数学物理方法 第二部分 数学物理方程
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第十三讲数学物理方程:数学建模 第1页 第十三讲数学物理方程:数学建模 数学物理方程,通常指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程,有 时也包括与此有关的积分方程、微分积分方程和常微分方程例如, ·静电势和引力势满足的Laplace方程或 Poisson方程 ·波的传播所满足的波动方程 ·热传导问题和扩散问题中的热传导方程 ·连续介质力学中的Navier-Stockes-方程组和 Euler方程组 ·描写电磁场运动变化的Maxwell方程组 ·作为微观物质运动基本规律的Schrodinger方程和 Dirac方程 ·弹性力学中的Saint-Venant-方程组 等等.这些方程(组)多是二阶线性偏微分方程(组).所以,本课程将集中讨论几种典型的二阶线 性偏微分方程 本讲从一些物理问题导出一些典型的二阶线性偏微分方程以后讨论这些方程的一般性质及 解法
Wu Chong-shi ✁✂✄ ☎✆✝✞✟✠✡☎✆☛☞ ✌ 1 ✍ ✎✏✑✒ ✓✔✕✖✗✘✙✓✔✚✛ ✜ ✢✣✤✥✦✧★✩✪✫✣✤ ✢✬✭✮✯ ✰ ✱✲✳ ✢✴✵✶✳ ✢✷✸✹✺✻✼✽✾✥✦✧✿ ❀❁ ❂❃❄❅✿ ❆✻❇✾✥✦✴✽✾❇✾✥✦❈✩✽✾✥✦❉❊❋✧ • ● ❍■❈ ❏❑■▲▼✻ Laplace ✥✦◆ Poisson ✥✦ • ❖ ✻P◗✸▲▼✻ ❖❘✥✦ • ❙ P❚ ❯❱❈❲❳ ❯❱ ✷✻ ❙ P❚✥✦ • ❨❩❬❭ ❑✢✷✻ Navier–Stockes ✥✦❪❈ Euler ✥✦❪ • ❫ ❴❍❵❛❜❘❝❞✻ Maxwell ✥✦❪ • ❡❢✽❣✣❭❜❘❤✐❥❦✻ Schr¨odinger ✥✦❈ Dirac ✥✦ • ❧♠ ❑✢✷✻ Saint-Venant ✥✦❪ ♥♥❉♦♣✥✦ (❪ ) qrst✉♠✼✽✾✥✦ (❪ ) ❉✸ ✈✧✐✇✦①② ✷③④⑤⑥⑦⑧✻st✉ ♠ ✼✽✾✥✦❉ ✐⑨✫⑩♣✣✤ ❯❱❚ ❶⑩♣⑦⑧✻st✉♠✼✽✾✥✦❉✈❷③④♦♣✥✦✻⑩❸♠❭✬ ❹❺❉
131弦的横振动方程 §13.1弦的横振动方程 有一个完全柔软的均匀弦,沿水平直线绷紧,而后以某种方法激发,使弦在同一个平面上作 小振动.列出弦的横振动方程 取弦的平衡位置为x轴,且令端点坐标为x=0与x=l 设u(x,t)是坐标为x的弦上一点在t时刻的(横向)位移.在弦上隔离出长为dx的一小段(弦 元).弦元的弦长足够小,以至于可以把它看成是质点 分析弦元受力:它在两个端点x及x+dx处受到张力的作用 62 图13.1弦的横振动 因为弦是完全柔软的,故只受到切向应力—张力T的作用,而没有法向应力.同 时,略去了重力的作用 因此有 (Tsin 0)x+dz-(Tsin 0)x= dm (T cos 0)x+dr-(T cos 0)x=0 小振动近似:x+dx与x两点间任一时刻横向位移之差u(x+dr,t)-u(x,t),与dr 相比是一个小量,即 lau/az <1 在小振动近似下, sin6≈tan6 (略去了的三级项 Cos6≈1 (略去了的二级项
