏微分方程的分类 2.b2-ac<0.这时,可以重复上面的讨论,只不过得到的(x,y)和(x,y)是一对共 轭的复函数,或者说,偏微分方程(的两条特征线都不是实的.于是 n=v(a, y) 是一对共轭的复变量.这样也能够得到以复变量和为自变量的方程(△).进一步引进两个新 的实变量 P=8+, i(-n) 于是 09.0 所以 方程(△)又可以进一步化为 + 这种类型的方程称为椭圆型方程.显然, Laplace方程、 Poisson方程和 Helmholtz方程都属于 这种类型 3.b2-ac=0.这时,方程(c)一定有重根 dr 因而只能求得一个解,例如,o(x,y)=C.作变换￡=φ(x,y)就可以使A=0.但是, 由(来)式可以断定,一定有B2-AC=0,这意味着B也一定为0.所以,完全可以任意选取另 一个变换,n=v(x,y),只要它和=φ(x,引)彼此独立、即 ≠0 即可.这样,方程(##)就化为 +更(5,n 0 dn2 这种类型的方程称为抛物型方程.热传导方程就属于这种类型 以上的讨论是在α和c不恒为0的前提下进行的.在适当选择变换后,总可以使 得A,B,C中有一个(B)或两个(B以及A或C)为0 而且,事实上,如果再作进一步的变换,还可以把不为0的系数变为1或-1. 当A=C=1,B=0时,方程是椭圆型 A=-C=士1,B=0时,方程为双曲型 A=B=0,C=1或A=1,B=C=0是,方程为抛物型 如果a和c恒为0.那么,一定有b≠0.这正是双曲型方程
§22.1 二阶线性偏微分方程的分类 第 5 页 2. b 2 − ac )式可以断定，一定有B 2 − AC = 0，这意味着B也一定为0．所以，完全可以任意选取另 一个变换，η = ψ(x, y)，只要它和ξ = φ(x, y)彼此独立、即 ∂(ξ, η) ∂(x, y) 6= 0 即可．这样，方程(##)就化为 ∂ 2u ∂η2 + Φ ³ ξ, η, u, ∂u ∂ξ , ∂u ∂η ´ = 0. 这种类型的方程称为抛物型方程．热传导方程就属于这种类型． 以上的讨论是在a和c不恒为0的前提下进行的．在适当选择变换后，总可以使 得A, B, C中有一个(B)或两个(B以及A或C)为0． 而且，事实上，如果再作进一步的变换，还可以把不为0的系数变为1 或−1． 当A = C = 1, B = 0时，方程是椭圆型； A = −C = ±1, B = 0时，方程为双曲型； A = B = 0, C = 1或A = 1, B = C = 0是，方程为抛物型． 如果a和c恒为0．那么，一定有b 6≡ 0．这正是双曲型方程．
§221二阶线性偏微分方程的分类 第6页 综合以上的讨论,可以得出结论: 要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型,只要讨论判别式b2-ac即可. ★如果方程的系数a,b,c为常数,当然偏微分方程一定属于上述三种类型之 ★如果a,b,c是x,y的函数,那么,在xy平面上的一定区域内,一般说来,b2-ac并不会得 保持为恒正、恒负、或恒为0,因此,方程并不能简单地归结为固定的一种类型.换句话 说,方程可能在区域的不同部分属于不同的类型 这时,不妨先求出b2-ac=0即 dy b 的解.这条曲线,称为抛物型曲线,因在此曲线上,方程属于抛物型.整个区域就可能被这条 线分割为两部分,方程分属于椭圆型和双曲型.例如,对于方程 a2u-(1+)8y2 容易求出 因此,此方程的抛物型曲线就是一对双曲线x2-y2=1.在双曲线上,方程属于抛物型.整 个xy平面被这两条曲线分割开.在1-x2+y2>0的部分,方程属于双曲型;在1-x2+y2<0的 部分,方程属于椭圆型 对于多个自变量的偏微分方程,原则上也可以选择适当的自变量变换,把方程中混合二 阶偏导数项的系数变为0.如果其余的(二阶偏导数项的)系数(事实上,可以化为1或-1)全部同 号,则方程为椭圆型:如果其中一个与其余的异号,则方程为双曲型:如果有多个与其余的异 号,则方程为超双曲型;如果有一个或多个为0,则方程为抛物型.当然,除非方程的系数为 常数,否则,自变量变换的具体选择,总还需要具体讨论
