第四讲(一) Cauchy积分公式 第1页 第四讲(一) Cauchy积分公式 §4.1 Cauchy积分公式 有界区域的 Cauchy积分公式设f(z)是区域G中的 单值解析函数,G的边界C是分段光滑曲线,a为G内一 G 点,则 1f(z) a (a) ni c z-a2, 其中积分路线沿C的正向 证在G内作圆z-a|<r(见图4.1,保持圆周|z-a|=r 在G内),则根据复连通区域的 Cauchy定理,有 ∮ f(z) c2-aaz= f(z) z-al=r 2-a 图4.1有界区域的 Cauchy积分公式 此结果应与r的大小无关,故可令r→0.因为 lim(z-a) f() =f(a) 2-a 由引理3.1,就证得 1f(2)dz=f(a) 2-iJcz-a
Wu Chong-shi ✁✂ (✄) Cauchy ☎✆✝✞ ✟ 1 ✠ ✡ ☛☞ (✌) Cauchy ✍✎✏✑ §4.1 Cauchy ✒✓✔✕ ✖✗✘✙✚ Cauchy ✛✜✢✣ ✤ f(z) ✥✦✧ G ★✩ ✪✫✬✭✮✯✰ G ✩✱✲ C ✥✳✴✵✶ ✷✸✰ a ✹ G ✺✻ ✼✰✽ f(a) = 1 2π i I C f(z) z − a dz, ✾ ★✿✳❀✸❁ C ✩❂ ❃❄ ❅ ❆ G ✺ ❇ ❈ |z−a| < r(❉❊ 4.1 ✰❋● ❈❍ |z−a| = r ❆ G ✺) ✰✽■❏❑▲▼✦✧✩ Cauchy ◆❖✰P I C f(z) z − a dz = I |z−a|=r f(z) z − a dz, ◗ 4.1 ❘❙❚❯❱ Cauchy ❲❳❨❩ ❬❭❪❫❴ r ✩❵❛❜❝✰❞❡❢ r → 0 ❄❣✹ limz→a (z − a) f(z) z − a = f(a), ❤✐❖ 3.1 ✰❥❦❧ 1 2π i I C f(z) z − a dz = f(a).
§41 cauchy积分公式 无界区域的 Cauchy积分公式 对于无界区域,需要假设f(2)在简单闭合围道C上及C CR 外(包括无穷远点)单值解析.类似地,现在计算 其中a为C外一点,积分路线C的走向是顺时针方向,即绕 无穷远点的正向,如图4.2 在C外再作一个以原点为圆心,R为半径的大圆C 这样,对于C和CR所包围的复连通区域,根据有界区域的 Cauchy积分公式,有 图42无界区域的 Cauchy积分公式 f(2) 这里积分路线CR的走向是逆时针方向.只要R足够大,这个结果当然就与R的具体大小无关 于是,可令R 而得到 dz= f(a) 如果∫(x)满足第三讲引理3.2的要求,则可以计算出沿大圆CR的积分的极限值, [2n=a K=:m2·J(2f(∞) 因 a2=/(0-k 特别当K=0时,就得到 无界区域的 Cauchy积分公式:如果∫(z)在简单闭合围道C上及C外解析,且当z→∞ 时,f(z)一致地趋于0,则 Cauchy积分公式 f(a)= 仍然成立,此处a为C外一点,积分路线C为顺时针方向
Wu Chong-shi §4.1 Cauchy ☎✆✝✞ ✟ 2 ✠ ♠✗✘✙✚ Cauchy ✛✜✢✣ ♥♦❜✲✦✧✰♣qr✤ f(z) ❆s✪t✉ ✈✇ C ①② C ③ (④⑤❜⑥⑦✼ ) ✪✫✬✭❄⑧⑨⑩✰❶❆❷❸ 1 2π i I C f(z) z − a dz, ✾ ★ a ✹ C ③ ✻ ✼✰✿✳❀✸ C ✩❹ ❃✥❺❻❼❽ ❃✰❾❿ ❜⑥⑦✼ ✩❂ ❃✰➀❊ 4.2 ❄ ❆ C ③➁❇ ✻➂➃➄✼ ✹ ❈➅✰ R ✹➆➇✩❵ ❈ CR ✰ ➈➉✰♥♦ C ➊ CR ➋④ ✈ ✩ ❑▲▼✦✧✰■❏P✲✦✧✩ Cauchy ✿✳➌➍✰P ◗ 4.2 ➎❙❚❯❱ Cauchy ❲❳❨❩ 1 2π i I CR f(z) z − a dz + 1 2π i I C f(z) z − a dz = f(a), ➈➏✿✳❀✸ CR ✩❹ ❃✥➐❻❼❽ ❃❄➑q R ➒➓❵✰➈ ➂ ❭❪➔→❥❴ R ✩➣↔❵❛❜❝✰ ♦ ✥ ✰❡❢ R → ∞ ✰↕❧➙ 1 2π i I C f(z) z − a dz = f(a) − lim R→∞ 1 2π i I CR f(z) z − a dz . ➀❪ f(z) ➛➒➜➝➞✐ ❖ 3.2 ✩ q➟✰✽❡➃ ❷❸➠❁❵ ❈ CR ✩✿✳✩➡➢✫✰ lim R→∞ 1 2π i I CR f(z) z − a dz = K, K = limz→∞ z · f(z) z − a = f(∞). ❣ ❬✰ 1 2π i I C f(z) z − a dz = f(a)−K. ➤➥➔ K = 0 ❻ ✰❥❧➙➦ ♠✗✘✙✚ Cauchy ✛✜✢✣ ➦➀❪ f(z) ❆s✪t✉ ✈✇ C ①② C ③✬✭✰➧➔ z → ∞ ❻ ✰ f(z) ✻➨⑩➩♦ 0 ✰✽ Cauchy ✿✳➌➍ f(a) = 1 2π i I C f(z) z − a dz ➫→➭➯✰❬➲ a ✹ C ③ ✻ ✼✰✿✳❀✸ C ✹❺❻❼❽ ❃❄
第四讲() Cauchy积分公式 第3页 §42解析函数的高阶导数 从 Cauchy积分公式,可以推断出一个重要结论:如果f(z) 在石中解析,则在G内f(2)的任何阶导数f(n)(2)均存在, 并且 f() (-z)n+1 其中C是G的正向边界,z为G内任意一点,如图4.3 证首先求f(2).因为 2ih C-a-h c-2 图4.3高阶导数公式 取极限h→0,左端即为f(z),而右端被积函数的极限为∫()/(-2)2.为了证明在积分号下求 极限合法,不妨考察 f(sds f(eds f(s)dc (-z-h)(-2)J。(-2)2 (-z-h)(-2) 由于f()在C上连续,故在C上有|f(川≤M,设z到C的最短距离为6,l为C的长度,则有 fe(-z-h)(-2) 因此,积分号下求极限合法 f(2) 同样,可以求出 f(2)= f() h h)2(-2)2 f(cds f() 如此继续,即可求出f(n)().口 这个结果说明,一个复变函数,只要在一个区域中一阶导数处处存在(因此是区域内的解析 画数),则它的任何阶导数都存在,并且都是这个区域内的解析函数 在实变函数中并非如此.我们并不能由f(x)的存在推断出f"(x)的存在 复变函数中f(2)在一区域中处处可导(即解析)是一个很高的要求.实变函数中f(x)的存 在只包含当x在数轴上(一定区间内)变化时对f(x)的要求,而复变函数中f()的存在则 包含了在二维平面区域上对f(z)的要求
Wu Chong-shi ✁✂ (✄) Cauchy ☎✆✝✞ ✟ 3 ✠ §4.2 ➳➵➸➺➻➼➽➾➺ ➚ Cauchy ✿✳➌➍✰❡ ➃➪➶➠ ✻➂➹q❭➘➦➀❪ f(z) ❆ G ★ ✬✭✰✽❆ G ✺ f(z) ✩➴➷➬➮✯ f (n) (z) ➱✃❆✰ ❐➧ f (n) (z) = n! 2π i I C f(ζ) (ζ − z) n+1 dζ, ✾ ★ C ✥ G ✩❂ ❃✱✲✰ z ✹ G ✺➴❒✻✼✰➀❊ 4.3 ❄ ❅ ❮❰➟ f 0 (z) ❄❣✹ f(z + h) − f(z) h = 1 2π i 1 h I C f(ζ) ζ − z − h − f(ζ) ζ − z dζ = 1 2π i I C f(ζ) (ζ − z − h)(ζ − z) dζ, ◗ 4.3 ÏÐÑÒ❨❩ Ó ➡➢ h → 0 ✰ÔÕ❾ ✹ f 0 (z) ✰↕ÖÕ×✿ ✮✯✩➡➢✹ f(ζ)/(ζ − z) 2 ❄✹Ø❦ Ù❆ ✿✳ÚÛ➟ ➡➢✉Ü✰ÝÞßà I C f(ζ) dζ (ζ − z − h)(ζ − z) − I C f(ζ) dζ (ζ − z) 2 = h I C f(ζ) dζ (ζ − z − h)(ζ − z) 2 . ❤♦ f(ζ) ❆ C ① ▲á✰❞❆ C ① P |f(ζ)| ≤ M ✰ ✤ z ➙ C ✩âãäå✹ δ ✰ l ✹ C ✩æç✰✽P I C f(ζ) (ζ − z − h)(ζ − z) dζ − I C f(ζ) (ζ − z) 2 dζ ≤ |h| · Ml δ 2(δ − |h|) → 0, ❣ ❬✰✿✳ÚÛ➟ ➡➢✉Ü✰ f 0 (z) = 1 2π i I C f(ζ) (ζ − z) 2 dζ. è➉✰❡➃ ➟➠ f 00(z) = lim h→0 f 0 (z + h) − f 0 (z) h = lim h→0 1 2π i 1 h I C f(ζ) (ζ − z − h) 2 − f(ζ) (ζ − z) 2 dζ = lim h→0 1 2π i I C 2ζ − 2z − h (ζ − z − h) 2(ζ − z) 2 f(ζ)dζ = 2! 2π i I C f(ζ) (ζ − z) 3 dζ. ➀❬éá✰❾❡➟➠ f (n) (z) ❄ F ➈ ➂ ❭❪ê Ù✰✻➂❑ë✮✯✰➑q❆ ✻➂✦✧ ★✻➬➮✯➲➲✃ ❆ (ìíî ïð ñòóô õö) ✰✽÷✩➴➷➬➮✯ø✃ ❆✰❐➧ø✥ ➈ ➂✦✧ ✺✩✬✭✮✯❄ F ❆ùë✮✯ ★ ❐ú➀❬❄ûü❐Ýý ❤ f 0 (x) ✩✃❆ ➪➶➠ f 00(x) ✩✃❆ ❄ F ❑ë✮✯ ★ f(z) ❆ ✻✦✧ ★ ➲➲❡➮ (❾✬✭) ✥✻➂þÿ✩q➟❄ ùë✮✯ ★ f 0 (x) ✩✃ ❆➑ ④ ➔ x ❆✯✁ ① (✻◆✦✂ ✺) ë✄ ❻ ♥ f(x) ✩ q➟✰↕❑ë✮✯ ★ f 0 (z) ✩✃❆✽ ④Ø ❆☎✆✝✞✦✧①♥ f(z) ✩ q➟❄
§4.3 Cauchy型积分和含参量积分的解析性 第4页 843 Cauchy型积分和含参量积分的解析性 在上一节关于解析函数高阶导数公式的证明过程中,f(z)的解析性只是体现在:(1)f(z)可 用 Cauchy积分公式表示;(2)f(z)在C上连续.因此,重复上面的步骤,就可以证明:在一条分 段光滑的(闭合或不闭合)曲线C上连续的函数()所构成的积分 f(a) 1 (S) (称为 Cauchy型积分)是曲线外点z的解析函数,f'(2)可通过积分号下求导而得到 2Pilospards f()=p 例计算积分 f(2)=1 1(d,1≠1 解这是一个 Cauchy型积分.因为在||=1上*=1/,故 f(a) 当|2|>1时,此积分可以用 Cauchy积分公式计算 f(a) tla 当01, Ial 由此可见,f(z)在|≠1处解析,尽管〈*在全平面不解析