Wu Chong-shi §13.1 ❻❼❽❾❿✟✠ ✌ 2 ✍ §13.1 ➀➁➂➃➄➅➆ ➇➈➉➊➋➌➍➎➏➐➑✧➒➓➔→➣↔↕✧➙➛➜➝➞➟➠➡➢✧➤➑➥➦➈➉➔➧➨➩ ➫➭➯❉➲➳➑➎➵➭➯➟➸❉ ➺➻➼➽➾➚➪➶ x ➹ ✧➘➴➷➬➮➱➶ x = 0 ✃ x = l ❉ ❐ u(x, t) ❒ ➮➱➶ x ➼➻❮❰➬Ï t ÐÑ➼ (Ò Ó) ➚Ô❉Ï➻❮ÕÖ×Ø➶ dx ➼❰ÙÚ (➻ Û ) ❉➻Û➼➻ØÜÝÙ✧ÞßàáÞâãäå❒æ➬❉ çè➻ÛéêëãÏìí➷➬ x î x + dx ï éðñê➼òó❉ ô 13.1 õö÷øù tan θ1 = ∂u ∂x x , tan θ2 = ∂u ∂x x+dx ú ❢ûr ➊➋➌➍ ✻✧ü ýþÿ ✁✂ ❑ ✄ ❑ T ✻ ❡☎ ✧✆✝✿❺ ✁✂ ❑❉✞ ❀✧✟✠ ✡☛ ❑✻❡☎ ❉ ☞✌✍ (T sin θ)x+dx − (T sin θ)x = dm ∂ 2u ∂t2 , (T cos θ)x+dx − (T cos θ)x = 0. ➫➭➯✎✏ ë x + dx ❄ x ✑✒ ✓✔⑩❀✕✖ ✁✗✘✙✚ u(x + dx, t) − u(x, t) ✧❄ dx ✛✜r ⑩✢✣✤✧✥ |∂u/∂x| 1. ÏÙ✦✧★✩✪✧ sin θ ≈ tan θ = ∂u ∂x ✫✬✭∂u ∂x➼✮✯✰ , cos θ ≈ 1 ✫✬✭∂u ∂x➼✱✯✰
第十三讲数学物理方程:数学建模 第3页 这样,就有 (T)x+dr-(T)2=0 p(T)x+dz=(T) 说明T不随x变化,弦中各点的张力相等.于是, 02n02u 其中P是弦的线密度(单位长度的质量).定义 则方程可以写成 =0 0x2 a就是弦的振动传播速度 还可以证明:在小振动近似下,张力T与t无关.这是因为弦元的伸长 ds-dx= vdu+dz2-dx l dr=( 所以,在准确到ωu/r的一级项(即小振动近似)的条件下,弦元的长度不随时间变化 因此,按照 Hooke定律,T也不随时间变化 前面又已经证明过,T也不随x变化,所以T是一个常数 如果弦在横向(即位移u的正向)上还受到外力的作用,设单位长度所受的外力为f,则仿照 前面的推导,有 dr fda. 因此 a2u 282u 其中的非齐次项f/p是单位质量所受的外力
Wu Chong-shi ✁✂✄ ☎✆✝✞✟✠✡☎✆☛☞ ✌ 3 ✍ ✲✳✧✴✍ (T )x+dx − (T )x = 0 ✵ (T )x+dx = (T )x, ✶ ✷ T ✸✹ x ✺✻✧➑✼✽✾➎✿❀❁❂ ❉à❒ ✧ ρdx ∂ 2u ∂t2 = T " ∂u ∂x x+dx − ∂u ∂x x # = T ∂ 2u ∂x2 dx, ✵ ρ ∂ 2u ∂t2 − T ∂ 2u ∂x2 = 0, ❃ ❄ ρ ❒ ➻➼❅❆❇ (❈ ➚Ø❇➼ æ❉) ❉❊❋ a = s T ρ , ●❍■áÞ❏å ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0. a ✴ ❒ ➻➼✦✧❑▲▼❇❉ ◆❖ ✈P ◗ë❘✣❙❘❚❯❱✧ ✿❀ T ❲ t ❳❨ ❉♦r ú ❢û❩ ✻❬❭ ds − dx = p du 2 + dx 2 − dx = s 1 + ∂u ∂x2 − 1 dx = O ∂u ∂x2 , ✸ ✈✧❘❪❫ÿ ∂u/∂x ✻⑩❴❵ (✥✣❙❘❚❯) ✻❛❜❱ ✧ û❩ ✻❭❝❞❡❀ ✓❝❞❉ ú❅✧❢❣ Hooke ❤❦ ✧ T ❁❞❡❀ ✓❝❞❉ ✐ ❥❦ ❧♠P ◗♥✧ T ❁❞❡ x ❝❞✧✸ ✈ T ♦ ➈➉♣q❉ rs➻Ï Ò Ó (✵ ➚Ô u ➼t Ó) ❮✉éð✈ê➼òó✧❐ ❈ ➚Ø❇✇é➼✈ê➶ f ✧●①② ③④➼⑤⑥✧✍ ρdx ∂ 2u ∂t2 = T ∂ 2u ∂x2 dx + fdx. ☞✌✧ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = f ρ , ❃ ❄➼⑦⑧⑨✰ f /ρ ❒❈ ➚ æ❉ ✇é➼✈ê❉
§132杆的纵振动方程 第4页 813.2杆的纵振动方程 考虑一均匀细杆,沿杆长方向作小振动.假设在垂直杆长方向的任一截面上各点的振动情况 (即位移)完全相同 ★如图13.2,取杆长方向为x轴方向,垂直于杆长方向的 各截面均用它的平衡位置x标记 Purrs Ar+dN 在任一时刻t,此截面相对于平衡位置的位移为u(x,t) ★在杆中隔离出一小段(x,x+dr),分析受力 通过截面x,受到弹性力P(x,t)S的作用 通过截面x+dx受到弹性力P(x+dx,t)S的作用 图13.2杆的纵振动应力与应变 P(x,t)为单位面积所受的弹性力(应力),沿x方向为正 因此,根据 Newton第二定律,就得到 [P(r+dr, t)-P(, t) 若杆的密度为p,则dm=pdx:S au oP 如果略去垂直杆长方向的形变,根据Hoke 应力P与应变au/Ox成正比P=E 比例系数E称为杆的Yong模量,它是一个物质常数.这样,就得到了杆的纵振动方程 Laz- ax2=0. 其中 P 杆的纵振动与弦的横振动机理并不完全相同,但它们满足的偏微分方程的形式却完全一样 这一类方程统称为波动方程 更一般地,在三维空间中的波动方程是 2u V2a=0 其中V=m+a+a称为Lp算
Wu Chong-shi §13.2 ⑩❼❶❾❿✟✠ ✌ 4 ✍ §13.2 ❷➁❸➃➄➅➆ ❹❺➈➏➐❻❼✧➒❼❽➟❾➩➫➭➯❉❿➀➥➁→❼❽➟❾➎➂➈➃➧➨✽✾➎➭➯➄➅ (➆➇➈) ➊➋❁➦❉ F r➉ 13.2 ✧➺➊Ø❍ Ó ➶ x ➹ ❍ Ó ✧➋➌à➊Ø❍ Ó ➼ ➍➎④➏óã➼➽➾➚➪ x ➱➐❉ F Ï➑❰ ÐÑ t ✧✌➎④➒➓à➽➾➚➪➼➚Ô➶ u(x, t) ❉ F Ï➊ ❄ÕÖ×❰ÙÚ (x, x + dx) ✧çèéêë • ➔→➎④ x ✧éð➣↔ê P(x, t)S ➼òó • ➔→➎④ x + dx éð➣↔ê P(x + dx, t)S ➼òó P(x, t) ➶ ❈ ➚④↕✇é➼➣↔ê (➙ ê ) ✧➛ x ❍ Ó ➶t❉ ô 13.2 ➜ö➝øù ➞➟➠➞➡ ☞✌✧➢➤ Newton ➥ ✱❊➦✧✴➧ð dm ∂ 2u ∂t2 = [P(x + dx, t) − P(x, t)] S. ➨➊➼❆❇➶ ρ ✧● dm = ρ dx · S ✧ ρ ∂ 2u ∂t2 = ∂P ∂x . rs✫✬➋➌➊Ø❍ Ó ➼➩➫✧➢➤ Hooke ❊➦✧ ➙ ê P ✃➙ ➫ ∂u/∂x åt ➭ P = E ∂u ∂x, ➭➯➲➳ E ➵ ➶➊➼ Young ➸❉✧ã❒ ❰í➺ æ➻ ➳❉✲✳✧✴➧ð✭ ➊➼➼✦✧❍■ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, ❃ ❄ a = s E ρ . ➊➼➼✦✧✃ ➻➼Ò ✦✧➽➾➚➪➶➹➒➘✧➴ã➷➬Ü➼➮➱ç❍■➼➩✃❐➶➹❰✳❉ ✲❰❒❍■❮➵ ➶ ❰➯➟➸ ❉ Ï❰ÐÑ✧Ï✮ÒÓÔ ❄➼Õ✧❍■❒ ∂ 2u ∂t2 − a 2∇ 2u = 0, ❃ ❄ ∇2 ≡ ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 + ∂ 2 ∂z2 ➵ ➶ Laplace Ö×✧ ∇ 2 = ∇ · ∇ ✵ ∇ 2u = ∇ · (∇u)
第十三讲数学物理方程:数学建模 第5页 813.3热传导方程 推导热传导方程所用的数学方法和上面的完全相同.不同之处在于具体的物理规律不 这里用到的是热学方面的两个基本规律,即 能量守恒定律和热传导的 Fourier定律 热传导的 Fourier定律设有一块连续介质.取定一定坐标系,并用u(x,v,2,t)表示介质内 空间坐标为(x,y,2)的一点在t时刻的温度.若沿x方向有一定的温度差,在x方向也就一定有热 量的传递.从宏观上看,单位时间内通过垂直x方向的单位面积的热量q与温度的空间变化率成 正比 称为热流密度,k称为导热率 k与介质的质料有关,而且,严格说来,与温度u也有关亲,但如果湿度的变化范围不 大,则可以近似地将k看成与u无关 上面公式中的负号表示热流的方向和温度变化的方向正好相反,即热量由高温流向低温 研究三维各向同性介质中的热传导,在介质中三个方向上都存在温度差,则有 4=-ka,9=-,%=-B 即热流密度矢量q与温度梯度ⅴu成正比 根据 Fourier定律和能量守恒定律推导均匀各向同性介质中的热传导方程. 在介质内部隔离出一个平行六面体(见图133),六个面都和坐标面重合
Wu Chong-shi ✁✂✄ ☎✆✝✞✟✠✡☎✆☛☞ ✌ 5 ✍ §13.3 Ø Ù Ú ➅ ➆ Û❚ ❙ P❚✥✦✸☎ ✻✜ ✢✥❺❈Ü ❥✻ ÝÞ✛ ✞❉❞ ✞✙ß❘àáâ✻✣✤❥❦❞ ✞❉♦ã ☎ ÿ✻r ❙✢✥ ❥✻ ✑ ✢ ❤✐❥❦✧✥ äåæçèé ❈ êëì➎ Fourier èé ❉ êëì➎ Fourier èé ❐✍❰íîïðæ ❉➺❊❰❊➮➱➲✧➚ó u(x, y, z, t) ñòð æ ó ÓÔ➮➱➶ (x, y, z) ➼❰➬Ï t ÐÑ➼ô❇❉➨➛ x ❍ Ó ✍❰❊➼ô❇õ✧Ï x ❍ Óö ✴❰❊✍÷ ❉ ➼❑ø❉ùúû❮ä✧ ü ➇ýþÿ✁➁→ x ➟❾➎ü ➇ ➧✂➎êå q ❲✄☎➎✆ þ✺✻✝✞ ✟✠ ✧ ✵ q = −k ∂u ∂x, q ➵ ➶÷✡❆❇✧ k ➵ ➶⑥÷☛❉ k ❄ ❬❭✻ ❭☞ ✿ ❆✧✆✌✧✍✎✏✑✧❄✒❝ u ✓✔ ✕✖✗✘✙✚✒✛✜✢✣ ✤✥✦ ✧★✩✪ ✫✬✭✮✯ k ✰✱✲ u ✳ ✕✗ ✴✵✶✷ ✸✹ ✺✻✼✽✾✿❀❁❂❃❄❅❆❇❀❁❂❈❉❊❋★●✾❍■❏❄✿❂❑❄✗ ▲▼◆❖P ◗❘❙❚❯ ✸✹❱❲❳★❨❚❯ ✸◆❩❬ ◗✴❭❪❨❫❴❵★❛❜ qx = −k ∂u ∂x, qy = −k ∂u ∂y , qz = −k ∂u ∂z , ❝ q = −k∇u, ❞❱❡❢❴❣❤ q ✐❫❴❥❴ ∇u ❦❧ ♠✗ ♥♦ Fourier ♣qrs❤t✉♣q✈❳✇①P ◗❘❙❚❯ ✸✹❱❲❳❬②✗ ❨❚❯ ③④⑤⑥⑦⑧❩⑨⑩❶✵❷ (❸❹ 13.3) ★❶❩✵❭r❺❻✵❼❽✗
§133热传导方程 第6页 (a g, z) 图13.3热传导方程 位于(x,y,2)点的小六面体 ★△t时间内沿x方向流入六面体的热量 (qx)2-(qx)x+d]△y△2△t △y△z△t O2△x△y△z△t ★t时间内沿y方向流入六面体的热量 (q)-(qy)2+d△z△z△t=kAx△y△z△t ★在△t时间内沿z方向流入六面体的热量 q)2-(q)2+d-]△r△y△t=k 如果六面体内没有其他热量来源或消耗,则根据能量守恒定律,净流人的热量应该等于介质在此 时间内温度升高所需要的热量, (a+2+2)△△y△4=p△Ay△c△u 所以 V2u=0 其中p是介质的密度,c是比热容
Wu Chong-shi §13.3 ❾❿➀➁➂ ➃ 6 ➄ ❹ 13.3 ❱❲❳❬② ➅➆ (x, y, z) ➇ ✹➈❶✵❷ F ∆t ➉➊ ③➋ x ❬ ◗❡➌❶✵❷✹❱❤ (qx)x − (qx)x+dx ∆y∆z∆t = h k ∂u ∂x x+dx − k ∂u ∂x x i ∆y∆z∆t = k ∂ 2u ∂x2 ∆x∆y∆z∆t. F ∆t ➉➊ ③➋ y ❬ ◗❡➌❶✵❷✹❱❤ h (qy) y − (qy) y+dy i ∆x∆z∆t = k ∂ 2u ∂y2 ∆x∆y∆z∆t, F ❨ ∆t ➉➊ ③➋ z ❬ ◗❡➌❶✵❷✹❱❤ (qz) z − (qz) z+dz ∆x∆y∆t = k ∂ 2u ∂z2 ∆x∆y∆z∆t. ➍➎❶✵❷ ③➏❜➐➑❱❤➒➓❝➔→★❛♥♦s❤t✉♣q★ ➣✿↔❀✾❍↕➙➛➜➝➞➟➠ ➡➢➤❄❅➥❏➦➧➨❀✾❍★ k ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 + ∂ 2u ∂z2 ∆x∆y∆z∆t = ρ∆x∆y∆z · c · ∆u. ➩➫ ∂u ∂t − k ρc ∇2u = 0, ➐ ✸ ρ ➭ ❚❯✹❢❴★ c ➭ ♠❱➯✗