§22.1 二阶线性偏微分方程的分类 第 6 页 综合以上的讨论，可以得出结论： 要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只要讨论判别式b 2 − ac即可． F 如果方程的系数a, b, c为常数，当然偏微分方程一定属于上述三种类型之一． F 如果a, b, c是x, y的函数，那么，在xy平面上的一定区域内，一般说来，b 2 − ac并不会得 保持为恒正、恒负、或恒为0，因此，方程并不能简单地归结为固定的一种类型．换句话 说，方程可能在区域的不同部分属于不同的类型． 这时，不妨先求出b 2 − ac = 0即 dy dx = b a 的解．这条曲线，称为抛物型曲线，因在此曲线上，方程属于抛物型．整个区域就可能被这条 曲线分割为两部分，方程分属于椭圆型和双曲型．例如，对于方程 ¡ 1 − x 2 ¢∂ 2u ∂x2 − 2xy ∂ 2u ∂x∂y − ¡ 1 + y 2 ¢∂ 2u ∂y2 − 2x ∂u ∂x − 2y ∂u ∂y = 0, 容易求出 b 2 − ac = 1 − x 2 + y 2 . 因此，此方程的抛物型曲线就是一对双曲线x 2 − y 2 = 1．在双曲线上，方程属于抛物型．整 个xy平面被这两条曲线分割开．在1−x 2+y 2 > 0的部分，方程属于双曲型；在1−x 2+y 2 < 0的 部分，方程属于椭圆型． 对于多个自变量的偏微分方程，原则上也可以选择适当的自变量变换，把方程中混合二 阶偏导数项的系数变为0．如果其余的(二阶偏导数项的)系数(事实上，可以化为1或−1)全部同 号，则方程为椭圆型；如果其中一个与其余的异号，则方程为双曲型；如果有多个与其余的异 号，则方程为超双曲型；如果有一个或多个为0，则方程为抛物型．当然，除非方程的系数为 常数，否则，自变量变换的具体选择，总还需要具体讨论．
§22.2线性偏微分方程解法述评 §22.2线性偏微分方程解法述评 在本书中,介绍了二阶线性偏微分方程定解问题的几种主要解法,关于这些解法的解题思 想、应用条件以及理论根据,以前也都分别作过讨论、这里再集中地对它们作一点综合性的评 述,以便于读者有一个横向的比较 1.分离变数法.这是求解线性偏微分方程定解问题的最主要方法.从理论上说,分离变 量法的依据是 Sturm- Liouville型方程的本征值问题.这在第十八章中已作了较系统的阐述,不 再重复.从解题步骤上看,除了留待确定叠加系数的部分定解条件外,要求方程和其余的解条 件都必须是齐次的(因此,如果它们是非齐次的,则必须首先齐次化).这样,对于定解问题中 微分方程的具体形式就有一定的限制,对于所讨论问题的空间区域形状更有明显的限制.这又 涉及正交曲面坐标系的选取(空间区域的边界面必须是正交曲面坐标系的坐标面) 在具体求解时,当然还必须求解相应的常微分方程的本征值问题.除了本书中介绍过的几 个本征值问题外,也还可能会出现其他的特殊函数 2.积分变换方法.这种方法的优点是减少方程的自变量的数目.从原则上说,无论是对 于时间变量,或是空间变量,无论是无界空间,或是有界空间,都可以采用积分变换的方法求 解线性偏微分方程的定解问题.但从实际计算看,就需要根据方程和定解条件的类型,选择最 合适的积分变换.反演问题,也是关系所拟采用的积分变换是否实际可行的关键问题.反演 时涉及的积分很简单,甚至有现成的结果(包括工具书)可供引用,采用积分变换的确可以带来 极大的便利.但反过来说,如果涉及的积分比较复杂,也没有现成的结果(包括工具书)可供 用,那么,反演问题也可以成为积分变换的难点 积分变换方法和分离变量法存在密切的联系.