Wu Chong-shi §4.3 Cauchy ✟☎✆✠✡☛☞☎✆✌✍✎✏ ✟ 4 ✠ §4.3 Cauchy ✑✒✓✒✓✔✕✒✓➻➳➵✖ ❆ ①✻✗❝ ♦✬✭✮✯ÿ➬➮✯ ➌➍✩❦ Ù✘✙ ★ ✰ f(z) ✩ ✬✭✚➑ ✥↔❶❆➦ (1) f(z) ❡ ✛ Cauchy ✿✳➌➍✜✢✣ (2)f(z) ❆ C ① ▲á❄❣❬✰➹ ❑ ① ✞ ✩✤✥✰❥❡➃ ❦ Ù➦❆ ✻✦✳ ✴✵✶✩ (t✉✧Ýt✉) ✷✸ C ① ▲á✩ ✮✯ φ(ζ) ➋★ ➭ ✩✿✳ f(z) = 1 2π i Z C φ(ζ) ζ − z dζ (✩✹ Cauchy ✪✛✜) ✥ ✷✸③✼ z ✩ ✬✭✮✯✰ f 0 (z) ❡▼✘ ✿✳ÚÛ➟ ➮ ↕❧➙✰ f (p) (z) = p! 2π i Z C φ(ζ) (ζ − z) p+1 dζ. ✫ ❷❸✿✳ f(z) = 1 2π i I |ζ|=1 ζ ∗ ζ − z dζ, |z| 6= 1. ✬ ➈ ✥✻➂ Cauchy ✭✿✳❄❣✹❆ |ζ| = 1 ① ζ ∗ = 1/ζ ✰❞ f(z) = 1 2π i I |ζ|=1 1 ζ(ζ − z) dζ. ➔ |z| > 1 ❻ ✰❬✿✳❡ ➃ ✛ Cauchy ✿✳➌➍❷❸✰ f(z) = 1 2π i I |ζ|=1 1 ζ 1 ζ − z dζ = − 1 z . ➔ 0 1, 0, |z| < 1. ❤❬❡❉ ✰ f(z) ❆ |z| 6= 1 ➲✬✭✰✲✳ ζ ∗ ❆✴✝✞Ý✬✭❄
第四讲() Cauchy积分公式 第5页 利 Cauchy积分,就可以推出含参积分的解性 点 1.f(t,2)是tm2的,积画数,t∈a,b G 2.路沿{a,b正的向.t值,∫(t,x)是石正的,值解析函数 则F(2)=/f(,2)d在G内是解析的,且 (z) af(t, 2) de dt 证因为f(t,2)在G上解析,故对于G内的任何一点2, Cauchy积分公式成立, f(t, 2) f(t,) 作圆F(z)的定义,并换积分次序(因为f(t,2)连续),得 dt f(t, s) 这是一个 Cauchy积分,/f(t,z)dt连续,故F(2)为G内的解析函数,且 f(t, S)dt ds .[如94]= 根然这个结论据复于/f(),这时应当要求C是分段光滑曲线,当t在C上变连, z∈石时,f(t,2)是t和z的连续函数.证明的方法与上通同
Wu Chong-shi ✁✂ (✄) Cauchy ☎✆✝✞ ✟ 5 ✠ ✵✛ Cauchy ✭✿✳✰❥❡➃➪➠ ✶✷✸✛✜✚✬✹✺ ❄ ✻✼ 4.2 ✤ 1. f(t, z) î t ✽ z ò✾✿õö✰ t ∈ [a, b] ✰ z ∈ G ✰ 2. ❀❁ [a, b] ❂ò❃❄ t ❅ ✰ f(t, z) î G ❂ò❆❅óôõö✰ ✽ F(z) = Z b a f(t, z)dt ❆ G ✺✥✬✭✩ ✰➧ F 0 (z) = Z b a ∂f(t, z) ∂z dt. ❅ ❣✹ f(t, z) ❆ G ① ✬✭✰❞♥♦ G ✺✩➴➷✻✼ z ✰ Cauchy ✿✳➌➍➭➯✰ f(t, z) = 1 2π i I C f(t, ζ) ζ − z dζ. ❇❈ F(z) ✩◆❉ ✰❐❊❋✿✳●❍ (❣✹ f(t, z) ▲á) ✰❧ F(z) = Z b a dt 2π i I C f(t, ζ) ζ − z dζ = 1 2π i I C 1 ζ − z "Z b a f(t, ζ)dt # dζ. ➈ ✥✻➂ Cauchy ✭✿✳✰ Z b a f(t, z)dt ▲á✰❞ F(z) ✹ G ✺✩✬✭✮✯✰➧ F 0 (z) = 1 2π i I C 1 (ζ − z) 2 "Z b a f(t, ζ)dt # dζ = Z b a 1 2π i I C f(t, ζ) (ζ − z) 2 dζ dt = Z b a ∂f(t, z) ∂z dt. ■→✰➈ ➂ ❭➘❏❑✛♦ Z C f(t, z)dt ❄ ➈ ❻ ❫➔q➟ C ✥✳✴✵✶ ✷✸✰➔ t ❆ C ① ë▲✰ z ∈ G ❻ ✰ f(t, z) ✥ t ➊ z ✩ ▲á✮✯❄ ❦ Ù✩❽Ü❴① ✞▼è ❄