第十三讲数学物理方程:数学建模 第7页 K=k/pe,则有 at 其中K称为扩散率,或温度传导率 如果在介质内有热量产生(例如,有化学反应发生,或通有电流 ),单位时间内单位体 积介质中产生的热量为F(x,v,z,t),则有 kv2au△x△y△z△t+F(x,y,z,t)△x△y△z△t=p△x△y△zc·△ kVu=-F(r, 3, 2, t)=f(a, y, 2, t) 如果介质不均匀,则导热率k与坐标(x,y,2)有关.这时,热传导方程就变为 V·(kVu)=F(x,y,z,t) 热传导方程的另一种形式令j=pc,称为热流(强度),则 +V·q=F(x,y,2,t) 这个方程常称为连续性方程 如果是各向异性介质,则 Fourier定律应改写成 K. V 这里的κ是一个3×3矩阵,它和Vu按矩阵乘法的规则相乘 相应地,热传导方程变为 u Pcr-V.(K. Vu)=F(a, y, 2,t) 从分子运动的角度看,温度的高低是分子热运动激烈程度的反映.分子热运动的不平衡,通 过碰撞交换能量,在宏观上就表现为热量的传递.可以设想,如果介质内存在别种不均匀状况,例 如物质浓度的不均匀,通过分子的运动也会发生物质的交换,这在宏观上就表现为分子的扩散 这种在微观机理上的相似性,就决定了扩散方程和热传导方程有相同的形式, at-DV-u=f(z, y, 2, t), 其中的u(x,y,z,t)代表分子浓度,D是扩散率,f(x,y,z,t)则是单位时间内在单位体积中该种分 子的产率
Wu Chong-shi ➲➳➵➸ ➺➻➼➽➁➂➾➺➻➚➪ ➃ 7 ➄ ➶ κ = k/ρc ★❛❜ ∂u ∂t − κ∇2u = 0, ➐ ✸ κ ➹➘➴➷➬★❝❫❴❲❳➬✗ ➍➎❨❚❯ ③❜❱❤➮➱ (✃ ➍★❜❐❒❮❰Ï➱★❝Ð❜ Ñ❡★ · · · · · ·) ★Ò➅➉➊ ③Ò➅❷ Ó❚❯ ✸➮➱✹❱❤ ➘ F(x, y, z, t) ★❛❜ k∇ 2u∆x∆y∆z∆t + F(x, y, z, t)∆x∆y∆z∆t = ρ∆x∆y∆z · c · ∆u, ∂u ∂t − κ∇ 2u = 1 ρc F(x, y, z, t) = f(x, y, z, t). ➍➎❚❯Ô✇①★❛❳❱➬ k ✐❺❻ (x, y, z) ❜Õ✗Ö➉★❱❲❳❬②×Ø➘ ρc ∂u ∂t − ∇ · (k∇u) = F(x, y, z, t). ✾ÙÚ❁Û❀ÜÝÞßà ➶ j = ρcu ★ ➹➘❱❡ (á❴ ) ★❛ ∂j ∂t + ∇ · q = F(x, y, z, t). â❩❬②ã➹➘ äåæ❁Û✗ ➍➎➭ P ◗ç❙❚❯★❛ Fourier ♣q❰èé❦ q = −K · ∇u. êë✜ K ìíî 3 × 3 ï ð★ñò ∇u óï ðôõ✜ö✩÷ô✗ ø❰ù★❱❲❳❬②Ø➘ ρc ∂u ∂t − ∇ · (K · ∇u) = F(x, y, z, t). úûüýþ✹ÿ❴★❫❴✹✁✂➭ ûü❱ýþ✄☎②❴✹❮✆ ✗ ûü❱ýþ✹Ô⑨✝★Ð ✞✟✠✡☛s❤★❨☞✌✴×✍✎➘ ❱❤✹❲✏ ✗ ✑➫✒✓★➍➎❚❯ ③❪❨✔✕Ô✇①✖✗★ ✃ ➍✘❯✙❴✹Ô✇①★Ð✞ûü✹ýþ✚✛Ï➱✘❯✹✡☛★â❨☞✌✴×✍✎➘ ûü✹ ➴➷✗ â✕❨✜✌✢✣✴✹ø✤❙★×✥ ♣✦➴➷❬②r ❱❲❳❬②❜ø❘✹✧✷★ ∂u ∂t − D∇2u = f(x, y, z, t), ➐ ✸✹ u(x, y, z, t) ★ ✍ûü✙❴★ D ➭➴➷➬★ f(x, y, z, t) ❛ ➭ Ò➅➉➊ ③❨Ò➅❷Ó ✸✩✕û ü✹➮ ➬✗