例如,当本征值过渡到连续谱时,分离变量 法就变为相应的积分变换方法 另外,从实用的角度说,如果是有界空间,一般说来,积分变换和分离变量法没有什么差 别,故仍不妨采用分离变量法 积分变换方法也具有分离变量法所没有的优点:它还可以应用于求解非线性偏微分方程 3. Green函数方法.应该说,这种方法具有极大的理论意义.它给出了定解问题的解 和方程的非齐次项以及定解条件之间的关系,因而便于讨论方程的非齐次项或定解条件发生 变化时,解如何相应地变化.而且,不止如此,在讨论本征值问题的普遍性质时,也离不 开 Green函数.只不过在本书中未作具体介绍而已. Green函数方法,已经成为理论物理研究 中的常用方法之 应用 Green函数方法,最重要的是,要能够求出 Green函数的具体形式.尽管 Green函数所 满足的是一种特别简单的定解问题:方程的非齐次项为6函数,定解问题均为齐次,因此,在 少数情形下,能够求得 Green函数的简单表达式.但是,一般说来,要能够求出 Green函数, 仍只限于若干种空间区域形状,和分离变量法没有什么差别 Green函数方法的另一个优点是便于进行近似计算.例如,对于某一类偏微分方程的定解 问题,由于区域形状的限制,不能求出它的 Green函数的解析表达式.但是,如果必要的话, 总还可以求出Gren函数的足够精确的近似解(例如数值解).这样,也就可以进一步求出这 类偏微分方程定解问题的近似解.这在工程上还是具有实际意义的 4.变分法.这个方法具有理论价值和实用价值.在理论上,它可以把不同类型的偏微分 方程定解问题用相同的泛函语言表达出来(当然不同问题中出现的泛函是不同的),或者说,把
§22.2 线性偏微分方程解法述评 第 7 页 §22.2 线性偏微分方程解法述评 在本书中，介绍了二阶线性偏微分方程定解问题的几种主要解法，关于这些解法的解题思 想、应用条件以及理论根据，以前也都分别作过讨论、这里再集中地对它们作一点综合性的评 述，以便于读者有一个横向的比较． 1. 分离变数法．这是求解线性偏微分方程定解问题的最主要方法．从理论上说，分离变 量法的依据是Sturm–Liouville型方程的本征值问题．这在第十八章中已作了较系统的阐述，不 再重复．从解题步骤上看，除了留待确定叠加系数的部分定解条件外，要求方程和其余的解条 件都必须是齐次的(因此，如果它们是非齐次的，则必须首先齐次化)．这样，对于定解问题中 微分方程的具体形式就有一定的限制，对于所讨论问题的空间区域形状更有明显的限制．这又 涉及正交曲面坐标系的选取(空间区域的边界面必须是正交曲面坐标系的坐标面)． 在具体求解时，当然还必须求解相应的常微分方程的本征值问题．除了本书中介绍过的几 个本征值问题外，也还可能会出现其他的特殊函数． 2. 积分变换方法．这种方法的优点是减少方程的自变量的数目．从原则上说，无论是对 于时间变量，或是空间变量，无论是无界空间，或是有界空间，都可以采用积分变换的方法求 解线性偏微分方程的定解问题．但从实际计算看，就需要根据方程和定解条件的类型，选择最 合适的积分变换．反演问题，也是关系所拟采用的积分变换是否实际可行的关键问题．反演 时涉及的积分很简单，甚至有现成的结果(包括工具书)可供引用，采用积分变换的确可以带来 极大的便利．但反过来说，如果涉及的积分比较复杂，也没有现成的结果(包括工具书)可供引 用，那么，反演问题也可以成为积分变换的难点． 积分变换方法和分离变量法存在密切的联系．例如，当本征值过渡到连续谱时，分离变量 法就变为相应的积分变换方法． 另外，从实用的角度说，如果是有界空间，一般说来，积分变换和分离变量法没有什么差 别，故仍不妨采用分离变量法． 积分变换方法也具有分离变量法所没有的优点：它还可以应用于求解非线性偏微分方程． 3. Green函数方法．应该说，这种方法具有极大的理论意义．它给出了定解问题的解 和方程的非齐次项以及定解条件之间的关系，因而便于讨论方程的非齐次项或定解条件发生 变化时，解如何相应地变化．而且，不止如此，在讨论本征值问题的普遍性质时，也离不 开Green函数．只不过在本书中未作具体介绍而已．