第十七讲 分离变量法（三） 17.1 两端固定弦的强迫振动（续） 基本解法一 方程和边界条件同时齐次化 设u(.t)=(出.t)+w(.t),则 a2u 02u 02w 2 at2-a ax2 =f(z,t) 0 0202 at2 ax2 u2=0=0u=1=0 at2-a ax2 =f(x,t) + x=0 =0 1=1=0 du =0=02==0 00 ult=o =0 =0 =0 =-U t=0 t=0 t=0 at 2=0 如果方程非齐次项f(x,t)的形式比较复杂，难以求得非齐次方程的特解，就可以采用 下面的解法， 基本解法二 中心思想是设法找到一组本征函数{Xn(x),n=1,2.3,…},只要这组本征函数是完备的，那 么，就可以将解u(x,t)及非齐次方程的非齐次项f(x,t)均按本征函数展开 u(z,t)=Tn(t)Xn(z). n=1 f(,t)=∑gn(t)Xn(x) n=1 然后再设法求出Tn(t)即可.由于Tn(t)是一元函数，它满足的是常微分方程（组），有可能比求解 偏微分方程来得简单. 本征函数组{Xn(x)}的选取：最简单的做法是选择{Xn(x)}为相应齐次定解问题的本征函数 即满足由齐次偏微分方程和齐次边界条件 2u22u 02-2=0, 00 u0=0,4=1=0,t20 分离变量而得到的本征值问题 Xn(x)+入nXn(x)=0 Xn(0)=0,X()=0
Wu Chong-shi ✁✂✄ ☎✆✝✞✟ (✠) §17.1 ✡☛☞✌✍✎✏✑✒✓ (✔) ✕✖✗✘✙ ✚✛✜✢✣✤✥✦✧★✩✪ ✫ u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) ✬ ✭ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = f(x, t) u x=0 = 0 u x=l = 0 u t=0 = 0 ∂u ∂t t=0 = 0 = ∂ 2v ∂t2 − a 2 ∂ 2v ∂x2 = f(x, t) v x=0 = 0 v x=l = 0 + ∂ 2w ∂t2 − a 2 ∂ 2w ∂x2 = 0 w x=0 = 0 w x=l = 0 w t=0 = −v t=0 ∂w ∂t t=0 = − ∂v ∂t t=0 ✮✯✰✱ ✲✳✴✵ f(x, t) ✶✷✸✹✺✻✼✬✽ ✾✿❀ ✲✳✴✰✱✶❁❂✬❃❄ ✾❅❆ ❇ ❈✶❂❉❊ ✕✖✗✘❋ ●❍■❏❑▲▼◆❖P◗❘❙❚❯ {Xn(x), n = 1, 2, 3, · · ·} ✬ ❱❲ ❳❨✖❩❬❭❪❫❴❵ ✬ ❛ ❜ ✬❝❞❡❢❣ u(x, t) ❤✐❥❦❧♠♥✐❥❦♦ f(x, t) ♣q❘❙❚❯rs u(x, t) = X∞ n=1 Tn(t)Xn(x), f(x, t) = X∞ n=1 gn(t)Xn(x), t✉✈▲▼✇① Tn(t) ②❞❊③④ Tn(t) ❑P⑤❚❯✬ ⑥⑦⑧♥ ❑⑨⑩❶❧♠ (◗ ) ✬ ❷ ❞❸ ❹✇ ❣ ❺⑩❶❧♠❻❼❽❾❊ ❘❙❚❯◗ {Xn(x)} ♥❿➀➁➂ ❽❾♥➃▼❑❿➄ {Xn(x)} ➅➆➇❥❦➈❣➉➊♥❘❙❚❯✬ ② ⑦⑧ ③❥❦❺⑩❶❧♠➋❥❦➌➍➎➏ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, 0 0, u x=0 = 0, u x=l = 0, t ≥ 0 ❶➐➑➒➓❼ ❖ ♥ ❘❙➔➉➊ X 00 n(x) + λnXn(x) = 0, Xn(0) = 0, Xn(l) = 0
