第二十六讲 Laplace变换 §26.1 Laplace变换 · Laplace变换(简称拉氏变换)是常用的一种积分变换在数学、物理及工程科学中 有广泛的应用 本章介绍Laplace变换的定义及其基本性质,以及它的简单应用. Laplace变换是一种积分变换,它把f(t)变换为F(p), ∞ F(p)= e-ptf(t)dt. Jo 这里的t是实数,p是复数,p=s+io.F(p)为f(t)的Laplace换式,简称拉氏换式e-pt 是 Laplace变换的核 通常把 Laplace变换简写为 F(p)={f(t)} F(p)=(t); f(t)= -1{F()}(t)=F(p). f(t)和F(p)有时也分别称为 Laplace变换的原函数和象函数 需要说明,在本章中约定:f(t)应该理解为f(tη(t),其中 t) 1,t>0, 0,t0. Jo p lo 这里的限制条件Rep>0是为了保证积分收敛,或者说是 Laplace变换存在的条件 例26.2函数f(t)=eat的 Laplace换式为 eat dt-e-p-at=n-a 1 Rep> Rea. P lo 这里的限制条件Rep>Rea同样是为了保证积分收敛,即 Laplace变换存在 从例26.1和例26.2可以看出,由于 Laplace换的核是e-pt,所以对于相当广泛的函数f(t), 其拉氏换式都存在;甚至当t→∞,f(t)→时,f(t)的拉氏换式也可能存在
Wu Chong-shi ✁✂✄☎ Laplace ✆✝ §26.1 Laplace ✞✟ • Laplace ✠✡ (☛☞✌ ✍✠✡) ✎✏✑✒✓✔✕✖✠✡✗✘✙ ✚✛✜✢✣✤✥✦ ✚✧ ★ ✩✪✒✫✑ ✗ • ✬✭✮✯ Laplace ✠✡✒✰✱✣✲✳✬✴✵✶✷✣✸✒ ☛✹✫✑✗ Laplace ✺✻✼✽✾✿❀✺✻✶❁❂ f(t) ✺✻❃ F(p) ✶ F(p) = Z ∞ 0 e −ptf(t) dt. ❄❅❆ t ❇❈❉✶ p ❇❊❉✶ p = s + iσ ✗ F(p) ❋● f(t) ❆ Laplace ❍■✶❏❋❑ ▲❍■✗ e −pt ❇ Laplace ▼❍❆◆✗ ❖P◗ Laplace ▼❍❏❘● F(p) = ❙ {f(t)} ❚ F(p) : f(t); f(t) = ❙ −1 {F(p)} ❚ f(t) ; F(p). f(t) ❯ F(p) ❱❲❳❨❩❋● Laplace ▼❍❆❬❭❉❯❪❭ ❉✗ ❫❴❵ ❛✶ ✘ ✬✭ ✧❜✰❝ f(t) ✫❞✢❡❢ f(t)η(t) ✶ ✲ ✧ η(t) = ( 1, t > 0, 0, t 0. ❄❅❆❧♠♥♦ Re p > 0 ❇●♣qrs❨t✉✶❚✈✇❇ Laplace ▼❍①②❆♥♦✗ ❦ 26.2 ❭ ❉ f(t) = eαt ❆ Laplace ❍■● e αt ; Z ∞ 0 e −pt · e αt dt = − 1 p e −(p−α)t ∞ 0 = 1 p − α , Re p > Re α. ❄❅❆❧♠♥♦ Re p > Re α ③④❇●♣qrs❨t✉✶⑤ Laplace ▼❍①②✗ ⑥⑦ 26.1 ❯ ⑦ 26.2 ⑧⑨⑩❶✶❷❸ Laplace ▼❍❆◆❇ e −pt ✶ ❹ ⑨❺❸❻❼❽❾❆❭❉ f(t) ✶ ❿ ❑ ▲❍■➀①②➁➂➃❼ t → ∞, f(t) → ∞ ❲✶ f(t) ❆ ❑ ▲❍■❳⑧➄①②✗
Lpw变换存在的条件也就是积分“-(0收的条件在绝大多数实际间题中,f0 都能满足 1.f(t)在区间0≤t0及s′≥0,使对于任何t值(实际上,只要对于 足够大的t值) f(t)<Me°t 这是 Laplace变换存在的充分条件.一般问题中遇到的函数都能满足这个要求 如果s存在的话,它一定并不唯一,因为比s大的任何正数也符合要求.s的下界称为收 敛横标,记为s0
