第十八讲分离变量法(四)正交曲面坐标系 平面极坐标系和柱坐标系下的 Lapalce算符 平面极坐标(,)和直角坐标(x,y)的关系是 = COS: =r sino. 由此容易求出 dr= cos odx+ sin ody, do sineda+dy coso T 即 Or sino cos o. 0 ax coso =sin o, dy ay 按照复合函数的求导法则, 00r00 a sing a ar axar ardo =cos ar r ao' y dy dysino coso 00r000 a ar r ad 进一步就能得到 2 a sing a a sing a az2cosor cos oar-r ao =cos2 2 sino coso 2sin2o a2sin2a 2 sino cosoa rardo + do r2 a2 a coso a y2=(sin+ a coso a r sinc a22sino coso a2 cos2o a2 cos2a 2sino coso a =sino+ r2 0r ad2 r ar 最后就得到平面极坐标系下的 Laplace算符 210102 2=2+r+r202 0.12 + r22 在此基础上,还可以得到柱坐标系下的 Laplace算符 82181822 ar2+ar+2062+2 18102 02 rr(a)+202+2
Wu Chong-shi ✁✂✄ ☎✆✝✞✟ (✠) ✡☛ ☞✌✍✎✏ ✑✒✓✔✕✖✗✘✔✕✖✙✚ Lapalce ✛✜ ✢✣✤✥✦ (r, φ) ✧★✩✥✦ (x, y) ✪✫✬✭ x = r cos φ, y = r sin φ. ✮✯✰✱✲✳ dr = cos φ dx + sin φ dy, dφ = − sin φ r dx + cos φ r dy, ✴ ∂r ∂x = cos φ, ∂φ ∂x = − sin φ r , ∂r ∂y = sin φ, ∂φ ∂y = cos φ r . ✵✶✷✸✹✺✪ ✲✻✼✽✾ ∂ ∂x = ∂r ∂x ∂ ∂r + ∂φ ∂x ∂ ∂φ = cos φ ∂ ∂r − sin φ r ∂ ∂φ, ∂ ∂y = ∂r ∂y ∂ ∂r + ∂φ ∂y ∂ ∂φ = sin φ ∂ ∂r + cos φ r ∂ ∂φ. ✿❀❁❂❃❄❅ ∂ 2 ∂x2 = cos φ ∂ ∂r − sin φ r ∂ ∂φ cos φ ∂ ∂r − sin φ r ∂ ∂φ = cos2φ ∂ 2 ∂r2 − 2 sin φ cos φ r ∂ 2 ∂r∂φ + sin2φ r 2 ∂ 2 ∂φ2 + sin2 φ r ∂ ∂r + 2 sin φ cos φ r 2 ∂ ∂φ, ∂ 2 ∂y2 = sin φ ∂ ∂r + cos φ r ∂ ∂φ sin φ ∂ ∂r + cos φ r ∂ ∂φ = sin2φ ∂ 2 ∂r2 + 2 sin φ cos φ r ∂ 2 ∂r∂φ + cos2φ r 2 ∂ 2 ∂φ2 + cos2 φ r ∂ ∂r − 2 sin φ cos φ r 2 ∂ ∂φ. ❆❇❂❄❅✢✣✤✥✦✬❈✪ Laplace ❉❊ ∇2 ≡ ∂ 2 ∂r2 + 1 r ∂ ∂r + 1 r 2 ∂ 2 ∂φ2 ≡ 1 r ∂ ∂r r ∂ ∂r + 1 r 2 ∂ 2 ∂φ2 . ❋✯●❍■✾❏❑▲❄❅▼✥✦✬❈✪ Laplace ❉❊ ∇ 2 ≡ ∂ 2 ∂r2 + 1 r ∂ ∂r + 1 r 2 ∂ 2 ∂φ2 + ∂ 2 ∂z2 ≡ 1 r ∂ ∂r r ∂ ∂r + 1 r 2 ∂ 2 ∂φ2 + ∂ 2 ∂z2
§18.球坐标系下的 Lapalce算符 球坐标系下的 Lapalce算符 球坐标(r,,0)和直角坐标(x,y,2)的关系是 r=r sin 6 coso, y=r sin 6 sin o, 2=r cos 6 由此可以解出 dr sin 6 cos o dr sin 6 sin o dy+ cos 0 dz cos 6 cos o cos 0 sin o dr+ sIno r sIn 因此 a dr d 00 0 do a A coso d dr 0r Or dr 00 0r do snt cos o a dr a a0 a do a a cos 6 sino a dy dy dr dy ae dy do B2=a2a+a26 cos ar 在此基础上就可以求出 a- cos 8 co a cos 0 coso d