§17.1两端固定弦的强迫振动(续) 把u(x,t)和f(x,t)的展开式和代入偏微分方程,并逐项微商, TH(t)Xn(=)-a2)Tn(t)Xn(a)=>gn(t)Xn(a) n=1 利用Xn(x)所满足的常微分方程,又化成 T"(t)Xn(x)+a2∑MTn(t)xn(x)=∑9n(1)xn() 再根据本征函数的正交性,就得到Tn(t)所满足的常微分方程 Tn(t)+Ana-Tn(t)=gn(t) 同样,将u(x,t)的展开式代入初始条件,也可得到 ∑Tn0)xn(x)=0.∑r)xn(0)=0 根据本征函数的正交性,即能导出 Tn(0)=0,Tn(0)=0 用解非齐次常微分方程的常数变易法,或者用 Laplace变换,就可以求出 这种解法,称为按相应齐次问题的本征函数展开法 再用这种方法求解例16.2中的定解问题 ar2= Ao sint, l,t>0, 0, 0,0≤x≤l 解相应齐次问题的本征函数已在151节中给出,因此可设 u(x,t)=∑Ta(t) 将非齐次项 Ao sint也按这一组本征函数展开 2A0 sin-a sin wt 代入方程和初始条件,就得到 20070)7()=2A01-(-y T"(t)+ 0,T(0)=0. 解之即得 7n(0)=24b21-(-1)n sin wt nto
Wu Chong-shi §17.1 →➣↔↕➙➛➜➝➞➟ (➠) ➡ 2 ➢ ➤ u(x, t) ➋ f(x, t) ♥ rs➥➋➦➧❺⑩❶❧♠✬➨➩♦⑩➫✬ X∞ n=1 T 00 n (t)Xn(x) − a 2X∞ n=1 Tn(t)X00 n (x) = X∞ n=1 gn(t)Xn(x). ➭➯ Xn(x) ➲ ⑦⑧♥ ⑨⑩❶❧♠✬➳➵➸ X∞ n=1 T 00 n (t)Xn(x) + a 2X∞ n=1 λnTn(t)Xn(x) = X∞ n=1 gn(t)Xn(x). ✈➺➻❘❙❚❯♥➼➽➾✬❝❼❖ Tn(t) ➲ ⑦⑧♥ ⑨⑩❶❧♠ T 00 n (t) + λna 2Tn(t) = gn(t). ➚➪✬❢ u(x, t) ♥ rs➥➦➧➶➹➎➏✬➘❞❼❖ X∞ n=1 Tn(0)Xn(x) = 0, X∞ n=1 T 0 n(0)Xn(0) = 0. ➺➻❘❙❚❯♥➼➽➾✬②❸➴① Tn(0) = 0, T 0 n (0) = 0. ➯ ❣✐❥❦⑨⑩❶❧♠♥⑨❯➑➷▼✬➬➮➯ Laplace ➑➱✬❝❞❡✇① Tn(t) = l nπa Z t 0 gn(τ) sin nπ l a(t − τ) dτ. ✃❐❣ ▼ ✬❒➅q➆➇❥❦➉➊♥❘❙❚❯rs▼❊ ✈➯✃❐❧ ▼✇❣❮ 16.2 ● ♥➈❣➉➊ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = A0 sin ωt, 0 0, u x=0 = 0, u x=l = 0, t ≥ 0, u t=0 = 0, ∂u ∂t t=0 = 0, 0 ≤ x ≤ l. ✗ ➆➇❥❦➉➊♥❘❙❚❯ ❰Ï 15.1 Ð ●Ñ①✬ÒÓ❞▲ u(x, t) = X∞ n=1 Tn(t) sin nπ l x, ❢✐❥❦♦ A0 sin ωt ➘q✃P◗❘❙❚❯rs✬ A0 sinωt = 2A0 π X∞ n=1 1 − (−1)n n sin nπ l x sin ωt, ➦➧❧♠➋➶➹➎➏✬❝❼❖ T 00(t) + nπ l a 2 Tn(t) = 2A0 π 1 − (−1)n n sin ωt, T (0) = 0, T 0 (0) = 0. ❣Ô②❼ Tn(t) = 2A0l 2 π 1 − (−1)n n 1 (nπa) 2 − (ωl) 2 sin ωt