§44复数级数 第四讲(二)无穷级数 无穷级数,特别是幂级数,是解析函数的最重要的表达形式之 许多初等函数和特殊函数都是用幂级数定义的 复变函数级数理论和实变函数的比较:概念和方法的异同 84.4复数级数 定义复数级数 u0+u1+u2+…+un+ 令n的实部和虚部分别为an与Bn,则 个复数级数∑tn完全等价于两个实数级数∑an和∑An,反之亦然 复数级数的收敛和发散如果级数的部分和 S +u1+u2 所构成的序列{Sn}收敛,则称级数∑un收敛,序列{Sn}的极限S= lim s2,称为级数∑un 的和 un= lim S 否则,级数∑un是发散的 级数的收敛性,是用它的部分和序列的收敛性定义的.因此,根据序列收敛的充要条件,可 以写岀级数收敛的充要条件- Cauchy充要条件:任意给定ε>0,存在正整数π,使对于任意 正整数p,有 un+1+un+2+…+un+pl<E 特别是,令p=1,就得到级数收敛的必要条件 lim ★在不改变求和次序的前提下,可以将收敛级数并项 u1+u2+3+u4+ (u1+a2)+(ua+u4)+
Wu Chong-shi §4.4 ◆ ❖ P ❖ ✟ 6 ✠ ✡ ☛☞ (◗) ❘ ❙ ❚ ❯ ❱❲❳ö✰❨❩î❬❳ö✰ îóôõöò❭❪❫ò❴❵❛❜❝❞❄ ❡ ❢❣❤õö✽ ❨✐õö❥ î❦❬❳ö❧♠ò❄ ♥♦õö❳ö♣q✽ r♦õöòst➦✉✈✽✇①ò② ③❄ §4.4 ④ ➺ ⑤ ➺ ✻⑥ ❑✯⑦✯ u0 + u1 + u2 + · · · + un + · · · = X∞ n=0 un. ❢ un ✩ ù⑧ ➊⑨ ⑧ ✳ ➥ ✹ αn ❴ βn, ✽ X∞ n=0 un = X∞ n=0 αn + iX∞ n=0 βn. ✻➂❑✯⑦✯ Pun ⑩ ✴❶❷♦❸ ➂ ù✯⑦✯ Pαn ➊ Pβn ✰❹❺❻→ ❄ ❼❽❾❽✚❿➀➁➂➃ ➀❪⑦✯ ✩ ⑧ ✳➊ Sn = u0 + u1 + u2 + · · · + un ➋★ ➭ ✩❍➄ {Sn} ➅➆✰✽✩ ⑦✯ Pun ➅➆✰ ❍➄ {Sn} ✩➡➢ S = limn→∞ Sn ✰ ✩✹ ⑦✯ Pun ✩➊ X∞ n=0 un = limn→∞ Sn. ➇✽✰⑦✯ Pun ✥➈➉✩❄ ⑦✯ ✩➅➆✚✰ ✥ ✛÷ ✩ ⑧ ✳➊❍➄✩➅➆✚ ◆❉✩❄❣❬✰■❏❍➄➅➆✩➊ q ✦➋✰❡ ➃➌ ➠⑦✯ ➅➆✩➊ q ✦➋ Cauchy ➊ q ✦➋➦ ❃➍➎❧ ε > 0 ✰➏➐➑ ➒ö n ✰➓ ❀❁❃➍ ➑ ➒ö p ✰➔ |un+1 + un+2 + · · · + un+p| < ε. ➤➥✥ ✰❢ p = 1 ✰❥❧➙⑦✯ ➅➆✩→ q ✦➋ limn→∞ un = 0. F ❆Ý➣ë➟ ➊●❍✩↔↕Û ✰❡➃➙➅➆⑦✯❐➛ ❄ u1 + u2 + u3 + u4 + · · · = (u1 + u2) + (u3 + u4) + · · ·