sing d = sin 8 cos o sin e cos r sin e 00 r sin 6 do 2o 2 02 cos0 cos2o a2 sin2o 02 2 sin cos 0 coso a2 2 sin o cos o a- 2 cos 0 cos2 cos2o+sing a sin e ado 2 sin20 cos 0 cos2o+ cos 0 sin26 a 2 sin o cos o 00 = sin 6 sin a cos 0 sin o a coso a a cos 0 sing a coso d sin g sin ra0 r sin 0 ao sin 6 do cos2o a2 2 sin 0 cos A sin2 a 2 sin o cos o d 2 cos 0 sin o cos o 0- cos0 sin oso d ard rising or sin20 cos 6 sin2o+ cos 0 cos26 a 2sin o cos o a rasin 6 r2sin-8 2=(c0s-580 cos H 0×、2sin6cos60sin20
Wu Chong-shi §18. ◆❖P◗❘❙ Lapalce ❚❯ ❱ 2 ❲ ❳✔✕✖✙✚ Lapalce ✛✜ ❨✥✦ (r, θ, φ) ✧★✩✥✦ (x, y, z) ✪✫✬✭ x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ. ✮✯❑▲❩✳ dr = sin θ cos φ dx + sin θ sin φ dy + cos θ dz, dθ = cos θ cos φ r dx + cos θ sin φ r dy − sin θ r dz, dφ = − sin φ r sin θ dx + cos φ r sin θ dy. ❬✯ ∂ ∂x = ∂r ∂x ∂ ∂r + ∂θ ∂x ∂ ∂θ + ∂φ ∂x ∂ ∂φ = sin θ cos φ ∂ ∂r + cos θ cos φ r ∂ ∂θ − sin φ r sin θ ∂ ∂φ, ∂ ∂y = ∂r ∂y ∂ ∂r + ∂θ ∂y ∂ ∂θ + ∂φ ∂y ∂ ∂φ = sin θ sin φ ∂ ∂r + cos θ sin φ r ∂ ∂θ + cos φ r sin θ ∂ ∂φ, ∂ ∂z = ∂r ∂z ∂ ∂r + ∂θ ∂z ∂ ∂θ = cos θ ∂ ∂r − sin θ r ∂ ∂θ . ❋✯●❍■❂❑▲✲✳ ∂ 2 ∂x2 = sin θ cos φ ∂ ∂r + cos θ cos φ r ∂ ∂θ − sin φ r sin θ ∂ ∂φ sin θ cos φ ∂ ∂r + cos θ cos φ r ∂ ∂θ − sin φ r sin θ ∂ ∂φ = sin2 θ cos2 φ ∂ 2 ∂r2 + cos2 θ cos2φ r 2 ∂ 2 ∂θ2 + sin2 φ r 2 sin2 θ ∂ 2 ∂φ2 + 2 sin θ cos θ cos2 φ r ∂ 2 ∂r∂θ − 2 sin φ cos φ r ∂ 2 ∂r∂φ − 2 cos θ sin φ cos φ r 2 sin θ ∂ 2 ∂θ∂φ + cos2 θ cos2 φ + sin2 φ r ∂ ∂r + −2 sin2 θ cos θ cos2 φ + cos θ sin2 φ r 2 sin θ ∂ ∂θ + 2 sin φ cos φ r 2 sin2 θ ∂ ∂φ, ∂ 2 ∂y2 = sin θ sin φ ∂ ∂r + cos θ sin φ r ∂ ∂θ + cos φ r sin θ ∂ ∂φ sin θ sin φ ∂ ∂r + cos θ sin φ r ∂ ∂θ + cos φ r sin θ ∂ ∂φ = sin2 θ sin2φ ∂ 2 ∂r2 + cos2 θ sin2φ r 2 ∂ 2 ∂θ2 + cos2 φ r 2 sin2 θ ∂ 2 ∂φ2 + 2 sin θ cos θ sin2 φ r ∂ 2 ∂r∂θ + 2 sin φ cos φ r ∂ 2 ∂r∂φ + 2 cos θ sin φ cos φ r 2 sin θ ∂ 2 ∂θ∂φ + cos2 θ sin2 φ + cos2 φ r ∂ ∂r + −2 sin2 θ cos θ sin2 φ + cos θ cos2 φ r 2 sin θ ∂ ∂θ − 2 sin φ cos φ r 2 sin2 θ ∂ ∂φ, ∂ 2 ∂z2 = cos θ ∂ ∂r − sin θ r ∂ ∂θ cos θ ∂ ∂r − sin θ r ∂ ∂θ = cos2 θ ∂ 2 ∂r2 + sin2 θ r 2 ∂ 2 ∂θ2 − 2 sin θ cos θ r ∂ 2 ∂r∂θ + 2 sin θ cos θ r 2 ∂ ∂θ + sin2 θ r ∂ ∂r