第十七讲分离变量法(三 第3页 因此又可以求出例16.3的另一种形式的解 u(a,t)=I 1=0 2n+1[(2n+1)]2-(wl)2Ir sin wt 4Aow/Sy 7at (2n+1)2[( 对于稳定问题,例如, Poisson方程的第一类边值问题 az- dry f(r, y), 0<x<a, 0<y<b u-=0=0.l=a=0,0≤y≤ ln=b=0,0≤x≤ 当然也可用按相应齐次问题本征函数展开的办法求解例如,可设 f(x,y)=∑9)smx 代入方程和边界条件,可得 Y(y)- Yn(y)=gn(y) Yn()=0,(Yn(b) 求出Yn(y),也就给出了解u(x,y).完全等价地,也可以设 Xm(r) 而后导出Xm(x)满足的非齐次常微分方程边值问题 Xm(x)-(b)Xm(c)=hm(z). Xm(0)=0,Xm(a) 求出Xm(x)即可 这两种做法没有多大差别.主要的不同是非齐次项卯n()和hmn(x)的函数形式可能不 同,因而在关于Vn(y)和Km(x)的非齐次两个常微分方程中有一个更易于求解
Wu Chong-shi ÕÖ×Ø ÙÚÛÜÝ (Þ) ➡ 3 ➢ − 2A0ωl3 π2a 1 − (−1)n n2 1 (nπa) 2 − (ωl) 2 sin nπ l at. ÒÓ➳❞❡✇①❮ 16.3 ♥ßP❐à➥♥❣ u(x, t) = 4A0l 2 π X∞ n=0 1 2n + 1 1 [(2n + 1)πa] 2 − (ωl) 2 sin 2n + 1 l πx sin ωt − 4A0ωl3 π2a X∞ n=0 1 (2n + 1)2 1 [(2n + 1)πa] 2 − (ωl) 2 sin 2n + 1 l πx sin 2n + 1 l πat . á ④â➈➉➊✬❮ã✬ Poisson ❧♠♥äPå➌ ➔ ➉➊ ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂xy2 = f(x, y), 0 < x < a, 0 < y < b, u x=0 = 0, u x=a = 0, 0 ≤ y ≤ b, u y=0 = 0, u y=b = 0, 0 ≤ x ≤ a, æt➘❞➯ q➆➇❥❦➉➊❘❙❚❯rs♥ç▼✇❣❊❮ã✬❞▲ u(x, y) = X∞ n=1 Yn(y) sin nπ a x, f(x, y) = X∞ n=1 gn(y) sin nπ a x. ➦➧❧♠➋➌➍➎➏✬❞❼ Y 00 n (y) − nπ a 2 Yn(y) = gn(y), Yn(0) = 0, Yn(b) = 0, ✇① Yn(y) ✬➘❝Ñ①è❣ u(x, y) ❊éêëìí✬➘❞❡▲ u(x, y) = X∞ m=1 Xm(x) sin mπ b y, f(x, y) = X∞ m=1 hm(x) sin mπ b y, ➓✉ ➴ ① Xm(x) ⑦⑧♥✐❥❦⑨⑩❶❧♠➌➔ ➉➊ X00 m(x) − mπ b 2 Xm(x) = hm(x), Xm(0) = 0, Xm(a) = 0, ✇① Xm(x) ②❞❊ îïðñ❉òó ôõö÷❊øù✶ú ûü ✲✳✴✵ gn(y) ý hm(x) ✶þÿ✷✸❄ú û✬✁✂✄ ☎✆ Yn(y) ý Xm(x) ✶ ✲✳✴ï✝✞✟✠✰✱ ✡ ó☛ ✝☞ ✌✆✿❂❊