Wu Chong-shi §26.1 Laplace ➅➆➇➈➉ ➊ 2 ➋ Laplace ✺✻➌➍➎➏➐➑➒✼✿❀ Z ∞ 0 e −ptf(t) dt ➓➔➎➏➐✗②→➣↔❉❈↕➙➛ ➜✶f(t) ➀➄➝➞ 1. f(t) ✘ ➟➠ 0 ≤ t 0 ✣ s 0 ≥ 0 ✶➘➴➷➵➸ t ➬ (➮➱✃✶❐❴➴➷ ❒❮❰✒ t ➬) ✶ |f(t)| < Me s 0 t . ❄ ❇ Laplace ✺✻➌➍➎Ï❀➏➐✗ÐÑ➙➛ ➜ÒÓ❆❭❉➀➄➝➞❄ÔÕÖ✗ ×Ø s 0 ①②❆Ù✶ÚÐÛÜÝÞÐ✶ß● à s 0 ➣ ❆áâã❉❳äåÕÖ✗ s 0 ❆æç❋● ➓ ➔èé ✶ê● s0 ✗
第二十六讲 Laplace变换 第3页 826.2 Laplace变换的基本性质 性质26.1 Laplace变换是一个线性变换,即若 fi(t)=F1(p),f2(1)=F2(P) a1fi(t)+a2f2(t)=a1F1(p)+a2F2() 这个性质很容易从 Laplace变换的定义得到,因为它只不过是积分运算的线性性质的反 根据这个性质,立即得到 sin wt= p+ 性质26,2 Laplace换式的解析性 这个性质可以用来确定收敛横标s,这在求 Laplace变换的反演时是非常重要的 性质26.3若f(t)满足 Laplace变换存在的充分条件,则 F(p)→0.当Rep=8→+∞ 性质26.4原函数的导数的 Laplace变换,设f()及f(t)都满足 Laplace变换存在的充分 条件,f(t)=F(p),则 f(t)=pF(p)-f(0) 对原函数∫(U)的微商运算转化为对象函数F()的乘法运算,而且还自动包括了∫(t)的 初值.正因为这个特点,所以 Laplace变换方法是求解微分方程的一种重要方法 同样,只要ft,f"(t),……,f)(t)都满足 Laplace变换存在的充分条件,f(t)=F(p),则 f"(t)=p2F(p)-pf(0)-f'(0), f3)(t)=p3F(p)-p2f(0)-pf(0)-f"(O), (n)(t)=pF(p)-pn-1f(0)-p-2f"(0) (n-2(0)-fmn-1)(0)
Wu Chong-shi ëìíîï Laplace ➅➆ ➊ 3 ➋ §26.2 Laplace ✞✟ðñòóô õö 26.1 Laplace ✺✻✼✽÷øõ ✺✻ ✶⑤ù f1(t) ; F1(p), f2(t) ; F2(p), ú α1f1(t) + α2f2(t) ; α1F1(p) + α2F2(p). ➻û✴✵üý þÿ Laplace ✠✡✒✰✱✁✶ ✂❢✸ ❐✄☎✎✕✖✆✝✒✞✴✴✵✒✟ ✠ ✗✡☛➻û✴✵✶☞ ➪✁ sin ωt = e iωt − e −iωt 2i ; 1 2i 1 p − iω − 1 p + iω = ω p 2 + ω2 ; cos ωt = e iωt − e −iωt 2 ; 1 2 1 p − iω + 1 p + iω = p p 2 + ω2 . õö 26.2 Laplace ✻✌➎✍✎õ ✗ ➻û✴✵✏ ✷✑✑✒✰✓✔✕✖ s0 ✶ ➻✘✗ Laplace ✠✡✒✟✘❥✎ ✙✏✚ ❴ ✒✗ õö 26.3 ù f(t) ➝➞ Laplace ▼❍①②❆✛ ❨ ♥♦✶ ú F(p) → 0, ❼ Re p = s → +∞. õö 26.4 ✜✢✣➎✤✣➎ Laplace ✺✻ ✗✥ f(t) ✦ f 0 (t) ➀➝➞ Laplace ▼❍①②❆✛ ❨ ♥♦✶ f(t) ; F(p) ✶ ú f 0 (t) ; pF(p) − f(0). ➴✧★✙ f(t) ✒✩✪✆✝✫✬❢➴✭★✙ F(p) ✒✮✯✆✝✶➯➲✰ ✱✲ ✳✴ ➢ f(t) ✒ ✵ ➬✗ ➹ ✂❢➻û✶➧ ✶✷ ✷ Laplace ✠✡✸✯✎ ✗❡ ✩✖✸ ✥ ✒✓✔✚ ❴ ✸✯✗ ③④✶✹ Õ f(t), f0 (t), · · · , f(n) (t) ➀➝➞ Laplace ▼❍①②❆✛ ❨ ♥♦✶ f(t) ; F(p) ✶ ú f 00(t) ; p 2F(p) − pf(0) − f 0 (0), f (3)(t) ; p 3F(p) − p 2 f(0) − pf0 (0) − f 00(0), . . . f (n) (t) ; p nF(p) − p n−1 f(0) − p n−2 f 0 (0) − · · · − pf(n−2)(0) − f (n−1)(0)
§26.2 Laplace变换的基本性质 第4页 性质26.5原函数的积分的 Laplace变换,设∫(t)满足 Laplace变换存在的充分条件,则 f(r)dr F(P) P
Wu Chong-shi §26.2 Laplace ➅➆➇✺✻✼✽ ➊ 4 ➋ õö 26.5 ✜✢✣➎✿❀➎ Laplace ✺✻ ✗✥ f(t) ➝➞ Laplace ▼❍①②❆✛ ❨ ♥♦✶ ú Z t 0 f(τ) dτ ; F(p) p
第二十六讲 Laplace变换 第5页 826.3 Laplace变换的反演 象函数的导数的反演设∫(t)满足 Laplace变换存在的充分条件,f(t)=F(p),则F(p)在 Rep≥s1>s0的半平面中解析,因而可以在积分号下求导 f(tept dt (t)f(tept dt 所以 Fin(p)=(-t)"f(t) 根据这个公式,可以容易地得到 11d21 2 d 若F(p)是有理函数,则总可以通过部分分式求反演.例如 p+a)=ap-a2严2 11 象函数的积分的反演如果/F(q)dq存在①,且当t→0时,f(t)/有界,则 F(a)dq f(t) 利用这个公式,又可以得到许多函数的 Laplace变换,例如 特别是,如果p→0时,(★)式两端的积分均存在,则有 F(p)dp 利用这个结果,可以计算广fat型的积分,例如 这个积分曾经应用留数定理计算过·这里的计算更为简便 有些积分用留数定理计算比较复杂,但却可以方便地用这个办法计算.例如 cos at-cos bt ①这里的积分上限应了解为Rep→+∞,并且积分路径在F(p)的解析区域内,因而积分与路径无关
Wu Chong-shi ëìíîï Laplace ➅➆ ➊ 5 ➋ §26.3 Laplace ✞✟ð✾✿ ❀ ✢✣➎✤✣➎❁❂ ✥ f(t) ➝➞ Laplace ▼❍①②❆✛ ❨ ♥♦✶ f(t) ; F(p) ✶ ú F(p) ② Re p ≥ s1 > s0 ❆❃❄❅ ➜❆❇✶ß❈⑧⑨②s❨❉ æÖ❊ F (n) (p) = d n dp n Z ∞ 0 f(t) e−pt dt = Z ∞ 0 (−t) n f(t) e−pt dt. ❹ ⑨ F (n) (p) : (−t) nf(t). ❋●❄Ô❍ ■✶⑧⑨■❏❑▲Ó 1 p 2 = − d dp 1 p : t, 1 p 3 = 1 2 d 2 dp 2 1 p : 1 2 t 2 . ù F(p) ❇❱▼ ❭ ❉✶ú◆ ⑧⑨❖❖P❨❨■Ö◗❘✗ ⑦× 1 p 3(p + α) = 1 α 1 p 3 − 1 α2 1 p 2 + 1 α3 1 p − 1 α3 1 p + α : 1 2α t 2 + 1 α2 t + 1 α3 − 1 α3 e −αt . ❀ ✢✣➎✿❀➎❁❂ ×Ø Z ∞ p F(q) dq ①② ❙ ✶❚ ❼ t → 0 ❲✶ |f(t)/t| ❱ ç ✶ ú Z ∞ p F(q) dq : f(t) t . (F) ❯❱❄Ô❍ ■✶❲⑧⑨▲Ó❳↔ ❭ ❉ ❆ Laplace ▼❍✗⑦× sin ωt t ; Z ∞ p ω q 2 + ω2 dq = π 2 − arctan p ω . ❨ ❩❇✶×Ø p → 0 ❲✶ (F) ■❩❬❆ s❨❭①②✶ú ❱ Z ∞ 0 F(p) dp = Z ∞ 0 f(t) t dt. ❯❱❄Ô❪Ø ✶⑧⑨❫❴ Z ∞ 0 f(t) t dt ❵ ❆ s❨✗⑦× Z ∞ 0 sin t t dt = Z ∞ 0 1 p 2 + 1 dp = π 2 . ➻û✕✖ ❛❜✫✑ ❝ ✙ ✰ ✢❞ ✝☎✗ ➻❡ ✒ ❞ ✝❢❢ ☛❣✗ ❱❤s❨❱ ✐❉Û▼❫❴ à❥❊❦✶❧♠⑧⑨♥♦❑❱❄Ô♣q❫❴✗ ⑦× Z ∞ 0 cos at − cos bt t dt = Z ∞ 0 p p 2 + a 2 − p p 2 + b 2 dp ❙ rst✉✈✇①②③④⑤ Re p → +∞ ⑥⑦⑧✉✈⑨⑩❶ F(p) t④❷❸❹❺⑥❻❼✉✈❽⑨⑩❾❿➀
§26.3 Laplace变换的反演 第6页 In b-lna 根据 Laplace变换的线性性质,如果 Laplace换式F(p)可以分解为两个函数F)和 F2()之和,那么,它的反演问题当然就很简单:只要H1(p)和F2(p)的原函数都存在 F()的原函数就是F()和F2(p)的原函数之和,如果F(p)可以分解为F1(P)和F2(p) 之积,其反演问題就需要用到下面的卷积定理 卷积定理设F1(p)f1(t),F2(p)=f2(t),则 F)F2(p)=/f()f2(t-7)dr 普遍反演公式若函数F(p),p=s+i满足 (1)F(p)在区域Rep>s0中解析 (2)在区域Rep>s0中,回→∞时F(p)一致地趋于0 (3)对于所有的Rep=5>50,沿直线L:Rep=s的无穷积分 F(p)ldo(s>so 则对于Rep=s>50,F(p)是 f(t) F(p)ept dp 的 Laplace变换,其中t为实变量 由普遍反演公式求 Laplace变换的原函数,涉及复平面上的无穷积分,一般可利用留数定理来 计算
Wu Chong-shi §26.3 Laplace ➅➆➇➁➂ ➊ 6 ➋ = 1 2 ln p 2 + a 2 p 2 + b 2 ∞ 0 = ln b − ln a, a > 0, b > 0. ✡☛ Laplace ✠✡✒✞✴✴✵✶➃➄ Laplace ✡➅ F(p) ✏ ✷✖❡❢➆û★✙ F1(p) ➇ F2(p) ➈➇✶ ➉ ➊✶ ✸ ✒✟✘ ➋➌ ✐➍➎ü ☛✹❝❐❴ F1(p) ➇ F2(p) ✒✧★✙➩➶ ✘ ✶ F(p) ✒✧★✙ ➎✎ F1(p) ➇ F2(p) ✒✧★✙ ➈➇✗➃➄ F(p) ✏ ✷✖❡❢ F1(p) ➇ F2(p) ➈✕✶✲ ✟✘ ➋➌➎❫❴✑✁➏ ➐✒➑✕✰✢ ✗ ➒ ✿➓➔ ✥ F1(p) : f1(t) ✶ F2(p) : f2(t) ✶ ú F1(p)F2(p) : Z t 0 f1(τ)f2(t − τ) dτ. →➣◗❘❍■ ù ❭ ❉ F(p), p = s + iσ ➝➞❝ (1) F(p) ✘ ➟↔ Re p > s0 ✧❡↕ ✶ (2) ✘ ➟↔ Re p > s0 ✧ ✶ |p| → ∞ ❥ F(p) ✓➙➛➜➷ 0 ✶ (3) ➴➷✷ ★ ✒ Re p = s > s0 ✶➝➞✞ L : Re p = s ✒➟➠✕✖ Z s+i∞ s−i∞ |F(p)| dσ (s > s0) ✓✔✶ ú ❺ ❸ Re p = s > s0 ✶ F(p) ❇ f(t) = 1 2π i Z s+i∞ s−i∞ F(p) ept dp ❆ Laplace ▼❍✶❿ ➜ t ●❈▼➡✗ ❷→➣◗❘❍■ Ö Laplace ▼❍❆❬❭❉✶➢ ✦❊ ❄❅➤❆➥➦s❨✗ÐÑ⑧ ❯❱ ✐❉Û▼➧ ❫❴✗