第十八讲分离变量法(四)正交曲面坐标系 第3页 最后就得到球坐标系下的 Laplace算符 a220102cos00 2+7+7+72smb2sim26a2 严(a)+=simb丽 sin d
Wu Chong-shi ❭❪❫❴ ❵❛❜❝❞ (❡) ❢❣ ❤✐ ❖P◗ ❱ 3 ❲ ❆❇❂❄❅❨✥✦✬❈✪ Laplace ❉❊ ∇ 2 ≡ ∂ 2 ∂r2 + 2 r ∂ ∂r + 1 r 2 ∂ 2 ∂θ2 + cos θ r 2 sin θ ∂ ∂θ + 1 r 2 sin2 θ ∂ 2 ∂φ2 ≡ 1 r 2 ∂ ∂r r 2 ∂ ∂r + 1 r 2 sin θ ∂ ∂θ sin θ ∂ ∂θ + 1 r 2 sin2 θ ∂ 2 ∂φ2
§18.1圆形区域 第4页 8.1圆形区域 圆形区域中的稳定问题.定解问题为 0,x2+y2 在直角坐标系下,方程(二维 Laplace方程)当然可以分离变量.但边界条件显然不能.由于边界的 形状是圆形,很自然地应该采用平面极坐标系 在平面极坐标系中,原来的定解问题应该可以写为 10/0 102a rG()+产=0,0<r<a usa =f(o) 令u(r,以)=R(r)(),代入方程,有 a=0.→xd rda r dr F()=1中2=入 2 因此,可以分离变量 d/dR\ AR=0, d d 但是边界条件 R(a)重p(a)=f() 仍然不能分离变量,因为边界条件是非齐次的.我们尽管能够将齐次方程分离变量,得到两个含有 待定参数的齐次常微分方程,但是并没有相应的齐次边界条件与之配合而构成一个本征值问题 在平面极坐标系下应用分离变量法,又遇到了新的特殊的困难! 上面出现的困难,完全是由于演绎中的疏漏造成的:在圆形区域的条件下,由平面直角坐标 系变换到平面极坐标系时,结果 10 1 a-u r Or 0,0<T<a r-a f() 并不完全等价于原来的定解问题;或者说,它并不构成一个完整的定解问题
Wu Chong-shi §18.1 ❥❦❧♠ ❱ 4 ❲ §18.1 ♥ ♦ ♣ q rst✉✈✇①②③④ ⑤⑥❩⑦⑧⑨ ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = 0, x2 + y 2 < a2 , u x2+y 2=a2 = f. ❋ ★✩✥✦✬❈✾⑩❶ (❷❸ Laplace ⑩❶) ❹❺❑▲❻❼❽❾⑤❿➀➁➂➃➄❺➅❃⑤✮➆➀➁✪ ➇➈✭ ➉➇✾➊ ➋ ❺➌➍➎➏➐✢✣✤✥✦✬ ⑤ ❋✢✣✤✥✦✬ ➑✾➒➓✪ ⑥❩⑦⑧➍➎❑▲➔⑨ 1 r ∂ ∂r r ∂u ∂r + 1 r 2 ∂ 2u ∂φ2 = 0, 0 < r < a, u r=a = f(φ). → u(r, φ) = R(r)Φ(φ) ✾➣↔⑩❶✾↕ 1 r d dr r dR dr Φ + R r 2 d 2Φ dφ2 = 0, =⇒ r R d dr r dR dr = − 1 Φ d 2Φ dφ2 = λ. ❬✯✾❑▲❻❼❽❾✾ r d dr r dR dr − λR = 0, d 2Φ dφ2 + λΦ = 0. ❿ ✭ ➀➁➂➃ R(a)Φ(φ) = f(φ) ➙ ❺➅❃❻❼❽❾✾❬⑨➀➁➂➃✭➛➜➝✪⑤➞➟➠➡❃➢➤➜➝⑩❶❻❼❽❾✾❄❅➥➦➧↕ ➨⑥➩✺ ✪➜➝➫➭❻⑩❶✾❿✭➯➲↕➳➍✪➜➝➀➁➂➃➵➸➺✸➻➼➽❀➦➾➚➪⑦⑧⑤ ➶➹➘➴➷➬➮➱✃❐❒❮❰ÏÐ✾ÑÒÓÔÕ✇Ö×✇ØÙ Ú ■✣✳Û✪ÜÝ✾Þß✭ ✮➆àá ➑✪âãä➽ ✪å❋ ➉ ➇æç✪ ➂➃❈ ✾✮✢✣★✩✥✦ ✬ ❽è❅✢✣✤✥✦✬é✾êë 1 r ∂ ∂r r ∂u ∂r + 1 r 2 ∂ 2u ∂φ2 = 0, 0 < r < a, u r=a = f(φ). ➯➅Þßìí➆➒➓✪ ⑥❩⑦⑧îïðñ✾ò➯➅➼➽❀➦Þó✪ ⑥❩⑦⑧⑤