§17.1两端固定弦的强迫振动(续) 第4页 还可以考虑更进一步的做法,即将u(x,y)和f(x,y)同时既按本征函数{Xn(x)}、又按本征函数 Ym(y)}展开(为二重级数) u(r, y) f(x,y)=∑∑ dnmsinrsin-y 展开系数cm待求,因为f(x,y)是已知函数,所以cnm也是已知的.在作二重级数展开时,当然 已经考虑了边界条件.将上面的展开式代入方程,即得 mTt mat mat n-IsIn-y= n=1m=1 根据本征函数的正交性,比较系数,即得 mTt 是 最后,求得解 n=1m=1 Q sin mTt 这种做法的好处是完全避免了求解非齐次常微分方程
Wu Chong-shi §17.1 →➣↔↕➙➛➜➝➞➟ (➠) ➡ 4 ➢ ✍ ❞❡✎✏✑✒P✓ ♥➃▼ ✬②❢ u(x, y) ➋ f(x, y) ➚✔✕q ❘❙❚❯ {Xn(x)} ✖➳q❘❙❚❯ {Ym(y)} rs (➅✗✘✙❯ ) u(x, y) = X∞ n=1 X∞ m=1 cnm sin nπ a x sin mπ b y, f(x, y) = X∞ n=1 X∞ m=1 dnm sin nπ a x sin mπ b y, rs✚❯ cnm ✛ ✇ ❊Ò➅ f(x, y) ❑ ❰✜❚❯✬➲❡ cnm ➘ ❑ ❰✜ ♥❊Ï✢ ✗✘✙❯rs✔ ✬ æt ❰✣ ✎✏è ➌➍➎➏❊❢✤✥♥ rs➥➦➧❧♠✬②❼ − X∞ n=1 X∞ m=1 cnm nπ a 2 + mπ b 2 sin nπ a x sin mπ b y = X∞ n=1 X∞ m=1 dnm sin nπ a x sin mπ b y. ➺➻❘❙❚❯♥➼➽➾✬❹✦ ✚❯ ✬②❼ −cnm nπ a 2 + mπ b 2 = dnm. ④ ❑ cnm = − dnm nπ a 2 + mπ b 2 . ➂✉ ✬ ✇ ❼❣ u(x, y) = − X∞ n=1 X∞ m=1 dnm nπ a 2 + mπ b 2 sin nπ a x sin mπ b y. ✃❐➃ ▼ ♥✧★❑ éê✩✪è✇❣✐❥❦⑨⑩❶❧♠❊
第十七讲分离变量法(三 第5页 3172非齐次边界条件的齐次化 到目前为止,除了在稳定问題中需要有一部分边界条件用于定叠加亲数、因而允许是 非齐次的以外,我们总是要求边界条件是齐次的 为什么边界条件必须是齐次的? ·非齐次边界条件不能分离变量 只有满足齐次方程和齐次边界条件的特解叠加起来才仍能满足齐次方程和齐次边界条件 ·但最根本的原因涉及到本征函数的完备性 非齐次边界条件如何处理? 仍以波动方程的定解问题为例 为了突出非齐次边界条件的处理,假定方程和初始条件都是齐次的 00, u-=0=(t,ul=t=(t),t≥0 0 0.0<x<L 为了应用分离变量法,别无选择,只有先将非齐次边界条件齐次化,即令 (x,t)=v(x,t)+(x,t) 适当选择v(x,t),使之满足 t), v(r, t)I 这样,m(x,t)当然就一定满足齐次边界条件 一般说来,v(xr,t)所满足的方程和初始条件都将是非齐次的, 0x2 采用第16.2节或本讲第1节的办法,就可以求出u(x,t),也就给出了解u(x,t) ★如何选取齐次化函数v(x,t)? 因为仅要求v(x,t)满足边界条件 v(x,t)=0=(,(x,t)l=1=v(t 所以有相当大的选择余地
