数学物理方法 留数定理
数学物理方法 留数定理
留数定理 ■留数定理 ■留数定理的应用 ■本章小结
留数定理 ◼ 留数定理 ◼ 留数定理的应用 ◼ 本章小结
留数定理 ■留数 引入 问题:如何高效地计算解析函数的围道积分 方法:由复连通域柯西定理,解析函数的围道积分等于沿围道内奇 点邻域积分之和。 定性定义 复函数f(z)在z=z0的邻域围道积分的结果; 当z0为f(z)的解析点时,结果为零,什么都没留下 当z0为f(z)的孤立奇点时,结果通常为一个非零值; 定量定义 Res f(=o) 2zi f(=)1=
留数定理 ◼ 留数 ◼ 引入 • 问题：如何高效地计算解析函数的围道积分？ • 方法：由复连通域柯西定理，解析函数的围道积分等于沿围道内奇 点邻域积分之和。 ◼ 定性定义 • 复函数f(z)在z=z0的邻域围道积分的结果； 当z0为f(z)的解析点时，结果为零，什么都没留下； 当z0为f(z)的孤立奇点时，结果通常为一个非零值； ◼ 定量定义 f z dz i f z z−z = = | | 0 0 ( ) 2 1 Re s ( )
留数定理 留数的计算 般情况 孤立奇点的留数等于在该点邻域罗朗展开的负一次项的系数; Res f(b)=a ■证明 f(=) nE-o0 Re s f(b) f(=d 21 =E 2ni= a 2丌
留数定理 ◼ 留数的计算 ◼ 一般情况 • 孤立奇点的留数等于在该点邻域罗朗展开的负一次项的系数； • Res f(b) = a-1 ◼ 证明 n n n f (z) = a (z −b) =− f z dz i f b z−b = = | | ( ) 2 1 Re s ( ) a z b dz n z b n n ( ) 2 i 1 | | = − − = =− 1 1 2 i 2 i 1 = a− = a−
留数定理 ■极点情况 ·m阶极点的留数由下面的公式确定 Re s f(b)= lim =>b(m-1). d=m-7lC b)"f(=) ■证明 f )=a m +1m(-b)m+ +…+a1(z-b)+a0+(2-b)+… (z-b)f(2)=am+am1(z-b)+…+a1(-b)m+a(z-b+a(2-b)m (z-b)f()=0+(m-l)a1+11a0(=-b)+(m+a(=-b)2+ d m-1
留数定理 ◼ 极点情况 • m阶极点的留数由下面的公式确定 ( z- b)m f (z) = a−m + a−m+1 (z −b) ++ a−1 (z −b) m−1 + a0 (z −b) m + a1 (z −b) m+1 + ◼ 证明 [( ) ( )] ( 1) 1 Re s ( ) lim 1 1 z b f z dz d m f b m m m z b − − = − − → ！ − + + = + − − + − + 2 1 0 1 m m-1 m-1 ( ) 2! ( 1)! ( ) 1! ! [(z - b) ( )] 0 ( 1)! dz d a z b m a z b m f z m a f (z) = a−m(z −b) −m + a−m+1 (z −b) −m+1 ++ a−1 (z −b) −1 + a0 + a1 (z −b) +
留数定理 ■单极点情况 单极点的留数由下面的公式确定 Resf(b)= lim[(z-b)f(s) ->b 如果f(z)为分式,即f(z)=P(z)/Q(z),P(b)≠0,则有 Res f(b)=lim (2-b)P(2) →)b Q() lim (z-b)P(=)P(b) →>bQ(z) O(b)
留数定理 ◼ 单极点情况 • 单极点的留数由下面的公式确定 Res f (b) lim[(z b) f (z)] z b = − → • 如果f(z)为分式，即f(z)=P(z)/Q(z), P(b)≠0，则有 ( ) ( ) ( ) Re s ( ) lim Q z z b P z f b z b − = → '( ) ( ) '( ) ( )' ( ) lim Q b P b Q z z b P z z b = − = →