第十八讲分离变量法(四)正交曲面坐标系 第5页 ★第一,在数学上,原来定解问题的微分方程在圆内处处成立;然而变换到平面极坐标后,方 程在区间的端点φ=0和φ=2π并不成立.严格说,在平面极坐标中,自变量φ的变化范围 是[0,2可,因为u(r,)在端点φ=0和φ=2处的偏导数没有定义,充其量最多也只能定义 u(r,o)在两个端点处的单侧偏导数 这两个端点纯粹是由于采用平面极坐标系描写圆形而出现的,并非真正的几何边界,在原始的 定解问题中,就谈不上要指定相应的边界条件这样就导致在上面的结果中也没有给出u(r,) 在φ=0和φ=2π处所应当满足的边界条件 考虑到平面极坐标系的特点,(r,=0)和(r,=2x)代表的是平面上的同一点,所以,作为 完整的定解问题,应当补充上周期条件 这样,上面提到的由于把 Laplace方程从直角坐标系转换到极坐标系时而发生的损失,可以通 过周期条件而得到补偿 ★第二,原来的方程在坐标原点(x,y)=(0,0)也是成立的、但是,变换到平面极坐标后,方程在 r=0点并不成立.因为u(r,)在r=0点的偏导数也并没有定义,充其量也只能定义u(r,) 在r=0点的单侧偏导数 r=0点作为自变量r的端点,也纯粹是由采用极坐标系而出现的,它并不是圆形区域的几何 边界.这样也还需要补充上u(r,)在r=0点所应当满足的边界条件 考虑到原来的方程是齐次的,在圆内(包括坐标原点)是无源的,因此,u(r,在坐标原点应 当是有界的,应当要补充上有界条件 u(r,d)=0有界 总结:在转换到平面极坐标系后,定解问题就应该变为 0<<2n,0<r<a, 0<T<a, du(r, o) au(r, o) 0|=2x 0<T<a, u(r,)=0有界 0<<2n 0<<2
Wu Chong-shi ❭❪❫❴ ❵❛❜❝❞ (❡) ❢❣ ❤✐ ❖P◗ ❱ 5 ❲ F ô ❀✾❋✺õ■✾➒➓⑥❩⑦⑧✪➭❻⑩❶❋ ➉ö÷÷➽øî ❺ ➻❽è❅✢✣✤✥✦❇✾⑩ ❶❋æù✪úû φ = 0 ✧ φ = 2π ➯➅➽ø⑤üýñ✾❋✢✣✤✥✦ ➑ ✾ ➋❽❾ φ ✪ ❽þÿ ✭ [0, 2π] ✾❬⑨ u(r, φ) ❋ úû φ = 0 ✧ φ = 2π ÷✪✁ ✻✺ ➲ ↕⑥✂✾✄☎❾❆✆✝✞❃⑥✂ u(r, φ) ❋➥➦úû÷✪✟✠✁✻✺⑤ ✡➥➦úû☛☞✭ ✮➆ ➏➐✢✣✤✥✦✬✌ ➔ ➉ ➇➻✳Û✪ ✾ ➯➛✍✎✪✏✑➀➁✾❋➒✒ ✪ ⑥❩⑦⑧ ➑ ✾❂✓ ➅ ■✔✕⑥➳ ➍✪➀➁➂➃⑤✡✖❂✻✗❋■✣ ✪ êë ➑ ✝ ➲ ↕✘✳ u(r, φ) ❋ φ = 0 ✧ φ = 2π ÷✙➍❹✚✛✪ ➀➁➂➃⑤ ✜✢❅✢✣✤✥✦✬✪✣û ✾ (r, φ = 0) ✧ (r, φ = 2π) ➣✤ ✪✭✢✣■ ✪✥ ❀ û ✾ ✙ ▲✾✦⑨ Þó✪ ⑥❩⑦⑧✾➍❹✧ ✄■★✩➂➃ u(r, φ) φ=0 = u(r, φ) φ=2π ✧ ∂u(r, φ) ∂φ φ=0 = ∂u(r, φ) ∂φ φ=2π . ✡✖✾■✣✪❅ ✪ ✮➆✫ Laplace ⑩❶✬ ★✩✥✦✬✭ è❅✤✥✦✬é➻✮✯✪✰✱✾❑▲✲ ✳★✩➂➃➻❄❅✧✴⑤ F ô❷✾➒➓✪ ⑩❶❋✥✦➒ û (x, y) = (0, 0) ✝ ✭ ➽ø✪ ⑤❿ ✭ ✾❽è❅✢✣✤✥✦❇✾⑩❶❋ r = 0 û➯➅➽ø⑤❬⑨ u(r, φ) ❋ r = 0 û✪✁ ✻✺✝ ➯➲↕⑥✂✾✄☎❾✝✞❃⑥✂ u(r, φ) ❋ r = 0 û✪✟✠✁✻✺⑤ r = 0 û ✦⑨ ➋❽❾ r ✪úû✾✝ ☛☞✭ ✮ ➏➐✤✥✦✬ ➻✳Û✪ ✾ò ➯➅✭ ➉➇æç✪✏✑ ➀➁⑤✡✖✝❏✵✔✧ ✄■ u(r, φ) ❋ r = 0 û✙➍❹✚✛✪ ➀➁➂➃⑤ ✜✢❅➒➓✪ ⑩❶✭➜➝✪✾❋ ➉ö (✶✷✥✦➒ û) ✭✸✹✪ ✾❬✯✾ u(r, φ) ❋✥✦➒ û➍ ❹✭↕➁✪ ✾ ➍❹✔ ✧ ✄■↕➁➂➃ u(r, φ) r=0↕➁. ✺✻å ➶✼✽Ó➹➘➴➷➬➮✾✾②✿③④❀✃❁❰❂ 1 r ∂ ∂r r ∂u ∂r + 1 r 2 ∂ 2u ∂φ2 = 0, 0 < φ < 2π, 0 < r < a, u(r, φ) φ=0 = u(r, φ) φ=2π , 0 < r < a, ∂u(r, φ) ∂φ φ=0 = ∂u(r, φ) ∂φ φ=2π , 0 < r < a, u(r, φ) r=0 ↕➁, 0 < φ < 2π, u r=a = f(φ), 0 < φ < 2π