Wu Chong-shi ÕÖ×Ø ÙÚÛÜÝ (Þ) ➡ 5 ➢ §17.2 ✫✬✭✮✯✰✱✎✬✭✲ ✳ ✴✵✶✷✬✸ ✹✄✺✻ ✼✽ ✡✾ùó☛✿✠❀❁❂❃❆✆✻ ❄❅ ❆ÿ✖✁✂❇❈ü ✲✳✴✶ ✾❉✬❊❋●üù✿❀❁❂❃ü✳✴✶❊ ✶❍ ■❀❁❂❃❏❑ü✳✴✶ ▲ • ✲✳✴❀❁❂❃ú ✠ ▼◆❖ • Pó◗❘✳✴✰✱ý✳✴❀❁❂❃✶❁❂ ❄❅❙❚ ❯❱◗❘✳✴✰✱ý✳✴❀❁❂❃ • ❲❳❨❩✶❬ ✁❭❪✳ ❩❫þÿ✶ ❴❵❛ ✲✳✴❀❁❂❃✮❜❝❞ ▲ ❡ ❡❢❣❧♠♥➈❣➉➊➅❮❊ ➅ è❤① ✐❥❦➌➍➎➏♥★✐✬❥➈❧♠➋➶➹➎➏❦ ❑ ❥❦♥❊ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, 0 0, u x=0 = µ(t), u x=l = ν(t), t ≥ 0, u t=0 = 0, ∂u ∂t t=0 = 0, 0 ≤ x ≤ l. ➅ è ➇ ➯❶➐➑➒▼✬❧♠❿➄✬❱❷♥ ❢✐❥❦➌➍➎➏❥❦➵✬②♦ u(x, t) = v(x, t) + w(x, t), ♣æ ❿➄ v(x, t) ✬qÔ ⑦⑧ v(x, t) x=0 = µ(t), v(x, t) x=l = ν(t). ✃➪ ✬ w(x, t) æt❝ P ➈ ⑦⑧❥❦➌➍➎➏ w(x, t) x=0 = 0, w(x, t) x=l = 0. Prs❻✬ w(x, t) ➲ ⑦⑧♥❧♠➋➶➹➎➏❦❢ ❑ ✐❥❦♥✬ ∂ 2w ∂t2 − a 2 ∂ 2w ∂x2 = − ∂ 2 v ∂t2 − a 2 ∂ 2 v ∂x2 , w t=0 = −v t=0, ∂w ∂t t=0 = − ∂v ∂t t=0 . t➯ ä 16.2 Ð➬❘✉ ä 1 Ð♥ç▼ ✬❝❞❡✇① w(x, t) ✬➘❝Ñ①è❣ u(x, t) ❊ F ✈✇①②★✩✪❬❭ v(x, t) ▲ Ò➅③ ❲✇ v(x, t) ⑦⑧➌➍➎➏ v(x, t) x=0 = µ(t), v(x, t) x=l = ν(t), ➲❡❷ ➆ æ④ ♥❿➄⑤í❊
172非齐次边界条件的齐次化 第6页 如果把t看成是参数,这就只要求在(x,y)平面上的曲线y=v(x,t)通过给定的两点(0,(t) 和(l,u(t)即可 例如,可取直线 v(a, t)=A(t) r+b(t) 代入边界条件,即可定出 B()=(),A()=[v(t)-(t) 也可取抛物线 A()=方[p()-(),B()=(或v(x,t)=4()(-x)2+B()x2 v(r, t)=A(t)r+B(t) A4()=元(),B()=r( 例17.1求解定解问题 au a2 00 0 0≤x≤ 解考虑到非齐次边界条件的具体形式,可设齐次化函数为 (x,t)=A(1 sin wt 于是令 u(c, t)=(sin ut +w(r, t ), 则u(x,t)满足定解问题 aw a-w (-) 0 ul ≥0, 1=0=0 0≤x≤l 将m(x,t)和方程的非齐次项1-x/l都按相应齐次问题的本征函数展开,有 u(x)=∑T()simx,122m吗x 根据Tn()所应该满足 非齐次一阶常微分方程Tn(t)+ Tn(t)=_2Aw 初始条件 容易求出 2Awl Tn(t) 丌R(mx)+421(mx)∞p k(n7)cos wt-wl-sinwt 这样就求得了w(x,t),再代回去,就得到定解问题的解u(x,t