Green函数方法，已经成为理论物理研究 中的常用方法之一． 应用Green函数方法，最重要的是，要能够求出Green函数的具体形式．尽管Green函数所 满足的是一种特别简单的定解问题：方程的非齐次项为δ函数，定解问题均为齐次，因此，在 少数情形下，能够求得Green函数的简单表达式．但是，一般说来，要能够求出Green函数， 仍只限于若干种空间区域形状，和分离变量法没有什么差别． Green函数方法的另一个优点是便于进行近似计算．例如，对于某一类偏微分方程的定解 问题，由于区域形状的限制，不能求出它的Green函数的解析表达式．但是，如果必要的话， 总还可以求出Green函数的足够精确的近似解(例如数值解)．这样，也就可以进一步求出这一 类偏微分方程定解问题的近似解．这在工程上还是具有实际意义的． 4. 变分法．这个方法具有理论价值和实用价值．在理论上，它可以把不同类型的偏微分 方程定解问题用相同的泛函语言表达出来(当然不同问题中出现的泛函是不同的)，或者说，把
§22.2线性偏微分方程解法述评 第8页 不同的物理问题用相同的泛函语言表达出来.正是由于这个原因,变分或泛函语言已经成为表 述物理规律的常用工具之一.在实用上,变分法,又提供了一种近似计算的好办法.有效地利 用物理知识,灵活巧妙地选取试探函数,可以使计算大为简化.在第二十一章中,我们已经看 到过这样的例子.在物理学中,过去或现在,变分法都是常用的一种近似计算方法.例如,在 原子和分子光谱的计算中,就广泛地采用了变分法 5.对于二维和三维 Laplace方程的边值问题,也还可以将解表示为特殊的积分公式,对 于二维 Laplace方程,它的解一定是解析函数的实部或虚部,因此,可以采用复变函数的方法 求解.例如,圆内或上半平面的第一类边值问题, Laplace方程的解就可以表示为 Poisson积 分(见37节,也可以从 Green函数方法得到,见20.4节).三维 Laplace方程第一类边值问题的 解,也可以表示为沿边界面的积分(见20.5节) 除了上面提到的这几种方法外,还有 6.保角变换.这种方法的理论基础,是解析函数所代表的变换的保角性.本书复变函数 部分的25节已作过非常初步的介绍,这种解法,主要用于二维 Laplace方程或 Poisson方程的 边值问题,因为在保角变换下,前者的形式不变,后者也只是非齐次项作相应的改变.粗略 地说,运用保角变换,可以把“不规则”的边界形状化为规则的边界形状(因为难以在“不规 则”和“规则”之间划定一个界限),例如,可以把多边形化为上半平面或单位圆内.再结合 上半平面或圆内的 Poisson公式,就能直接求出二维 Laplace方程的解.运用保角变换,的确可 以解决一些有意义的物理问题或工程问题,例如,有限大小尺寸的平行板电容器的边缘效应问 题,空气动力学中的机翼问题,以及其他一些流体力学问题.又如,应用保角变换方法,可以 把偏心圆化为同心圆 7.对于双曲型方程的定解问题,也存在一些特殊的解法,例如平均值法,降维法,等 等.在理论上说,双曲型方程的解的存在唯一性,可以通过所谓 Cauchy型边界条件(即要求解 在边界上同时满足给定的函数值与法向微商值得到保证.相应地,双曲型方程,就可以采用 特征线法(或称 Riemann方法)求解 ①椭圆型方程就不同.对于椭圆型方程,只要指定未知函数在边界上的函数值或法向微商值,就足以唯一地确定 解.同时指定未知函数在边界上的函数值和法向微商值,反而是过分了,反而会得造成问题无解