§18.1圆形区域 第6页 现在,再来重复分离变量的步骤,就可以看到,除了前面已经得到的两个齐次常微分方程 d dR AR=0, d2① 之外,由周期条件还可以得到 这样,又得到了一个新的本征值问题 +A中=0 更(0)=(2x), 这个本征值问题的特点是:它是由含有待定参数的常微分方程和一对周期条件构成的 这个本征值问題的解当然就会出现新的特点 当λ=0时,常微分方程的通解为 po(o)= Aoo+ Bo 代入周期条件,有 Bo Ao2T+ Bo A0=A0 因此 B 这说明λ=0是本征值,相应的本征函数是 当λ≠0时,方程的通解为 φ()=Asin√b+Bcos√Ao 代入周期条件,得到 B= Asin VA2+ B cos yA2 A=A A27T-B 这可以看成是关于系数A和B的线性齐次代数方程组,有非零解的充分必要条件是 sinA2rcos√入2nx-1 osvA2丌-1 2丌 即2(cos√2-1)=0,这样又可以求得本征值 相应的非零解是 A任意,B任意
Wu Chong-shi §18.1 ❥❦❧♠ ❱ 6 ❲ Û❋✾❃➓❄✷❻❼❽❾✪ ❁❅✾❂❑▲❆❅✾❇❈❉✣ ❊❋❄❅✪ ➥➦➜➝➫➭❻⑩❶ r d dr r dR dr − λR = 0, d 2Φ dφ2 + λΦ = 0 ➸●✾✮★✩➂➃❏❑▲❄❅ Φ(0) = Φ(2π), Φ0 (0) = Φ 0 (2π). ✡✖✾❍❄❅❈❀➦■ ✪ ➾➚➪⑦⑧ d 2Φ dφ2 + λΦ = 0, Φ(0) = Φ(2π), Φ0 (0) = Φ 0 (2π). ❏❑▲▼◆ ❖P◗❘❙❚å ❯❚ ❱❲❳❨❩❬❭◗❪❫❴❵❛❜❝❞❡❢❣❤✐❥◗⑤ ❏❑▲▼◆ ❖P◗❦ ❧♠♥♦ ♣qr◗❘❙⑤ ❹ λ = 0 é ✾ ➫➭❻⑩❶✪ ✲❩⑨ Φ0(φ) = A0φ + B0. ➣↔★✩➂➃✾↕ B0 = A02π + B0, A0 = A0. ❬✯ A0 = 0, B0st. ✡ñ ✉ λ = 0 ✭ ➾➚➪✾➳➍✪➾➚✹✺✭ Φ0(φ) = 1. ❹ λ 6= 0 é ✾⑩❶✪ ✲❩⑨ Φ(φ) = A sin √ λφ + B cos √ λφ. ➣↔★✩➂➃✾❄❅ B = A sin √ λ2π + B cos √ λ2π, A = A cos √ λ2π − B sin √ λ2π. ✡❑▲❆➽ ✭✫➆ ✬ ✺ A ✧ B ✪✈✇➜➝➣✺⑩❶①✾↕➛② ❩ ✪ ✄❻③✔➂➃✭ sin √ λ2π cos √ λ2π − 1 cos √ λ2π − 1 − sin √ λ2π = 0, ✴ 2(cos √ λ2π − 1) = 0 ⑤✡✖❍❑▲✲❄➾➚➪ λm = m2 , m = 1, 2, 3, · · · , ➳ ➍✪➛② ❩ ✭ Ast, Bst
第十八讲分离变量法(四)正交曲面坐标系 第7页 这就是说,对应于一个本征值n,有两个本征函数 更m1()= sin mo, 亚m2()=cosm 当然,也还可以将λ0=0的结果和λ≠0的结果合并起来,统一写 Φm1()= sin md 更m2(小)= cos mg, 而将m的取值相应地改为0,1,2,3, 按照分离变量法的标准步骤,再来求常微分方程 d/ dR -AR=O 的解.注意这个常微分方程是一个特殊的变系数方程,经过自变量的变换 就可以变为常系数的常微分方程 d 2R 所以,当λ0=0时,通解为 Ro(r)=Co+ Dot=Co+ DoInr; 当λm=m2,m≠0时,通解为 rm(r)= Cme+ Dme +D 现在,就求得了满足齐次方程和齐次边界条件(周期条件)的全部特解 (r,) 1(r,o)=(Cmlrm+ Dmir-m)sin me um2(r,)=(Cm2r m+ Dm2r-m)cos mo 叠加起来,就得到定解问题的一般解 u(r,o)=Co+DoInr+2(CmIrm+dmir -m)sin mo+2(Cm2rm+Dm2r-m)cos md m=1 考虑到有界条件 u-=0有界 因为lnr和r-m在r=0点都是无界的,所以它们的系数都必须为0 Do=0.Dmn1=0,Dn2=0. 再代入其余的边界条件,就得到 +>a(cmI sin mo+Cm2 cos mo)=f(o)