Wu Chong-shi §17.2 ⑥⑦⑧⑨⑩❶❷➛⑦⑧❸ ➡ 6 ➢ ã❹ ➤ t ❺➸ ❑❻❯ ✬ ✃ ❝ ❱❲✇Ï (x, y) ❼✥✤♥ ❽❾ y = v(x, t) ❿➀Ñ ➈♥➁➂ (0, µ(t)) ➋ (l, ν(t)) ②❞❊ ❮ã✬❞➀➃❾ v(x, t) = A(t)x + B(t), ➦➧➌➍➎➏✬②❞➈① B(t) = µ(t), A(t) = 1 l ν(t) − µ(t) . ➘❞➀➄➅❾ v(x, t) = A(t)x 2 + B(t), A(t) = 1 l 2 ν(t) − µ(t) , B(t) = µ(t), ➬ v(x, t) = A(t)(l − x) 2 + B(t)x 2 , A(t) = 1 l 2 µ(t), B(t) = 1 l 2 ν(t). ➆ 17.1 ✇ ❣➈❣➉➊ ∂u ∂t − κ ∂ 2u ∂x2 = 0, 0 0, u x=0 = A sin ωt, u x=l = 0, t ≥ 0, u t=0 = 0, 0 ≤ x ≤ l. ✗ ✎✏❖ ✐❥❦➌➍➎➏♥➇➈à➥✬❞▲ ❥❦➵❚❯➅ v(x, t) = A 1 − x l sin ωt. ④ ❑ ♦ u(x, t) = A 1 − x l sin ωt + w(x, t), ➉ w(x, t) ⑦⑧➈❣➉➊ ∂w ∂t − κ ∂ 2w ∂x2 = −Aω 1 − x l cos ωt, 0 0, w x=0 = 0, w x=l = 0, t ≥ 0, w t=0 = 0, 0 ≤ x ≤ l. ❢ w(x, t) ➋❧♠♥✐❥❦♦ 1 − x/l ❦q➆➇❥❦➉➊♥❘❙❚❯rs✬ ❷ w(x, t) = X∞ n=1 Tn(t) sin nπ l x, 1 − x l = X∞ n=1 2 nπ sin nπ l x. ➺➻ Tn(t) ➲➇➊ ⑦⑧ ✐❥❦P➋⑨⑩❶❧♠ T 0 n(t) + κ nπ l 2 Tn(t) = − 2Aω nπ cos ωt ➶➹➎➏ Tn(0) = 0, ➌➷✇① Tn(t) = 2Aωl2 nπ 1 κ 2(nπ) 4 + ω2l 4 κ(nπ) 2 exp h − nπ l 2 κti − κ(nπ) 2 cos ωt − ωl2 sin ωt . ✃➪ ❝ ✇ ❼ è w(x, t) ✬ ✈ ➦ ➍➎✬❝❼❖ ➈❣➉➊♥❣ u(x, t) ❊
第十七讲分离变量法(三 第7页 选择不同的齐次化函数υ(x,t),导出的(x,t)的定解问题当然也就不同,求出的u(x,t) 也就不同.但是,定解问题的解的存在唯一性,就保证了最后给出的u(x,t)一定是相同 的,尽菅表达式的形式可能有所不同 这样就可以提出一个更高的要求:选择合适的齐次化函数(x,t),使v(x,t)所满足的定解问题尽 可能简单些.最理想的情况,当然就是:不论原来u(x,t)的方程是不是齐次的,最终u(x,t)的方 程是齐次的.就上面的定解问题而言,这意味着要求齐次化函数v(x,t)也是方程的解 对于某些特殊的μ(t)和v(t),是可以做到这一点的 不论原来的方程是不是齐次的,我们把这种方法都称为 将方程和边界条件同时齐次化 例17.2求解定解问题 at2 Ox2=0, 00, x=0 0,ar\x=1 a sin wt,t≥0 解现在就试图找到一个齐次化函数,将方程和边界条件同时齐次化 为此,设u(x,t)=u(x,t)+u(x,t),考虑到非齐次边界条件的具体函数形式,可取齐次化函数 v(x,t)为 (a, t)=f(a)sin wt, 而∫(x)是下列常微分方程边值问题 f(0)=0,f(D) 的解 f( u(x,t)所满足的定解问题是 00, 0 =0 0
