常微分方程 复习
常微分方程 复习
常微分方程 微分方程的一般概念 ■线性常微分方程的性质 一阶线性常微分方程 二阶线性常系数微分方程 ■二阶线性变系数微分方程
常微分方程 ◼ 微分方程的一般概念 ◼ 线性常微分方程的性质 ◼ 一阶线性常微分方程 ◼ 二阶线性常系数微分方程 ◼ 二阶线性变系数微分方程
分方程的一般概念 ■例子 ■定义 ■联系自变量和未知函数及其导数的等式 分类 ■按自变量的个数,分为常微分方程和偏微分方程; ■按未知涵数及其导数的次数,分为线性微分方程和非 线性微分方程; ■按方程中未知函数导数的最高阶数,分为一阶、二阶 和高阶微分方程
微分方程的一般概念 ◼ 例子 ◼ 定义 ◼ 联系自变量和未知函数及其导数的等式。 ◼ 分类 ◼ 按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分方程； ◼ 按未知函数及其导数的次数，分为线性微分方程和非 线性微分方程； ◼ 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶 和高阶微分方程
线性常微分方程 一般形式 ■aoy(+a1y(n1)+…+any+any=f(X) 其中未知函数的系数可以是常数,也可以是x的函数。 分类 按自由项f(X)是否为零,分为齐次和非齐次 叠加原理 ■齐次方程任意两个解的线性组合也是解; ■非齐次方程的任一个解和对应的齐次方程的解之和也 是解
线性常微分方程 ◼ 一般形式 ◼ a0y (n)+a1y (n-1)+‥‥+a n-1y’+any=f(x) ◼ 其中未知函数的系数可以是常数，也可以是x的函数。 ◼ 分类 ◼ 按自由项f(x)是否为零，分为齐次和非齐次。 ◼ 叠加原理 ◼ 齐次方程任意两个解的线性组合也是解； ◼ 非齐次方程的任一个解和对应的齐次方程的解之和也 是解
阶线性常微分方程 般形式 aoy+a1y=F(x)或y+py=f(×) ■齐次方程的通解 Y(x)=Cexp[-∫pdx] ■非齐次方程的特解 Y(x)=C(xexp[∫pdx] 其中C(X)=∫[f(X)exp(pd×)]dx ■非齐次方程的通解 y(x)=y(X)+y(×) 例题
一阶线性常微分方程 ◼ 一般形式 ◼ a0 y’+a1y= F(x) 或 y’+ p y = f(x) ◼ 齐次方程的通解 ◼ y(x) = C exp[-∫p dx ] ◼ 非齐次方程的特解 ◼ yp(x)= C(x) exp[-∫p dx ] ◼ 其中 C(x) = ∫[f(x) exp(∫p dx) ] dx ◼ 非齐次方程的通解 ◼ y(x) = y(x) + yp(x) ◼ 例题
阶线性常系数微分方程 ■二阶线性常系数微分方程的一般形式为 ■aoy+a1y+a2y=F(X)或y”+py+qy=f(X) ■特征方程:r2+pr+q=0 齐次方程的通解 特征根:r1和 通解 ≠r2时y(x)=Aexp(r1x)+Bexp(r2X) r1=r2时y(X)=Aexp(r×)+ B X exp(rx) 例题 ■非齐次方程的特解 r1≠「2时y(x)=A(X)exp(r1x)+B(x)exp(r2X 1=r2 Hf y(x)=A(x)exp(r x)+b(x)x exp(r x)
二阶线性常系数微分方程 ◼ 二阶线性常系数微分方程的一般形式为 ◼ a0y”+a1y’+a2y = F(x) 或 y”+ p y’+q y = f (x) ◼ 特征方程： r 2 + p r +q = 0 ◼ 齐次方程的通解 ◼ 特征根： r1 和 r2 ◼ 通解 • r1 ≠ r2 时 y(x) = A exp(r1x) + B exp(r2x) • r1 = r2 时 y(x) = A exp(r x) + B x exp(r x) ◼ 例题 ◼ 非齐次方程的特解 • r1 ≠ r2 时 y(x) = A(x)exp(r1x) + B(x)exp(r2x) • r1 = r2 时 y(x) = A(x)exp(r x) + B(x) x exp(r x)
阶线性变系数微分方程 ■最常见的二阶线性变系数微分方程有欧拉方程等 ■欧拉方程的一般形式为 xX2y”+pXy2+qy=f(x) ■特征方程:s(s-1)+pS+q=0 ■齐次方程的通解 ■特征根:s1和s2 通解 s1≠s2时y(X)=Ax51+Bx52 s1=s2时y()=AXs+Blnx 例题
二阶线性变系数微分方程 ◼ 最常见的二阶线性变系数微分方程有欧拉方程等 ◼ 欧拉方程的一般形式为 ◼ x 2y”+ pxy’+q y = f (x) ◼ 特征方程： s(s-1) + p s +q = 0 ◼ 齐次方程的通解 ◼ 特征根： s1 和 s2 ◼ 通解 • s1 ≠ s2 时 y(x) = A xs1 + B xs2 • s1 = s2 时 y(x) = A xs + B lnx xs ◼ 例题
微分方程的一般概念 y+tan y=3x+5 2y+3y>sin x-2 L1-4L 5x XX y+py+gy+r=0 y+aoy=xInx y+o y +4y'=5 x Bx y+xy+2y=x
微分方程的一般概念 2 2 (3) 2 2 2 2 2 3 " ' 2 4 ' 5cos " 0 ' ln " 0 4 5 2 ' 3 sin 2 tan 3 5 x y xy y x y y x y y y a y x x y py qy r u u x y y x y y x t xx + + = + = + = + = + + + = − = + − + = +
阶线性常微分方程 非齐次方程:y-2xy=4x3 对应的齐次方程 0 齐次通解:y=Cexp(x2) 非齐次特解的形式:yp=C(x)ep(x2) 代入非齐次方程:C(x)exp(x2)=4x3 得到:C(x)=4x3ex(-x2)dx=-2(x2+1exp(-x2) 非齐次特解: yp=-2(x2+1) 非齐次通解:y=yn+p=-2(x2+1)+Ce(x2)
一阶线性常微分方程 3 非齐次方程：y'−2xy = 4x 2 3 代入非齐次方程：C'(x)exp(x ) = 4x 对应的齐次方程： y'−2xy = 0 exp( ) 2 齐次通解：y = C x ( ) exp( ) 2 y C x x 非齐次特解的形式： p = 2( 1) 2 非齐次特解：y p = − x + ( ) 4 exp( ) 2( 1)exp( ) 3 2 2 2 C x = x −x dx = − x + −x 得到： 2( 1) exp( ) 2 2 y y y x C x 非齐次通解： = p + = − + +
阶线性常系数微分方程 微分方程:y"+o2y=0 特征方程:r2+o2=0 通解:y=Ae≯p(iOx)+Be≯p(-iox) Ccos(ox)+ Dsin(ox) 微分方程:y-o2y=0 特征方程:r2-2=0 通解:y=Ae≯p(Ox)+Beyp(-Ox) Cosh(ox)+ Sinh(ox)
二阶线性常系数微分方程 " 0 2 微分方程：y + y = 0 2 2 特征方程：r + = " 0 2 微分方程：y − y = 通解：y = Aexp(ix) + Bexp(−ix) 0 2 2 特征方程：r − = 通解：y = Aexp(x) + Bexp(−x) = Ccos(x) + Dsin(x) = Ccosh(x) + Dsinh(x)