§22.2 线性偏微分方程解法述评 第 8 页 不同的物理问题用相同的泛函语言表达出来．正是由于这个原因，变分或泛函语言已经成为表 述物理规律的常用工具之一．在实用上，变分法，又提供了一种近似计算的好办法．有效地利 用物理知识，灵活巧妙地选取试探函数，可以使计算大为简化．在第二十一章中，我们已经看 到过这样的例子．在物理学中，过去或现在，变分法都是常用的一种近似计算方法．例如，在 原子和分子光谱的计算中，就广泛地采用了变分法． 5. 对于二维和三维Laplace方程的边值问题，也还可以将解表示为特殊的积分公式．对 于二维Laplace方程，它的解一定是解析函数的实部或虚部，因此，可以采用复变函数的方法 求解．例如，圆内或上半平面的第一类边值问题，Laplace方程的解就可以表示为Poisson积 分(见3.7节，也可以从Green函数方法得到，见20.4节)．三维Laplace方程第一类边值问题的 解，也可以表示为沿边界面的积分(见20.5节)． 除了上面提到的这几种方法外，还有： 6. 保角变换．这种方法的理论基础，是解析函数所代表的变换的保角性．本书复变函数 部分的2.5节已作过非常初步的介绍．这种解法，主要用于二维Laplace 方程或Poisson方程的 边值问题，因为在保角变换下，前者的形式不变，后者也只是非齐次项作相应的改变．粗略 地说，运用保角变换，可以把“不规则”的边界形状化为规则的边界形状(因为难以在“不规 则”和“规则”之间划定一个界限)，例如，可以把多边形化为上半平面或单位圆内．再结合 上半平面或圆内的Poisson公式，就能直接求出二维Laplace方程的解．运用保角变换，的确可 以解决一些有意义的物理问题或工程问题，例如，有限大小尺寸的平行板电容器的边缘效应问 题，空气动力学中的机翼问题，以及其他一些流体力学问题．又如，应用保角变换方法，可以 把偏心圆化为同心圆． 7. 对于双曲型方程的定解问题，也存在一些特殊的解法，例如平均值法，降维法，等 等．在理论上说，双曲型方程的解的存在唯一性，可以通过所谓Cauchy 型边界条件(即要求解 在边界上同时满足给定的函数值与法向微商值)得到保证①．相应地，双曲型方程，就可以采用 特征线法(或称Riemann方法)求解． ①椭圆型方程就不同．对于椭圆型方程，只要指定未知函数在边界上的函数值或法向微商值，就足以唯一地确定 解．同时指定未知函数在边界上的函数值和法向微商值，反而是过分了，反而会得造成问题无解．
§223非线性偏微分方程问题 第9页 §223非线性偏微分方程问题 本书中讨论的偏微分方程定解问题,全部都是由线性方程和线性定解条件构成的.这一类 问题的解法特别简单,因为可以援用叠加原理.从实际问题看,这是和物理学的发展状况密切 相关的.迄今为止,线性近似仍然是物理学中经常采用的最基本的近似.例如,在 Newton力 学中,质点的加速度与外力成正比,比例系数(质点的质量)是常数,与质点运动的速度大小无 关.在弹性力学中,我们首先注意的是所谓弹性限度内的规律,即 Hooke定律,应力与应变成 正比,比例系数(弹性系数)是物质常数,与应变的大小无关,又如,在涉及输运过程的分子动 理论中,也是着重讨论相对于平衡状态的线性偏离:由温度的分布不均匀而产生热传导现象, 热流密度与温度梯度成正比,比例系数(导热率)是物质常数,与温度高低无关;由物质密度的 分布不均匀而产生扩散现象,物质流密度(单位时间通过单位面积的质量)与密度梯度成正比, 比例系数(扩散系数)是常数,与物质密度的高低无关.在电磁学中,Ohm定律说的也是电流密 度与电场强度成正比,比例系数(电导率)是物质常数,与电场强度的高低无关.这类例子,在 物理学中,可以说俯拾皆是.相应地,在描写连续介质或场的运动的数学物理方程中,就出现 了波动方程、热传导方程和 Laplace方程、 Poisson方程、 Helmholtz方程等线性偏微分方程 以及各种类型的线性定解条件.正是由于采用了线性近似,所以,得到的方程形式具有普适 性.无论是弹性体中发生的纵振动或横振动,也无论是电磁场随时间、空间的变化与分布,都 遵从同样形式的波动方程,介质的性质只体现在波的传播速度上.无论是热传导过程,或是扩 散过程,也都遵从同样的热传导方程,不同的过程,以及有关的介质性质,同样也只表现在方 程中的常数(扩散率)上 上面所有各种现象的线性描述,当然都只是在一定限度内的近似.随着科学技术的发 展,随着人们对于自然规律认识的深化,不可避免地会超出线性近似的限制.