Wu Chong-shi ❭❪❫❴ ❵❛❜❝❞ (❡) ❢❣ ❤✐ ❖P◗ ❱ 7 ❲ ✡❂ ✭ ñ✾④ ➍ ➆❀➦➾➚➪ λm ✾↕➥➦➾➚✹✺ Φm1(φ) = sin mφ, Φm2(φ) = cos mφ. ❧♠✾⑤⑥⑦ ⑧⑨ λ0 = 0 ◗⑩❶❜ λ0 6= 0 ◗⑩❶❷❸❹❺✾❻❝ ❼❥ Φm1(φ) = sin mφ, Φm2(φ) = cos mφ, ❽⑨ m ◗❾◆❿➀➁➂➃ 0, 1, 2, 3, · · · ⑤ ✵✶❻❼❽❾✼✪ ✦➄❁❅✾❃➓✲➫➭❻⑩❶ r d dr r dR dr − λR = 0 ✪ ❩⑤➅ t ✡➦ ➫➭❻⑩❶✭ ❀➦✣➆✪ ❽ ✬ ✺⑩❶✾❋✳ ➋❽❾✪ ❽è d dt = r d dr ✴ t = ln r ❇✾❂❑▲❽⑨➫✬✺ ✪➫➭❻⑩❶å d 2R dt 2 − λR = 0. ✙ ▲✾❹ λ0 = 0 é ✾✲❩⑨ R0(r) = C0 + D0t = C0 + D0 ln r; ❹ λm = m2 , m 6= 0 é ✾✲❩⑨ Rm(r) = Cme mt + Dme −mt = Cmr m + Dmr −m. Û❋✾❂✲❄❈ ✚✛➜➝⑩❶✧➜➝➀➁➂➃ (★✩➂➃) ✪ ß➇ ✣ ❩ u0(r, φ) = C0 + D0 ln r, um1(r, φ) = Cm1r m + Dm1r −m sin mφ, um2(r, φ) = Cm2r m + Dm2r −m cos mφ. ➈➉➊➓✾❂❄❅⑥❩⑦⑧✪ ❀➋❩ u(r, φ) = C0 + D0 ln r + X∞ m=1 Cm1r m + Dm1r −m sin mφ + X∞ m=1 Cm2r m + Dm2r −m cos mφ. ✜✢❅↕➁➂➃ u r=0↕➁, ❬⑨ ln r ✧ r −m ❋ r = 0 û➌✭✸ ➁ ✪ ✾ ✙ ▲ò➟ ✪✬✺ ➌ ③➍⑨ 0 ✾ D0 = 0, Dm1 = 0, Dm2 = 0. ❃➣↔☎➎✪ ➀➁➂➃✾❂❄❅ u(r, φ) r=a = C0 + X∞ m=1 a m(Cm1 sin mφ + Cm2 cos mφ) = f(φ)
§18.1圆形区域 第8页 系 下面的问题便是如何定出叠加系数Co,Cml和Cm2.尽管也可以 Fourier展开的角去求出 系数C0,Cm和Cm2,但采用分离变量法的标准做法,还是,用本征函数的正性定叠茄系数 齐次 有于本问题 d2更 +№=0 中(0)=重(2丌),中(0)=更(2x), 有应不们本的本函数是正两的 ★本征函数1(对应于本征值A0=0)和本征函数sinm或 cos mo(对应于本征值Am=m2,m≠0) 是正,的 sIn cos modo=0 ★对应于本征值Am=m2的本征函数 sin md,cosm和对应于本征值An=n2,n≠m的本征函 数sinn, cosmo是两两正,的 sin no sin modo=0, sin no cos modo= 0 cos no cos modo =0 有应于们个个本 m2的两个本函数 sin mo和cosmφ常是正两的 sin mo cos modo=0 微 因此,灬用本征函数的正、性以 cdo=丌, 就可求得 f()d, f(o) sin modo, f() cos modo.口
Wu Chong-shi §18.1 ❥❦❧♠ ❱ 8 ❲ ❈ ✣ ✪ ⑦⑧➏ ✭➐✑⑥✳➈➉✬ ✺ C0, Cm1 ✧ Cm2 ⑤➠➡✝❑▲✬ Fourier ➑➒✪✩➓➔✲✳ ✬ ✺ C0, Cm1 ✧ Cm2 ✾❿ ➏➐❻❼❽❾✼✪ ✦➄→✼✾❏✭➣➐ ➾➚✹✺✪✎↔✇⑥➈➉✬ ✺⑤ ↕➙➛➜➝③④ d 2Φ dφ2 + λΦ = 0, Φ(0) = Φ(2π), Φ0 (0) = Φ 0 (2π), ↕✃➞➟➛➜➝✇➛➜➠➡➢➤➥✇⑤ F ➾➚✹✺ 1 (④ ➍ ➆➾➚➪ λ0 = 0) ✧ ➾➚✹✺ sin mφ ï cos mφ (④ ➍ ➆➾➚➪ λm = m2 , m 6= 0) ✭✎↔✪å Z 2π 0 sin mφdφ = 0, Z 2π 0 cos mφdφ = 0. F ④ ➍ ➆➾➚➪ λm = m2 ✪ ➾➚✹✺ sin mφ, cos mφ ✧ ④ ➍ ➆➾➚➪ λn = n 2 , n 6= m ✪ ➾➚✹ ✺ sin nφ, cos nφ ✭ ➥➥✎↔✪å Z 2π 0 sin nφ sin mφdφ = 0, Z 2π 0 sin nφ cos mφdφ = 0, Z 2π 0 cos nφ cos mφdφ = 0. ↕✃➙➟➦➧➛➜➝ λm = m2 ✇➨➧➛➜➠➡ sin mφ ➩ cos mφ ➫ ➢➤➥✇ å Z 2π 0 sin mφ cos mφdφ = 0. ❬✯✾➣➐ ➾➚✹✺✪✎↔✇▲➭ Z 2π 0 sin2mφdφ = π, Z 2π 0 cos2mφdφ = π, ❂❑✲❄ C0 = 1 2π Z 2π 0 f(φ)dφ, Cm1 = 1 amπ Z 2π 0 f(φ) sin mφdφ, Cm2 = 1 amπ Z 2π 0 f(φ) cos mφdφ.