第四讲(二)无穷级数 第7页 ★如果级数∑|un收敛,则称级数∑un绝对收敛.绝对收敛的级数一定是收敛的 un+1+an+2+…un+pl≤|un+1+|un+2+…+lun+pl 反之,一个收敛的级数,却不一定是绝对收敛的. ★绝对收敛级数的判别法 ★比较判别法若{un|tn,而∑vn发散,则∑|an发散 ★比值判别法若存在与n无关的常数p,则 当p>1时,级数∑|anl发散 n=0 比值判别法的优点:对于许多常用级数,分式un+1/u的形式往往要比un的形式简 单得多,因此应用比值判别法可以很快地判断∑lun的收敛性 p的存在性? 更方便的当然是使用它的极限形式,即d' Alembert判别法 ★ d' alembert判别法如果m|un+/un|=11,则∑|n发散 d' Alembert判别法的优点:一般说来,求上下极限总要比求比值判别法中的ρ来得简 d' Alembert判别法的缺点:采用不同的标准判列级数的收敛和发散,即用imun+1/ur 判断级数∑l的收敛,而用皿|n/ul|判断级数的发散.因此对于 lim|uan+1/uan≥1及 lim un+1/unl≤1的情形就不能作出判断,除非 lim un +1/un= lim Jun+1/un lim un+1/ Cauchy判别法的优点就是根据同一判据mun来判断级数是否绝对收敛 ★ Cauchy判别法如果man}11,则级数∑vn发散
Wu Chong-shi ✁✂ (➜) ➝ ➞ P ❖ ✟ 7 ✠ F ➀❪⑦✯ P∞ n=0 |un| ➅➆✰✽✩ ⑦✯ P∞ n=0 un ➟ ♥ ➅➆❄➟ ♥ ➅➆✩ ⑦✯ ✻◆✥➅➆✩❄ |un+1 + un+2 + · · · un+p| ≤ |un+1| + |un+2| + · · · + |un+p|. ❹❺✰ ✻➂➅➆✩ ⑦✯✰➠Ý ✻◆✥➟ ♥ ➅➆✩❄ F ➟ ♥ ➅➆⑦✯ ✩➡ ➥Ü❄ F ➢➤➥➦➧ ➨ |un| vn, ↕ P∞ n=0 vn ➈➉✰✽ P∞ n=0 |un| ➈➉❄ F ➢➩➥➦➧ ➨✃ ❆❴ n ❜❝✩➫ ✯ ρ ✰✽ ➔ un+1 un ρ > 1 ❻ ✰⑦✯ P∞ n=0 |un| ➈➉❄ • s❅➭❩ ①ò➯➲➦ ❀❁❡ ❢➳❦❳ö✰➵ ❜ |un+1/un| ò❛❜➸➸❫s un ò❛❜ ➺ ❆➻ ❢✰ ìí➼❦s❅➭❩ ①➽ ➾➚➪➶➭➹ P|un| ò➘➴➷❄ • ρ ò ➏➐➷ ➬ • ➮✇➱ò ✃❐î➓ ❦❒ò❮❰❛❜✰Ï d’Alembert ➭ ❩ ①❄ F d’Alembert ➥➦➧ ➀❪ limn→∞ |un+1/un| = l 1, ✽ P∞ n=0 |un| ➈➉❄ • d’Alembert ➭ ❩ ①ò➯➲➦ ❞ÐÑÒ✰Ó ❂Ô❮❰Õ❫sÓ s❅➭❩ ① Öò ρ Ò➻ ➺ ❆❄ • d’Alembert ➭ ❩ ①ò×➲➦Ø ❦Ù ③òÚÛ➭❩❳ö ò➘➴✽ÜÝ✰Ï ❦ limn→∞ |un+1/un| ➭ ➹ ❳ ö P∞ n=0 |un| ò ➘ ➴ ✰Þ ❦ lim n→∞ |un+1/un| ➭ ➹ ❳ ö ò Ü Ý ❄ì í ❀ ❁ limn→∞ |un+1/un| ≥ 1 ß lim n→∞ |un+1/un| ≤ 1 òà❛áÙâã ä➭➹✰å æ limn→∞ |un+1/un| = lim n→∞ |un+1/un| = limn→∞ |un+1/un|. • Cauchy ➭ ❩ ①ò➯➲áîçè ③❞➭è limn→∞ |un| 1/n Ò➭➹❳ö îéê❀➘➴❄ F Cauchy ➥➦➧ ➀❪ limn→∞ |un| 1/n 1, ✽⑦✯ P∞ n=0 un ➈➉❄