Wu Chong-shi ÕÖ×Ø ÙÚÛÜÝ (Þ) ➡ 7 ➢ ➏➐ú û✶✳✴➑ þÿ v(x, t) ✬ ➒ ➓✶ w(x, t) ✶✻❂ ✼✽ ➔→➣❃ú û✬✿ ➓ ✶ w(x, t) ➣ ❃ú û❊❲ü✬✻❂ ✼✽✶❂✶↔✄↕☛❛✬❃➙➛ ✹❳➜➝ ➓ ✶ u(x, t) ☛✻ü➞ û ✶✬➟ ➠➡➢✸✶✷✸❄ó➤ú û❊ ✃➪ ❝❞❡➥ ①P➦ ✑➧♥ ❲✇ ➁❿➄➨ ♣ ♥❥❦➵❚❯ v(x, t) ✬q w(x, t) ➲ ⑦⑧♥➈❣➉➊➩ ❞❸❽❾➫❊ ➂ ✐ ❏ ♥➭➯✬ æt❝ ❑ ➁➲➳➵❻ u(x, t) ♥❧♠❑ ➲ ❑ ❥❦♥✬➂➸ w(x, t) ♥❧ ♠ ❑ ❥❦♥❊❝✤✥♥➈❣➉➊➓➺ ✬ ✃➻➼➽❲✇ ❥❦➵❚❯ v(x, t) ➘ ❑ ❧♠♥❣✬ ∂ 2v ∂t2 − a 2 ∂ 2v ∂x2 = 0. á ④➾➫➚➪♥ µ(t) ➋ ν(t) ✬ ❑ ❞❡➃❖✃P➂♥❊ ➲➳➵❻♥❧♠❑ ➲ ❑ ❥❦♥✬➶➹➤✃❐❧ ▼ ❦❒➅ ❢❧♠➋➌➍➎➏➚✔ ❥❦➵❊ ➆ 17.2 ✇ ❣➈❣➉➊ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, 0 0, u x=0 = 0, ∂u ∂x x=l = A sin ωt, t ≥ 0, u t=0 = 0, ∂u ∂t t=0 = 0, 0 ≤ x ≤ l. ✗ ➘Ï ❝➴➷◆❖P➦ ❥❦➵❚❯✬❢❧♠➋➌➍➎➏➚✔ ❥❦➵❊ ➅Ó✬▲ u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) ✬✎✏❖ ✐❥❦➌➍➎➏♥➇➈❚❯à➥✬❞➀❥❦➵❚❯ v(x, t) ➅ v(x, t) = f(x) sin ωt, ➓ f(x) ❑➬➮⑨⑩❶❧♠➌➔ ➉➊ f 00(x) + ω a 2 f(x) = 0, f(0) = 0, f0 (l) = A ♥❣✬ f(x) = Aa ω 1 cos ωl a sin ω a x. w(x, t) ➲ ⑦⑧♥➈❣➉➊❑ ∂ 2w ∂t2 − a 2 ∂ 2w ∂x2 = 0, 0 0, w x=0 = 0, ∂w ∂x x=l = 0, t ≥ 0
172非齐次边界条件的齐次化 第8页 sin-x,0≤x≤l 其一般解为 (,1)=∑(C -nat+ Dn cos-2l-7tat sin- 根据初始条件,可以定出 4A Lysin 2n+I 277Lcdr 7T COS (2n+1)7a 将这样求得的v(x,t)和u(x,t)相加,就最后给出了解u(x,t)
Wu Chong-shi §17.2 ⑥⑦⑧⑨⑩❶❷➛⑦⑧❸ ➡ 8 ➢ w t=0 = 0, ∂w ∂t t=0 = − Aa cos ωl a sin ω a x, 0 ≤ x ≤ l. ➱Pr ❣➅ w(x, t) = X∞ n=0 Cn sin 2n + 1 2l πat + Dn cos 2n + 1 2l πat sin 2n + 1 2l πx. ➺➻➶➹➎➏✬❞❡➈① Cn = − 4A π cos ωl a 1 2n + 1 Z l 0 sin ω a x sin 2n + 1 2l πxdx = (−) n 4Aω (2n + 1)πa 1 ω a 2 − 2n + 1 2l π 2 , Dn = 0. ❢ ✃➪✇ ❼♥ v(x, t) ➋ w(x, t) ➆✃✬❝➂✉Ñ①è❣ u(x, t) ❊