研究各种极端条 件(例如,高温、高压、高密度……)下的物理过程,研究物理过程随时间的长期演变,或是 在空间上的大尺度范围内的变化,都使得非线性效应变得不可忽略.其实,在传统的物理学中 就可以找到这样的例子.如果介质表面的温度和环境温度相差不大时,单位时间内通过单位表 面积散出的热量与温差成正比( Newton散热定律),但如果介质表面的温度T足够高,热辐射的 效应不可忽略,以辐射方式散出的热量便与r4成正比( Stefan-Boltzmann定律) 下面再讨论一下无穷直线上的波动问题.正如第十三章中指出的,波动方程 a- 的解 u(a, t)=f(ar-at)+g(r+at 表示的是在两个方向上独立传播的行波.当我们只关注于在一个方向上的行波,例 如,u(x,t)=f(x-at),便有一阶偏微分方程 这个方程还可以改写成连续性方程 at ar=0, 其中的j=αu表示“流”(粒子流、能量流·…)的强度.如果要考虑非线性的影响,下一级 的近似便会有u2项
§22.3 非线性偏微分方程问题 第 9 页 §22.3 非线性偏微分方程问题 本书中讨论的偏微分方程定解问题，全部都是由线性方程和线性定解条件构成的．这一类 问题的解法特别简单，因为可以援用叠加原理．从实际问题看，这是和物理学的发展状况密切 相关的．迄今为止，线性近似仍然是物理学中经常采用的最基本的近似．例如，在Newton力 学中，质点的加速度与外力成正比，比例系数(质点的质量)是常数，与质点运动的速度大小无 关．在弹性力学中，我们首先注意的是所谓弹性限度内的规律，即Hooke定律，应力与应变成 正比，比例系数(弹性系数)是物质常数，与应变的大小无关．又如，在涉及输运过程的分子动 理论中，也是着重讨论相对于平衡状态的线性偏离：由温度的分布不均匀而产生热传导现象， 热流密度与温度梯度成正比，比例系数(导热率)是物质常数，与温度高低无关；由物质密度的 分布不均匀而产生扩散现象，物质流密度(单位时间通过单位面积的质量)与密度梯度成正比， 比例系数(扩散系数) 是常数，与物质密度的高低无关．在电磁学中，Ohm定律说的也是电流密 度与电场强度成正比，比例系数(电导率)是物质常数，与电场强度的高低无关．这类例子，在 物理学中，可以说俯拾皆是．相应地，在描写连续介质或场的运动的数学物理方程中，就出现 了波动方程、热传导方程和Laplace方程、Poisson方程、Helmholtz方程等线性偏微分方程， 以及各种类型的线性定解条件．正是由于采用了线性近似，所以，得到的方程形式具有普适 性．无论是弹性体中发生的纵振动或横振动，也无论是电磁场随时间、空间的变化与分布，都 遵从同样形式的波动方程，介质的性质只体现在波的传播速度上．无论是热传导过程，或是扩 散过程，也都遵从同样的热传导方程，不同的过程，以及有关的介质性质，同样也只表现在方 程中的常数(扩散率)上． 上面所有各种现象的线性描述，当然都只是在一定限度内的近似．随着科学技术的发 展，随着人们对于自然规律认识的深化，不可避免地会超出线性近似的限制．研究各种极端条 件(例如，高温、高压、高密度· · · · · ·)下的物理过程，研究物理过程随时间的长期演变，或是 在空间上的大尺度范围内的变化，都使得非线性效应变得不可忽略．其实，在传统的物理学中 就可以找到这样的例子．如果介质表面的温度和环境温度相差不大时，单位时间内通过单位表 面积散出的热量与温差成正比(Newton散热定律)，但如果介质表面的温度T足够高，热辐射的 效应不可忽略，以辐射方式散出的热量便与T 4成正比(Stefan-Boltzmann定律)． 下面再讨论一下无穷直线上的波动问题．正如第十三章中指出的，波动方程 ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0 的解 u(x, t) = f(x − at) + g(x + at) 表示的是在两个方向上独立传播的行波．当我们只关注于在一个方向上的行波，例 如，u(x, t) = f(x − at)，便有一阶偏微分方程 ∂u ∂t + a ∂u ∂x = 0. 这个方程还可以改写成连续性方程 ∂u ∂t + ∂j ∂x = 0, 其中的j = au表示“流”(粒子流、能量流· · · · · ·)的强度．如果要考虑非线性的影响，下一级 的近似便会有u 2项， j = au + α 2 u 2