绝对收敛级数的性质: 1.改换次序.例如 u0+u1+u2+a4+n3+u6+u8+a5 2.可以把一个绝对收敛级数拆成几个子级数,每个子级数仍绝对收敛 u2n+∑ 3.两个绝对收敛级数之积仍然绝对收敛 这里的乘积是一个二重级数 uovo uoU1 u0U2+ uou3 +a10+u11+u1v2+u13 +u20+u21+u22+u203+ +a30+u3u1+3u2+u33+ 其绝对收敛性意味着可以按照任意顺序求和,其值不变.例如可按k+l=n的大小顺序排列, LkUn-k 如果限于这种求和次序(这种求和次序具有特殊的重要性),则乘法的条件还可以放宽成:∑uk, ∑η都收敛,且其中之一绝对收敛;或∑uk,∑n和∑u都收敛
Wu Chong-shi §4.4 ◆ ❖ P ❖ ✟ 8 ✠ ëì❿➀❾❽✚✺í➦ 1. ➣❋●❍❄î ➀ u0 + u1 + u2 + u3 + u4 + · · · = u0 + u1 + u2 + u4 + u3 + u6 + u8 + u5 + · · · . 2. ❡ ➃ï✻➂➟ ♥ ➅➆⑦✯ð➭ñ ➂ò ⑦✯✰ó ➂ò ⑦✯➫ ➟ ♥ ➅➆❄ X∞ n=0 un = X∞ n=0 u2n + X∞ n=0 u2n+1. 3. ❸ ➂➟ ♥ ➅➆⑦✯❺ ✿ ➫→ ➟ ♥ ➅➆✰ X k uk · X l vl = X k,l ukvl . ➈➏✩ô✿✥✻➂☎ ➹ ⑦✯ u0v0 + u0v1 + u0v2 + u0v3 + · · · + u1v0 + u1v1 + u1v2 + u1v3 + · · · + u2v0 + u2v1 + u2v2 + u2v3 + · · · + u3v0 + u3v1 + u3v2 + u3v3 + · · · + · · · . ✾ ➟ ♥ ➅➆✚ ❒õö❡ ➃÷ø➴❒❺❍ ➟ ➊ ✰✾✫Ýë❄î ➀❡÷ k + l = n ✩❵❛❺❍ù➄✰ X∞ k=0 uk · X∞ l=0 vl = X∞ n=0 wn, wn = Xn k=0 ukvn−k. ➀❪➢ ♦➈ú➟ ➊●❍ (➈ú➟ ➊●❍➣ P➤û ✩➹q✚ ) ✰✽ô Ü ✩✦➋ü❡ ➃ýþ➭➦ Puk, Pvl ø ➅➆✰➧✾ ★ ❺ ✻➟ ♥ ➅➆✣✧ Puk, Pvl ➊ Pwn ø ➅➆❄
第四讲(二)无穷级数 第9页 845函数级数 函数级数的收敛性设wk(2)(k=1,2,…)在区域G中有定义.如果对于G中一点20,级 数∑uk(0)收敛,则称级数∑uk(z)在0点收敛 反之,如果∑k(z0)发散,则称级数∑vk(2)在20点发散. 如果级数∑wk(z)在区域G内每一点都收敛,则称级数在G内收敛.其和函数S(z)是G内 的单值函数 函数级数的一致收敛性如果对于任意给定的E>0,存在一个与z无关的N(=),使当n>N() 时,|5()-∑m(l<=,则称级数∑u()在G内一致收敛 函数级数一致收敛的判别法(1)直接运用定义,(2) Weierstrass的M判别法 Weierstrass的M判别法:若在区域G内(2)<ak,ak与2无关,而∑ax收敛,则∑ak() 在G内绝对而且一致收敛 致收敛级数具有下列重要性质 1.连续性如果uk(2)在G内连续,级数∑uk(2)在G内一致收敛,则其和函数S(z) k=1 uk(2)也在G内连续 这个性质告诉我们,如果级数的每一项都是连续函数,则一致收敛级数可以逐项求极限(或者 说,“求极限”与“求级数和”可以交换次序) im∑ux(2)=∑ima(2) k=1 2.