第十八讲分离变量法(四)正交曲面坐标系 第9页 现在再对上面求解过程中的某些问题作一些补充讨论 ★第一,在求解本征值问题时,对应于一个本征值有两个(线性无关的)本征函数 ·对应一个本征值有不止一个(线性无关的)本征函数的现象,称为简并(或退化) 如果对应一个本征值有n个本征函数,则称本征值问题是n重简并的,或者说简并度为n ·对于二阶常微分方程的本征值问题,最多只能是二重简并的 在二阶常微分方程的本征值问题中,如果边界条件是一、二、三类,则对应一个本征值,只能 有一个本征函数,或者说,本征值问题一定是非简并的.而当边界条件是周期条件时,本征值 问题才是简并的 ★第二,对于简并的本征值问题,本征函数的选取并不唯 ·对应同一个本征值的本征函数也不一定正交 但是一定可以通过适当的重新组合而使它们正交化 就本题而言,就可以将对应于m=m2,m=1,2,3,…的本征函数取为 或者简单地将全部本征值(包括λ=0)和本征函数统一写成 n三 这时,对应不同本征值的本征函数当然仍然是正交的: einp(elmo)"do=0.n,m2=0.±1+2,+3…,且n≠m 而且,对应于同一个本征值Am=m2,m≠0的两个本征函数em也是正交的 eme(e-imn)’do=0. 注意现在的本征函数是复函数,在上面的正交关糸中需要将其中的一个本征函数取复 共轭
Wu Chong-shi ❭❪❫❴ ❵❛❜❝❞ (❡) ❢❣ ❤✐ ❖P◗ ❱ 9 ❲ Û❋❃④■✣✲❩✳❶ ➑✪➯➲⑦⑧✦❀ ➲✧✄➳➵⑤ F ➸ ➦✾➶➺✿➛➜➝③④➻✾↕✃➙➦➧➛➜➝➼➨➧ (➽➾➚➪✇ ) ➛➜➠➡⑤ • ④ ➍ ❀➦➾➚➪↕ ➅➶ ❀➦ (✈✇✸✫✪) ➾➚✹✺✪ Û➹✾➘⑨➴ ➯ (ï➷þ ) ⑤ • ➐ ë④ ➍ ❀➦➾➚➪↕ n ➦➾➚✹✺✾✽➘➾➚➪⑦⑧✭ n ❄➴➯✪✾ïðñ➴ ➯➓ ⑨ n ⑤ • ④➆ ❷➬➫➭❻⑩❶✪ ➾➚➪⑦⑧✾❆✆✞❃ ✭❷❄➴➯✪⑤ • ❋ ❷➬➫➭❻⑩❶✪ ➾➚➪⑦⑧ ➑ ✾ ➐ ë➀➁➂➃✭ ❀➮ ❷ ➮➱✃✾✽④ ➍ ❀➦➾➚➪✾✞❃ ↕❀➦➾➚✹✺✾ïðñ✾➾➚➪⑦⑧❀⑥ ✭➛➴ ➯✪⑤➻ ❹ ➀➁➂➃✭ ★✩➂➃é ✾➾➚➪ ⑦⑧❐ ✭ ➴ ➯✪⑤ F ➸❒✾↕➙❮❰✇➛➜➝③④✾➛➜➠➡✇ÏÐ❰➞Ñ➦⑤ • ④ ➍✥ ❀➦➾➚➪✪ ➾➚✹✺✝ ➅ ❀⑥ ✎↔✾ • ❿ ✭ ❀⑥❑▲✲✳Ò❹✪❄■①✸➻Óò➟ ✎↔þ⑤ ♥▲P❽Ô✾♥⑦ ⑧⑨❞➀Õ λm = m2 , m = 1, 2, 3, · · · ◗▲▼Ö❭❾➃ e imφ ❜ e −imφ , ×Ø ÙÚ➁⑨ÛÜ▲▼◆ (ÝÞ λ0 = 0) ❜▲▼Ö❭❻❝ ❼❥ λm = m2 , m = 0, ±1, ±2, ±3, · · · , Φm(φ) = eimφ . ❏ß✾❞➀à á▲▼◆◗▲▼Ö❭ ❧♠â♠❚ãä◗å Z 2π 0 e inφ(eimφ) ∗dφ = 0, n, m = 0, ±1, ±2, ±3, · · ·, å n 6= m. ❽ å ✾❞➀Õ á❝❑▲▼◆ λm = m2 , m 6= 0 ◗æ❑▲▼Ö❭ e ±imφ ⑤❚ãä◗å Z 2π 0 e imφ(e−imφ) ∗dφ = 0. çèqé◗▲▼Ö❭❚êÖ❭✾éë ì◗ãä íîïðñ⑨ò ï◗❝❑▲▼Ö❭❾ê óô⑤