§223非线性偏微分方程问题 第10页 于是,波动方程就变为 at ax 方程中就出现了非线性项.如果同时还存在色散(见13.6节),流的强度变为 于是,波动方程又变为 +ou 为了将方程(2221)的形式化简,可以进一步作变换 At B 就可以得到标准的KdⅤ方程( Korteweg-de Vries,1895年), 这是典型的非线性偏微分方程之一它可以描写浅水波的传播 在非线性偏微分方程中,经常提到的典型方程还有sin- Gordon方程 或 02ua2 SIn ll 和非线性 Schrodinger方程 at 2m ar2 前者最早出现在19世纪的几何问题中 非线性方程的最大特点,就是解不再具有线性叠加性质.例如,即使对于齐次的非线性方 程,如果u是方程的解,它的常数倍Aa也不一定是方程的解;如果u1和u2是方程的解,它们的 和α1+α2,一般说来,却并不是方程的解.因此,求解非线性方程,需要特殊的技巧.而且, 通常只能根据问题的背景,求得所需要的特解.下面就简单介绍KdV方程的几个特解 为了叙述的方便,我们不妨撇开KdV方程的上述背景,而是简单地把和r分别理解为空 间和时间变量.最容易求的是 形式的行波解,因为这样可以转化为常微分方程的求解问题,令η=5-c,于是 7=-an 所以 + 6f(m)=0. 积分一次,有 d-f 3[f(m)
§22.3 非线性偏微分方程问题 第 10 页 于是，波动方程就变为 ∂u ∂t + a ∂u ∂x + αu ∂u ∂x = 0. 方程中就出现了非线性项．如果同时还存在色散(见13.6节)，流的强度变为 j = au + β ∂ 2u ∂x2 + α 2 u 2 , 于是，波动方程又变为 ∂u ∂t + a ∂u ∂x + β ∂ 3u ∂x3 + αu ∂u ∂x = 0. 为了将方程(22.21)的形式化简，可以进一步作变换 τ = At, ξ = A(x − at), v = Bu, 取 A 2 = 1 β , B = − 6 α , 就可以得到标准的KdV方程(Korteweg-de Vries，1895年)， ∂v ∂τ + ∂ 3 v ∂ξ3 − 6v ∂v ∂ξ = 0. 这是典型的非线性偏微分方程之一．它可以描写浅水波的传播． 在非线性偏微分方程中，经常提到的典型方程还有sin-Gordon方程 ∂ 2u ∂x∂t = sin u 或 ∂ 2u ∂x2 − ∂ 2u ∂t2 = sin u 和非线性Schr¨odinger方程 i ∂u ∂t = − } 2 2m ∂ 2u ∂x2 + α|u| 2 u. 前者最早出现在19世纪的几何问题中． 非线性方程的最大特点，就是解不再具有线性叠加性质．例如，即使对于齐次的非线性方 程，如果u是方程的解，它的常数倍Au也不一定是方程的解；如果u1和u2是方程的解，它们的 和u1 + u2，一般说来，却并不是方程的解．因此，求解非线性方程，需要特殊的技巧．而且， 通常只能根据问题的背景，求得所需要的特解．下面就简单介绍KdV方程的几个特解． 为了叙述的方便，我们不妨撇开KdV方程的上述背景，而是简单地把ξ和τ分别理解为空 间和时间变量．最容易求的是 v(ξ, τ ) = f(ξ − cτ ) 形式的行波解，因为这样可以转化为常微分方程的求解问题．令η = ξ − cτ，于是 ∂v ∂τ = −c df dη , ∂v ∂ξ = df dη , 所以 −c df dη + d 3 f dη 3 − 6f(η) df dη = 0. 积分一次，有 −cf(η) + d 2 f dη 2 − 3 £ f(η) ¤2 = A