逐项求积分设C是区域G内的一条分段光滑曲线,如果uk(2)(k=1,2,…)是C上的连 续函数,则对于C上一致收敛的级数∑uk(z)可以逐项求积分 uk(z)dz ∑/.t(d 3.逐项求导数( Weierstrass定理)设uk(2)(k=1,2,…)在石中单值解析,∑uk(2)在石中 一致收敛,则此级数之和f(z)是G内的解析函数,f(2)的各阶导数可以由∑uk(z)逐项求导数
Wu Chong-shi ✁✂ (➜) ➝ ➞ P ❖ ✟ 9 ✠ §4.5 ➸ ➺ ⑤ ➺ ÿ❽❾❽✚❿➀✺ ✤ uk(z) (k = 1, 2, · · ·) ❆ ✦✧ G ★ P ◆❉❄ ➀❪♥♦ G ★✻✼ z0 ✰⑦ ✯ P∞ k=1 uk(z0) ➅➆✰✽✩ ⑦✯ P∞ k=1 uk(z) ❆ z0 ✼ ➅➆❄ ❹❺✰➀❪ P∞ k=1 vk(z0) ➈➉✰✽✩ ⑦✯ P∞ k=1 vk(z) ❆ z0 ✼ ➈➉❄ ➀❪⑦✯ P∞ k=1 uk(z) ❆ ✦✧ G ✺ ó ✻ ✼ø➅➆✰✽ ✩ ⑦✯❆ G ✺➅➆❄ ✾ ➊ ✮✯ S(z) ✥ G ✺ ✩ ✪✫✮✯❄ ÿ❽❾❽✚✁❿➀✺ ➀❪♥♦➴❒✂◆✩ ε > 0, ✃ ❆ ✻➂❴ z ❜❝✩ N(ε), ✄ ➔ n > N(ε) ❻ ✰ S(z) − Pn k=1 uk(z) < ε ✰✽✩ ⑦✯ P∞ k=1 uk(z) ❆ G ✺✻➨➅➆❄ ÿ❽❾❽✁❿➀✚ ➥➦➧ (1) ☎✆✝✛ ◆❉ ✰ (2) Weierstrass ✩ M ➡ ➥Ü❄ Weierstrass ✩ M ➡ ➥Ü➦➨ ❆ ✦✧ G ✺ |uk(z)| < ak ✰ ak ❴ z ❜❝✰↕ P∞ k=1 ak ➅➆✰✽ P∞ k=1 uk(z) ❆ G ✺➟ ♥↕➧✻➨➅➆❄ ✁❿➀❾❽✞✖✟✠✡☛✺í☞ 1. ✌✍✎ ✏✑ uk(z) ✒ G ✓✔✕✖✗✘ P∞ k=1 uk(z) ✒ G ✓✙✚✛✜✖✢✣✤✥✘ S(z) = P∞ k=1 uk(z) ✦✒ G ✓✔✕✧ ★✩✪✫✬✭✮✯✖✏✑✗✘✰✱✙✲✳✴✔✕✥✘✖✢✙✚✛✜✗✘✵✶✷✲✸✹✺ (✻✼ ✽ ✖ ✾✸✹✺✿❀ ✾✸✗✘✤✿✵✶❁❂❃❄) ✖ limz→z0 X∞ k=1 uk(z) = X∞ k=1 limz→z0 uk(z). 2. ❅❆❇❈❉ ❊ C ✴❋● G ✓✰✙❍■❏❑▲ ▼◆✖✏✑ uk(z) (k = 1, 2, · · ·) ✴ C ❖✰✔ ✕✥✘✖✢P◗ C ❖✙✚✛✜✰✗✘ P∞ k=1 uk(z) ✵✶✷✲✸❘■ Z C X∞ k=1 uk(z)dz = X∞ k=1 Z C uk(z)dz. 3. ❅❆❇❙❚ (Weierstrass ❯❱) ❊ uk(z) (k = 1, 2, · · ·) ✒ G ❲❳❨❩❬✖ P∞ k=1 uk(z) ✒ G ❲ ✙✚✛✜✖✢❭✗✘❪✤ f(z) ✴ G ✓✰❩❬✥✘✖ f(z) ✰❫❴❵✘✵✶ ❛ P∞ k=1 uk(z) ✷✲✸❵✘
§45函数级数 第10页 得到, f(p)(2) 求导数后的级数在G内的任一闭区域中一致收敛 这些性质的证明见本章末
Wu Chong-shi §4.5 ❜ ❝ ❞ ❝ ❡ 10 ❢ ❣❤✖ f (p) (z) = X∞ k=1 u (p) k (z), ✸❵✘✐✰✗✘✒ G ✓✰❥✙❦❋● ❲✙✚✛✜✧ ★❧✪✫✰♠ ♥♦♣qr✧