§18.1圆形区域 第10页 ·关于定解问题的特解,它们是 1, Inr, r sin mo, rcos mo, rsin mo Fl- cos mo 注意这里的偏微分方程是(二维) Laplace方程,在复变函数部分中,我们曾经证明,解析函数 的实部或虚部一定是 Laplace方程的解.把re看成是复变数z=x+i,就可以看出,上面 的这些特解正是解析函数 的实部或者虚部.而有界条件正是使我们摈弃掉在圆内|2<a并不处处解析的函数mnz和 更进一步,把上面求得的系数代入到解式中,还可以得到 o+是∑ no f(o)sin mo'do cos mo f(o')cos mo'de 显然,当r<a时级数收敛.将余弦函数改写为复指数函数,利用等比级数的求和公式就可以求出 级数的和,最后就得到 u(r,) r2+a2-2ar cos(o-o 这个结果称为 Poisson积分公式,它把 Laplace方程在圆内的第一类边值问题的解表示为边值f() 的积分.事实上,由解析函数的 Cauchy积分公式,也可以推出这个结果(见3.7节,而u(r,)正 好是解析函数的实部或虚部.这里只不过再一次看到解析函数的实部或虚部和二维 Laplace方程 的解之间的关系
Wu Chong-shi §18.1 ❥❦❧♠ ❱ 10 ❲ • ✫ ➆⑥❩⑦⑧✪✣ ❩✾ò➟ ✭ 1, ln r, rm sin mφ, rm cos mφ, r−m sin mφ✧ r −m cos mφ. ➅ t ✡õ✪✁➭ ❻⑩❶✭ (❷❸)Laplace ⑩❶⑤❋✷❽✹✺➇❻ ➑ ✾➞➟ ö❋÷ ✉✾❩ø✹✺ ✪ù ➇ïú➇❀⑥ ✭ Laplace ⑩❶✪ ❩⑤✫ re iφ ❆➽ ✭ ✷❽✺ z = x + iy ✾❂❑▲❆✳✾■✣ ✪ ✡ ➲✣❩ ✎✭ ❩ø✹✺ z 0 , ln z, zm ✧ z −m ✪ù ➇ïðú➇⑤➻↕➁➂➃✎✭ Ó➞➟ûüý❋ ➉ö |z| < a ➯➅÷÷❩ø ✪ ✹✺ ln z ✧ z −m ⑤ þ✿❀❁✾✫■✣✲❄ ✪✬✺➣↔❅❩ÿ ➑ ✾❏❑▲❄❅ u(r, φ) = 1 2π Z 2π 0 f(φ 0 )dφ 0 + 1 π X∞ m=1 r a m sin mφ Z 2π 0 f(φ 0 ) sin mφ0dφ 0 + 1 π X∞ m=1 r a m cos mφ Z 2π 0 f(φ 0 ) cos mφ0dφ 0 = 1 2π Z 2π 0 f(φ 0 ) h 1 + 2 X∞ m=1 r a m cos m(φ − φ 0 ) i dφ 0 . ➄ ❺ ✾ ❹ r < a é ✺✁✂⑤➤➎✄✹✺☎➔⑨✷✕✺✹✺✾ ➣➐ ì ✆ ✺ ✪ ✲ ✧✝ ÿ❂❑▲✲✳ ✺ ✪✧✾❆❇❂❄❅ u(r, φ) = a 2 − r 2 2π Z 2π 0 f(φ 0 ) r 2 + a 2 − 2ar cos(φ − φ0) dφ 0 . ✡➦êë➘⑨ Poisson ✞ ❻ ✝ ÿ✟ò✫ Laplace ✠✡☛ ☞✌✍✎✏✑✒✓✔✕✍✖✗✘✙✒✓ f(φ) ✍✞✚✛✜✢✣✟✤✖✥✦✧✍ Cauchy ✞✚★✩✟✪✫✬✭✮✯✰✱✲ (✳ 3.7 ✴) ✟✵ u(r, φ) ✶ ✷✸✖✥✦✧✍✢✹✺✻✹✛ ✯✼✽✾✿❀✏❁❂❃✖✥✦✧✍✢✹✺✻✹❄❅❆ Laplace ✠✡ ✍✖❇❈✍❉❊✛