134稳定问题 第8页 813.4稳定问题 稳定温度分布在一定条件下,物体的温度达到稳定、即不随时间变化时,则温度分布满足 Poisson方程 特别是,如果f=0,则有 Laplace方程, 这两种方程描写的是达到稳恒的物理状态 静电场的电势如果波动方程中α也不随时间变化,例如静电场的电势α(x,y,z),也满足 Poisson 其中p是电荷密度,E0称为真空电容率(真空介电常数).如果电荷密度P≡0,则静电场的电势 满足 Laplace方程 Vu(r, y, z)=0 单色波如果波动方程 中,u(x,y,z,t)随时间周期地变化,频率为 (a, y,a, t)=u(z, y, z)e 则v(x,y,2)满足 Helmholtz方程 V2u(,0,)+k2(x,,2)=0 其中k=/a称为波数 以上的几种基本的偏微分方程,从物理上看,有 ★反映波动过程的波动方程 ★反映扩散过程的热传导方程 ★反映稳恒状态的 Poisson方程和 Laplace方程 从数学上看,这也正好相应地分为三类 ★波动方程,在数学上属于双曲型方程 ★热传导方程,在数学上属于抛物型方程 ★ Poisson方程和 Laplace方程,在数学上属于椭圆型方程 这三类方程的求解问题,将是本课程的中心任务
Wu Chong-shi §13.4 ✪✫✬✭ ➃ 8 ➄ §13.4 ✮ ✯ ✰ ✱ ✲✳❄❅✴✵ ❨⑧ ♣✶✷✸★✘❷✹❫❴✹✺✻♣✼ ❞Ô✽ ➉➊Ø❐ ➉★❛❫❴û✾✿❀ Poisson ❬② ∇ 2u = − f κ . ❁✔ ➭★➍➎ f = 0 ★❛❜ Laplace ❬②★ ∇2u = 0. â❂✕❬②❃é✹ ➭✹✺✻✉✹✘✣✖❄✗ ❅❆❇❀❆❈ ➍➎❉þ❬② ✸ u ✚Ô✽ ➉➊Ø❐★✃ ➍❊ Ñ❋✹ Ñ● u(x, y, z) ★✚✿❀ Poisson ❬② ∇ 2u = − ρ ε0 , ➐ ✸ ρ ➭ Ñ❍❢❴★ ε0 ➹➘■❏ Ñ➯ ➬ (■❏❚ Ñã❑ ) ✗ ➍➎ Ñ❍❢❴ ρ ≡ 0 ★❛❊ Ñ❋✹ Ñ● ✿❀ Laplace ❬② ∇2u(x, y, z) = 0. ▲▼◆ ➍➎❉þ❬② ∂ 2u ∂t2 − a 2∇2u = 0 ✸★ u(x, y, z, t) ✽ ➉➊❖PùØ❐★◗ ➬➘ ω ★ u(x, y, z, t) = v(x, y, z)e−iωt , ❛ v(x, y, z) ✿❀ Helmholtz ❬② ∇2 v(x, y, z) + k 2 v(x, y, z) = 0, ➐ ✸ k = ω/a ➹➘❉❑ ✗ ➫✴✹❘✕❙❚✹❯✜û❬②★ú✘✣✴★❜ F ❱❲❳❨❩❬✜ ❳❨❭❬ F ❱❲❪❫❩❬✜ ❴❵❛❭❬ F ❱❲❜❝❞❡✜ Poisson ❭❬ò Laplace ❭❬ ú❑❒✴★â✚ ❧❢ ø❰ùû ➘ ◆❣❤ F ❳❨❭❬★✐❥ ❦❧♠♥♦ ♣q❭❬ F ❴❵❛❭❬★✐❥ ❦❧♠♥rsq❭❬ F Poisson ❭❬ò Laplace ❭❬★✐❥ ❦❧♠♥t ✉q❭❬ â◆❣❬②✹✈✇①②★③ ➭❚④②✹ ✸⑤⑥⑦✗