留数定理 例1 问题:计算函数f(z)=z2exp(1/z)的留数 解:f(z)有一个孤立奇点z=0,是本性奇点,在该点罗朗展开 1()==2k-0h1-=∑k212 es f(o) 例2 问题:计算函数f(z)=sin(z)/(z-1)2的留数 解:f(z)有一个孤立奇点z=1,是2阶极点,应用公式 →l1!dlz (=-1)f( =im 11!dz sinz=cos l
留数定理 ◼ 例1 • 问题：计算函数 f(z) = z2 exp(1/z) 的留数。 • 解：f(z)有一个孤立奇点z=0, 是本性奇点，在该点罗朗展开 k k k k z k z k f z z − = − = = = 2 0 1 2 ! 1 ! 1 ( ) 3! 1 1 Re s f (0) = a− = ◼ 例2 • 问题：计算函数 f(z) = sin(z)/(z-1)2 的留数。 • 解：f(z)有一个孤立奇点z=1, 是2阶极点，应用公式 [( 1) ( )] 1! 1 Re s (1) lim 2 1 z f z dz d f z = − → sin cos1 1! 1 lim 1 = = → z dz d z
留数定理 ■例3 问题:计算函数f(z)=exp(z)/[z(z-1)]的留数 解:f(z)有两个孤立奇点z=0,1,都是1阶极点,应用公式 Res f()=lim(z-1f(s = lim exp(s)/z=e ->1 Res f(o)=lim =f(=) lim exp(二)/(=-1) →>0 又解:也可以用单极点的简化公式 Re s f(b) P(=) exp(b) Q(=)2b-1
留数定理 ◼ 例3 • 问题：计算函数 f(z) = exp(z)/[z(z-1)] 的留数。 • 解：f(z)有两个孤立奇点z=0,1, 都是1阶极点，应用公式 Res (1) lim( 1) ( ) 1 f z f z z = − → z z e z = = → lim exp( )/ 1 Res (0) lim ( ) 0 f z f z z→ = lim exp( )/( 1) 1 0 = − = − → z z z • 又解：也可以用单极点的简化公式 2 1 exp( ) '( ) ( ) Re s ( ) − = = b b Q z P z f b
留数定理 留数定理 ■定理 设函数f(z)在回路L所围区域B内除有限个孤立奇点b1,b2,,bn外 解析,在对应的闭区域上除b1,b2,,bn外连续,则 f(z)dz=2ri ∑ Re s f(o) j=1 ■应用步骤 确定回路L内的孤立奇点; 判断留数定理的条件是否满足; 计算各孤立奇点的留数 代入定理
留数定理 ◼ 留数定理 ◼ 定理 • 设函数f(z)在回路L所围区域B内除有限个孤立奇点b1 , b2 , ,bn外 解析，在对应的闭区域上除b1 , b2 , ,bn外连续，则 = = n j j L f z d z i f b 1 ( ) 2 Re s ( ) ◼ 应用步骤 • 确定回路L内的孤立奇点； • 判断留数定理的条件是否满足； • 计算各孤立奇点的留数； • 代入定理
留数定理的应用 ■基本应用 d ■例题1:计算下列回路积分 Ek1 Resf(二+)= 2E=++2i2(iE=+-1) I=2Ti Res f(=+)=2Ti7
留数定理的应用 ◼ 基本应用 ◼ 例题1：计算下列回路积分 , | | 1 2 2 | | 1 + − = = z iz d z I z 解：奇点为 2 2 4 4 2 − − + = i z 2 1 1− = iz | z+ |1, | z− |1 2( 1 ) 2 2 2( 1) 1 Re s ( ) 2 − − = − = + = + + + i i z i z i f z 2 2 2 1 1 2 Re s ( ) 2 − = − − = + = i I i f z i 2 1−